2023届高三数学一轮复习模拟冲刺卷(一)（含解析）

2023届高三数学一轮复习模拟冲刺卷(一)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝，B＝，则A∩B＝(　　)
A． B．
C． D．
2．若复数z满足z＝3－i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为(　　)
A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i
3．已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为(　　)
A．8π B．4π C． D．
4．函数y＝tan 的单调增区间为(　　)
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(k∈Z)
5．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，＝3，且∠F1AF2＝60°，则椭圆C的离心率是(　　)
A． B． C． D．
6．已知＝7，则cos ＝(　　)
A．－ B． C． D．
7．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ex－2的切线，也是曲线y＝ex－1的切线，则k＋b＝(　　)
A． B． C． D．
8．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发傜三百七十八人，欲以算数多少衰出之，问各几何？”意思是：北乡有8 758人，西乡有7 236人，南乡有8 356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数是(　　)
A．102 B．112 C．130 D．136
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，A、B、C、D四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是(　　)
A．A地：中位数为2，极差为5
B．B地：总体平均数为2，众数为2
C．C地：总体平均数为1，总体方差大于0
D．D地：总体平均数为2，总体方差为3
10．已知向量a，b，c满足a＋b＝，a－3b＝，c＝，设a，b的夹角为θ，则(　　)
A．＝ B．a∥c C．θ＝135° D．b⊥c
11．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，下列选项中，圆C的面积可以是(　　)
A．　 B． C．　 D．(6－2)π
12．如图所示，在正方体ABCD A1B1 C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1(包含边界)内的动点，且A1F∥平面D1AE，下列说法正确的是(　　)
A．A1F与BE是异面直线
B．A1F不可能与D1E平行
C．DF不可能与平面AD1E垂直
D．三棱锥F ABD1的体积为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知m≠0，f＝为偶函数，则m＝________．
14．若三个点M(3，2)，N(2，2)，Q(3，－2)中恰有两个点在抛物线y2＝2px上，则该抛物线的方程为________．
15．已知f＝ex，g＝，若存在实数x1，x2满足f＝g，则的最大值为________．
16．任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等)，若m＝5，则经过________次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知公差不为0的等差数列的前3项和S3＝9，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设Tn为数列{(－1)nan}的前n项和，求T100.
18.(12分)某工厂生产一种精密仪器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A，B两个等级．三道工序的加工结果直接决定该仪器的产品等级：三道工序的加工结果均为A级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为A级，且第一、第二工序至少有一道工序加工结果为B级时，产品为二等品；其余均为三等品．每一道工序加工结果为A级的概率如表一所示，一件产品的利润(单位：万元)如表二所示：
表一
工序 第一工序 第二工序 第三工序
概率 0.5 0.75 0.8
表二
等级 一等品 二等品 三等品
利润 23 8 5
(1)用η表示一件产品的利润，求η的分布列和数学期望；
(2)因第一工序加工结果为A级的概率较低，工厂计划通过增加检测成本对第一工序进行改良，假如改良过程中，每件产品检测成本增加x(0≤x≤4)万元(即每件产品利润相应减少x万元)时，第一工序加工结果为A级的概率增加x.问该改良方案对一件产品利润的期望是否会产生影响？并说明理由．
19．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.C＝，AB边上的高为.
(1)若S△ABC＝2，求△ABC的周长；
(2)求＋的最大值．
20．(12分)如图，三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝AB＝3，BC＝2，E，P分别是B1C1和CC1的中点，点F在棱A1B1上，且B1F＝2.
(1)证明：A1P∥平面EFC；
(2)若AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，求二面角P CF E的余弦值．
21．(12分)双曲线C2：－＝1的顶点与椭圆C1：＋y2＝1长轴的两个端点重合，且一条渐近线的方程为y＝x.
(1)求双曲线C2的方程；
(2)过双曲线C2右焦点F作直线l1与C2分别交于左右两支上的点P，Q，又过原点O作直线l2，使l2∥l1，且与双曲线C2分别交于左右两支上的点M，N.是否存在定值λ，使得·＝λ？若存在，请求λ的值；若不存在，请说明理由．
22．(12分)已知函数f(x)＝2ax－ln x，其中a∈R.
(1)讨论函数f的单调性；
(2)当a>0时，若x1，x2满足f＝f，证明：f＋f>4a2.
答案
1．答案：B
解析：集合B中的元素在区间[－1，2]内的只有0，2，所以A∩B＝{0，2}．故选B.
2．答案：A
解析：∵z＝3－i，∴z＝＝＝＝1＋i，∴复数z的共轭复数为1－i.故选A.
3．答案：C
解析：设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，
则解得所以h＝.
圆锥的体积V＝Sh＝×π×12×＝ ，故选C.
4．答案：B
解析：因为函数y＝tan x的单调递增区间为(k∈Z)，所以kπ－<2x－5.
