2022-2023学年人教版九年级数学上册22.2 二次函数与一元二次方程 复习试题 （含解析）

人教版九年级上册数学一元二次方程与二次函数复习
一、选择题
下列方程中是关于的一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
下列各式中，是的二次函数的是( )
A. B. C. D.
已知，是关于的方程的两实数根，且，，则的值是( )
A. B. C. D.
当时，方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 不能确定有无实数根
用配方法解一元二次方程，配方正确的是( )
A. B. C. D.
将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到新抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
抛物线过，，三点，则，，大小关系是( )
A. B. C. D.
若二次函数的图象经过点，则不等式的解集为( )
A. B. C. D. 或
下列关于抛物线有关性质的说法，正确的是( )
A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线
C. 其最大值为 D. 当时，随的增大而减小
某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为( )
A. B.
C. D.
函数与在同一坐标系中的大致图象可能为( )
A. B.
C. D.
二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的交点为、，其中，有下列结论：
；；；；；其中，正确的结论有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题
关于的一元二次方程的一个根，则值为______．
方程的一个实数根为，则的值是
如果抛物线经过原点，且它的对称轴是直线，那么抛物线与轴的另一个交点坐标是 ．
若抛物线有最小值，则常数的值为 ．
校生物小组有一块长，宽的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为，小道的宽应是______米．
我们约定：为函数的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”若关联数为的函数图象与轴有两个整交点为正整数，则这个函数图象上整交点的坐标为______．
三、解答题
用适当的方法解下列方程：
；
．
已知函数是关于的二次函数．求：
满足条件的的值；
当为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，为何值时，随的增大而增大？
疫情期间，某地开展“抗击疫情教科研在行动”中，鼓励名师率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上直播课．据统计，第一天公益课受益学生万人次，第三天公益课受益学生万人次．若第二天，第三天公益课受益学生人次的增长率相同，请求出这个增长率？
已知关于的方程
求证：无论取何值时，方程总有实数根；
若等腰三角形一边长为，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长．
某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图所示，成本与销售月份之间的关系如图所示．
已知月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每干克的收益是多少元？收益售价成本
分别求出、与之间的函数关系式；
哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由．
已知：二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．
求抛物线的解析式；
抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值；
若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误；
B、当时，、、是常数时，是一元二次方程，故此选项错误；
C、是一元二次方程，故此选项正确；
D、是一元一次方程，故此选项错误；
故选：．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
2.【答案】
【解析】解：不是二次函数，故此选项不合题意；
B. 不是二次函数，故此选项不合题意；
C. 是二次函数，故此选项满足题意；
D. 不是二次函数，故此选项不合题意．
3.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
根据根与系数的关系和已知和的值，可求、的值，再代入求值即可．
【解答】
解：，是关于的方程的两实数根，
，，
解得，，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式，根据已知条件得到其根的判别式的符号是解决本题的关键．利用判断方程的根的判别式后即可判断方程根的情况．
【解答】
解：，
，
方程中，，
方程无实数根，
故选C．
5.【答案】
【解析】解：由原方程，得
，
，
则，
故选A．
先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为，等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可解答．
本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
6.【答案】
【解析】解：抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
新抛物线顶点坐标为，
所得到的新的抛物线的解析式为．
故选：．
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便．
7.【答案】
【解析】解：抛物线的开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而减小，
点、、是抛物线上的三点，
点关于对称轴的对称点是，
，
，
故选：．
先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：将代入得，
抛物线，
将代入得，
解得，，
抛物线开口向下，
时，
故选：．
由抛物线经过可得抛物线解析式，将代入抛物线解析式可得抛物线与轴交点横坐标，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
9.【答案】
【解析】解：抛物线，
，该抛物线开口向上，故选项A错误；
