2022-2023学年人教版数学九年级上册 22.1二次函数的图象和性质 常考易错习题检测 （含答案）

人教版数学九年级上册第二十二章
22.1二次函数的图象和性质 常考易错习题检测
一．选择题（共10小题）
1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝5x2 B．y＝22﹣2x
C．y＝2x2﹣3x3+1 D．
2．关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（　　）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
3．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
4．已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．关于抛物线y＝x2+2x﹣2，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上 B．顶点坐标为（1，﹣3）
C．函数的最小值是﹣3 D．对称轴为x＝﹣1
6．将抛物线y＝x2﹣6x+5先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣6 D．y＝（x﹣4）2﹣2
7．已知非负数a，b，c满足a+b＝3且c﹣3a＝﹣6，设y＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值是（　　）
A．16 B．15 C．9 D．7
8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（　　）
A．abc＞0 B．2a+b＜0 C．3b﹣2c＜0 D．3a+c＜0
9．如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（　　）
A．（0，2） B．（﹣，0）
C．（0，2）或（﹣，0） D．以上都不正确
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣，有下列结论：①abc＞0； ②b+2c＞0；③a+5b+2c＜0．其中，正确结论的个数是（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二．填空题（共6小题）
11．若y＝（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2是二次函数，则a的值为　 　．
12．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线 　 　．
13．已知二次函数y＝2（x﹣1）2﹣m的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为 　 　．
14．将y＝﹣2（x﹣1）2+6的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为 　 　．
15．点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点B、C．若抛物线y＝ax2﹣2ax+c的顶点在正方形OABC的内部，则a的取值范围是　 　．
三．解答题（共4小题）
17．已知y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的函数
（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．
18．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；
（2）二次函数的图象与x轴交于点A、B（点A在点B左边），与y轴交于点C，则△ABC面积为 　 　；
（3）当0≤x≤3时，y的取值范围是 　 　．
19．把函数y＝3﹣4x﹣2x2写成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
20．二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
y＝2x2 y＝2（x﹣3）2+6
（0，0） （3，m）
（1，2） （4，8）
（2，8） （5，14）
（﹣1，2） （2，8）
（﹣2，8） （1，14）
（1）m的值为 　 　；
（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；
（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1　 　x2．（填不等号）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：A、y＝5x2，是二次函数，故A符合题意；
B、y＝22﹣2x，是一次函数，故B不符合题意；
C、y＝2x2﹣3x3+1，不是二次函数，故C不符合题意；
D、y＝，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：A．
2．【解答】解：y＝（x﹣1）2+5中，
x2的系数为1，1＞0，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是（1，5），B错误；
函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；
函数图象的对称轴为x＝1，x＜1时y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，D正确．
故选：D．
3．【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．
故选：D．
4．【解答】解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴正半轴．
故选：B．
5．【解答】解：∵y＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3中，a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，顶点坐标是（﹣1，﹣3），对称轴是直线x＝﹣1，
∴函数有最小值是﹣3，
∴A、C、D说法正确；B说法错误．
故选：B．
6．【解答】解：因为y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4．
所以将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y＝（x﹣3+1）2﹣4﹣2，即y＝（x﹣2）2﹣6．
故选：C．
7．【解答】解：∵a+b＝3，c﹣3a＝﹣6，
∴b＝3﹣a，c＝3a﹣6，
∵b，c都是非负数，
∴，
解不等式①得，a≤3，
解不等式②得，a≥2，
∴2≤a≤3，
y＝a2+b+c＝a2+（3﹣a）+3a﹣6，
＝a2+2a﹣3，
∴对称轴为直线a＝﹣＝﹣1，
∴a＝2时，最小值n＝22+2×2﹣3＝5，
