2．2.2 对数函数及其性质 第二课时
第二课时 对数函数及其性质的应用
利用对数函数的单调性比较大小
[例1] 比较下列各组中两个值的大小
(1)log31.9，log32
(2)log23，log0.32
(3)logaπ，loga3.14
[自主解答] (1)∵函数y＝log3x为单调增函数，
∴log31.9
(2)∵log23>log21＝0＝log0.31>log0.32，
∴log23>log0.32.
(3)当a>1时，
函数y＝logax为增函数，∴logaπ>loga3.14.
当0函数y＝logax为减函数，∴logaπ——————————————————
比较两个对数值大小的方法：①单调性法：当底数相同时，构造对数函数利用其单调性来比较大小，如本题 1 ；②中间量法：当底数和真数都不相同时，通常借助中间量 如－1，0，1 比较大小，如本题 2 ；③分类讨论：当底数与1的大小关系不确定时，要对底数分类讨论，如本题 3 .
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1．比较下列各题中两个值的大小：
(1)ln0.3，ln2；(2)log3π，logπ3；
(3)loga3.1，loga5.2(a>0，a≠1)．
解：(1)因为函数y＝lnx是增函数，且0.3<2，
所以ln0.3(2)因为函数y＝log3x是增函数，且π>3，所以log3π>log33＝1，
同理1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.
(3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1<5.2，所以loga3.1当0loga5.2.
对数函数单调性的应用
[例2] 解不等式log2(2x＋3)>log2(5x－6)．
[自主解答] ∵函数y＝log2x为单调增函数，
∴解得∴原不等式解集为{x|将例2中底数“2”改为“a(a>0且a≠1)”如何求解．
解：当a>1时，函数y＝logax为增函数，则解集为{x|当0则解得x>3.
综上所述，当a>1时，不等式的解集为{x|当03}．
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1 解对数不等式时要注意：真数大于零，底数大于零且不等于1，然后借助对数函数的单调性，把对数的不等式转化为真数的不等式，然后与定义域取交集即得原不等式的解集.
2 底数中若含有参数时，一定注意底数大于0且不等于1；同时要注意与1大小的讨论.
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2．若－1解：∵－1∴loga当a>1时，<.
当0>a，∴0∴a的取值范围是∪.
对数函数性质的综合应用
[例3] 已知f(x)＝lg的定义域为(－1,1)，
(1)求f()＋f(－)；
(2)探究函数f(x)的单调性，并证明．
[自主解答] (1)∵函数的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，又f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
∴f()＋f(－)＝f()－f()＝0.
(2)先探究函数f(x)在(0,1)上的单调性．
设任意x1，x2∈(0,1)，x1f(x1)－f(x2)＝lg－lg
＝lg(·)
＝lg.
∵0∴1－x1x2＋x2－x1>1－x1x2－(x2－x1)>0，
∴>1.
∴lg>0，即f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x)为(0,1)上的减函数．
又f(x)为奇函数，所以f(x)在(－1,1)上是减函数．
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(1)判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．
(2)对于类似于f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便．
3 求函数的单调区间有两种思路：①易得到单调区间的，可用定义法来求解；②易得到函数图象的，利用图象求解.
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3．已知函数f(x)＝ln(ax－bx)(a>1>b>0)
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在定义域上的单调性，并说明理由．
解：(1)要使f(x)＝ ln(ax－bx)(a>1>b>0)有意义，
需有ax－bx>0，即()x>1.
∵a>1>b，∴>1.
∴x>0.即所求函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)函数f(x)在定义域上是单调递增函数．
证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1∵a>1>b>0，∴ax1bx2，
∴ax1－bx1∴ln(ax1－bx1)∴f(x1)∴函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调递增函数.
解题高手 妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！
当x∈(1,2)时，关于x的不等式(x－1)2[巧思] 构造函数，在同一坐标系中画出两函数的图象来求解．用函数的观点研究方程问题：方程解的个数就是两个函数图象交点的个数；方程的解就是两个函数图象交点的横坐标．
[妙解] 作y1＝(x－1)2(1当a>1时，如图2要使得x在(1,2)上，(x－1)2<
logax恒成立，需使x＝2时，y2≥y1，即loga2≥(2－1)2，
∴loga2≥1＝logaa，解得11．已知a＝21.2，b＝()－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为( )
A．cC．b解析：a＝21.2>2，而b＝()－0.8＝20.8，所以1答案：A
2．函数y＝的定义域是( )
A．(9，＋∞) B．[9，＋∞)
C．[27，＋∞) D．(27，＋∞)
解析：由log3x－3≥0得log3x≥3.即x≥27.
答案：C
3．若logm8.1A．m>n>1 B．n>m>1
C．0解析：由题意知m，n一定都是大于0且小于1的，根据函数图象知，当x>1时，底数越大，函数值越小．
答案：C
4．不等式log(5＋x)解析：由，得－2答案：{x|－25．y＝(loga)x在R上为减函数，则a的取值范围是________．
解析：使0答案：(，1)
6．已知函数f(x)＝loga(3－ax)，当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
解：由题意知，3－ax>0对x∈[0,2]恒成立，a>0，且a≠1.
设g(x)＝3－ax，
则g(x)在[0,2]上为减函数，
∴g(x)min＝g(2)＝3－2a>0，∴a<.
∴a的取值范围是(0,1)∪(1，)．
一、选择题
1．与函数y＝()x的图象关于直线y＝x对称的函数是( )
A．y＝4x B．y＝4－x
C．y＝logx D．y＝log4x
解析：作出图象观察可知函数y＝()x的图象与y＝logx的图象关于直线y＝x对称．
答案：C
2．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：∵x≥1，∴log2x≥0，
∴y＝2＋log2x≥2.
答案：C
3．若loga(a2＋1)A．(0,1) B．(，1)
C．(0，) D．(1，＋∞)
解析：∵(a2＋1)－2a＝(a－1)2>0(a≠1)，
∴a2＋1>2a.
由loga(a2＋1)0又loga2a<0＝loga1.
∴2a>1 a>，
综上：答案：B
4．已知函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上为减函数，则a的取值范围为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．(2，＋∞)
解析：∵a>0，∴g(x)＝2－ax为减函数，
即任取x1，x2∈[0,1]，且x1g(x2)，
又logag(x1)>logag(x2)．
∴a>1.而又∵g(x)＝2－ax在[0,1]恒为正．
∴2－a>0，∴a<2.
答案：B
二、填空题
5．函数f(x)＝的图象如图所示，则a＋b＋c＝________.
解析：∵f(x)＝ax＋b(x≤0)过点(－1,0)，(0,2)，
∴，∴a＝2，b＝2.
由图象知f(x)＝logc(x＋)过点(0,2)
∴2＝logc，∴c＝.∴a＋b＋c＝2＋2＋＝.
答案：
6．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)若A B，则a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
解析：∵log2x≤2＝log24
∴0又∵A B.∴a>4.∴c＝4.
答案：4
7．函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a＝________.
解析：当a>1时，f(x)max＝f(3)＝loga3＝1.
∴a＝3.
当0∴a＝2(舍去)．
∴a＝3.
答案：3
8．关于函数f(x)＝lg有下列结论：①函数f(x)的定义域是(0，＋∞)；②函数f(x)是奇函数；③函数f(x)的最小值为－lg2；④当01时，函数f(x)是减函数．其中正确结论的序号是________．
解析：由>0知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，则函数f(x)是非奇非偶函数，所以①正确，②错误；f(x)＝lg＝－lg(x＋)≤lg＝－lg2，即函数f(x)的最大值为－lg2，所以③错误；函数y＝x＋，当01时，函数g(x)是增函数．而函数y＝lgx在(0，＋∞)上单调递增，所以④正确．
答案：①④
三、解答题
9．对a，b∈R定义运算“*”为a*b＝，
若f(x)＝[log(3x－2)]*(log2x)，试求f(x)的值域．
解：f(x)＝
当x≥1时，log(3x－2)≤0，
当故f(x)的值域为(－∞，0]．
10．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．
(1)根据上述材料，列出分贝值y与声压P的函数关系式．
(2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？
(3)2013年央视春晚中，蔡明、潘长江等表演小品《想跳就跳》时，现场多次响起响亮的掌声，某观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时中央电视台演播大厅的声压是多少？
解：(1)由已知得y＝20lg，
又P0＝2×10－5，
则y＝20lg.
