第三章《概率的进一步认识》单元质量检测试卷B（含答案）

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北师大版2022-2023学年九年级（上）第三章概率的进一步认识检测试卷B
(时间120分钟，满分120分)
一、选择题（共12小题；每小题3分，共36分）
1. 如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成了面积相等的四个区域，每个区域内分别填上数字 ，，，．甲、乙两同学玩转盘游戏，规则如下：固定指针，同时转动两个转盘，任其自由转动，当转盘停止时，把左边转盘上指针指向的数字作为底数，把右边转盘上指针指向的数字作为指数，若指针指向分界线，则重新转动．若所得的幂为奇数，则甲获胜；若所得的幂为偶数，则乙获胜，那么该游戏
A. 对甲有利 B. 对乙有利
C. 公平 D. 公平性无法确定
2. 向上随意抛掷两枚硬币，硬币落地后可能出现的等可能结果是
A. （正，正）、（正，反）
B. （正，正）、（反，反）
C. （正，正）、（正，反）、（反，反）
D. （正，正）、（正、反）、（反、正）、（反，反）
3. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了折线统计图如图，则符合这一结果的试验最有可能的是
A. 袋中装有大小和质地都相同的 个红球和 个黄球，从中随机取一个，取到红球
B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都反面朝上
D. 先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是 或超过
4. 不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“”“，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球．记录其数字，放回并摇匀．再从中随机摸出一个小球，记录其数字．那么两次记录的数字之和为 的概率是
A. B. C. D.
5. 在一个不透明的盒子里装有 个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 ，那么估计盒子中黄球的个数为
A. B. C. D.
6. 用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为 ，下列说法正确的是
A. 种植 棵幼树，结果一定是“ 棵幼树成活”
B. 种植 棵幼树，结果一定是“ 棵幼树成活”和“ 棵幼树不成活”
C. 种植 棵幼树，恰好有“ 棵幼树不成活”
D. 种植 棵幼树，当 越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于
7. 有四个一模一样的小球，其中三个小球上面分别标有数字 ，，，小明和小亮各摸一个，前一个人随机摸一个小球记下数字后放回，混合均匀，后一个人再随机摸一个小球，如果两人摸得小球的数字之和为 的概率为 ，那么第四个小球上的数字是
A. B. C. 或 D.
8. “田忌赛马”的故事家喻户晓，若田忌出马的顺序一直是下等马、中等马、上等马（上等马跑得最快，中等马次之，下等马跑得最慢），而齐王随机出马，则田忌获胜（三局两胜则为胜）的可能性是
A. B. C. D.
9. 某地新高考有一项“ 选 ”选课制，高中学生李鑫和张锋都已选了地理和生物，现在他们还需要从“物理、化学、政治、历史”四科中选一科参加考试．若这四科被选中的机会均等，则他们恰好一人选物理，另一人选化学的概率为
A. B. C. D.
10. 从长度分别为 ，，， 的四条线段中任取三条为边，能构成三角形的概率为
A. B. C. D.
11. 小刚一家三口参加“懂法纪，知敬畏”网上答题活动，每人获得一次抽奖机会：有三个彩球，分别代表特等奖，一等奖，谢谢参与，随机点击其中一个，翻开即为所得奖项．三人都随机点击其中一个，则三人获得的奖项都不相同的概率是
