2022—2023学年北师大版数学九年级上册2.4用因式分解法求解一元二次方程同步测试（含答案）

北师大版九年级数学上册第二章
2．4用因式分解法求解一元二次方程 同步测试
一．选择题
1．方程x2﹣x＝56的根是（　　）．
A．x1＝7，x2＝8 B．x1＝7，x2＝﹣8
C．x1＝﹣7，x2＝8 D．x1＝﹣7，x2＝﹣8
2．方程x（x﹣1）=x的解是（　　）．
A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=2
3．下列用因式分解法解一元二次方程正确的是(　　)．
A．(2x－2)(3x－4)＝0，∴2x－2＝0或3x－4＝0
B．(x＋3)(x－1)＝1，∴x＋3＝1或x－1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3，∴x－2＝2或x－3＝3
D．x(x＋2)＝0，∴x＋2＝0
4．若方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x1＝x2＝m，则下列结论正确的是（　　）．
A．n＝0且n是该方程的根 B．n＝m且n是该方程的根
C．n＝m但n不是该方程的根 D．n＝0但n不是该方程的根
5．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）．
A．12 B．9 C．13 D．12或9
6．三角形两边的长是2和5，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则第三边的长为（　　）．
A．2 B．5 C．7 D．5或7
7．（x+y）（x+y+2）-8=0，则x+y的值是（　　）．
A．-4或2 B．-2或4 C．2或-3 D．3或-2
8．如果分式的值等于0，那么x的值为（　　）．
A．x＝﹣3或x＝1 B．x＝﹣1或x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝﹣1
9．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）．
A． B．4 C．25 D．5
10．设（x2+y2）（x2+y2+2）﹣15=0，则x2+y2的值为（　　）．
A．﹣5或3 B．﹣3或5 C．3 D．5
11．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的面积为（ ）
A．12或6 B．12 C．6 D．以上都不对
12．将4张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为． 若，则满足( )．
A．或 B．或
C．或 D．或．
二．填空题
13．方程x2﹣5x=0的解是　 　．
14．如果﹣﹣8=0，则的值是　 　．
15．解一元二次方程x2+2x-3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程__________
16．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝_____．
17．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根，则该等腰三角形的周长为　 　．
18．关于的一元二次方程的1个根是，则的值是_ __．
三．解答题
解方程：
x2-3x+2=0 （2）x2+x-2=0
x（x-1）=2（x-1） （4）x2-x=-2（x-1）
(5) (6)（x﹣1）2=4（x+1）2．
20．用适当的方法解下列方程：
（1）2x2﹣10x＝3 （2）（x+3）2＝（1﹣2x）2
（3）（x+4）2＝5（x+4） （4）（x+1）2﹣3（x+1）+2＝0．
（5）
21．请阅读下列材料：
问题：解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0．
明明的做法是：将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4．
(1)当y＝1时，x2－1＝1，解得x＝±；
(2)当y＝4时，x2－1＝4，解得x＝±．
综合(1)(2)，可得原方程的解为x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－．
请你参考明明同学的思路，解方程x4－x2－6＝0．
22．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的面积为多少？
23．已知关于的方程的一个实数根为2,求a的值，及方程的另一个实根？
24．（1）阅读下面的例题：
解方程x2﹣|x|﹣2＝0．
解：分两种情况讨论：
①当x≥0时，原方程为：x2﹣x﹣2＝0．
解之得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
②当x＜0时，原方程为：x2+x﹣2＝0．
解之得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
∴综上所述，原方程的根是：x＝±2．
（2）请参照例题解方程：
①x2﹣|x|﹣6＝0　　　②x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
