2022-2023学年人教版八年级数学上册12.3 角的平分线的性质 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
12.3 角的平分线的性质
小明家刚好位于两条公路所成角的平分线上，现在小明要步行到公路上坐车去两条公路交汇处的超市。
助
人
为
乐
公路2
公路1
问题2：你知道走哪条路最
近吗？
超市
用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕.
动手与操作
趣
味
折
纸
公路2
公路1
超市
=
数
据
收
集
PD PE
第一位同学
第二位同学
第三位同学
…
观察表格中的数据说说你有什么发现？
重
大
发
现
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
当真如此吗？
公路2
公路1
超市
验
证
猜
想
几何模型
2
1
O
A
B
P
你能用所学过的方法证明PA=PB吗？
证明：∵ OP是∠AOB的平分线
∴∠1=∠2
在△OAP和△OBP中
∠1= ∠2（已证）
∴ △ OAP≌ △ OBP（AAS）
∴ PA=PB（全等三角形对应边相等）
∵ PA⊥OA于A，PB⊥OB于B
∴∠OAP=∠OBP=90°
∠ OAP= ∠ OBP（已证）
OP=OP（公共边）
探
究
结
果
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质
PD ⊥OA于D ，
PE ⊥OB于E
∵OP平分∠AOB
∴PD=PE.
几何语言：
一平分 两垂直 得相等
（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
A
O
B
P
E
D
角平分线有什么性质？
猜一猜
角平分线线上的点到角的两边的距离相等。
通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？
已知：∠AOC = ∠BOC，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别为D，E．
求证：PD =PE．
A
B
O
P
C
D
E
证一证
已知：∠AOC= ∠BOC ，点P在OC上，PD⊥OA于D，
PE⊥OB于E．
求证: PD=PE．
O
A
B
E
D
P
C
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
证明：
∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°
在△POD 和 △PEO 中
　
∴ △PDO ≌△PEO（AAS）
　
∠ PDO＝∠PEO
∠ AOC＝∠BOC
OP=OP
∴ PD＝PE
　 由角的平分线的性质的证明过程，你能概
括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号
表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途
径，写出证明过程．
归纳
　　角的平分线的性质的作用是什么？
　　主要是用于判断和证明两条线段相等，与以
前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角
形全等．
思考
例题学习
　例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
证明：过点P作PD⊥AB于D，
PE⊥BC于E，PF⊥AC于F.
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
解决问题
S
公路
铁路
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
B
A
E
D
C
F
◆证明： ∵AD平分∠CAB
DE⊥AB ，DF⊥AC(已知)
∴DE=DF (角平分线的性质)
在Ｒt△BED和Rt△CFD中,
　　 BD=CD （已证）
DE=DF （已知）
∴ Rt△ BED ≌Rt△CFD (HL)
∴ BE=FC （全等三角形对应边相等）
回味无穷
性质 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
几何语言：
∵OC是∠AOB的平分线,
P是OC上任意一点 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
课堂 小结
P
A
O
B
C
E
D
1
2