2022-2023学年北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程根与系数的关系 同步测试题 （含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程根与系数的关系》
同步测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．若α和β是关于x的方程x2+bx﹣1＝0的两根，且αβ﹣2α﹣2β＝﹣11，则b的值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5
2．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（　　）
A．x1+x2＞0 B．x1 x2＜0
C．x1≠x2 D．方程的根有可能为0
3．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+3a+2b的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
4．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于（　　）
A．2022 B．2026 C．2030 D．2034
5．已知关于x的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y＝4t2﹣4t﹣5m+4，则（　　）
A．y＞﹣2 B．y≥﹣2 C．y≤﹣2 D．y＜﹣2
6．若a，b，c是△ABC的三边长，则关于x的方程的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有两相等的实数根
C．有两不相等的实数根 D．无法确定
7．已知一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0且a≠1 D．a＞0且a≠1
8．已知a，b是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是（　　）
A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．1
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是 　 　．
10．菱形的两条对角线的长是方程x2﹣7x+4＝0的两根，则菱形的面积是 　 　．
11．已知：m、n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，则（m2﹣1）（n2﹣1）＝　 　．
12．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2﹣n的值等于 　 　．
13．已知两个非零实数a，b满足a2+a＝b+3，b2+b＝a+3，则代数式的值为 　 　．
14．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，若2（x1+x2）＝3x1 x2，则k＝　 　．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0，有两个不相等的实数根m，n．
（1）求t的取值范围；
（2）当t＝3时，解这个方程；
（3）若m，n是方程的两个实数根，设Q＝（m﹣2）（n﹣2），试求Q的最小值．
17．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长分别为关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根．
（1）无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k＝2时，请判断△ABC的形状并说明理由；
（3）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有x1，x2两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1＝1，求x2及m的值；
（3）是否存在实数m，满足m（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣4？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
19．[问题背景]若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则利用求根公式得x1＝，x2＝，其中b2﹣4ac≥0．根据问题背景回答下列问题：
（1）直接写出一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个根x1＝　 　，x2＝　 　．
（2）在（1）的条件下，写出x1+x2＝　 　，x1 x2＝　 　．
（3）在（2）的条件下，求出下列式子的值．
①x12+2x1x2+x22；
②+．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程只有一个小于4的根，求m的取值范围；
（3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12+x22﹣4，判断动点P（m，n）所形成的数图象是否经过点A（﹣5，9），并说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵α和β是关于x的方程x2+bx﹣1＝0的两根，
∴α+β＝﹣b，αβ＝﹣1，
∴αβ﹣2α﹣2β＝αβ﹣2（α+β）＝﹣1+2b＝﹣11．
∴b＝﹣5．
故选：C．
2．解：A、根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2＞0，结论A正确，不符合题意；
B、根据根与系数的关系可得出x1 x2＝﹣m2≤0，结论B不一定正确，符合题意；
C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，结论C正确，不符合题意；
D、由x1 x2＝﹣m2≤0，结合判别式可得出方程的根有可能为0，结论D正确，不符合题意．
故选：B．
3．解：∵a是方程x2+x﹣2022＝0的实数根，
∴a2+a﹣2022＝0，
∴a2+a＝2022，
∵a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a2+3a+2b＝a2+a+2a+2b＝2022+2×（﹣1）＝2020．
故选：A．
4．解：∵x1是方程x2﹣4x﹣2022＝0的实数根，
∴x12﹣4x1﹣2022＝0，
∴x12＝4x1+2022，
∴x12﹣2x1+2x2＝4x1+2022﹣2x1+2x2＝2022+2（x1+x2），
∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2022＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，
∴x12﹣2x1+2x2＝2022+2×4＝2030．
故选：C．
5．解：∵方程有实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×m≥0，
解得m≤1，
∵方程x2﹣x+m＝0的根为t，
∴t2﹣t+m＝0，
∴4t2﹣4t+m＝0，
即4t2﹣4t＝﹣m，
∴y＝4t2﹣4t﹣5m+4＝﹣m﹣5m+4＝﹣6m+4，
