北师大版八上 1.3 勾股定理的应用
一、选择题(共11小题)
1. 如图,已知矩形 沿着直线 折叠,使点 落在 处, 交 于点 ,,,则 的长为
A. B. C. D.
2. 如图,一根垂直于地面的旗杆在离地面 处撕裂折断,旗杆顶部落在离旗杆底部 处,旗杆折断之前的高度是
A. B. C. D.
3. 如图,圆柱体的底面圆周长为 ,高 为 , 是上底面的直径.一只蚂蚁从点 出发,沿着圆柱的侧面爬行到点 ,则爬行的最短路程为
A. B. C. D.
4. 如图,在水塔 的东北方向 处有一抽水站 ,在水塔的东南方向 处有一建筑工地 ,在 间建一条直水管,则水管的长为
A. B. C. D.
5. 如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中标出的尺寸(单位:)计算两圆孔中心 和 的距离为
A. B. C. D.
6. 如图(1)是一直角三角形纸片,, ,将其折叠,使点 落在斜边上的点 处,折痕为 ,如图(2),再将(2)沿 折叠,使点 落在 的延长线上的点 处,如图(3),则折痕 的长为
A. B. C. D.
7. 如图,小巷左石两侧是竖直的墙壁,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为 米,顶端距离地面 米.若梯子底端位置保持不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面 米,则小巷的宽度为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8. 如图,长方体 中,点 是棱 的中点,且 ,,一只蚂蚁从盒底的点 沿盒的表面爬到盒顶的点 处,它爬行的最短路程是
A. B. C. D.
9. 已知:如图,折叠矩形 ,使点 落在对角线 上的点 处,若 ,,则线段 的长度是
A. B. C. D.
10. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离 为 米,梯子顶端到地面的距离 为 米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,梯子顶端到地面的距离 为 米,则小巷的宽为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
11. 如图,有一个绳索拉直的木马秋千,绳索 的长度为 米,若将它往水平方向向前推进 米(即 米),且绳索保持拉直的状态,则此时木马上升的高度为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
二、填空题(共6小题)
12. 如图,在 中,,,,将 折叠,使点 与点 重合,折痕为 ,则 的周长为 .
13. 如图所示的一只玻璃杯,杯高为 ,将一根筷子插入其中,杯外最长 ,最短 ,那么这只玻璃杯的内径是 .
14. 如图,长方体的底面边长分别为 和 ,高为 .如果用一根细线从点 开始经过 个侧面缠绕一圈到达点 ,那么所用细线最短需要 ;如果从点 开始经过 个侧面缠绕 圈到达点 ,那么所用细线最短需要
15. 如图,有一块直角三角形纸片,两直角边 ,,现直角边沿直线 折叠,使它落在斜边 上,且与 重合,则 的长为 .
16. 《九章算术》中记载:“今有竹高一丈,未折抵地,去根三尺,问折者高几何 ”译文:有一根竹子原高一丈( 丈 尺),中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根 尺,试问折断处离地面多高 我们用线段 和线段 来表示竹子,其中线段 表示竹子折断部分,用线段 表示竹梢触地处离竹根的距离,则竹子折断处离地面的高度 是 尺.
17. 如图,已知圆柱体底面的半径为 ,高为 ,, 分别是两底面的直径.若一只小虫从 点出发,沿圆柱侧面爬行到 点,则小虫爬行的最短路线长度是 (结果保留根号).
三、解答题(共7小题)
18. 如图,已知某学校 与直线公路 相距 ,且与该公路上一个车站 相距 .现要在公路边建一个超市 ,使之与学校 及车站 的距离相等,那么该超市与车站 的距离是多少米
19. 如图,有一个圆柱,它的高等于 ,底面半径等于 ,在圆柱的底面 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与 点相对的 点的食物,需要爬行的最短路程是多少
20. 在 中,,,,, 分别是斜边 和直角边 上的点,把 沿着直线 折叠,顶点 的对应点是 .
(1)如图(),如果点 和顶点 重合,求 的长;
(2)如图(),如果点 落在 的中点上,求 的长.
21. 四棱柱按如图所示粗线剪开一些棱,展成平面图形,请画出平面图.
22. 如图,, 两地之间有一座山,汽车原来从 地到 地需经过 地沿折线 行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线 行驶.已知 千米,,.则隧道开通后,汽车 地到 地比原来少走多少千米 (结果保留根号)
23. 如图,折叠长方形 的一边 ,使点 落在 的点 处,已知 ,,求 的长.
24. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何.( 丈 尺)
大意是:有一个水池,水面是一个边长为 尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面 尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少 将这个实际问题转化为数学问题,根据题意画出图形(如图所示),其中水面宽 尺,线段 , 表示芦苇, 于点 .
(1)图中 尺, 尺;
(2)求水的深度与这根芦苇的长度.
答案
1. C
2. D
3. B
4. B
5. B
6. A
7. A
8. A
【解析】如图所示,将长方体展开,使面 和面 在同一个平面内,连接 .
在 中,,.
由勾股定理,得 .
则 .
即蚂蚁需要爬行的最短路程是 .
9. B
10. C
11. A
【解析】如图,过点 作 于点 ,
根据题意,得 米, 米,
在 中,由勾股定理,得 ,
,
米,
米.
此时木马上升的高度为 米,故选A.
12.
13.
14. ,
【解析】
如图,依题意,得从点 开始经过 个侧面缠绕一圈到达点 时,最短距离为 ,
此时,由勾股定理,得 ,即所用细线最短为 .
若从点 开始经过 个侧面缠绕 圈到达点 ,
则长方体的侧面展开图的一边长由 变成 ,即 ,
由勾股定理,得 ,
即所用细线最短为 ,或 .
15.
16.
【解析】设 .由勾股定理,得 .
17.
【解析】将圆柱的侧面沿 剪开并铺平得长方形 ,连接 ,如图.
线段 就是小虫爬行的最短路线.
根据题意得 .
在 中,由勾股定理,得,
.
所以 .
18. 该超市与车站 的距离是 .
19. 把圆柱沿着过 点的高 剪开,得到如图所示的平面展开图,
则蚂蚁应沿线段 这条路线走时路程最短.
,,
,
故最短路程是 .
20. (1) 如图(),
设 ,则 ,
由题意得:,
由勾股定理得:,
解得:,
即 的长为:.
(2) 如图(),
点 落在 的中点,
,
设 ,类比()中的解法,可列出方程:,
解得:.
即 的长为:.
21.
展成平面图如图所示.
22. 过点 作 ,垂足为 .
在 中,
,
(千米),
(千米).
又 ,
(千米),(千米),
(千米).
答:汽车从 地到 地比原来少走 千米.
23. ,, ,
, ,
,
24. (1) ;
【解析】根据题意: 是芦苇高出水面部分,即 尺, 是水面边长一半,即: 尺,
故答案是:,.
(2) 设芦苇长 尺,则水的深度为 尺,
根据题意得:,
解得:,
(尺),
答:芦苇长 尺,则水的深度为 尺.