a＝3时，最大值m＝32+2×3﹣3＝12，
∴m﹣n＝12﹣5＝7．
故选：D．
8．【解答】解：由图象开口向下得a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，选项A错误，不符合题意．
∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，选项B错误，不符合题意．
由﹣＝1得a＝﹣，
∴y＝ax2+bx+c得y＝﹣x2+bx+c，
把x＝﹣1代入y＝﹣x2+bx+c得y＝﹣b+c，
由图象得﹣b+c＜0，
∴3b﹣2c＞0，C选项错误，不符合题意．
∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝﹣1代入y＝ax2﹣2ax+c得y＝3a+c，
由图象得3a+c＜0，
∴D选项正确，符合题意．
故选：D．
9．【解答】解：如图，∵抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，点N（﹣1，1）是抛物线上的一点，
∴，
解得．
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣4＝﹣（x+3）2+5，
∴M（﹣3，5）．
∵△PMN的周长＝MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需（PM+PN）最小．
如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P．则M′（3，5）．
设直线M′N的解析式为：y＝ax+t（a≠0），则，
解得，
故该直线的解析式为y＝x+2．
当x＝0时，y＝2，即P（0，2）．
同理，如图2，过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P（﹣，0）．
如果点P在y轴上，则三角形PMN的周长＝；如果点P在x轴上，则三角形PMN的周长＝；
所以点P在（0，2）时，三角形PMN的周长最小．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，2）．
故选：A．
10．【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，故b＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0，
故abc＞0，因此①正确，
对称轴为x＝﹣，即﹣＝﹣，即2a＝3b，也就是a＝b，
由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即b﹣b+c＞0，因此有b+2c＞0，所以②正确，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，（1）
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，（2）
（1）+（2）得，5a﹣b+2c＜0，
又2a＝3b，则4a＝6b，
∴5a﹣b+2c＝a+4a﹣b+2c＝a+5b+2c＜0，
因此③正确，
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．【解答】解：当|a|﹣1＝2且a+3≠0时，为二次函数，
∴a＝﹣3（舍去），a＝3．
故答案为3．
12．【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，
∴此函数的对称轴就是直线x＝1．
故答案为：x＝1．
13．【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣1）2﹣m，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，
∵点A（，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）在二次函数y＝2（x﹣1）2﹣m的图象上，且|﹣2﹣1|＞|2﹣1|＞|﹣1|，
∴y1、y2、y3的大小关系为：y3＞y2＞y1．
故答案为：y3＞y2＞y1．
14．【解答】解：y＝﹣2（x﹣1）2+6的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为y＝﹣2（x﹣1+2）2+6﹣5，即y＝﹣2（x+1）2+1．
故答案是：y＝﹣2（x+1）2+1．
15．【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣，
故答案为：﹣．
16．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣＝1，且经过点B、C．
∴BC＝2，
∴正方形的边长为2，
∴C（0，2），B（2，2），
∴c＝2，
∵抛物线为y＝ax2﹣2ax+2，
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c的顶点在正方形OABC的内部，
∴0＜＜2，
解得0＜a＜2，
故答案为0＜a＜2．
三．解答题（共4小题）
17．【解答】解：（1）由y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的一次函数，
得
解得m＝2，
当m＝2时，它是y关于x的一次函数
（2）由y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的二次函数，得
①m﹣4＝0，
解得m＝4；
②m2﹣m＝1，
解得m＝；
③
解得m＝﹣1，
④m2﹣m＝0，
解得m＝0或m＝1，
综上所述，当m＝0或m＝1或m＝4或或﹣1时，它是y关于x的二次函数．
18．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
如图，
（2）∵A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∴AB＝2，OC＝3，
∴S△ABC＝AB OC＝×2×3＝3，
故答案为：3；
（3）由图象可知，当0≤x≤3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．
故答案为﹣1≤y≤3．
19．【解答】解：由y＝3﹣4x﹣2x2，得
y＝﹣2（x+1）2+5（3分）
因为﹣2＜0，所以开口向下．（1分）
顶点坐标为（﹣1，5）（2分）
对称轴方程为x＝﹣1．（2分）
20．【解答】解：（1）将（0，0）先向上平移6个单位，再向右平移3个单位后对应点的坐标为（3，6），
∴m＝6，
故答案为：6；
（2）平移后的函数图象如图：
联立方程组，
解得，
∴y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标为（，），（﹣，）；
（3）∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，
当P，Q两点同在对称轴左侧时，若y1＞y2，则x1＜x2，
当P，Q两点同在对称轴右侧时，若y1＞y2，则x1＞x2，