A. B. C. D.
12. 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是　　
A. 频率就是概率
B. 频率与试验次数无关
C. 概率是随机的，与频率无关
D. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
二、填空题（共6小题；每小题4分，共24分）
13. 有 根细木棒，长度分别为 ，，，，从中任选 根，恰好能搭成一个三角形的概率是 ．
14. 一个暗箱中装有只有颜色不同的 （）个布娃娃，分别是 个白娃娃、 个绿娃娃， 个红娃娃和 个黄娃娃，从中任意拿出一个布娃娃，记下颜色后放回，经过大量重复试验，把拿出白娃娃，绿娃娃，红娃娃的频率绘制成如图所示的条形统计图（未绘制完整）．根据题中给出的信息，暗箱中黄娃娃的个数为 ．
15. 从 位男同学和 位女同学中任选 人参加志愿者活动，所选 人中恰好是一位男同学和一位女同学的概率是 ．
16. 小杰和小明玩扑克牌，各出一张牌，谁的牌数字大谁赢，同样大就平．小杰手中有牌 ，，，小明手中有牌 ，，．这时每人任出一张牌，小杰获胜的概率是 ．
17. 《中国地名大会》是中央广播电视总台制作的中国首档大型地名文化类节目，旨在弘扬民族文化、提升民族自豪感．一个题目如下：
甲、乙两名同学都不会这个题目，就随机选择一个答案，他们选取的答案恰好都是正确答案 的概率为 ．
18. 某水果公司以 元/千克的成本价购进 苹果．公司想知道苹果的损坏率，从所有苹果中随机抽取若干进行统计，部分结果如表：
估计这批苹果损坏的概率为 （精确到 ），据此，若公司希望这批苹果能获得利润 元，则销售时（去掉损坏的苹果）售价应至少定为 元/千克．
三、解答题（共7小题；共60分）
19. （8分）甲乙两人玩骰子，他们各自掷一枚骰子，对掷出的两个数进行某种运算，根据运算的结果来定胜负．但进行什么样的运算才公平，两人争论不休．后来他们提出了下面两个方案：
①两数之和等于 时甲胜，两数之和等于 时乙胜；
②两数之和大于 时甲胜，两数差的绝对值小于 时乙胜．
请你用树形图分析这两个方案．这样的方案公平吗 如果不公平，试修改相应的规则，使游戏变得公平．
20. （8分）北京举行了第 届冬季奥林匹克运动会，成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．下图分别是冬奥会吉祥物“冰墩墩”、吉祥物“雪容融”、会徽“冬梦”、会徽“飞跃”．王老师制作了 张正面分别印有这四个图案的卡片（卡片的形状、大小、颜色和质地等都相同），并将这 张卡片背面朝上洗匀．
（1）小刚从这 张卡片中任意抽出一张卡片，再从剩下的卡片中任意抽出一张卡片，请利用树形图求抽出的两张卡片上的图案都是吉样物的概率．
（2）小杰从这 张卡片中任意抽出一张卡片，放回洗匀后，再从中任意抽出一张卡片，请利用树形图求抽出的两张卡片上的图案都是吉祥物的概率．
21. （8分）嫦娥、神舟、北斗、天问被称为中国航天的“四大天王”．自 年以来，“北斗”组网、“天问”问天、“嫦五”探月 一个个好消息从太空传来，照亮了中国航天界的未来！小明对航空航天非常感兴趣，他收集到了嫦娥五号、神舟十一号、北斗三号、天问一号的模型图，依次制成编号为 ，，， 的四张卡片（如图所示），卡片的背面完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从四张卡片中任取一张卡片恰好是“编号为 （北斗三号）”的概率是 ；
（2）小明从四张卡片中任取一张卡片，不放回，再从余下的卡片中任取一张，请写出所有的等可能结果，并求取出的两张卡片恰好是编号为 （嫦娥五号）和 （天问一号）的概率．
22. （8分）小明和小亮做游戏，他们利用地上的图案（如图），蒙上眼睛在一定距离处向该图案内掷小石子，掷中阴影区域则小明赢，否则小亮贏，掷到图案外不计结果．如表是游戏中统计的数据．
（1）估计石子落在“阴影”区域的概率；
（2）小明、小亮获胜的机会分别约为多大
（3）若圆的半径为 ，试估计地上该图案（不包括圆）的面积．
23. （8分）如图是由六个全等三角形组成的图形，每个三角形分别记为 ，，，， 和 ．每个三角形上需要标注一个数字，如果六个三角形上的数字之和为 ，那么称该图形是”和谐图形”．已知其中 ，，， 四个三角形上的数字之和为 ，现同时从数字 ，，， 和 中任取两个不同的数字分别标在 和 两个三角形上，求恰好使该图形为“和谐图形”的概率．
24. （8分）田忌赛马
【阅读材料】
“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》．
原文：忌数与齐诸公子驰逐重射，孙子见其马足不甚相远，马有上、中、下辈，于是孙子谓田忌曰：“君弟重射，臣能令君胜，”田忌信然之，与王及诸公子逐射千金，及临质，孙子曰：“今以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下驷”既驰三辈毕，而田忌一不胜而再胜，卒得王千金．
译文：田忌屡次与齐国几位贵公子下很重的赌注赛马，孙膑见田忌的马的足力与对手的马匹相差不远，这些马匹分上、中、下三等．于是子膑对田忌说：“您只管下大赌注，我能让您取胜．”田忌相信孙膑的话，就和齐王及各位公子下了千金的赛马赌注．等到临近比赛，孙膑说：”今天用您的下等马匹与他们的上等马匹比，用您的上等马匹和他们的中等马匹比，用您的中等马匹与他们的下等马匹比.”双方赛马完毕，田忌一负二胜，终于赢得齐王千金，
【构建模型】
根据以上史料，可构建如下数学模型：
设齐王的上等马、中等马、下等马分别为 ，，，田忌的上等马、中等马、下等马分别为 ，，，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注： 表示 马与 马比赛， 马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上等马、中等马、下等马，并采用孙膑的策略：分别用下等马、上等马、中等马与齐王的上等马、中等马、下等马比赛，即借助对阵（，，）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例，“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．
