2022-2023学年北师大版八年级数学上册 1.3 勾股定理的应用 同步练习 （含答案）

北师大版八上 1.3 勾股定理的应用
一、选择题（共11小题）
1. 如图，已知矩形 沿着直线 折叠，使点 落在 处， 交 于点 ，，，则 的长为
A. B. C. D.
2. 如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面 处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 处，旗杆折断之前的高度是
A. B. C. D.
3. 如图，圆柱体的底面圆周长为 ，高 为 ， 是上底面的直径．一只蚂蚁从点 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 ，则爬行的最短路程为
A. B. C. D.
4. 如图，在水塔 的东北方向 处有一抽水站 ，在水塔的东南方向 处有一建筑工地 ，在 间建一条直水管，则水管的长为
A. B. C. D.
5. 如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸（单位：）计算两圆孔中心 和 的距离为
A. B. C. D.
6. 如图（1）是一直角三角形纸片，， ，将其折叠，使点 落在斜边上的点 处，折痕为 ，如图（2），再将（2）沿 折叠，使点 落在 的延长线上的点 处，如图（3），则折痕 的长为
A. B. C. D.
7. 如图，小巷左石两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 米，顶端距离地面 米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 米，则小巷的宽度为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8. 如图，长方体 中，点 是棱 的中点，且 ，，一只蚂蚁从盒底的点 沿盒的表面爬到盒顶的点 处，它爬行的最短路程是
A. B. C. D.
9. 已知：如图，折叠矩形 ，使点 落在对角线 上的点 处，若 ，，则线段 的长度是
A. B. C. D.
10. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离 为 米，梯子顶端到地面的距离 为 米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离 为 米，则小巷的宽为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
11. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索 的长度为 米，若将它往水平方向向前推进 米（即 米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
二、填空题（共6小题）
12. 如图，在 中，，，，将 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，则 的周长为 ．
13. 如图所示的一只玻璃杯，杯高为 ，将一根筷子插入其中，杯外最长 ，最短 ，那么这只玻璃杯的内径是 ．
14. 如图，长方体的底面边长分别为 和 ，高为 ．如果用一根细线从点 开始经过 个侧面缠绕一圈到达点 ，那么所用细线最短需要 ；如果从点 开始经过 个侧面缠绕 圈到达点 ，那么所用细线最短需要
15. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 ，，现直角边沿直线 折叠，使它落在斜边 上，且与 重合，则 的长为 ．
16. 《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何 ”译文：有一根竹子原高一丈（ 丈 尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根 尺，试问折断处离地面多高 我们用线段 和线段 来表示竹子，其中线段 表示竹子折断部分，用线段 表示竹梢触地处离竹根的距离，则竹子折断处离地面的高度 是 尺．
17. 如图，已知圆柱体底面的半径为 ，高为 ，， 分别是两底面的直径．若一只小虫从 点出发，沿圆柱侧面爬行到 点，则小虫爬行的最短路线长度是 （结果保留根号）．
三、解答题（共7小题）
18. 如图，已知某学校 与直线公路 相距 ，且与该公路上一个车站 相距 ．现要在公路边建一个超市 ，使之与学校 及车站 的距离相等，那么该超市与车站 的距离是多少米
19. 如图，有一个圆柱，它的高等于 ，底面半径等于 ，在圆柱的底面 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 点相对的 点的食物，需要爬行的最短路程是多少
20. 在 中，，，，， 分别是斜边 和直角边 上的点，把 沿着直线 折叠，顶点 的对应点是 ．
（1）如图（），如果点 和顶点 重合，求 的长；
（2）如图（），如果点 落在 的中点上，求 的长．
21. 四棱柱按如图所示粗线剪开一些棱，展成平面图形，请画出平面图．
22. 如图，， 两地之间有一座山，汽车原来从 地到 地需经过 地沿折线 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线 行驶．已知 千米，，．则隧道开通后，汽车 地到 地比原来少走多少千米 （结果保留根号）
23. 如图，折叠长方形 的一边 ，使点 落在 的点 处，已知 ，，求 的长．
24. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（ 丈 尺）
大意是：有一个水池，水面是一个边长为 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少 将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽 尺，线段 ， 表示芦苇， 于点 ．
（1）图中 尺， 尺；
（2）求水的深度与这根芦苇的长度．
答案
1. C
2. D
3. B
4. B
5. B
6. A
7. A
8. A
【解析】如图所示，将长方体展开，使面 和面 在同一个平面内，连接 ．
在 中，，．
由勾股定理，得 ．
则 ．
即蚂蚁需要爬行的最短路程是 ．
9. B
10. C
11. A
【解析】如图，过点 作 于点 ，
根据题意，得 米， 米，
在 中，由勾股定理，得 ，
，
米，
米．
此时木马上升的高度为 米，故选A．
12.
13.
14. ，
【解析】
如图，依题意，得从点 开始经过 个侧面缠绕一圈到达点 时，最短距离为 ，
此时，由勾股定理，得 ，即所用细线最短为 ．
若从点 开始经过 个侧面缠绕 圈到达点 ，
则长方体的侧面展开图的一边长由 变成 ，即 ，
由勾股定理，得 ，
即所用细线最短为 ，或 ．
15.
16.
【解析】设 .由勾股定理，得 .
17.
【解析】将圆柱的侧面沿 剪开并铺平得长方形 ，连接 ，如图．
线段 就是小虫爬行的最短路线．
根据题意得 ．
在 中，由勾股定理，得，
．
所以 ．
18. 该超市与车站 的距离是 ．
19. 把圆柱沿着过 点的高 剪开，得到如图所示的平面展开图，
则蚂蚁应沿线段 这条路线走时路程最短．
，，
，
故最短路程是 ．
20. （1） 如图（），
设 ，则 ，
由题意得：，
由勾股定理得：，
解得：，
即 的长为：．
（2） 如图（），
点 落在 的中点，
，
设 ，类比（）中的解法，可列出方程：，
解得：．
即 的长为：．
21.
展成平面图如图所示.
22. 过点 作 ，垂足为 ．
在 中，
，
（千米），
（千米）．
又 ，
（千米），（千米），
（千米）．
答：汽车从 地到 地比原来少走 千米．
23. ，， ，
， ，
，
24. （1） ；
【解析】根据题意： 是芦苇高出水面部分，即 尺， 是水面边长一半，即： 尺，
故答案是：，．
（2） 设芦苇长 尺，则水的深度为 尺，
根据题意得：，
解得：，
（尺），
答：芦苇长 尺，则水的深度为 尺．