(2)当P＝0.002时，y＝20lg＝20lg102＝40(分贝)．
由已知条件知40分贝小于60分贝，所以该地区为无害区．
(3)由题意得90＝20lg ，则＝104.5，
所以P＝104.5P0＝104.5×2×10－5＝2×10－0.5≈0.63(帕)．2．1.2 指数函数及其性质 第一课时
第一课时 指数函数的图象及性质
[读教材·填要点]
1．指数函数的定义
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．
2．指数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化 当x>0时，y>1当x>0时，01
单调性 是R上的增函数 是R上的减函数
[小问题·大思维]
1．下列函数中，哪些是指数函数？
①y＝2－x；②y＝2x＋1；
③y＝3·2x；④y＝－2x；
⑤y＝(－2)x；⑥y＝x2；
⑦y＝(a－1)x(a>1且a≠2)．
提示：∵y＝2－x＝()x，∴根据指数函数的定义可知，只有①⑦是指数函数．
2．在同一坐标系中y＝ax和y＝()x的图象有什么关系？
提示：关于y轴对称．
3．指数函数具有奇偶性吗？
提示：指数函数既不是奇函数又不是偶函数．
指数函数的概念
[例1] 指出下列函数中，哪些是指数函数．
(1)y＝πx；(2)y＝(－4)x；(3)y＝－4x；(4)y＝x4；
(5)y＝(2a－1)x(a>，且a≠1)；(6)y＝(a2＋2)－x；
(7)y＝2·3x＋a(a≠0)；(8)y＝4x2.
[自主解答] 根据指数函数的定义，指数函数满足：
①前面系数为1；
②底数a>0，且a≠1；
③指数是自变量，所以，
(1)y＝πx，底数为π，满足π>0，且π≠1，前面系数为1，且指数x为自变量，故它是指数函数；
(2)y＝(－4)x，底数－4<0，故它不是指数函数；
(3)y＝－4x，前面系数为－1，故它不是指数函数；
(4)y＝x4，指数为4而不是x，故它不是指数函数；
(5)y＝(2a－1)x，因为a>，且a≠1，所以2a－1>0，且2a－1≠1，前面系数为1，且指数为自变量x，故它是指数函数；
(6)y＝(a2＋2)－x＝()x，底数∈(0，]，前面系数为1，指数为自变量x，故它是指数函数；
(7)y＝2·3x＋a(a≠0)，3x前面系数为2≠1，故它不是指数函数；
(8)y＝4x2，底数是自变量，且前面系数为4，故它不是指数函数．故(1)(5)(6)为指数函数．
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指数函数是形式化的概念，形如y＝ax a>0，且a≠1 的函数被称为指数函数，这里x是自变量，要判断一个函数是否是指数函数，需抓住三点：①底数大于零且不等于1；②幂指数有单一的自变量x；③系数为1，且没有其他的项.
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1．下列函数中，哪些是指数函数？
(1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－6x；
(4)y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)．
解：(1)y＝10x符合定义，是指数函数；
(2)y＝10x＋1是由y＝10x和y＝10这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数．
(3)y＝－6x是由y＝6x与y＝－1这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数．
(4)由于10＋a>0，且10＋a≠1，即底数是符合要求的常数，故y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)是指数函数．
综上可知，(1)(4)是指数函数.
指数函数图象
[例2] 如图所示是下列指数函数的图象，(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．aB．bC．1D．a[自主解答] 可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较c，d的大小，由(1)(2)比较a，b的大小，当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象越靠近x轴．
[答案] B
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指数函数的图象随底数变化的规律：,无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax的图象与直线x＝1相交于点 1，a ，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.
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2．若0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：f(x)＝ax(0而f(x)＝a x＋b(b<－1)则函数图象不经过第一象限．
答案：A
与指数函数有关的定义域、值域问题
[例3] 求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝8；(2)y＝ .
[自主解答] (1)定义域为[2，＋∞)；
∵≥0，∴y＝8≥1.
∴值域为[1，＋∞)．
(2)∵1－()x≥0，
∴()x≤1＝()0.即x≥0.
∴函数y＝的定义域为[0，＋∞)；
令t＝()x，∴0∴0≤1－t<1，∴0≤<1.
∴y＝的值域为[0,1)．
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3．求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝3；(2)y＝5－x－1.
解：(1)要使函数y＝3有意义，只需1－x≥0，
即x≤1，所以函数的定义域为{x|x≤1}．
设y＝3u，u＝，则u≥0，由函数y＝3u在[0，＋∞)上是增函数，得y≥30＝1，所以函数的值域为[1，＋∞)
(2)函数y＝5－x－1对任意的x∈R都成立，所以函数的定义域为R.因为5－x>0，所以5－x－1>－1，
所以函数的值域为(－1，＋∞)．
解题高手 妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！
求k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
[巧思] 可在同一直角坐标系下画出函数y＝|3x－1|的图象和直线y＝k，通过观察图象交点的个数解决．
[妙解] 函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到，函数图象如图所示．
当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；
当01．下列一定是指数函数的是( )
A．形如y＝ax的函数 B．y＝xa(a>0且a≠1)
C．y＝(|a|＋2)－x D．y＝(a－2)ax
解析：A中a的范围没有限制，故不一定是指数函数；B中y＝xa(a>0且a≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C中|a|＋2≥2，故而(|a|＋2)－x＝()x是指数函数；D中只有a－2＝1即a＝3时为指数函数．
答案：C
2．函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
解析：法一(图象变换法)：当0法二(特殊点法)：由题意可知函数y＝ax－a(a>0且a≠1)必过点(1,0)，故只有C项符合．
答案：C
3．已知函数f(x)＝7＋ax－1的图象恒过点P，则P点坐标是( )
A．(1,8) B．(1,7) C．(0,8) D．(8,0)
解析：当x＝1时，ax－1＝a0＝1.f(x)＝7＋1＝8.故而过定点(1,8)．
答案：A
4．当x∈[－1,3)时，y＝3－x－1的值域是________．
解析：∵y＝3－x－1＝()x－1为单调减函数，
∴y＝()x－1的最大值为y＝3－1＝2.
∴y的值域为(－，2]．
答案：(－，2]
5．已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________.
解析：∵f(x)的图象过(0，－2)，(2,0)且a>0，
∴，
∴b＝－3，a＝，
∴f(x)＝()x－3，
则f(3)＝()3－3＝3－3.
答案：3－3
6．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；(2)y＝().
解：(1)要使函数有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，
因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0.
故函数y＝ 的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，
所以∈[0,1)，即函数y＝的值域为[0,1)．
(2)要使函数有意义，则x－2≥0，解得x≥2，所以函数y＝()的定义域为[2，＋∞)．
当x∈[2，＋∞)时，≥0，又0<<1，由指数函数的性质知，y＝()≤()0＝1，且y>0，故函数y＝()的值域为(0,1]．
一、选择题
1．函数y＝的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4]
C．[0,4) D．(0,4)
解析：∵4x>0,16－4x≥0,4x≤16，x≤2.
∴0<4x≤16.
∴0≤16－4x<16.
∴0≤<4，∴函数的值域为[0,4)．
答案：C
2．已知函数f(x)＝(a2－1)x，若x>0时总有f(x)>1，则实数a的取值范围是( )
A．1<|a|<2 B．|a|<2
C．|a|>1 D．|a|>
解析：∵当x>0时，总有(a2－1)x>1，
∴a2－1>1，即a2>2.∴|a|>.
答案：D
3．如下图所示，函数y＝|2x－2|的图象是( )
解析：y＝|2x－2|＝.画出函数图象，知B选项符合题意．
答案：B
4．方程2x＋x＝0的解的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无数个
解析：令f(x)＝2x，g(x)＝－x，则2x＋x＝0的解就是函数f(x)和g(x)交点，交点个数为1.