25．已知矩形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个实数根．
(1)当m为何值时，四边形ABCD是正方形？求出这时正方形ABCD的边长；
(2)若AB的长为2，则矩形ABCD的周长是多少？
北师大版九年级数学上册第二章
2．4用因式分解法求解一元二次方程 答案提示
一．选择题
1．方程x2﹣x＝56的根是（　　）选C．
A．x1＝7，x2＝8 B．x1＝7，x2＝﹣8
C．x1＝﹣7，x2＝8 D．x1＝﹣7，x2＝﹣8
2．方程x（x﹣1）=x的解是（　　）选D．
A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=2
3．下列用因式分解法解一元二次方程正确的是(　　)选A．
A．(2x－2)(3x－4)＝0，∴2x－2＝0或3x－4＝0
B．(x＋3)(x－1)＝1，∴x＋3＝1或x－1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3，∴x－2＝2或x－3＝3
D．x(x＋2)＝0，∴x＋2＝0
4．若方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x1＝x2＝m，则下列结论正确的是（　　）选B．
A．n＝0且n是该方程的根 B．n＝m且n是该方程的根
C．n＝m但n不是该方程的根 D．n＝0但n不是该方程的根
5．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）选A．
A．12 B．9 C．13 D．12或9
6．三角形两边的长是2和5，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则第三边的长为（　　）选B．
A．2 B．5 C．7 D．5或7
7．（x+y）（x+y+2）-8=0，则x+y的值是（　　）选A．
A．-4或2 B．-2或4 C．2或-3 D．3或-2
8．如果分式的值等于0，那么x的值为（　　）选C．
A．x＝﹣3或x＝1 B．x＝﹣1或x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝﹣1
解：∵分式的值等于0，∴x2+2x﹣3＝0且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣3． 故选：C．
9．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）选A．
A． B．4 C．25 D．5
10．设（x2+y2）（x2+y2+2）﹣15=0，则x2+y2的值为（　　）选C．
A．﹣5或3 B．﹣3或5 C．3 D．5
11．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的面积为（ ）选C．
A．12或6 B．12 C．6 D．以上都不对
12．将4张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为． 若，则满足( )选C．
A．或 B．或
C．或 D．或．
二．填空题
13．方程x2﹣5x=0的解是　 　．x1=0，x2=5．
14．如果﹣﹣8=0，则的值是　 　．=4或﹣2．
15．解一元二次方程x2+2x-3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程__________x-1=0或x+3=0
16．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝_____．-3或4
解：根据题意得[（m+2）+（m-3）]2-[（m+2）-（m-3）]2=24，
∴（2m-1）2-52=24，
∴（2m-1）2-49=0，
∴（2m-1+7）（2m-1-7）=0，
2m-1+7=0或2m-1-7=0，
所以m1=-3，m2=4．
故答案为：-3或4．
17．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根，则该等腰三角形的周长为　 　．7或8．
解：∵x2﹣5x+6＝0，∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
即x﹣2＝0或x﹣3＝0，∴x1＝2，x2＝3，
当等腰三角形的腰为2，底边为3时，2+2＞3，该等腰三角形的周长为2+2+3＝7；
当等腰三角形的腰为3，底边为2时，3+3＞2，该等腰三角形的周长为2+3+3＝8；
综上所述，该等腰三角形的周长为7或8．
18．关于的一元二次方程的1个根是，则的值是__________．
三．解答题
解方程：
（1）x2-3x+2=0 （2）x2+x-2=0
（3）x（x-1）=2（x-1） （4）x2-x=-2（x-1）
(5) (6)（x﹣1）2=4（x+1）2．
解：（1） ∵x2-3x+2=0
∴（x-1）（x-2）=0，
∴x-1=0或x-2=0，
∴x1=1，x2=2．
（2）分解因式得：（x-1）（x+2）=0，
可得x-1=0或x+2=0，
解得：x1=1，x2=-2
（3）x（x-1）=2（x-1）．
x（x-1）-2（x-1）=0．
（x-1）（x-2）=0，
∴x-1=0，x-2=0，
∴x1=1，x2=2，
