2022-2023学年北师大版七年级数学上册2.11有理数的混合运算 优生辅导练习题 （含解析）

2022-2023学年北师大七年级数学上册《2.11有理数的混合运算》优生辅导练习题（附答案）
一．选择题
1．有一列数a1，a2，a3，a4，…，an，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1＝2，则a2021值为（　　）
A．2 B．﹣1 C． D．2021
2．“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，如果x△（1△3）＝2，那么x等于（　　）
A．1 B． C． D．2
3．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则的值为（　　）
A． B．99! C．9900 D．2！
4．定义一种关于整数n的“F”运算：
（1）当n是奇数时，结果为3n+5；
（2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．
例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74…；若n＝9，则第2021次运算结果是（　　）
A．1 B．2 C．7 D．8
5．在某一段时间里，计算机按如图所示的程序工作，如果输入的数是﹣1，那么输出的数是（　　）
﹣7 B．0
C．3 D．5
6．定义一种新运算：a※b＝，则2※3﹣4※3的值（　　）
A．5 B．8 C．7 D．6
7．求1+2+22+23+…+22019的值，可令S＝1+2+22+23+…+22019，则2S＝2+22+23+…+22019+22020，因此2S﹣S＝22020﹣1，S＝22020﹣1．参照以上推理，计算4+42+43+…+42018+42019的值为（　　）
A．42020﹣1 B．42020﹣4 C． D．
8．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c
字母 a b c d e f g h i j k l m
序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
字母 n o p q r s t u v w x y z
序号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（　　）
A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc
二．填空题
9．定义一种新运算：x*y＝，如2*1＝＝2，则（4*2）*（﹣1）＝　 　．
10．在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“ ”如下：
当a≥b时，a b＝b2；当a＜b时，a b＝a．
则当x＝2时，（1 x）﹣（3 x）的值为　 　．
11．符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）G（1）＝1，G（2）＝3，G（3）＝5，G（4）＝7，…
（2）G（）＝2，G（）＝4，G（）＝6，G（）＝8，…
利用以上规律计算：G（2020）﹣G（）﹣2020＝　 　．
12．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为　 　．
13．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2换算成十进制数应为：（101）2＝1×22+0×21+1×20＝4+0+1＝5，
（1011）2＝1×23+0×22+1×21+1×20＝11．
按此方式，将二进制（1001）2换算成十进制数的结果是　 　．
14．对于任意两个实数对（a，b）和（c，d），规定：当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“ ”：（a，b） （c，d）＝（ac﹣bd，ad+bc）．若（1，2） （p，q）＝（5，0），则p＝　 　，q＝　 　．
三．解答题
15．计算：﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]．
16．计算﹣32+1÷4×﹣|﹣1|×（﹣0.5）2．
17．已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y＝xy+1．
（1）求2※4的值；
（2）求（1※4）※（﹣2）的值；
（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和〇中，并比较它们的运算结果：□※〇和〇※□；
（4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．
18．阅读理解：给定次序的n个数a1，a2，…，an，记Sk＝a1+a2+…ak，为前k个数的和（1≤k≤n），定义A＝（S1+S2+…+Sn）÷n称它们的“凯森和”，如a1＝2，a2＝3，a3＝3，则s1＝2，s2＝5，s3＝8，凯森和A＝（2+5+8）÷3＝5，若有99个数a1，a2，…，a99的“凯森和”为100，则添上21后的100个数21，求a1，a2，…，a99的凯森和．
19．对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定：a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|．