答案：B
二、填空题
5．若函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．
解析：由题意知a>1，
∴解得a＝.
答案：
6．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．
解析：若a<0，则f(a)＝()a－7<1，
()a<8＝()－3，∴a>－3.即－3若a≥0则f(a)＝<1，a<1，即0≤a<1.综上a的取值范围为－3答案：(－3,1)
7．函数y＝ax在[0,1]上的最大值和最小值之和为3，则a＝________.
解析：由y＝ax的单调性及值域可知a0＋a1＝3，∴a＝2.
答案：2
8．对于函数f(x)＝2x定义域中任意x1，x2(x1≠x2)有如下结论：
(1)f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)
(2)f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)
(3)＞0
(4)＞f()
其中正确命题的序号是________．
解析：(1)显然错误，(2)正确，(3)(4)可由图象来判断是正确的．
答案：(2)(3)(4)
三、解答题
9．定义一种新的运算“ ”：a b＝作出函数y＝2x 2－x的图象，并写出该函数的定义域与值域．
解：当x≤0时，2x≤2－x，y＝2x，
当x>0时，2x>2－x，y＝2－x，
所以y＝其定义域为R，值域(0,1]，图象如图所示．
10．如果3－5x>()x＋6，求x的取值范围？
解：3－5x>()x＋6＝3－x－6，
而指数函数y＝3x为增函数，
∴－5x>－x－6,5x∴x的取值范围(－∞，)．2．1.2 指数函数及其性质 第二课时
第二课时 指数函数及其性质的应用
利用函数单调性比较大小问题
[例1] 比较下列各题中两个值的大小．
(1)1.73.5,1.73
(2)2.3－0.28,0.67－3.1
[自主解答] (1)∵指数函数y＝1.7x是增函数，而3.5>3故而1.73.5>1.73.
(2)∵y＝2.3x为增函数，
∴2.3－0.28<2.30＝1.
又∵y＝0.67x为减函数，
∴0.67－3.1>0.670＝1.
∴0.67－3.1>1>2.3－0.28，
即0.67－3.1>2.3－0.28.
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在进行指数式的大小比较时：
(1)指数不同，底数相同，利用指数函数的单调性来解决；
(2)底数不同，指数也不同；采用中介值法，取a0＝1作为中介来比较．
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1．比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.82.2,1.83；
(2)0.7－0.3,0.7－0.4；
(3)1.90.4,0.92.4.
解：(1)∵1.82.2,1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，
∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数，
∴1.82.2<1.83.
(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，
又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.
(3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1，
∴1.90.4>0.92.4.
求解指数不等式
[例2] 如果a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．
[自主解答] ①当a>1时，∵a－5x>ax＋7，
∴－5x>x＋7，解得x<－.
②当0ax＋7，
∴－5x－.
综上所述，当a>1时，x的取值范围是：x<－；
当0－.
若将“a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)”改为“(a2＋a＋2)－5x>(a2＋a＋2)x＋7”，如何求解？
解：∵a2＋a＋2＝(a＋)2＋>1，
∴y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函数．
∴－5x>x＋7，即x<－，
∴x的取值范围是x<－.
——————————————————
解指数不等式问题，需注意三点：
1 形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0 2 形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；
3 形如ax>bx的形式，利用图象求解.
————————————————————————————————————————
2．解下列不等式：
(1)2x>8；(2)()x>；(3)0.32－x2>1.
解：(1)∵2x>8＝23且y＝2x为增函数，
∴x>3.
(2)()x>＝2＝()且y＝()x为减函数，
∴x<－.
(3)0.32－x2>1＝0.30且y＝0.3x为减函数，
∴2－x2<0，x>或x<－.
指数函数的实际应用题
[例3] 某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y kg粮食，求y关于x的函数解析式．
[自主解答] 设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M kg.
1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)kg，人口数量为M(1＋1.2%)，
则人均一年占有粮食为kg，
2年后，人均一年占有粮食为kg，
x年后，人均一年占有粮食为y＝kg，即所求函数解析式为y＝360()x(x∈N*)．
——————————————————
某量原值为a，通过若干次变化，每次比上一次的增长率或减少率为r，则x次后该量的值变为a(1＋r)x或a(1－r)x.
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3．1980年我国人均收入255美元，到2000年人民生活达到小康水平，人均收入为817美元，则年平均增长率是多少(精确到1%)？若以不低于此增长率的速度递增，则到2020年人均收入至少为多少美元(精确到1美元)
解：设年平均增长率是x，由题意得y＝255×(1＋x)n，因为到2000年人均收入为817美元，
即n＝2 000－1 980＝20时，y＝817，
所以817＝255×(1＋x)20.
所以x≈0.06.
到2020年，即n＝2 020－1 980＝40.
此时y＝255×(1＋0.06)40≈2 623.
即年平均增长率是6%，若以不低于此增长率的速度递增，则到2020年人均收入至少是2 623美元．
解题高手 妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！
已知a>0且a≠1，讨论函数f(x)＝a－x2＋3x＋2的单调性．
[巧思] 求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；若两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定要注意复合函数的定义域．这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性的题目，指数－x2＋3x＋2＝－(x－)2＋，当x≥时是减函数；当x<时是增函数，而f(x)的单调性又与a 的取值范围有关，应分类讨论．
[妙解] 设u＝－x2＋3x＋2＝－(x－)2＋，
则当x≥时，u是减函数，
当x<时，u是增函数．
又因为当a>1时，y＝au是增函数，
当0所以当a>1时，原函数f(x)＝a－x2＋3x＋2在[，＋∞)上是减函数，在(－∞，)上是增函数．
当01．下列各关系中，正确的是( )
A．()<()<() B．()<()<()
C．()<()<() D．()<()<()
解析：函数y＝()x为减函数，而<.
∴()>()，又∵>，∴()>().
答案：D
2．已知函数f(x)＝()x在[－1,0]上的最大值是( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
解析：∵函数y＝()x在[－1,0]上为单调减函数，
∴y最大＝()－1＝3.
答案：D
3．若()2a＋1<()3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，)
解析：∵函数y＝()x为单调减函数，
且()2a＋1<()3－2a，则有2a＋1>3－2a，
4a>2，∴a>.
答案：A
4．方程4x－2x＋1－3＝0的解是________．
解析：原方程可化为(2x)2－2(2x)－3＝0，解得2x＝3或2x＝－1，
∵2x>0，∴2x＝3，
∴x＝log23.故答案为log23.
答案：log23
5．已知函数f(x)＝a－，若f(x)为奇函数，则a＝________.
解析：∵函数f(x)为奇函数，
∴f(0)＝a－＝0.
∴a＝.
答案：
6．已知2x≤()x－3，求函数y＝()x的值域．
解：∵2x≤()x－3，即2x≤26－2x，
∴x≤6－2x，∴x≤2.
∴y＝()x≥()2＝，
∴函数值域是[，＋∞)．
一、选择题
1．已知集合M＝{－1,1}，N＝{x|<2x＋1<4，x∈Z}，则M∩N等于( )
A．{－1,1} B．{－1}
C．{0} D．{－1,0}
解析：∵<2x＋1<4,2－1<2x＋1<22，且y＝2x是增函数．
∴－1－2∴N＝{x|－2∴M∩N＝{－1}．
答案：B
2．如果函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，那么实数a的取值范围是( )
A．(0，) B．(，＋∞)
C．(－∞，) D．(－，)
解析：∵f(x)＝(1－2a)x为减函数，
∴0<1－2a<1，－1<2a－1<0，
0<2a<1,0答案：A
3．预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k为常数)，其中Pn为预测期内n年后的人口数，P0为初期人口数，k为预测期内的年增长率，如果－1A．呈上升趋势 B．呈下降趋势
C．先上升后下降 D．先下降后上升
解析：Pn＝P0(1＋k)n是指数型函数，∵－1∴0<1＋k<1.由y＝ax(0答案：B
4．已知实数a，b满足等式()a＝()b，下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.
