第三章《概率的进一步认识》单元质量检测试卷C（含答案）

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北师大版2022-2023学年九年级（上）第三章概率的进一步认识检测试卷C
(时间120分钟，满分120分)
一、选择题（共12小题；每小题3分，共36分）
1. 甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的 个扇形）做游戏，游戏规则：转动两个转盘各一次，转盘停止后，若指针所在区域的数字之和为偶数，则甲获胜；若数字之和为奇数，则乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．甲获胜的概率是
A. B. C. D.
2. 小明有 张卡片，正面分别写有 ，，，小亮也有 张卡片，正面分别写有 ，，，这些卡片大小、材质相同且背面无差别．将这些卡片背面朝上放置在桌子上，小亮先从小明的卡片中随机抽取一张，并放入自己的卡片中洗匀，然后小明从小亮现有的卡片中随机抽取一张，那么两次抽到同一张卡片的概率为
A. B. C. D.
3. 下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是
A. 频率就是概率 B. 频率是随机的，与试验次数无关
C. 概率是稳定的，与试验次数无关 D. 概率是随机的，与试验次数有关
4. 一个质地均匀的正四面体的四个面上依次标有数字 ，，，，连续抛掷两次，朝下一面的数字分别是 ，，将其作为 点的横、纵坐标，则点 落在以 ，， 为顶点的三角形内（包含边界）的概率是
A. B. C. D.
5. 如图，随机闭合开关 ，， 中的两个，则能让两盏灯泡 ， 同时发光的概率为
A. B. C. D.
6. 一个不透明的袋子中装有 个红球， 个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个，下列说法中，错误的是
A. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球
B. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球
C. 第一次摸出的球是红球的概率是
D. 两次摸出的球都是红球的概率是
7. 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下：
由此可以估计该种幼树移植成活的概率为 （结果保留小数点后两位）
A. B. C. D.
8. 同时抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，两枚骰子向上点数之积为偶数的概率是
A. B. C. D.
9. 如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次试验的结果：
下面有三个推断：
①当抛掷次数是 时，计算机记录“正面向上”的次数是 ，所以“正面向上”的概率是 ；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是 ；
③若再次用计算机模拟此试验，则当抛掷次数为 时，“正面向上”的频率一定是 ．
其中合理的是
A. ① B. ② C. ①② D. ①③
10. 如图所示的两个转盘分别被均匀地分成 个和 个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是
A. B. C. D.
11. 如图所示的两个转盘分别被均匀地分成 个和 个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是
A. B. C. D.
12. 学校要举行运动会，小亮和小刚报名参加 米短跑项目的比赛，预赛分 ，， 三组进行，小亮和小刚恰好在同一个组的概率是
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题；每小题4分，共24分）
13. 技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品 件，欣喜发现产品合格的频率已达到 ，依此我们可以估计该产品合格的概率为 ．（结果要求保留两位小数）
14. 如图，随机地闭合开关 ，，，， 中的三个，能够使灯泡 ， 同时发光的概率是 ．
15. 从由 ，， 组成的没有重复数字的三位数中，任意抽取一个数，这个数正好能被 整除的概率是 ．
16. 如图，在半径为 的 中，随意向圆内投掷一个小球，经过大量重复投掷后发现，小球落在阴影部分的频率稳定在 ，则 的长约为 ．（结果保留 ）
17. 布袋中有 个红球和 个白球，它们除颜色外其他都一样，从布袋中一次摸出两个球，摸到的球恰好是一个红球和一个白球的概率是 ．
18. 现有四张分别标有数字 ，，， 的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是 ．
三、解答题（共7小题；共60分）
19. （8分）从长度分别是 ，，， 的四条线段中任取三条，求这三条线段能构成三角形的概率．
20. （8分）下面三个实验中我们都可以通过看图估算或者通过图形计算各自概率：
（1）在一次实验中，老师共做了 次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如（）图，请估计钉尖朝上的概率；
（2）如（）图是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率；
（3）有一个小球在如（）图的地板上自由滚动，地板上的每个格子都是边长为 的正方形，求小球最终停留在黑色区域的概率．
21.（8分）从长度分别为 ，，， 的四条线段中任取三条，求这三条线段能构成三角形的概率．
22.（8分） 布袋中有 个红球和 个白球，它们除颜色外其他都一样．从布袋中一次摸出两个球．请你利用树形图求一次摸出的两个球都是红球的概率．
23. （8分）任意掷两枚骰子．
（1）用列表法展现可能出现的所有结果．
（2）回答下列问题：