（1）计算2⊙（﹣4）的值；
（2）若a，b在数轴上的位置如图所示，化简a⊙b．
20．计算：（1）；
（2）﹣24+3﹣16﹣5；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）（﹣47.65）×2+（﹣37.15）×（﹣2）+10.5×（﹣7）．
21．观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，
把以上三个等式两边分别相加得：++＝1﹣+﹣+﹣．
（1）猜想并写出：＝　 　；
（2）规律应用：计算：+++++；
（3）拓展提高：计算：+++…+．
22．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1+，f（2）＝1+，f（3）＝1+，f（4）＝1+…
（1）利用以上运算的规律写出f（n）＝　 　；（n为正整数）
（2）计算：f（1） f（2） f（3）…f（100）的值．
23．阅读探究：12＝；12+22＝；12+22+32＝；12+22+32+42＝；…
（1）根据上述规律，求12+22+32+42+52的值；
（2）你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）；
（3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：62+72+82+92+102+112+122+132+142+152．
24．定义新运算“@”与“ ”：a@b＝，a b＝．
（1）计算3@（﹣2）﹣（﹣2） （﹣1）的值；
（2）若A＝3b@（﹣a）+a （2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a） （﹣2﹣9b），比较A和B的大小．
25．观察下列各式：
31﹣30＝2×30…………①；
32﹣31＝2×31…………②；
33﹣32＝2×32…………③；
……
探索以上式子的规律：
（1）写出第5个等式：　 　；
（2）试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
（3）计算30+31+32+…+32020．
26．定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，同除以11所得的商记为S（x）．
例如，a＝13，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为13+31＝44，和44除以11的商为44÷11＝4，所以S（13）＝4．
（1）下列两位数：20，29，77中，“相异数”为　 　，计算：S（43）＝　 　；
（2）若一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是2（k﹣1），且S（y）＝10，求相异数y；
（3）小慧同学发现若S（x）＝5，则“相异数”x的个位数字与十位数字之和一定为5，请判断小慧发现”是否正确？如果正确，说明理由；如果不正确，举出反例．
27．有个填写运算符号的游戏：“2_3_5_9”，在每个“____”上，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算：2+3﹣5﹣9；
（2）若2÷3×5　 　9＝30，请推算横线上的符号；
（3）在“2　 　3　 　5+9”的横线上填入符号后，使计算所得数最小，直接写出填上符号后的算式及算式的计算结果的最小值．
参考答
一．选择题
1．解：根据题意可知：若a1＝2，则a2＝1﹣＝，a3＝1﹣2＝﹣1，a4＝1﹣（﹣1）＝2，…，这列数的周期为3，
∵2021＝3×670+1
∴a2021＝2．
故选：A．
2．∵x△（1△3）＝2，
x△（1×2﹣3）＝2，
x△（﹣1）＝2，
2x﹣（﹣1）＝2，
2x+1＝2，
∴x＝．
3．解：∵100！＝100×99×98×…×1，98！＝98×97×…×1，
所以＝100×99＝9900．
故选：C．
4．解：由题意n＝9时，第一次经F运算是32，第二次经F运算是1，第三次经F运算是8，第四次经F运算是1…
以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1，
∴第2021次运算结果8，
故选：D．
5．解：由题意得：[﹣1﹣6+（﹣1）2]÷（﹣2）
＝（﹣1﹣6+1）÷（﹣2）
＝3＞2，
∴输出的数是3．
故选：C．
6．解：2※3﹣4※3
＝3×3﹣（4﹣3）
＝9﹣1
＝8，
故选：B．
7．解：设S＝4+42+43+…+42018+42019，
则4S＝42+43+…+42019+42020，
∴4S﹣S＝42020﹣4，
∴3S＝42020﹣4，
∴S＝，
即4+42+43+…+42018+42019的值为．
故选：C．
8．解：m、a、t、h、s分别对应的数字为12、0、19、7、18，它们分别加10除以26所得的余数为22、10、3、17、2，所对应的密文为wkdrc．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．解：4*2＝＝2，
2*（﹣1）＝＝0．
故（4*2）*（﹣1）＝0．
故答案为：0．
10．解：在1 x中，1相当于a，x相当于b，
∵x＝2，
∴符合a＜b时的运算公式，