其中不可能成立的关系有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：如图所示，在同一坐标系中作出函数y＝()x和y＝()x的图象，由()a＝()b可知点(a，()a)和点(b，()b)的纵坐标相同，此时有三种情况，第一种是a＝b＝0时，即两点都在(0,1)处时取得，另外两种情况如图所示的两直线与两函数相交时的a，b关系，由图易知可能是a答案：B
二、填空题
5．函数y＝的定义域是________．
解析：要使函数有意义则2x－1≥0
即x≥0.
答案：[0，＋∞)
6．设函数f(x)＝x(ex＋a·e－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
而f(－x)＝－x(e－x＋a·ex)＝－axex－xe－x＝xex＋axe－x，∴－a＝1，即a＝－1.
答案：－1
7．函数f(x)＝()x－1，x∈[－1,2]的值域为________．
解析：∵函数f(x)＝()x－1为[－1,2]上单调减函数，∴f(x)max＝f(－1)＝3－1＝2.
f(x)min＝f(2)＝－1＝－.
答案：[－，2]
8．若函数y＝a2x＋2ax－1(a>1)在[－1,1]上有最大值14，则实数a的值为________．
解析：令t＝ax∈[，a]，则原函数可化为：y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，易知在[，a]上是单调增函数．则a2＋2a－1＝14，解之得a＝3或a＝－5(舍去)．
∴实数a的值为3.
答案：3
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax在x∈[－2,2]上恒有f(x)<2，求实数a的取值范围．
解：当a>1时，f(x)＝ax在[－2,2]上为增函数，
∴f(x)max＝f(2)．
又∵x∈[－2,2]时，f(x)<2恒成立，
∴即
解得1同理，当0解得综上所述，a∈(，1)∪(1，)．
10．讨论函数f(x)＝()x2－2x的单调性．
解：∵函数f(x)的定义域是R.
令u＝x2－2x，则f(u)＝()u
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上是减函数，
又∵f(u)＝()u在其定义域内是减函数，
∴函数f(x)在(－∞，1]上是增函数；
又u＝x2－2x＝(x－1)2－1在[1，＋∞)上是增函数，
∵f(u)＝()u在其定义域内是减函数，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数．2．2.2 对数函数及其性质 第一课时
第一课时 对数函数的图象及性质
[读教材·填要点]
1．对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．
2．对数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图像
性质 定义域 (0，＋_∞)
值域 R
过定点 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＞0 当0＜x<1时，y＞0当x＞1时，y＜0
单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0＋∞)上的减函数
3．反函数
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数．
[小问题·大思维]
1．对数函数中为什么定义域为(0，＋∞)
提示：因为负数和0没有对数．
2．函数y＝loga(x＋1)与y＝2logax都是对数函数吗？判断对数函数的标准是什么？
提示：都不是，依据对数函数的定义判断，必须底数为常数a，且a>0且a≠1，真数是自变量x，系数必须是1.
3．若函数f(x)＝logx，且a>b>1，则f(a)，f(b)与0的大小关系是什么？
提示：∵0<<1，∴函数f(x)＝logx在(0，＋∞)上为减函数．又∵a>b>1，∴loga即f(a)与对数函数有关的定义域问题
[例1] 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝
(2)y＝.
[自主解答] (1)由得x<4且x≠3.
∴所求定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
(2)由
得，∴∴所求定义域为(，1]．
——————————————————
求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性.
————————————————————————————————————————
1．求下列函数定义域．
(1)y＝log(x－1)(3－x)；
(2)y＝.
解：(1)由得1∴定义域为{x|1(2)由得得x≥1.
∴定义域为[1，＋∞).
对数函数的图象
[例2] 如图是对数函数y＝logax的图象，已知a取值，，，，则图象C1，C2，C3，C4相应的a值依次是( )
A.、、、 B.、、、
C.、、、 D.、、、
[自主解答] 过(0,1)作平行于x轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的坐标为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底数依次由大到小．
[答案] A
——————————————————
1 y＝logax a>0，且a≠1 图象无限地靠近于y轴，但永远不会与y轴相交.
2 设y1＝logax，y2＝logbx，其中a>1，b>1 或01时，“底大图低”，即若a>b，则y1b，则y1>y2.
3 在同一坐标系内，y＝logax a>0，且a≠1 的图象与y＝log\f(1,a)x a>0，且a≠1 的图象关于x轴 即y＝0 对称.
————————————————————————————————————————
2．当a>1时，函数y＝logax和y＝(1－a)x的图象只能是( )
解析：∵a>1，∴函数y＝logax为增函数，且图象过定点(1,0)，故C、D均不正确．又∵1－a<0，∴函数y＝(1－a)x的图象应过坐标原点且经过第二、四象限．
答案：B
对数函数图象应用
[例3] 已知f(x)＝|lgx|，且＞a＞b＞1，试比较f(a)、f(b)、f(c)的大小．
[自主解答] 先作出函数y＝lgx的图象，再将图象位于x轴下方的部分折到x轴上方，于是得f(x)＝|lgx|图象，(如图)由图象可知，f(x) 在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
由＞a＞b＞1得：f()＞f(a)＞f(b)，
而f()＝|lg|＝|－lgc|＝|lgc|＝f(c)．
∴f(c)＞f(a)＞f(b)．
若依据例3条件求解“f(x)<1”满足的x的取值范围．
解：由例3图可知f(x)<1即－1∴x的取值范围为(，10)．
——————————————————
1 作对数函数图象，注意图象无限靠近于y轴，过 1，0 点及其单调性.
2 y＝|f x |图象可以由y＝f x 图象得到，具体过程：保留y＝f x 在x轴上方的图象，再将y＝f x 图象在x轴下方的部分折到x轴上方.
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3．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．
解析：数形结合|log3x|＝0，则x＝1，
|log3x|＝1，则x＝或3.作图由图可知(b－a)min＝1－＝.
答案：
解题高手 易错题 审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！
函数y＝logax(a>0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值．
[错解] 因为函数y＝logax(a>0且a≠1)，在[2,4]最大值为loga4，最小值为loga2.所以loga4－loga2＝1，即loga＝1，a＝2.
[错因] 错解中误以为函数y＝logax(a>0，且a≠1)在[2,4]上是增函数．
[正解] (1)当a>1时，函数y＝logax在[2,4]上是增函数，所以loga4－loga2＝1，即loga＝1, 所以a＝2.
(2)当0综上a＝2或a＝.
1．函数f(x)＝＋lg(2x＋1)的定义域是( )
A．(－，＋∞) B．(－，1)
C．(－，) D．(－∞，－)
解析：由得－答案：C
2．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值是( )
A．5 B.
C. D.
解析：∵函数y＝logax的图象一致上升，∴函数y＝logax为单调增函数，
∴a>1.
答案：A
3．设a＝log3，b＝()0.3，c＝2，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．c解析：∵a＝log320＝1.∴a答案：A
4．已知函数f(x)＝则f(f())＝________.
解析：f()＝log2＝－2.
f(f())＝f(－2)＝3－2＝.
答案：
5．已知log0.6(x＋2)>log0.6(1－x)，则实数x的取值范围是________．
解析：∵函数y＝log0.6x为减函数，
∴结合定义域可得
得
∴－2答案：(－2，－)
6．已知函数y＝loga(x＋b)的图象如图所示，求实数a与b的值．
解：由图象可知，函数的图象过点(－3,0)和(0,2)，
∴，解之得b＝4，
a＝2.
一、选择题
1．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( )
A．{x|x>－1} B．{x|x<1}
C．{x|－1解析：由题意得M＝{x|x<1}，N＝{x|x>－1}，
则M∩N＝{x|－1答案：C
2．函数f(x)＝log2(3x＋3－x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．不是奇函数又不是偶函数
解析：∵3x＋3－x>0恒成立．
∴f(x)的定义域为R.又∵f(－x)＝log2(3－x＋3x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．
答案：B
3．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．a>c>b
解析：由图可知a>1，而0b.∴a>c>b.