（1）【问题解决】
试回答以下问题：
．如果双方事先不打探“出马”情况，随机“出马”．假设第一局齐王派“上等马”出赛，那么田忌第一局取得胜利的事件是 事件；
．如果田忌事先只打探到齐王第一局将出“上等马”，那么田忌第一局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利 并求其获胜的概率；
．如果在比赛之前，双方都不知道对方的“出马”顺序，请你用树形图分析，求出在第一局中田忌取得胜利的概率；
．如果田忌事先无法打探到齐王各局的出马情况，那么田忌必败无疑吗 请你用所学的概率知识，和小组同伴一起分析比赛的情形，以小论文形式呈现你们的结论．
（2）【实际应用】
“双减”政策下，各所学校都在开展丰富多彩的社会实践活动．上海这座城市拥有丰富的红色文化资源，红色文化能传承优良革命传统，为提高上海红色文化的育人成效，寓红色文化教育于学校教育之中，某校决定开展“追寻先烈遗迹，重温红色记忆”的主题实践活动．
一天，小明、小丽相约去参观中共一大会址．已知始发车站每天某一时间段有三辆不同的公交车开往三个不同的终点站，各终点站都是在中共一大会址附近的，但是不同的公交车终点站下车后走到一大会址的路程不同，发车的顺序是随机的．把这三辆车按终点站下车后步行至中共一大会址的距离远近依次记为远距车、中距车、近距车三种类型．
已知三辆车从始发站到一大会址较近车站的车程时间都为 分钟，近距车终点站下车后步行 分钟到达一大会址，中距车终点站下车后步行 分钟到达一大会址，远距车终点站下车后步行 分钟到达一大会址，且每辆车间隔 分钟发车.两位同学同一时间在始发站候车，发车的顺序是随机的，当第一辆车即将发车前，站台屏幕上就显示三辆车的发车顺序．小丽决定坐第一辆出发的车，小明想根据发车顺序计算到一大会址用时最少的公交车．请尝试解决下列问题：
．三辆车按出现的先后顺序共有哪几种等可能结果
．请分别求出小丽、小明乘坐近距车前往一大会址的概率.
25. 件同型号的产品中，有 件不合格品和 件合格品．
（1）从这 件产品中随机抽取 件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这 件产品中随机抽取 件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这 件产品中加入 件合格品后，进行如下实验：随机抽取 件进行检测，然后放回，多次重复这个实验，通过大量重复实验后发现，抽到合格品的频率稳定在 ，则可以推算出 的值大约是多少
答案
第一部分
1. C
【解析】列表如下：
由表格可知，共有 种等可能的情况，幂为奇数．偶数各有 种情况，
所以在该游戏中甲、乙获胜的概率都是 ，游戏公平．
2. D
【解析】一共有 种情况，如图所示：
3. D
【解析】由题中的折线统计图可知，随着试验次数的增加，该结果出现的频率稳定在 附近，可估计该结果出现的概率为 ．袋中装有大小和质地都相同的 个红球和 个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为 ，故A不符合题意；
掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为 ，故B不符合题意；
先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都反面朝上的概率为 ，故C不符合题意；
先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是 或超过 的概率为 ，故D符合题意．
4. C
【解析】列表如下：
由上表可知，共有 种等可能的结果，其中两次记录的数字之和为 的结果有 种，所以两次记录的数字之和为 的概率为 ．
故选C．
5. B
【解析】设盒子中黄球的个数为 ，
通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 ，
估计任意摸出一个球，是黄球的概率为 ．
根据题意，得 ，
解得 ，
即盒子中黄球的个数为 ．
6. D
【解析】用频率估计的概率是在大量重复试验中得到的概率的近似值．可知A，B，C错误，D正确．故选D．
7. C
【解析】设第四个小球上的数字为 ，画树状图如下：
共有 种等可能的结果，而两人摸得小球的数字之和为 的概率为 ，则两人摸得小球的数字之和为 的结果有 种．分析树状图知 ，当 时不符合，当 时，，，符合；当 时，，，符合，所以第四个小球上的数字为 或 ．故选C．
8. D
【解析】当齐王的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下：
分析可以知道，田忌赢得比赛的可能性是 ．
9. A
【解析】设“物理、化学、政治、历史”分别用A，B，C，D表示，画树状图如下：
共有 种等可能的结果，其中李鑫和张锋恰好一人选物理，另一人选化学的结果有 种，
所以李鑫和张锋恰好一人选物理，另一人选化学的概率为 ．
10. C
【解析】 可能的结果有 ，，，，共 种，而能构成三角形的只有 这 种结果，
．
11. D
【解析】用 ，， 分别表示特等奖，一等奖和谢谢参与，画树状图如下：
由树状图可知，共有 种等可能的结果，三人获得的奖项都不相同的结果有 种
．故选D．
12. D
【解析】【分析】根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答．
【解析】解：大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率，
选项说法正确．
故选：．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率．
第二部分
13.