答案：B
解析：由椭圆的对称性，得＝.设＝m，则＝3m.由椭圆的定义，知＋＝2a，即m＋3m＝2a，解得m＝，故＝，＝.
在△AF1F2中，由余弦定理，得＝＋－2cos ∠F1AF2，即4c2＝＋－2×××＝，则e2＝＝，故e＝.故选B.
6．答案：B
解析：∵cos ＝1－2sin 2，＝7，
即得2＝7sin，
化简得＝0，
∵sin ∈，∴sin ＝，
∴cos ＝cos ＝sin ＝.故选B.
7．答案：D
解析：设曲线y＝ex－2上的点P(x1，y1)，y′＝ex－2，k1＝ex1－2；
曲线y＝ex－1上的点Q(x2，y2)，y′＝ex，k2＝ex2；
∴l1：y＝ex1－2x＋ex1－2－x1ex1－2，
∴l2：y＝ex2x＋ex2－1－x2ex2
∴∴x2＝－ln 2，
∴k＋b＝ex2＋ex2－1－x2ex2＝＋－1－(－ln 2)＝.故选D.
8．答案：B
解析：由题意得，三乡总人数为8 758＋7 236＋8 356＝24 350.
∵共征集378人，∴需从西乡征集的人数是×378≈112，故选B.
9．答案：AD
解析：对A，因为甲地中位数为2，极差为5，故最大值不会大于2＋5＝7.故A正确．对B，若乙地过去10日分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8则满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B错误．对C，若丙地过去10日分别为0，0，0，0，0，0，0，0，1，9，则满足总体平均数为1，总体方差大于0, 但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C错误．对D，利用反证法，若至少有一天疑似病例超过7人，则方差大于×＝3.6>3.与题设矛盾，故连续10天，每天新增疑似病例不超过7人．故D正确．故选AD.
10．答案：BC
解析：∵a＋b＝，a－3b＝，
∴a＝，b＝，得＝＝，＝2，故A错误；
又c＝，则a＝－c，则a∥c，故B正确；
cos θ＝＝＝－，又θ∈，∴θ＝135°，故C正确；
∵b·c＝2×1＋0×1＝2≠0，∴b与c不垂直，故D错误．故选BC.
11．答案：BCD
解析：
因为AB为直径，∠AOB＝90°，(其中O为坐标原点)，
所以点O在圆C上，
由O向直线2x＋y－4＝0作垂线，垂足为D，
则当D恰为圆C与直线2x＋y－4＝0的切点时，圆C的半径最小，
此时圆的直径为点O(0，0)到直线2x＋y－4＝0的距离d＝＝，
此时圆的半径为r＝d＝，
所以圆C面积的最小值为Smin＝πr2＝π·＝.
又<，故A错误；(6－2)π>，>，故BCD正确．故选BCD.
12．答案：ACD
解析：
取BB1，B1C1的中点N，M，连接A1M，A1N，MN，BC1，则A1N∥D1E，MN∥BC1∥AD1，
又A1N 平面A1MN，MN 平面A1MN，A1N∩MN＝N，D1E 平面AD1E，AD1 平面AD1E，所以平面A1MN∥平面AD1E，
又A1F∥平面D1AE，A1F 平面A1MN，所以点F的轨迹是线段MN，
对于A：因为MN∥BC1，所以点F一定不在BC1上，所以A1F与BE是异面直线，故A正确；
对于B：当点F与点N重合时，A1F∥D1E，故B不正确；
对于C：因为点F的轨迹是线段MN，又正方体中DB1⊥平面AD1E，若DF⊥平面AD1E，
则DB1∥DF，这显然不可能，所以DF不可能与平面AD1E垂直，故C正确；
对于D：因为MN∥AD1，AD1 平面ABD1，MN 平面ABD1，所以MN∥平面ABD1，
所以点F到平面ABD1的距离是定值，所以三棱锥F ABD1的体积为定值，故D正确，故选ACD.
13．答案：±1
解析：因为f是偶函数，所以f＝f，
即＝，
解得m2＝1，即m＝±1.
14．答案：y2＝8x
解析：由抛物线的对称性知：M(3，2)，Q(3，－2)在y2＝2px上，
∴6p＝24，可得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x.
15．答案：
解析：∵g＝＝e2ln x2－x2＝f＝f，且f(x)＝ex在R上单调递增，
∴x1＝2ln x2－x2，＝2·－1.
设h(x)＝，则h′(x)＝，
当x∈(0，e)时，h′(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，h′(x)<0.
∴h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴h(x)max＝h(e)＝，∴＝.
