2022-2023学年人教版九年级数学上册 22.1二次函数的图象和性质 常考习题检测 （含答案）

2022-2023人教版九年级数学上册第二十二章
22.1二次函数的图象和性质 常考习题检测 （答案解析版）
一．选择题（共10小题）
1．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝x（2x﹣3） B．y＝x2﹣
C．y＝﹣4x+5 D．y＝（x+4）2﹣x2
2．已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2（x+3）2﹣2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若函数y＝（m2+m）是二次函数，那么m的值是（　　）
A．2 B．﹣1或3 C．3 D．
4．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　　）
A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3
5．下列选项中，能描述函数y＝ax2与y＝ax+b（ab＜0）图象的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列与y＝x2函数图象形状不相同的函数是（　　）
A．y＝x2﹣1 B．y＝﹣x2 C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝4x2+4x+1
7．抛物线y＝2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标为（　　）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，P是AB上一动点，直线PQ⊥AC于点Q，设AQ＝x，则图中△APQ的面积y与x之间的函数关系式的图象是（　　）
A． B． C． D．
9．抛物线y＝2x2+1的对称轴是（　　）
A．直线x＝ B．直线x＝﹣ C．直线x＝2 D．y轴
10．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，对称轴为直线x＝﹣1，下列命题：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③当y＜0时，﹣3＜x＜1；④a﹣2b+c＞0；⑤m（ma+b）+b≥a（m为实数）．其中正确的命题有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（共5小题）
11．若二次函数y＝（m﹣1）x的图象开口向下，则m的值为　 　．
12．函数y＝（m﹣2）x|m|是二次函数，则下列关于它的图象的说法：①开口向上②开口向下③对称轴是y轴④顶点坐标为（0，0）⑤顶点坐标为（0，﹣4）⑥有最高点⑦有最低点．其中正确的有 　 　（填序号）
13．二次函数y＝2x2﹣4x+3，当　 　时，y随x的增大而减小．
14．如图是下列四个函数在同一坐标系内的图象：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．根据图象可知a，b，c，d的大小为 　 　＞　 　＞　 　＞　 　．
15．若二次函数y＝ax2+bx，存在不同实数x1，x2，当x＝x1﹣1时的函数值与当x＝x2﹣1时的函数值相等，则x＝x1+x2时函数值为　 　
三．解答题（共5小题）
16．已知函数y＝（m2﹣2）x2+（m+）x+8．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围．
17．已知二次函数y＝3x2+6x+1．
（1）写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求出它的最小值．
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？当x为何值时，y随x的增大而增大？
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，x＝是该抛物线的对称轴，根据图中所提供的信息，请写出有关a，b，c的四条结论，并简要说明理由．
19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+ax+c（a、c为常数且a＜c）过点A（1，0），顶点为B．
（1）用含a的式子表示c；
（2）判断点B所在象限，并说明理由；
（3）若直线l：y＝2x﹣b经过点A，且与抛物线G交于另一点C，当△ABC的面积为时，求y＝ax2+ax+c在﹣1＜x＜1时的取值范围．
20．已知二次函数y＝x2﹣4x+6．
（1）通过配方，求其图象的顶点坐标；
（2）在直角坐标系中画出二次函数y＝x2﹣4x+6的图象；
（3）若A（3，y1），B（3+m，y2）为其图象上的两点，且y1＜y2，根据图象求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：A、y＝x（2x﹣3）＝2x2﹣3x，是二次函数，故A符合题意；
B、y＝不是二次函数，故B不符合题意；
C、y＝﹣4x+5，是一次函数，故C不符合题意；
D、y＝（x+4）2﹣x2＝8x+16是一次函数，故D不符合题意．
故选：A．
2．【解答】解：②是二次函数，共1个，
故选：A．
3．【解答】解：根据题意得：，
解得：，
∴m＝3，
故选：C．
4．【解答】解：因为抛物线的对称轴x＝1，与x轴的一个交点（﹣1，0）；
根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点为（3，0），
因为抛物线开口向上，当y＜0时，﹣1＜x＜3．
故选：B．
5．【解答】解：当a＞0，b＜0时，y＝ax+b的图象不经过第二象限，y＝ax2的图象开口向上，D选项符合，
当a＜0，b＞0时，y＝ax+b的图象不经过第三象限，y＝ax2的图象开口向下，无选项符合，
故选：D．
6．【解答】解：∵二次函数y＝x2的二次项系数为1，
∴与y＝x2﹣1、y＝﹣x2、y＝（x﹣1）2+1图象的形状相同，与y＝4x2+4x+1因二次项系数不同所以形状不同，
故选：D．