答案：D
4．已知函数f(x)＝|lgx|.若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：f(x)＝|lgx|的图象如图所示，
由题可设01，
∴|lga|＝－lga，|lgb|＝lgb，
∴－lga＝lgb.
即＝b，∴a＋b＝a＋(0又∵函数y＝x＋(0∴a＋>2.
答案：C
二、填空题
5．对数函数的图象过点(16,4)，则此函数的解析式为________．
解析：设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，则loga16＝4.
∴a4＝16，又∵a>0且a≠1，∴a＝2.即f(x)＝log2x.
答案：f(x)＝log2x
6．已知函数y＝3＋loga(2x＋3)(a>0且a≠1)的图象必经过定点P，则P点坐标________．
解析：∵当2x＋3＝1即x＝－1时，loga(2x＋3)＝0，y＝3，P(－1,3)．
答案：(－1,3)
7．方程x2＝logx解的个数是________．
解析：函数y＝x2和y＝logx在同一坐标系内的图象大致为：
答案：1
8．若实数a满足loga2>1，则a的取值范围为________．
解析：当a>1时，loga2>1＝logaa.
∴2>a.∴1不满足题意．
答案：1三、解答题
9．(1)已知函数y＝lg(x2＋2x＋a)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(2a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
解：(1)因为y＝lg(x2＋2x＋a)的定义域为R，
所以x2＋2x＋a>0恒成立，所以Δ＝4－4a<0，
所以 a>1.故a的取值范围是(1，＋∞)．
(2)依题意(a2－1)x2＋(2a＋1)x＋1>0对一切x∈R恒成立．当a2－1≠0时，
解得a<－.
当a2－1＝0时，显然(2a＋1)x＋1>0，对x∈R不恒成立．
所以a的取值范围是(－∞，－)．
10．已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域：
(2)判断函数的奇偶性．
解：(1)要使函数有意义，则有>0，即
或解得x>1或x<－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，
＋∞)，关于原点对称．
(2)f(－x)＝loga＝loga＝
－loga＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．[读教材·填要点]
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．幂函数的图象和性质
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
图象
定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，＋∞)增x∈(－∞，0]减 增 增 x∈(0，＋∞) 减x∈(－∞,0) 减
公共点 (1,1)
[小问题·大思维]
1．你认为幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)有何区别？
提示：幂函数y＝xα的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y＝ax中，底数是常数，指数是自变量．
2．观察五个幂函数图象，试分析：函数y＝xα在第一象限内的增减性与α有关系吗？
提示：当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上是增函数；当α<0时，在(0，＋∞)上是减函数．
3．幂函数的图象能过第四象限吗？为什么？
提示：不会过第四象限．因为当x>0时，必有y>0，所以幂函数不会过第四象限．
幂函数概念理解及应用
[例1] 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)解析式．
[自主解答] 根据幂函数定义得：
m2－m－1＝1解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上为增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)是减函数不符合要求．
故f(x)＝x3.
将例1中“f(x)是增函数”改为“f(x)是减函数”，求f(x)解析式．
解：由上述解答中可知当m＝－1时f(x)＝x－3在(0，＋∞)是减函数．
∴f(x)＝x－3.
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幂函数y＝xα α∈R ，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数 也可以为0 .这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.对例1来说，还要根据单调性验根，以免增根.
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1．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
解：(1)若f(x)为正比例函数，则
m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，则
m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
幂函数图象及应用
[例2] 如图所示的曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图象，已知α∈.相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为( )
A．－4，－，，4 B．4，，－，－4
C．－，－4,4， D．4，，－4，－
[自主解答] 由图象知C1、C2为增函数，因此其指数应为正，所以只能是B或D正确，又当x＝时，()－＝(2－4)－＝2，()－4＝(2－4)－4＝216，显然216>2，于是在x＝处y＝x－4的图象应在y＝x－之上方，因此由图可见C3应为y＝x－，C4应为y＝x－4.
[答案] B
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1 已知幂函数的图象特征或性质求解析式时，常用待定系数法.
2 对于幂函数y＝xα的图象，在直线x＝1的右侧，若图象越高，则α的值就越大.
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2．点(，2)与点(－2，－)分别在幂函数f(x)、g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
①f(x)＞g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x)．
解：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，
则()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1.
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，
①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，
f(x)>g(x)；
②当x＝1时，f(x)＝g(x)；
③当x∈(0,1)时，f(x)幂函数性质及应用
[例3] 比较下列各组数的大小：
(1)3与3.1；
(2)－8与－()；
(3)(－)与(－)；
(4)4.1，3.8，(－1.9).
[自主解答] (1)函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1, 所以3>3.1.
(2)－8＝－()，
函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，
又>，则()>()，从而－8<－().
(3)(－)＝()，(－)＝()，
函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又>，所以(－)－<(－).
(4)(4.1) >1＝1；0<3.8<1－＝1，
而(－1.9) －<0，所以4.1>3.8>(－1.9).
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比较两个幂的大小的关键是搞清楚底数与指数是否相同，若底数相同，利用指数函数的性质比较大小；若指数相
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3．T1＝()，T2＝()，T3＝()则下列关系式正确的是( )
A．T1C．T2解析：∵T1、T2指数相同，∴由幂函数性质得()>()，即T1>T2，而T1、T3底数相同．则由指数函数的性质得()<()，即T1答案：D
解题高手 妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！
已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．
[巧思] 由图象关于y轴对称可知函数为偶函数，从而3m－9为偶数， 由在(0，＋∞)单调递减可知3m－9<0，由此可以先确定m的值．
[妙解] 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，
所以3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，故有(a＋1) <(3－2a) .
因为y＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a即a的取值范围(－∞，－1)∪(，)．
1．给出四个说法：
①当n＝0时，y＝xn的图象是一个点；
②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)；
③幂函数的图象不可能出现在第四象限；
④幂函数y＝xn在第一象限为减函数，则n<0.
其中正确的说法个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：显然①错误；②中如y＝x－的图象就不过点(0,0)．根据幂函数的图象可知③、④正确．
答案：B
2．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是( )
A．y＝x B．y＝x2
C．y＝x3 D．y＝x－2
解析：∵A、C在(－∞，0)上为增函数；D中y＝x－2＝在(－∞，0)也是增函数．
答案：B
3．函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：∵m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x－3为减函数．
当m＝－1时，f(x)＝x0为常数函数．
答案：A
4．已知幂函数f(x)图象过点(4,2)，则f()＝________.
解析：设幂函数为y＝xα(α为常数)．
∵过点(4,2)，∴2＝4α.∴α＝.
f(x)＝x，∴f()＝()＝.
答案：
5．已知n＝{－2，－1,0,1,2,3}，若(－)n>(－)n，则n＝________.
解析：∵－<－<0且(－)n>(－)n，
∴n＝－1或n＝2都可以．
答案：－1,2
6．若幂函数y＝(m2＋3m－17)·x4m－m2的图象不过原点，则求m的值．
解：由m2＋3m－17＝1得m2＋3m－18＝0，
所以m＝3或m＝－6，当m＝3时，函数为y＝x3，
其图象过原点，不合题意，舍去；
当m＝－6时，函数为y＝x－60，其图象不过原点，符合题意，所以m＝－6.
一、选择题
1．函数y＝x的图象是( )
解析：显然代数表达式“－ (x)＝ (－x)”，说明函数是奇函数．同时由当0＜x＜1时，x＞x，当x＞1时，x＜x.
答案：B
2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )
A．y＝x B．y＝x－
C．y＝x D．y＝x
解析：A中定义域值域都是R；B中定义域值域都是(0，＋∞)；C中定义域值域都是R；D中定义域为R，值域为[0，＋∞)．
答案：D
3．设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为( )
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
解析：当α＝－1时，y＝x－1＝，定义域不是R；
当α＝1,3时，满足题意；
当α＝时，定义域为[0，＋∞)．
答案：A
4．若(a＋1) <(3－2a) ，则a的取值范围是( )
A．(，) B．(，)
C．(，2) D．(，＋∞)
解析：令f(x)＝x＝，∴f(x)的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于解得答案：B
二、填空题
5．函数y＝x与函数y＝x－1的图象交点坐标为________．
解析：y＝x与y＝x－1＝有交点，则x＝x－1，x＝1，则y＝1.