（4）x2-x=-2（x-1），
x（x-1）=-2（x-1），
（x-1）（x+2）=0，
x1=1，x2=-2．
（5）提公因式得：，
即，
∴或，
解得：．
(6)移项，得：（x﹣1）2﹣4（x+1）2=0，
即（x﹣1）2﹣[2（x+1）]2=0，
因式分解，得：[x﹣1+2（x+1）][x﹣1﹣2（x+1）]=0，
整理，得：（3x+1）（﹣x﹣3）=0，
∴3x+1=0或﹣x﹣3=0，
解得：x1=﹣，x2=﹣3．
20．用适当的方法解下列方程：
（1）2x2﹣10x＝3 （2）（x+3）2＝（1﹣2x）2
（3）（x+4）2＝5（x+4） （4）（x+1）2﹣3（x+1）+2＝0．
（5）
解：（1）2x2﹣10x﹣3＝0，
∴△＝（﹣10）2﹣4×2×（﹣3）＝124，
∴x＝＝，
（2）（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，
（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0，
（4﹣x）（3x+2）＝0，
∴x＝4或x＝﹣，
（3）（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
（x+4）（x+4﹣5）＝0，
∴x＝﹣4或x＝1，
（4）（x+1﹣1）（x+1﹣2）＝0，
∴x＝0或x＝1
(5)∵，，，
∴，
∴，
；
21．请阅读下列材料：
问题：解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0．
明明的做法是：将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4．
(1)当y＝1时，x2－1＝1，解得x＝±；
(2)当y＝4时，x2－1＝4，解得x＝±．
综合(1)(2)，可得原方程的解为x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－．
请你参考明明同学的思路，解方程x4－x2－6＝0．
解：设x2＝y，则原方程可化为y2－y－6＝0，
解得y1＝3，y2＝－2．
(1)当y＝3时，x2＝3，解得x1＝，x2＝－．
(2)当y＝－2时，x2＝－2，此方程无实数根．
综合(1)(2)，可得原方程的解为x1＝，x2＝－．
22．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的面积为多少？
解：x2﹣9x+20＝0，
（x﹣4）（x﹣5）＝0，
x﹣4＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝4，x2＝5，
∵菱形一条对角线长为8，
∴菱形的边长为5，
∵菱形的另一条对角线长＝2×＝6，
∴菱形的面积＝×6×8＝24．
23．已知关于的方程的一个实数根为2,求a的值，及方程的另一个实根？
解：将代入方程，得，
，即
解得或；
当时，方程为，解得
当时，方程为，解得或
故方程的另一个实数根是或．
24．（1）阅读下面的例题：
解方程x2﹣|x|﹣2＝0．
解：分两种情况讨论：
①当x≥0时，原方程为：x2﹣x﹣2＝0．
解之得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
②当x＜0时，原方程为：x2+x﹣2＝0．
解之得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
∴综上所述，原方程的根是：x＝±2．
（2）请参照例题解方程：
①x2﹣|x|﹣6＝0　　　②x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
解：①当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣2（不合题意，舍去）；
当x＜0时，原方程化为x2+x﹣6＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝2（不合题意，舍去）；
∴原方程的根是x1＝3，x2＝﹣3．
②当x≥1时，原方程化为x2﹣x＝0，解得：x1＝1，x2＝0（不合题意，舍去）．
当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
故原方程的根是x1＝1，x2＝﹣2．
25．已知矩形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个实数根．
(1)当m为何值时，四边形ABCD是正方形？求出这时正方形ABCD的边长；
(2)若AB的长为2，则矩形ABCD的周长是多少？
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD．
又∵Δ＝m2－4(－)＝m2－2m＋1＝(m－1)2，
∴(m－1)2＝0，即当m＝1时，四边形ABCD是正方形．
把m＝1代入x2－mx＋－＝0，得x2－x＋＝0，解得x＝，
∴这时正方形ABCD的边长是．
(2)把x＝2代入x2－mx＋－＝0，得4－2m＋－＝0，解得m＝．
把m＝代入x2－mx＋－＝0，得x2－x＋1＝0，解得x＝2或x＝，∴AD＝．
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形ABCD的周长是2×(2＋)＝5．