7．【解答】解：抛物线y＝2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标为（3，﹣4）；
故选：D．
8．【解答】解：根据题意，直线PQ⊥AC，则PQ∥BC，
又由AC＝4，BC＝8，
则PQ＝2x，
故y＝×x×2x＝x2，且0≤x≤4，
结合二次函数的图象，可得其图象为A．
故选：A．
9．【解答】解：∵抛物线y＝2x2+1，
∴抛物线的对称轴为y轴，
故选：D．
10．【解答】解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴b＞0，
抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，本小题说法正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，本小题说法错误；
③∵抛物线与x轴的交点为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴当y＜0时，﹣3＜x＜1，本小题说法正确；
④∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵抛物线与x轴的交点为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴a﹣2b+c＝a﹣4a﹣3a＝﹣6a＜0，本小题说法错误；
⑤∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y有最小值，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴m（ma+b）+b≥a（m为实数），本小题说法正确；
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：∵二次函数y＝（m﹣1）x的图象开口向下，
∴，
解得，m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．【解答】解：∵y＝（m﹣2）x|m|是二次函数，
∴|m|＝2，
解得m＝±2，
∵m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m＝﹣2，
∴y＝﹣4x2，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），抛物线有最高点，
∴②③④⑥正确，
故答案为：②③④⑥．
13．【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
∴对称轴为x＝1，
∵a＝2＞0，
∴开口向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
故答案为：＜1．
14．【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），
所以，a＞b＞d＞c．
故答案为：a、b、d、c．
15．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx的对称轴为：
x＝﹣
∵存在不同实数x1，x2，当x＝x1﹣1时的函数值与当x＝x2﹣1时的函数值相等
∴＝﹣
∴x1+x2＝2﹣
则x＝x1+x2时函数值为：
y＝ax2+bx
＝a+b（2﹣）
＝a（4﹣2×2×+）+2b﹣
＝4a﹣4b++2b﹣
＝4a﹣2b
故答案为：4a﹣2b．
三．解答题（共5小题）
16．【解答】解：（1）由题意得：m+≠0，m2﹣2＝0，
解得：m＝；
（2）由题意得，m2﹣2≠0，解得m≠且m≠﹣．
17．【解答】解：（1）y＝3x2+6x+1＝3（x+1）2﹣2，
所以抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣2），函数的最小值为﹣2；
（2）当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．
18．【解答】解：①∵开口方向向上，∴a＞0，
②∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，
③∵对称轴为x＝﹣＞0，∴a、b异号，即b＜0，
④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，
⑤当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
⑥当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0．
结论有：a＞0，b＜0，c＞0，a+b+c＜0，a﹣b+c＞0等．
19．【解答】解：（1）y＝ax2+ax+c过点A（1，0），
∴a+a+c＝0，
∴c＝﹣2a；
（2）y＝ax2+ax﹣2a＝a（x+）2﹣a的顶点B为（﹣，﹣a），
∵c＝﹣2a，a＜c，
∴a＜﹣2a，
∴a＜0，
∴点B在第二象限；
（3）y＝2x﹣b经过点A（1，0），
∴b＝2，
由得：，即C（，），
过点B作BD∥y轴，交l：y＝2x﹣2于点D，则D（﹣，﹣3），
∴S△ABC＝BD |xA﹣xC|＝（﹣a+3）（1﹣+2）＝（﹣a+3）（3﹣），
∴（﹣a+3）（3﹣）＝，解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2﹣x+顶点B（﹣，），
∴﹣1＜x＜1时，0＜y≤．
20．【解答】解：（1）由y＝x2﹣4x+6，得
y＝（x﹣2）2+2，
∴二次函数y＝x2﹣4x+6的图象的顶点坐标是（2，2）；
（2）∵△＝16﹣24＝﹣8＜0，
∴该函数图象与x轴没有交点；
当x＝0时，y＝6；
∴抛物线的顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x＝2，
与y轴交点为（0，6），图象如下：
（3）当两点在对称轴的右侧时，
A（3，y1），B（3+m，y2）为其图象上的两点，且y1＜y2，
∴当y1＜y2时，3＜3+m，
即m＞0．
当点B在对称轴的左侧时，3+m＜1，解得m＜﹣2．
综上所述，m的取值范围为；m＞0或m＜﹣2