【解析】从 根细木棒中任选 根，有 ，，；，，；，，；，，，共 种选法，恰好能搭成一个三角形的有 ，，；，，；，，，共 种，
故恰好能搭成一个三角形的概率是 ．
14.
【解析】由题中条形统计图可知，拿出绿娃娃的频率为 ，估计从中任意拿出一个布娃娃，恰好拿出的是绿娃娃的概率为 ，
，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，
暗箱中黄娃娃的个数为 ．
15.
【解析】根据题意画树状图：
共有 种可能的结果，所选 人中恰好是一位男同学和一位女同学的情况有 种，
所选 人中恰好是一位男同学和一位女同学的概率为 ．
16.
17.
【解析】列表如下：
由表格可知，共有 种等可能的结果，其中两人都选择 的结果有 种，
所以他们选取的答案恰好都是正确答案 的概率为 ．
18. ，
【解析】根据表中的损坏的频率，当实验次次数的增多时，苹果损坏的频率越来越稳定在 左右，所以苹果的损坏概率为 ．
根据估计的概率可以知道，在 苹果中完好苹果的质量为 ．
设每千克苹果的销售价为 元，
则应有 ，
解得 ．
第三部分
19.
掷两枚骰子共有 个等可能结果，“两数之和为 ”有 种结果，“两数之和为 ”有 种结果；“两数和大于 ”有 种结果，“两数差的绝对值小于 ”有 ，，，，，，，，，，，，，，，，共 种结果．
设事件 ：“两数之和等于 ”；事件 ：“两数之和等于 ”．
，，
，方案①不公平．
设事件 ：“两数之和大于 ”；事件 ：“两数差的绝对值小于 ”．，．
，
方案②不公平．
使得游戏公平的规则不唯一，如“两数之和等于 时甲胜，两数之和等于 时乙胜”；“两数差等于 时甲胜，两数差的绝对值等于 时乙胜”．
20. （1）
设事件 ：“抽出的两张卡片上的图案都是吉祥物”．
．
（2）
设事件 ：“抽出的两张卡片上的图案都是吉祥物”．
．
21. （1）
（2） 试验出现的等可能结果共有 个：
“，”；“，”；“，”；“，”；“，”；“，”；“，”；“，”；“，”；“，”；“，”；“，”．
设事件 ：“取出的两张卡片恰好是编号为 （嫦娥五号）、编号为 （天问一号）”
．
22. （1） 随着游戏次数的增加，石子落在“阴影”区域的频率逐渐稳定在 附近，估计石子落在“阴影”区域的概率为 ．
（2） 小明获胜的机会约为 ，小亮获胜的机会约为 ．
（3） 圆的半径为 ，
圆的面积为 ，
由题意可知 ，
，
．
23. 画树形图．
总结果数为 ，和为 的结果数为 ，故所求概率为 ．
24. （1） ．不可能；
．田忌第一局出“下等马”才能获胜，此时比赛所有可能的对阵为：（，，），（，，），（，，），（，，），其中获胜两场，所以田忌获胜的概率为
．
将第一局中田忌取得胜利的事件记为事件
．田忌未必输，分析需分类讨论：
总结：实际竞赛中，
如果第一轮出现了：齐上-田下，齐中-田上，齐下-田中，此时田忌有可能赢；
如果第一轮出现了：齐上-田上，齐上-田中，齐中-田中，齐中-田下，齐下-田上，齐下-田下，则后续无论怎么出马，始终齐王胜．
设齐王的出马顺序是 ，，，，， 共有 种，同理，田忌的出马顺序也是 种，以一种情况为例．
将田忌取得胜利的事件记为事件 ，
故田忌取得胜利的概率是 ．
（2） ．列表如下：
三辆车按出现的先后顺序共有 种等可能的结果；
．小丽采用的方案使自己乘近距车的概率 ：
小明采用的方案使自己乘近距车的概率 ．
25. （1） 件同型号的产品中，有 件不合格品，
．
（2） 这 件产品中随机抽取 件进行检测，抽到的都是合格品的概率为 ．
（3） 大量重复实验后发现，抽到合格品的频率稳定在 ，
抽到合格品的概率等于 ．
．
解得 ．
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