∴1 x＝1．
在3 x中，3相当于a，x相当于b，
∵x＝2，
∴符合a≥b时的运算公式，
∴3 x＝4．
∴（1 x）﹣（3 x）＝1﹣4＝﹣3．
11．解：G（2020）﹣G（）﹣2020＝2020×2﹣1﹣（2020﹣1）×2﹣2020＝﹣2019．
12．解：根据题意，得①a+2b＝14，②2b+c＝9，③2c+3d＝23，④4d＝28，
解④得，d＝7，
把d＝7代入③得，c＝1，
把c＝1代入②得，b＝4，
把b＝4代入①得，a＝6．
所以明文为6，4，1，7．
故答案为：6，4，1，7．
13．解：原式＝1×23+0×22+0×21+1×20＝9．
故答案为：9．
14．解：根据题意可知（1，2） （p，q）＝（p﹣2q，q+2p）＝（5，0），
∴p﹣2q＝5，q+2p＝0，
解得p＝1，q＝﹣2．
故答案为：1，﹣2．
三．解答题
15．解：原式＝﹣1﹣0.5××（2﹣9）
＝﹣1﹣（﹣）
＝．
16．解：原式＝﹣9+﹣＝﹣9．
17．解：（1）2※4＝2×4+1＝9；
（2）（1※4）※（﹣2）＝（1×4+1）×（﹣2）+1＝﹣9；
（3）令□为﹣1，〇为5，（﹣1）※5＝﹣1×5+1＝﹣4，
5※（﹣1）＝5×（﹣1）+1＝﹣4；
（4）∵a※（b+c）＝a（b+c）+1＝ab+ac+1，a※b+a※c＝ab+1+ac+1＝ab+ac+2．
∴a※（b+c）+1＝a※b+a※c．
18．解：∵99个数a1，a2，…，a99的“凯森和”为100，
∴（S1+S2+…+S99）÷99＝100，
∴S1+S2+…+S99＝9900，
（21+S1+21+S2+21+…+S99+21）÷100
＝（21×100+S1+S2+…+S99）÷100
＝（21×100+9900）÷100
＝21+99
＝120．
故填120．
19．解：（1）2⊙（﹣4）＝|2﹣4|+|2+4|＝2+6＝8；
（2）由数轴知a＜0＜b，且|a|＞|b|，
则a+b＜0、a﹣b＜0，
所以原式＝﹣（a+b）﹣（a﹣b）
＝﹣a﹣b﹣a+b
＝﹣2a．
20．解：（1）原式＝﹣+﹣＝﹣＝3﹣6＝﹣3；
（2）原式＝﹣21﹣16﹣5＝﹣37﹣5＝﹣42；
（3）原式＝﹣8××＝﹣8；
（4）原式＝×8﹣×﹣×＝6﹣1﹣＝；
（5）原式＝﹣×﹣8÷2＝﹣2﹣4＝﹣6；
（6）原式＝×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）＝﹣8+9﹣2＝1﹣2＝﹣1；
（7）原式＝﹣9×﹣[25×（﹣）﹣240×（﹣）×﹣2]
＝﹣3﹣（﹣15+15﹣2）＝﹣3+2＝﹣1；
（8）原式＝×（﹣）﹣×（﹣）＝﹣1+1＝0；
（9）原式＝﹣1﹣××（2﹣9）＝﹣1﹣×（﹣7）＝﹣1+＝；
（10）原式＝﹣9﹣125×﹣18÷9＝﹣9﹣20﹣2＝﹣31；
（11）原式＝﹣1﹣（﹣）×﹣8＝﹣1+2﹣8＝﹣7；
（12）原式＝（37.15﹣47.65）×2﹣10.5×7
＝﹣10.5×﹣10.5×
＝﹣10.5×（+）
＝﹣10.5×10
＝﹣105．
21．解：（1）＝﹣；
（2）+++++
＝1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣
＝1﹣
＝；
（3）+++…+
＝×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝×（1﹣）
＝×
＝．
22．解：（1）∵f（1）＝1+，f（2）＝1+，f（3）＝1+，f（4）＝1+…
∴f（n）＝1+．
（2）f（1） f（2） f（3） … f（100）
＝（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）
＝××××…×
＝
＝5151
故答案为：5151．
23．解：（1）根据题意得：原式＝＝55；
（2）根据题意得：12+22+32+…+n2＝（n为正整数）；
（3）根据题意得：12+22+32+42+52＝55①，
12+22+32+42+52+62+72+82+92+102+112+122+132+142+152＝＝1240②，
则②﹣①得：62+72+82+92+102+112+122+132+142+152＝1185．
24．解：（1）3@（﹣2）﹣（﹣2） （﹣1）
＝﹣
＝+
＝1；
（2）A＝3b@（﹣a）+a （2﹣3b）
＝+
＝3b﹣1，
B＝a@（﹣3b）+（﹣a） （﹣2﹣9b）
＝+
＝3b+1，
则A＜B．
25．（1）根据题意得，35﹣34＝2×34，
故答案为：35﹣34＝2×34；
（2）根据题意得，3n﹣3n﹣1＝2×3n﹣1，
证明：左边＝3n﹣1（3﹣1）＝2×3n﹣1＝右边，
∴3n﹣3n﹣1＝2×3n﹣1；
（3）30+31+32+…+32020＝
＝
＝．
26．解：（1）根据“相异数”的定义可知29是“相异数”，
S（43）＝（43+34）÷11＝7，
故答案为：29，7；
（2）由“相异数”y的十位数字是k，个位数字是2（k﹣1），且S（y）＝10得，
10k+2（k﹣1）+20（k﹣1）+k＝10×11，
解得k＝4，
∴2（k﹣1）＝2×3＝6，
∴相异数y是46；
（3）正确；
设“相异数”的十位数字为a，个位数字为b，则x＝10a+b，
由S（x）＝5得，10a+b+10b+a＝5×11，
即：a+b＝5，
因此，判断正确．
27．解：（1）原式＝5﹣5﹣9＝﹣9；
（2）若2÷3×5×9＝30，因此“空格”上的符号为“×”；
（3）2﹣3×5+9＝﹣4，
故答案为：﹣×．