答案：(1,1)
6．①α＝0时，幂函数y＝xα的图象过点(1,1)和(0,0)；②幂函数y＝xα，当α≥0时是增函数；③幂函数y＝xα，当α<0时，在第一象限内，随x的增大而减小，以上命题中，正确的有________．
解析：①中y＝x0＝1，不过(0,0)；②中当α＝0时，y＝x0＝1不是增函数；③正确．
答案：③
7．0.16、0.25、6.25从大到小依次是________．
解析：∵0.25＝0.5<0.16，
0．25＝4<6.25，
6．25＝2.5＝0.4<0.16.
答案：0.25<6.25<0.16
8．函数f(x)＝(x－2) ＋lg(4－x)的定义域为________．
解析：使f(x)有意义的式子为
∴2≤x<4.
答案：{x|2≤x<4}
三、解答题
9．已知幂函数f(x)＝(a2－a＋1)x (a∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，试求实数a的值．
解：由幂函数的定义可知，a2－a＋1＝1，
即a2－a＝0，∴a＝0或a＝1.
则f(x)＝x或f(x)＝x2.
若f(x)＝x，定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，
f(－x)＝(－x) ＝－x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，不符合题意．
若f(x)＝x2，则f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，符合题意，
∴实数a的值为1.
10．已知函数y＝(a2－3a＋2)xa2－5a＋5(a为常数)，问
(1)a为何值时此函数为幂函数？
(2)a为何值时此函数为正比例函数？
(3)a为何值时此函数为反比例函数？
解：(1)由题意得a2－3a＋2＝1，即a2－3a＋1＝0，
∴a＝.
(2)由题意知
∴a＝4.
(3)由题意知
∴a＝3.2．2.1 对数与对数运算 第一课时
第一课时 对数
[读教材·填要点]
1．对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．两类特殊对数
名称 定义 符号
常用对数 以10为底的对数 lgN
自然对数 以e为底的对数 lnN
3.对数与指数间的关系
当a>0，a≠1时，ax＝N x＝logaN.
4．对数的基本性质
性质1 负数和零没有对数
性质2 1的对数是0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)
性质3 底数的对数是1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)
[小问题·大思维]
1．任何指数式都能转化为对数吗？
提示：不能．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9，只有符合a>0，a≠1时，才有ax＝N x＝logaN
2．式子alogaN＝N(a>0，a≠1，N>0)成立吗？为什么？
提示：此式称为对数恒等式．设ab＝N，则b＝logaN，
∴ab＝alogaN＝N.
3．指数式ax＝N和对数式x＝logaN有何区别和联系(其中a>0且a≠1)
提示：二者本质是一样的，都是a、x、N之间的关系式；但二者之间突出的重点不一样，指数式ax＝N中突出的是指数幂N，而对数式x＝logaN中突出的是对数x.
对数概念的理解
[例1] 求下列各式中x的取值范围：
(1)log(2x－1)(x＋2)；
(2)log(x2＋1)(－3x＋8)．
[自主解答] (1)因为真数大于0，底数大于0且不等于1，所以，
解得x>且x≠1.
即x的取值范围是{x|x>且x≠1}；
(2)因为底数x2＋1>0，且x2＋1≠1，所以x≠0；又因为－3x＋8>0，所以x<，综上可知x<，且x≠0.即x的取值范围是{x|x<且x≠0}．
在本例(2)中，若底数与真数中的式子互换，即log(－3x＋8)(x2＋1)，则x的取值范围又如何？
解：因为底数－3x＋8>0且－3x＋8≠1，
所以x<且x≠.又因为x2＋1>0，所以x∈R.
综上可知：x的取值范围是{x|x<且x≠}．
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解决对数式有意义的题时，只要注意满足底数大于0且不为1，真数大于0，然后解不等式即可.
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1．求使得对数log(x－3)(6－x)有意义的x的取值范围．
解：依题意得，
解得3即x的取值范围为{x|3指数式与对数式的互化
[例2] 将下列指数式与对数式互化．
(1)log327＝3；(2)log8＝－3
(3)logx＝5；(4)24＝16；
(5)()－2＝9；(6)2－2＝.
[自主解答] (1)33＝27；(2)()－3＝8；
(3)()5＝x；(4)4＝log216；
(5)log9＝－2；(6)log2＝－2.
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(1)对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图．
(2)在指数式ab＝N中，若已知a，N，求幂指数b，便是对数运算b＝logaN.
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2．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)43＝64； (2)3－2＝； (3)()－3＝64；
(4)log27＝－3； (5)logx＝6.
解：(1)log464＝3.
(2)log3＝－2.
(3)log64＝－3.
(4)()－3＝27.
(5)()6＝x.
对数概念及性质应用
[例3] 求下列各式中x的值．
(1)log2(log4x)＝0；
(2)log3(lgx)＝1；
(3)log－1＝x.
[自主解答] (1)∵log2(log4x)＝0，
∴log4x＝1，∴x＝4.
(2)∵log3(lgx)＝1
∴lgx＝3，∴x＝103.
(3)∵log－1＝log－1(3－2)＝x，
∴(－1)x＝3－2＝(－1)2，
∴x＝2.
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1 解决这类求值问题时，注意几种对数方程的变形：
logaf x ＝0 a>0，且a≠1 f x ＝1；
logaf x ＝1 a>0，且a≠1 f x ＝a；
logf x m＝n m>0，m，n为常数
2 有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”，化为常数，有利于简化计算.
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3．求下列各式中x的值．
(1)logx27＝；
(2)log8x＝－；
(3)x＝log27.
解：(1)∵x＝27，
∴x＝(27) ＝32＝9.
(2)x＝8＝2－2＝.
(3)x＝log27；27x＝.
∴33x＝3－2.∴x＝－.
解题高手 易错题 审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！
已知logx9＝2，求x的值．
[错解] ∵logx9＝2，∴x2＝9，x＝±3.
[错因] 错解中，忽视了底数a>0.导致出现增根．
[正解] ∵logx9＝2，∴x2＝9，x＝±3.
又∵x>0，且x≠1，
∴x＝3.
1．log5b＝2，化为指数式是( )
A．5b＝2 B．b5＝2
C．52＝b D．b2＝5
答案：C
2．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．a>5或a<2 B．2C．2解析：要使式子b＝log(a－2)(5－a)有意义则即2答案：B
3．下列结论正确的是( )
①lg(lg10)＝0 ②lg(lne)＝0 ③若10＝lgx则x＝10
④若e＝lnx，则x＝e2
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
解析：∵lg10＝1，∴lg(lg10)＝0，故①正确；
∵lne＝1，∴lg(lne)＝0，故②正确；
∵10＝lgx，∴x＝1010，故③不正确；
∵e＝lnx，∴x＝ee，故④也不正确；
答案：C
4．若log3＝0，则x＝________.
解析：∵log3＝0，∴＝1,1－2x＝9.
∴－2x＝8.x＝－4.
答案：－4
5．若a>0，a2＝，则loga＝________.
解析：∵a>0，且a2＝，∴a＝.
∴log＝1.
答案：1
6．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1) πx＝8；(2)logx64＝－6；
(3)lg1 000＝3.
解：(1)由πx＝8，得x＝logπ8；
(2)由logx64＝－6，得x－6＝64；
(3)由lg1 000＝3，得103＝1 000.
一、选择题
1．已知logx8＝3，则x的值为( )
A. B．2
C．3 D．4
解析：由logx8＝3，得x3＝8，∴x＝2.
答案：B
2．方程2log3x＝的解是( )
A．9 B.
C. D.
解析：∵2log3x＝＝2－2.
∴log3x＝－2.
∴x＝3－2＝.
答案：D
3．若logx＝z则( )
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7x D．y＝z7x
解析：由logx＝z得：xz＝，y＝x7z.
答案：B
4．log5[log3(log2x)]＝0，则x等于( )
A. B.
C. D.
解析：∵log5[log3(log2x)]＝0，
∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3.