16．答案：5　41
解析：当m＝5时，a1＝5，a2＝5×3＋1＝16，a3＝8，a4＝4，a5＝2，a6＝1，所以需5次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则a6＝1，a5＝2，a4＝4，a3＝8或1 ，当a3＝8，a2＝16，a1＝32或a1＝5；当a3＝1时，a2＝2，a1＝4，
所以m的可能值是，m的可能值的和是4＋5＋32＝41.
17．解析：(1)设等差数列公差为d且不为0，
因为等差数列的前3项和S3＝9，且a1，a2，a5成等比数列．
所以
整理得
解得：d＝2或0(0舍去)，
故a1＝1，
所以an＝1＋2n－2＝2n－1.
(2)由(1)知bn＝(－1)n·(2n－1)，
所以T100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.
18．解析：(1)由题意可知：η的可能取值为23，8，5
产品为一等品的概率为：0.5×0.75×0.8＝0.3，
产品为二等品的概率为：(1－0.5×0.75)×0.8＝0.5，
产品为三等品的概率为：1－0.3－0.5＝0.2，
所以η的分布列为
η 23 8 5
P 0.3 0.5 0.2
E(η)＝23×0.3＋8×0.5＋5×0.2＝11.9.
(2)改良方案对一件产品的利润的期望不会产生影响，理由如下：
由题意可知：改良过程中，每件产品检测成本增加x(0≤x≤4)万元，第一工序加工结果为A级的概率增加x，
设改良后一件产品的利润为ξ，则ξ可能的取值为23－x，8－x，5－x
所以一等品的概率为×0.75×0.8＝0.3＋，
二等品的概率为：×0.8＝0.5－，
三等品的概率为：1－－＝0.2，
所以E(ξ)＝(23－x)＋(8－x)＋0.2×(5－x)
＝6.9－0.3x＋x－x2＋4－0.5x－x＋x2＋1－0.2x＝11.9，
因为E(ξ)＝E(η)，
所以改良方案对一件产品的利润的期望不会产生影响．
19．解析：(1)依题意S△ABC＝ab sin C＝c·＝2，可得c＝4，
因为C＝，所以ab＝8.
由余弦定理得a2＋b2－ab＝c2，
因此(a＋b)2＝c2＋3ab＝40，即a＋b＝2.
故△ABC的周长为2＋4.
(2)由(1)及正弦定理可得，
＋＝＝＝＝＝，(其中θ为锐角，且tan θ＝)
由题意可知020．解析：
(1)证明：如图，连接PB1交CE于点D，连接DF，EP，CB1.
因为E，P分别是B1C1和CC1的中点，
故EP綊CB1，故＝.
又B1F＝2，A1B1＝3，故＝，故FD∥A1P.
又FD 平面EFC且A1P 平面EFC，所以A1P∥平面EFC.
(2)由题意知AB，BC，BB1两两垂直，以B为坐标原点，以BB1的方向为z轴正方向，分别以BA，BC为x轴和y轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系B xyz.
则C，B1，F，E，P.
设n＝为平面EFC的法向量，
则即，可取n＝.
设m＝为平面PFC的法向量，
则，即可取m＝.
所以cos 〈n，m〉＝＝＝.
由题意知二面角P CF E为锐角，
所以二面角P CF E的余弦值为.
21．解析：(1)由椭圆C1：＋y2＝1得到：a＝，
双曲线的渐近线方程为y＝x，得到：＝，解得：b＝1.
则双曲线C2的方程－y2＝1.
(2)若存在定值λ，使得·＝λ，
∵与同向，∴λ＝，
∵F，设l1：x＝ty＋2，由消去x整理得：y2＋4ty＋1＝0，
∴，由l1交C2左右两支于P、Q两点，
有，即，则t2－3>0，
＝＝
＝
＝，
由于l2∥l1，可设l2：x＝ty，由
消去x整理得：y2＝3，∴y2＝，
由此＝＝·4y2＝，
∴λ＝＝2，故存在定值λ＝2，使得·＝λ.
22．解析：(1)函数f的定义域为，f′(x)＝.
①当a≤0时，则当x∈时，f′≤0恒成立，
∴f在上单调递减，无单调递增区间；
②当a>0时，则由f′＝0得x＝，
∴当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′>0.
∴f在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当a≤0时，f在上单调递减，无单调递增区间；
当a>0时，f在上单调递减，在上单调递增．
(2)f(x)＝2ax－ln x(x>0).
∵x1，x2满足f＝f，
∴2ax1－ln x1＝2ax2－ln x2，
即＝2a，
欲证f＋f>4a2，
即证ln ＋ln <0，
即证x1x2<，又a>0，0亦证<，
即ln －>0
即证2ln ＋ － >0，
∵0设 ＝t(00.
设h(t)＝2ln t＋－t(0∵h′(t)＝－－1＝<0在t∈上恒成立，
∴h在上单调递减，
∴h(t)>h(1)＝0.
∴2ln t＋－t>0.
即f＋f>4a2成立．