其图象的对称轴是直线，故选项B错误；
当，可以取得最小值，故选项C错误；
当时，随的增大而减小，故选项D正确；
故选：．
根据题目中抛物线和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10.【答案】
【解析】解：全班有名同学，
每名同学要送出张；
又是互送照片，
总共送的张数应该是．
故选：．
如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程．
本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系，根据函数图象与系数的关系逐项分析判断即可．
【解答】
解：由直线可知，，由抛物线可知，，，故A不符合题意
B.由直线可知，，由抛物线可知，，，故B符合题意
C.由直线可知，，由抛物线可知，，，故C不符合题意
D.由直线可知，，由抛物线可知，，，故D不符合题意．
故选B．
12.【答案】
【解析】
【分析】
主要考查了二次函数的图象，性质及二次函数与系数的关系．
根据开口方向得、对称轴在轴左侧，则同号，抛物线与轴交于负半轴，得出，即可求解；
对称轴为直线，，即可求解；
对称轴为直线，则，即可求解；
时，，为最小值，据此判断；
时，，即，即可求解．
【解答】
解：抛物线开口向上，，对称轴在轴左侧，则，则，抛物线与轴交于负半轴，故，故，故错误；
对称轴为直线，，则，正确；
对称轴为直线，则，，故正确；
时，，为最小值，故，即，故错误；
时，，即，而，故，正确．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，注意根据已知得出且，题目比较好，但是一道比较容易出错的题．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出，，求出的值即可．
【解答】
解：把代入方程得：，
解得：，
是关于的一元二次方程，
，
即，
的值是．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把代入方程得出把代入方程得出，再代入到即可求解．
【解答】
解：是一元二次方程的一个实数根，
，
．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质．
抛物线经过且对称轴为直线，根据抛物线的对称性求解．
【解答】
解：抛物线经过，且对称轴为直线，
由抛物线的对称性可得抛物线与轴另一个交点为，
故答案为：．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，解答此题要掌握二次函数图象的特点．
根据二次函数概念和性质可知，，，解得即可．
【解答】
解：因为抛物线有最小值，
所以，，
解得，
故答案为：．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式．另外求出块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．
设道路的宽为，将块草地平移为一个长方形，长为，宽为根据长方形面积公式即可求出道路的宽．
解：设道路的宽为，依题意有
，
整理，得，
，
，不合题意，舍去，
答：小道的宽应是．
故答案为．

18.【答案】、或
【解析】解：根据题意，令，将关联数代入函数，则有，
关联数为的函数图象与轴有两个整交点
由求根公式可得
所以：，
当时满足题意，此时
所以这个函数图象上整交点的坐标为，；
令，可得，即得这个函数图象上整交点的坐标为．
综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为，和；
故答案为：，和．
根据题意令，将关联数代入函数，则有，利用求根公式可得，将代入可得函数图象与轴的交点坐标；令，可得，即得这个函数图象上整交点的坐标．
本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的特征，理解题意是解答此题的关键．
19.【答案】解：，
，
，
解得：，；
，，，
，
则，
即，．
【解析】利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
20.【答案】解：函数是关于的二次函数，得
，
解得或；
当时，函数有最高点；
，
最高点的坐标为，
当时，随的增大而增大．
【解析】根据二次函数的指数是二，可得方程，根据解方程，可得答案；
根据函数有最大值，可得二次项系数是负数，根据顶点坐标是函数的最值，可得答案；根据时，对称轴的左侧随的增大而增大，可得答案．
本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出值是解题关键，又利用了二次函数的性质．
21.【答案】解：设增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：这个增长率为．
【解析】根据“第二天，第三天公益课受益学生人次的增长率相同”列出等式计算即可．
22.【答案】解：证明：，
无论取何值，这个方程总有实数根；
若腰长为，将代入原方程，得：，
解得：，
原方程为，
解得：，．
组成三角形的三边长度为、、；
若底边长为，则此方程有两个相等实数根，
，即，
此时方程为，
解得：，
由于，不能构成三角形，舍去；
所以三角形另外两边长度为和．
【解析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；代入求出值．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可证出：无论取何值，这个方程总有实数根；
分腰长为和底边长度为两种情况分别求解可得．
23.【答案】解：由图可知，月份每千克售价为元，成本为元，
每千克收益为元；
设，将和代入得，
，解得．
．
设，把代入得，
，解得．
，即．
收益
，
，
当时，．
故月出售这种蔬菜，每千克收益最大，每干克的收益最大为元．
【解析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题关键，掌握配方法是求二次函数最大值常用的方法．
找出对应的和，两者差即为利润；
观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出和的解析式；
由收益列出与的函数关系式，利用配方求出二次函数的最大值．
24.【答案】解：因为二次函数的图象经过，，所以，
解得．
所以一次函数解析式为．
抛物线对称轴，，，
、关于轴对称，连接与对称轴的交点就是点，
此时．
设点坐标，
令，，
或，
点坐标，
，
，
，，
或或或．
点坐标为或或或．
【解析】把、两点坐标代入二次函数，解方程组即可解决．
利用轴对称找到点，用勾股定理即可解决．
根据三角形面积公式，列出方程即可解决．
本题考查待定系数法确定二次函数解析式、轴对称最短问题，解题关键是熟练掌握待定系数法求抛物线解析式，学会利用对称解决最短问题，用方程的思想去思考问题，属于中考常考题型．