∴x＝23＝8.
∴x＝8＝＝＝.
答案：C
二、填空题
5．log6[log4(log381)]＝________.
解析：设log381＝x，则3x＝81＝34，
∴x＝4，∴原式＝log6[log44]＝log61＝0.
答案：0
6．log＝________.
解析：设log＝x，则()x＝＝()－3，
∴x＝－3.∴log＝－3.
答案：－3
7．已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.
解析：由 x＝log32，无解．
答案：log32
8．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.
解析：∵loga2＝m，∴am＝2，∴a2m＝4，又∵loga3＝n，
∴an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an＝4×3＝12.
答案：12
三、解答题
9．求下列各式中x.
(1)log2x＝－；
(2)log5(log2x)＝0.
解：(1)x＝2＝()
(2)log2x＝1，x＝2.
10．已知二次函数f(x)＝(lga)x2＋2x＋4lga的最大值为3，求a的值．
解：原函数式可化为
f(x)＝lga(x＋)2－＋4lga.
∵f(x)有最大值3，∴lga<0，且－＋4lga＝3，
整理得4(lga)2－3lga－1＝0，
解之得lga＝1或lga＝－.
又∵lga<0，∴lga＝－.∴a＝10.2．1.1 指数与指数幂的运算
[读教材·填要点]
1．根式及相关概念
(1)a的n次方根定义：
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示：
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 a∈R
n为偶数 ± [0，＋∞)
(3)根式：
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
2．根式的性质
(1)＝0(n∈N*，且n＞1)；
(2)()n＝a(n∈N*，且n＞1)；
(3)＝a(n为大于1的奇数)；
(4)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
3．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂 规定：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
性质 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
4.有理数指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
5．无理数指数幂
无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
[小问题·大思维]
1．根式一定是无理式吗？
提示：根式不一定为无理式，如为无理式，而＝|x＋1|为有理式．
2．下列说法正确的有哪几个？
①64的6次方根是2；②的运算结果是±2；③负数没有偶次方根．
提示：64的6次方根是±2；＝2；③正确．故只有③正确．
3.与()n有什么区别？其中实数a的取值各有什么限制？
提示：(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子， 不受n的奇偶性的限制，a∈R，
(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值与n的奇偶性有关；当n为大于1的奇数时，a∈R；当n为大于1的偶数时，a≥0.
根式的性质
[例1] 求下列根式的值．
(1)； (2)
(3)； (4)
[自主解答] (1)＝2；
(2)＝2－π；
(3)＝|x＋1|＝
(4)＝x－6
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1
要解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式，还是偶次根式.
2 为使开偶次方后不出现符号错误，第一步先用绝对值表示开方的结果，第二步再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.
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1．求下列各式的值：
(1)；
(2)＋(a＜b＜0，n＞1，n∈N*)．
解：(1)＝＝＝3＝.
(2)当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；
当n为偶数时，因为a＜b＜0，
所以a－b＜0，a＋b<0，
所以原式＝－(a－b)－(a＋b)＝－2a.
所以＋
＝.
根式与分数指数幂的互化
[例2] 将下列根式化成分数指数幂形式．
(1)·； (2)；
(3)·； (4)()2·.
[自主解答] (1)·＝；
(2)原式＝a·a·a＝a；
(3)原式＝a·a＝a；
(4)原式＝(a)2·a·b＝ab.
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在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：，其中字母a要使式子有意义.
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2．用分数指数幂表示下列各式：
(1)·(a<0)；
(2)(a，b>0)；
(3)() (b<0)；
(4)(x≠0)．
解：(1)原式＝a·(－a)
＝－(－a) ·(－a) ＝－(－a) (a<0)；
(2)原式＝＝
＝()＝ab (a，b>0)
(3)原式＝b＝(－b) (b<0)
(4)原式＝＝＝x.
分数指数幂的运算
[例3] 计算下列各式：
(1)(2)0＋2－2·(2)－(0.01)0.5；
(2)(0.064) －(－)0＋[(－2)3] ＋16－0.75；
(3)()· (a＞0，b＞0)．
[自主解答] (1)原式＝1＋×()－()＝1＋－＝.
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.
(3)原式＝·a·a·b·b＝a0b0＝.
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1 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号；底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
2 根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.
3 对于含有字母的化简求值结果，一般用分数指数幂的形式表示.
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3．计算下列各式：
(1)(2)0.5＋(0.1)－2＋(2)＋3π0＋；
(2)；
(3)0.0256－0＋()·(2)－160.75.
解：(1)原式＝()0.5＋()－2＋()＋3＋
＝＋100＋＋3＋
＝＋103
＝＋103＝3＋103＝106.
(2)原式＝52·5·5·5
＝52＋
＝5
(3)原式＝2.5－1＋2·2－23
＝1.5＋2－23
＝1.5
解题高手 易错题 审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！
化简：(1－a)[(a－1)－2(－a)]
[错解] (1－a)[(a－1)－2(－a) ]＝(1－a)(a－1)－2× (－a) ×＝(1－a)(a－1)－1(－a)＝－(－a) .
[错因] 错解中忽略了题中(－a) 有意义的条件，若(－a) 有意义，则－a≥0，故a≤0，这样[(a－1)－2] ＝(1－a)－1.
[正解] 由(－a) 有意义可知－a≥0，故a≤0，
所以(1－a)[(a－1)－2(－a) ]
＝(1－a)[(a－1)－2] ·[(－a) ]
＝(1－a)(1－a)－1(－a)
＝(－a) .
1．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( )
A．－＝(－x) (x≠0)
B．x＝－
C．()＝(xy≠0)
D.＝y (y<0)
解析：A：－＝－x；
B：x＝
C：()＝()＝正确．
D：＝(－y) (y<0)
答案：C
2．当有意义时，化简－的结果为( )
A．2x－5 B．－2x－1
C．－1 D．5－2x
解析：有意义则x≤2.原式＝－＝2－x－(3－x)＝2－3＝－1.
答案：C
3．计算(2a－3b)·(－3a－1b)÷(4a－4b)得( )
A．－b2 B.b2
C．－b D.b
解析：原式＝＝－b2.
答案：A
4.＝________.2＝________.
答案：7 9
5．计算：(π)0＋2－2×(2)＝________.
解析：原式＝1＋×()＝1＋×＝1＋＝.
答案：
6．计算：＋－.
解：＋－
＝?eq \r((\r(3))2＋2\r(3)·\r(2)＋(\r(2))2＋－
＝＋－
＝|＋|＋|2－|－|2－|
＝＋＋2－－2＋
＝2.
一、选择题
1．已知m10＝3，则m等于( )
A. B.
C．± D．3 10
答案：C
2．计算[(－)－2]的结果是( )
A. B．－
C. D．－
解析：[(－)－2] ＝(2－1) ＝2＝.
答案：A
3．函数f(x)＝(x－5)0＋(x－2) 的定义域为( )
A．{x|25} B．{x|x>2}
C．{x|x>5} D．{x|x≠5且x≠2}
解析：使得函数有意义则，即x>2且x≠5.
答案：A
4．x＝1＋2b，y＝1＋2－b，则y等于( )
A. B.
C. D.
解析：∵x＝1＋2b，∴2b＝x－1.
又y＝1＋2－b＝1＋＝＝
＝.
答案：D
二、填空题
5．化简： 4ab÷(－ab)＝________.
解析：原式＝－6a－()b－()＝－6a.
答案：－6a
6．计算：()－2＋(1－)0－(3)＋＝________.
解析：原式＝＋1－()2＋π－3＝π－2.
答案：π－2
7．若2x＋2－6×2x－1－8＝0，则x＝________.
解析：令2x＝t，则原方程可化为4t－3t－8＝0，t＝8.
∴2x＝8.即x＝3.
答案：3
8．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y＝________.
解析：由2x＝8y＋1得2x＝23y＋3，
所以x＝3y＋3①
由9y＝3x－9得32y＝3x－9，
所以2y＝x－9②
由①②联立方程组，
解得x＝21，y＝6，
所以x＋y＝27.
