2022-2023学年湘教版九年级数学上册第2章一元二次方程　单元综合练习题（含解析）

2022-2023学年湘教版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元综合练习题（附答案）
一．选择题
1．若关于x的方程（m﹣3）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程．则m的取值范围是（　　）
A．m≥3 B．m≠3 C．m＝3 D．m≠0
2．方程（y+1）（y﹣1）＝2y2﹣4y﹣6化为一般形式为（　　）
A．y2﹣4y+5＝0 B．y2﹣4y﹣5＝0 C．y2+4y﹣5＝0 D．y2+4y+5＝0
3．若方程（x﹣1）2＝m有解，则m的取值范围是（　　）
A．m≤0 B．m≥0 C．m＜0 D．m＞0
4．用配方法解方程x2+3x+1＝0，经过配方，得到（　　）
A．（x+）2＝ B．（x+）2＝
C．（x+3）2＝10 D．（x+3）2＝8
5．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3＝5x，下列叙述正确的是（　　）
A．a＝﹣4，b＝5，c＝3 B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3
C．a＝4，b＝5，c＝3 D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣3
6．方程（x﹣）2+（x﹣）（x﹣）＝0的较小的根为（　　）
A．﹣ B． C． D．
7．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
8．已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3＝0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2＝5，那么b的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
9．学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．x2＝21 B．＝21 C．＝21 D．x（x﹣1）＝21
10．一个跳水运动员从10m高台上跳水，他每一时刻所在高度（单位：m）与所用时间（单位：s）的关系是：h＝﹣5（t﹣2）（t+1），则运动员起跳到入水所用的时间是（　　）
A．﹣5s B．2s C．﹣1s D．1s
二．填空题
11．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，5※3＝52﹣5×3＝10．若（x+1）※（x﹣2）＝6，则x的值为 　 　．
13．解方程（x﹣x2）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，若设y＝x2﹣x，则原方程可化为　 　．
14．写一个没有实数根的一元二次方程　 　．
15．已知2x（x+1）＝x+1，则x＝　 　．
三．解答题
16．解方程：
（1）（x﹣5）2＝16（直接开平方法）
（2）x2+8x﹣9＝0（配方法）
（3）2x2﹣4x﹣5＝0（公式法）
（4）2x2+10x＝0（因式分解法）
17．关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个相等的实数根．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求此方程的根．
18．已知：关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．
（1）当m为何值时，方程总有两个实数根？
（2）设方程的两实根分别为x1、x2，当x12+x22﹣x1x2＝78时，求m的值．
19．用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为﹣3a2≤0，所以﹣3a2+1有最大值1，即﹣3a2+1≤1，只有在a＝0时，才能得到这个式子的最大值1．
（1）当x＝　 　时，代数式3（x+3）2+4有最　 　（填写大或小）值为　 　．
（2）当x＝　 　时，代数式﹣2x2+4x+3有最　 　（填写大或小）值为　 　．
（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
20．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．
21．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是　 　斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
参考答案
一．选择题
1．解：∵关于x的方程（m﹣3）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，
∴m﹣3≠0，
则m≠3．
故选：B．
2．解：方程整理得：y2﹣4y﹣5＝0，
故选：B．
3．解：根据题意得m≥0时，方程有实数解．
故选：B．
4．解：∵x2+3x+1＝0，
∴x2+3x＝﹣1，
∴x2+3x+（）2＝﹣1+（）2，即（x+）2＝，
故选：B．
5．解：∵﹣4x2+3＝5x
∴﹣4x2﹣5x+3＝0，或4x2+5x﹣3＝0
∴a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3或a＝4，b＝5，c＝﹣3．
故选：B．
6．解：分解因式得：（x﹣）（x﹣+x﹣）＝0，
解得：x1＝，x2＝，
则方程较小的根为，
故选：C．
7．解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＞0，
所以k＞﹣1且k≠0．
故选：D．
8．解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣b，
x1x2＝﹣3，
则x1+x2﹣3x1x2＝5，
﹣b﹣3×（﹣3）＝5，
解得：b＝4．
故选：A．
9．解：设邀请x个球队参赛，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得：＝21，
故选：B．
10．解：设运动员起跳到入水所用的时间是xs，
根据题意可知：﹣5（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x1＝﹣1（不合题意舍去），x2＝2，
那么运动员起跳到入水所用的时间是2s．
故选：B．
二．填空题
11．解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）＝6，
整理得，3x+3＝6，
解得，x＝1，
故答案为：1．
13．解：原方程可变形为：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0
∵y＝x2﹣x，
∴原方程可化为：y2﹣4y﹣12＝0．
14．解：y2+y+1＝0，只要满足b2﹣4ac＜0即可．
故答案为：y2+y+1＝0
15．解：2x（x+1）﹣（x+1）＝0，
（x+1）（2x﹣1）＝0，
x+1＝0或2x﹣1＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝，
故答案为﹣1或．
三．解答题
16．解：（1）x﹣5＝±4，
所以x1＝1，x2＝9；
（2）x2+8x＝9，
x2+8x+16＝25，
（x+4）2＝25，
x+4＝±5，
所以x1＝1，x2＝﹣9；
（3）△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣5）＝56，
x＝，
所以x1＝，x2＝；
（4）2x（x+5）＝0，
2x＝0或x+5＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣5．
17．解：（I）∵方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）2＝8m﹣4＝0，
解得：m＝．
（II）将m＝代入原方程，得：x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，
解得：x1＝x2＝．
18．解：（1）∵△≥0时，一元二次方程总有两个实数根，
Δ＝[2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣3）＝8m+16≥0，
m≥﹣2，
所以m≥﹣2时，方程总有两个实数根．
（2）∵x12+x22﹣x1x2＝78，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝78，
∵x1+x2＝﹣，x1 x2＝，
∴﹣[2（m+1）]2﹣3×1×（m2﹣3）＝78，
解得m＝5或﹣13（舍去），
故m的值是m＝5．
19．解：（1）∵（x+3）2≥0，
∴当x＝﹣3时，（x+3）2的最小值为0，
则当x＝﹣3时，代数式3（x+3）2+4的最小值为4；
（2）代数式﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，
则当x＝1时，代数式﹣2x2+4x+3的最大值为5；
（3）设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16﹣2x）m，
∴花园的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x2﹣8x+16）+32＝﹣2（x﹣4）2+32，
则当边长为4米时，花园面积最大为32m2．
故答案为：（1）﹣3，小，4；
（2）1，大，5；
20．解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，
根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6＝33，
解之得x＝5，
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE＝AD＝6，PQ＝10，
∵PA＝3t，CQ＝BE＝2t，
∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102，
解得t1＝4.8，t2＝1.6．
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．
21．解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20＝（100+200x）（斤）；
（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，
解得：x＝或x＝1，
当x＝时，销售量是100+200×＝200＜260；
当x＝1时，销售量是100+200＝300（斤）．
∵每天至少售出260斤，
∴x＝1．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．