∵m≤1，
∴y≥﹣2．
故选：B．
6．解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a+b＞c＞0．
在方程中，
Δ＝[﹣（a+b）]2﹣4×c2＝（a+b）2﹣c2＞0，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
7．解：∵一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2+4（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，
解得：a≥0且a≠1．
故选：C．
8．解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝﹣（2m+3），ab＝m2，
∵，即＝＝﹣1，
解得：m1＝﹣1，m2＝3．
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2m+3）2﹣4m2＝12m+9＞0，
∴m＞﹣，
∴m＝3．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．解：根据题意得k+2≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k+2）×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣3且k≠﹣2，
所以实数k的取值范围是k≥﹣3且k≠﹣2．
故答案为：k≥﹣3且k≠﹣2．
10．解：设方程x2﹣7x+4＝0的两个根为a，b，
则由根与系数的关系得：ab＝4，
∵菱形的两条对角线的长是方程x2﹣7x+4＝0的两根，
∴菱形的对角线的积为4，
∴菱形的面积是＝2，
故答案为：2．
11．解：根据题意得m+n＝1，mn＝﹣2，
所以（m2﹣1）（n2﹣1）
＝m2n2﹣m2﹣n2+1
＝m2n2﹣（m+n）2+2mn+1
＝（﹣2）2﹣12+2×（﹣2）+1
＝4﹣1﹣4+1
＝0．
故答案为：0．
12．解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，m2+m﹣2021＝0，即m2+m＝2021，
则原式＝m2+m﹣（m+n）
＝2021﹣（﹣1）
＝2021+1
＝2022．
故答案为：2022．
13．解：两式相加得：a2+a+b2+b＝b+3+a+3，
∴a2+b2＝6，
两式相减得：a2+a﹣b2﹣b＝b+3﹣a﹣3，
∴（a﹣b）（a+b+2）＝0，
∴a＝b或a+b＝﹣2，
当a＝b时，+＝+＝2，
当a+b＝﹣2时，
∵a2+b2＝6，
∴（a+b）2﹣2ab＝6，即（﹣2）2﹣2ab＝6，
∴ab＝﹣1，
∴+＝＝＝﹣6，
综上所述，代数式的值为2或﹣6，
故答案为：2或﹣6．
14．解：∵关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k+4，x1 x2＝4k，
∵2（x1+x2）＝3x1 x2，
∴2（k+4）＝3×4k，
解得k＝0.8，
故答案为：0.8．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．（1）证明：Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵等腰三角形一腰长为5，
∴另外一边长度为5，
∴方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一个根为5，
∴25﹣5（k+2）+2k＝0，
解得k＝5，
∴方程为x2﹣（5+2）x+2×5＝0，
∴（x﹣5）（x﹣2）＝0，
解得x1＝5，x2＝2，
故△ABC的周长＝5+5+2＝12．
16．解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）＞0，
解得t＞2，
即t的取值范围为t＞2；
（2）当t＝3时，方程化为x2﹣6x+7＝0，
x2﹣6x+9＝2，
（x﹣3）2＝2，
x﹣3＝±，
所以x1＝3+，x2＝3﹣；
（3）根据根与系数的关系得m+n＝2t，mn＝t2﹣2t+4，
Q＝mn﹣2（m+n）+4
＝t2﹣2t+4﹣4t+4
＝t2﹣6t+8
＝（t﹣3）2﹣1，
∵t＞2，
∴当t＝3时，Q有最小值，最小值为﹣1．
17．解：（1）Δ＝（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）＝1＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k＝2时，
∴原方程化为：x2﹣7x+12＝0，
解得：x＝3或x＝4，
∴32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当BC是等腰三角形的腰时，
∴x＝5是方程的x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0解，
∴25﹣5（2k+3）+k2+3k+2＝0，
解得：k2﹣7k+12＝0，
∴k＝3或k＝4，
若k＝3时，
则方程为：x2﹣9x+20＝0，
∴x＝4或x＝5，满足三角形三边关系，
此时周长为14；
若k＝4时，
则方程：x2﹣11x+30＝0，
∴x＝5或x＝6，满足三角形三边关系，
此时周长为16；
当BC是等腰三角形的底边时，
此时方程的x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0有两个相等的解，不满足题意，
综上所述，△ABC的周长为14或16；
18．解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝16﹣4（m﹣1）≥0．
解得m≤5．
（2）依题意：x1+x2＝4，x1 xx＝m﹣1且x1＝1
则：x2＝3，m＝4；
（3）∵m（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣4，
19．解：（1）x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝3，
（x﹣2）2＝3，
x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣；
故答案为：2+；2﹣；
（2）x1+x2＝2++2﹣＝4；
x1x2＝（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1；
故答案为：4，1；
（3）①原式＝（x1+x2）2＝42＝16；
②原式＝＝＝＝14．
20．（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+4）]2﹣4（2m+4）＝m2≥0，
∴该一元二次方程总有两个实数根；
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0
∴a＝1，b＝﹣（m+4），c＝2m+4
∴由一元二次方程的求根公式得：x＝＝
∴x1＝m+2，x2＝2
∵该方程只有一个小于4的根
∴m+2≥4
∴m≥2；
（3）由韦达定理得：x1+x2＝m+4，x1x2＝2m+4
∴n＝x12+x22﹣4
＝﹣2x1x2﹣4
＝（m+4）2﹣2（2m+4）﹣4
＝m2+4m+4
∴动点P（m，n）可表示为（m，m2+4m+4）
∴当m＝﹣5时，m2+4m+4＝25﹣20+4＝9
∴动点P（m，n）所形成的数图象经过点A（﹣5，9）．