答案：27
三、解答题
9．化简：
(1)÷÷；
(2)÷(1－2)×.
解：(1)原式＝÷÷
＝÷÷
＝a÷(a)÷(a－2)
＝a÷a÷a
＝a÷a
＝a÷a
＝a＋
＝a.
(2)原式＝÷×a
＝eq \f(a a－2b a＋2ab＋4b ,4b＋2ab＋a)··a
＝a·a·a＝a.
10．已知a＋a＝，求下列各式的值：
(1)a＋a－1； (2)a2＋a－2； (3)a2－a－2.
解：(1)将a＋a＝两边平方，得a＋a－1＋2＝5，则a＋a－1＝3.
(2)由a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，则a2＋a－2＝7.
(3)设y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，所以y＝±3 ，
即a2－a－2＝±3 .2．2.1 对数与对数运算 第二课时
第二课时 对数的运算
[读教材·填要点]
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)logaMN＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
2．对数换底公式
logab＝(a>0，a≠1，b>0，c>0，c≠1)．
[小问题·大思维]
1．如果将“M>0，N>0”改为“MN>0”，则性质(1)和(2)还成立吗？
提示：不能．当M<0，N<0时，性质(1)和(2)都不成立．
2．若a>0，b>0，a≠1，b≠1，那么logab·logba为何值？
提示：logab·logba＝·＝1.
3．若logab有意义，如何用logab表示loganbn和logambn(其中m≠0，n≠0)
提示：loganbn＝＝＝＝logab；
logambn＝＝＝logab.
对数运算性质的应用
[例1] 求下列各式的值．
(1)31＋log36－24＋log23＋103lg3＋()log34－1；
(2)(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2·lg5；
(3)lg500＋lg－lg64＋50(lg2＋lg5)2.
[自主解答] (1)原式＝3·3log36－16·2log23＋10lg27＋32－log316＝18－48＋27＋＝－.
(2)原式＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2]＋3lg2·lg5
＝(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2＋3lg2·lg5
＝(lg2＋lg5)2＝1.
(3)法一：原式＝lg(500×)－lg＋50[lg(2×5)]2＝lg800－lg8＋50
＝lg＋50＝lg100＋50
＝2＋50＝52.
法二：原式＝lg5＋lg100＋lg8－lg5－lg82＋50＝lg100＋50＝52.
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1 在应用对数运算性质时，应注意保证每个对数式都有意义.
2 对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：
①“收”，将同底的两对数的和 差 收成积 商 的对数；
②“拆”，将积 商 的对数拆成对数的和 差 .
3 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
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1．求下列各式的值．
(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)2log32－log3＋log38－5log53.
解：(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.
(2)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2log33)－3＝－1.
换底公式的应用
[例2] (1)计算：(log43＋log83)·；
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
[自主解答] (1)原式＝(＋)·
＝·＋·＝＋＝.
(2)因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是
法一：log3645＝＝
＝＝.
法二：lg9＝alg18，lg5＝blg18，所以log3645＝＝＝＝＝.
保持例2(2)条件不变，求log3036的值．
解：∵18b＝5，∴log185＝b.
∴log3036＝＝
＝＝＝.
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1 利用换底公式可以把不同底的对数化为同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.
2 题目中有指数式与对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式.
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2．求值：(log32＋log92)(log43＋log83)
解：(log32＋log92)(log43＋log83)
＝＝
＝×＝×＝.
对数的综合应用
[例3] 已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.
(1)求p；
(2)求证－＝.
[自主解答] 设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，
(1)由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·，
∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(2)－＝－＝logk6－logk3＝logk2
＝logk4＝，∴－＝.
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解决此类问题的关键是利用对数运算性质，去掉对数符号，找出变量之间的关系或求出它们的值，再代入要求式，运算即可.
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3．设7a＝8b＝k，且＋＝1，则k＝________.
解析：∵7a＝k，∴a＝log7k,8b＝k，∴b＝log8k.
∴＋＝logk7＋logk8＝logk56＝1.∴k＝56.
答案：56
解题高手 易错题 审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！
已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求log 的值．
[错解] ∵lg x＋lg y＝2lg(x－2y)
∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.
即(x－y)(x－4y)＝0，∴x＝y或x＝4y.
即＝1或＝4.∴log＝0或log＝4.
[错因] 忽略了对数的真数必须大于0这一前提，因而出现了0和4这两个结果．
[正解] 由已知得xy＝(x－2y)2，
即(x－y)(x－4y)＝0，
得x＝y或x＝4y.
∵x>0，y>0，x－2y>0，
∴x>2y>0.
∴x＝y应舍去，∴x＝4y即＝4.
∴log＝log4＝4.
1．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是( )
①logax2＝2logax；②logax2＝2loga|x|；
③loga(xy)＝logax＋logay；
④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.
A．②④ B．①③
C．①④ D．②③
解析：∵xy>0.∴①中若x<0则不成立；③中若x<0，y<0也不成立．
答案：B
2．(log29)·(log34)＝( )
A. B.
C．2 D．4
解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4.
答案：D
3．已知lg2＝a，lg3＝b，则log36＝( )
A. B.
C. D.
解析：log36＝＝＝.
答案：B
4．已知log23＝a,3b＝7，则log1256＝________.
解析：∵3b＝7，∴b＝log37，
∴log1256＝＝＝
又∵log23＝a，∴log32＝.
原式＝＝＝.
答案：
5．若lgx－lgy＝a，则lg()3－lg()3＝________.
解析：∵lgx－lgy＝a，
∴lg()3－lg()3＝3(lg－lg)
＝3(lgx－lgy)＝3a.
答案：3a
6．计算下列各式的值．
(1)log2＋log212－log242；
(2)log225·log34·log59.
解：(1)原式＝log2＝log2＝－.
(2)原式＝log252·log322·log532
＝8log2·5log32·log53
＝8··＝8.
一、选择题
1．lg 8＋3lg 5的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：lg 8＋3lg 5＝3lg 2＋3lg 5＝3(lg 2＋lg 5)＝3lg 10＝3.
答案：D
2．若log34·log8m＝log416，则m等于( )
A．3 B．9
C．18 D．27
解析：原式可化为：log8m＝
∴log2m＝2log43，∴m＝3.m＝27.
答案：D
3．已知a＝log32，用a来表示log38－2log36( )
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
解析：log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)
＝3a－2(a＋1)＝a－2.
答案：A
4．已知方程x2＋xlog26＋log23＝0的两根为α、β，则()α·()β＝( )
A. B．36
C．－6 D．6
解析：由题意知：α＋β＝－log26，()α·()β＝()α＋β＝()－log26＝4log26＝22log26＝36.
答案：B
二、填空题
5．2(lg)2＋lg·lg 5＋＝________.
解析：原式＝2(lg)2＋lg·lg 5＋1－lg
＝2(lg)2＋lg(lg 5－1)＋1
＝2(lg )2－2(lg)2＋1＝1.
答案：1
6．设g(x)＝，则g(g())＝________.
解析：∵>0，∴g()＝ln.
而g(g())＝g(ln)＝eln＝.
答案：
7．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________．
解析：由题意知解之得x＝4.
答案：x＝4
8．已知x3＝3，则3log3x－logx23＝________.
解析：3log3x＝log3x3＝log33＝1，
而logx23＝logx33＝log33＝，
∴3log3x－logx23＝1－＝－.
答案：－
三、解答题
9．计算下列各式的值：
(1)；
(2)lg2＋lg50＋31－log92；
(3)2log2＋()＋lg20－lg2－(log32)·(log23)＋(－1)lg1.
解：(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝lg2＋lg＋3×3－log322
＝lg2＋(2－lg2)＋3×3log32
＝2＋3×3log32
＝2＋3×2＝2＋.
(3)原式＝＋[()2] ＋lg－·＋1
＝＋()－1＋lg10－1＋1＝2.
10．设3x＝4y＝36，求＋的值．
解：由已知分别求出x和y，
∵3x＝36,4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
由换底公式得：x＝＝，
y＝＝，
∴＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364
＝log36(32×4)＝log3636＝1.