①出现点数和为 与点数和为 的概率是否相同
②出现点数之和大于 的概率是多少
24. （10分）小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为 和 的同心圆，如图①，蒙上眼睛在一定距离外向圈内掷石子，若落在阴影内，则小红胜，若落在小圆内，则小明胜．
（1）你认为这个游戏公平吗 为什么
（2）游戏结束，小明边走边想：“能否用频率估计概率的方法，来估算不规则图形的面积呢 ”他发现地上有一个不规则的封闭图形 ，如图②．为了知道它的面积，小明在封闭图形内画了一个半径为 的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：
你能帮小明估计封闭图形的面积吗 试试看．
25.（10分） 甲乙两人玩骰子，他们各自掷一枚骰子，对掷出的两个数进行某种运算，根据运算的结果来定胜负．但进行什么样的运算才公平，两人争论不休．后来他们提出了下面两个方案：
①两数之和等于 时甲胜，两数之和等于 时乙胜；
②两数之和大于 时甲胜，两数差的绝对值小于 时乙胜．
请你用上一题所用的列表法分析这两个方案．这样的方案公平吗 如果不公平，试修改相应的规则，使游戏变得公平．
答案
第一部分
1. C
【解析】列表得：
由表格可得，共有 种等可能的结果，其中和是偶数的结果共有 种，
．
2. B
【解析】画树状图如下：
共有 种等可能的结果，其中两次抽到同一张卡片的结果有 种，
两次抽到同一张卡片的概率为 ．
3. C
【解析】频率是随机的，随试验而变化，但概率是唯一确定的一个值，在大量重复试验中，随试验次数的增大，频率会逐渐稳定于概率附近．
4. B
【解析】列表如下：
由表格可知，共有 种等可能的结果，如图，
落在以 ，， 为顶点的三角形内（包含边界）的结果有 ，，，，，，，共 种，所以落在以 ，， 为顶点的三角形内（包含边界）的概率是 ，故选B．
5. D 【解析】观察图形可知，随机闭合开关 ，， 中的两个，共有 种等可能的结果，即 ，，，
能让两盏灯泡 ， 同时发光的结果有 种，即 ，
．
6. A
【解析】选项A和B中的第一次已经确定是红球，所以第二次才是需要用概率计算的，因为放回，所以第二次袋子中有 个球， 个红球， 个绿球，所以第二次摸出红球的概率是 ，第二次摸出绿球的概率是 ，都是随机事件，故A选项“一定是绿球”是错误的，B 选项正确；C选项第一次摸出红球的概率为 ，故正确；D选项是两步放回事件，可用树状图或列表法，列表如下：
由上表可知，两次摸出的球都是红球的概率是 ，
所以D选项是正确的．
7. C
【解析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
所以这种幼树移植成活率的概率约为 ．
8. D
【解析】列表如下：
共有 种等可能的结果，两枚骰子向上点数之积为偶数的有 种结果，
两枚骰子向上点数之积为偶数的概率为 ．
9. B
【解析】本题概率应由频率估计得到，①错误；
随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是 ，②正确；
随着试验次数的增加，“正面向上”的频率会稳定在某个值附近，不是“一定”，③错误．
10. B
11. B
12. B
【解析】如图，
总共有 种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，
其中，小亮和小刚在同一个组的结果有 种：，，，
小亮和小刚恰好在同一个组的概率 ．
故选：B．
第二部分
13.
【解析】大量重复试验下频率的稳定值等于概率的估计值．
对 四舍五入，保留两位小数即得 ．
14.
【解析】随机闭合三个开关共有 种情况：，，，，，，，，，，其中能使灯泡 ， 同时发光的有 和 两种情况，故所求概率为 ．
15.
16.
【解析】 大量重复投掷后发现，小球落在阴影部分的频率稳定在 ，
扇形面积占圆面积的 ，
的长占圆周长的 ，
的长约为 ．
17.
18.
第三部分
19. 从四条线段中任取三条所有可能的情况：
① ，，；
② ，，；
③ ，，；
④ ，，．
其中能构成三角形的只有 ，， 这一个结果．
设事件 ：“取三条能构成三角形”．
可知 ．
20. （1） 如（）图，在一次实验中，老师共做了 次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率为 ．
（2） 如（）图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为 ．
（3） 如（）图，有一个小球在的地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为 的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率为 ．
21. 可依次去掉一条线段，共有 种等可能结果，
其中只有一种结果 能构成三角形，所以构成三角形的概率是 ．
22. 用 ，， 表示 个红球，用 表示白球，从树形图可见共有 种等可能结果，其中“两红”共有 种结果，故相应概率为 ．
也可将 个球排成一列，，，，，任意摸两个球的等可能结果为：，，，，，，共 种，其中“两红”有 种，故相应概率为 ．
23. （1） 列表如下：
（2） ①“点数和为 ”有 种结果，“点数和为 ”也有 种结果，
故相应的概率都是 ；
② ．
24. （1） 这个游戏不公平，理由如下：
，，
，
这个游戏不公平．
（2） 能．
由题中统计表可以看出 与 的比约为 ，即 ，
圆的面积与封闭图形 的面积之比约为 ，
圆的面积为 ，
封闭图形 的面积约为 ．
25. 掷两枚骰子共有 个等可能结果，“两数和为 ”有 种结果，“两数和为 ”有 种结果；“两数和大于 ”有 种结果，“两数差的绝对值小于 ”有 ，，，，，，，，，，，，，，，，共 种结果，故方案①②都不公平．
公平游戏规则有很多，如“两数之和等于 时甲胜，两数之和等于 则乙胜”；“两数差等于 时甲胜，两数差的绝对值等于 则乙胜”．
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