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人教A版 必修第一册
1.5全称量词与存在量词
第一章 集合与常用逻辑用语
(1)了解全称量词与存在量词的概念；
(2)理解全称量词命题与存在量词命题的概念；
(3)判断全称量词命题和存在量词命题的否定后命题的真假。
教学目标
下列语句是命题吗 比较(1)与(3),(2)与(4)，它们之间有什么关系
(1) x>3
(2) 2x+1是整数
(3) 对所有的x R,x>3
(4) 对任意一个x Z,2x+1是整数
是
是
不是
不是
思考
下列语句是命题吗 比较(1)与(3),(2)与(4)，它们之间有什么关系
(1) x>3
(2) 2x+1是整数
(3) 对所有的x R,x>3
(4) 对任意一个x Z,2x+1是整数
思考
(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量 x进行限定;
(4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对 变量x进行限定.
1. 全称量词及表示:
短语“所有的”、任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”在逻辑中通常叫全称量词。
定义：
表示：
用符号“ ”表示
全称量词命题
常见的全称量词有“一切”“每一个”“任给”“所有的”“全部的”“只要是”“任意的”“凡是”等等
全称量词命题
2. 全称量词命题及表示:
定义：
含有全称量词的命题，叫全称量词命题。
表示：
全称量词命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”用符号简记为:
读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。
请用不同表述方法表示全称量词命题“”
【解】表述①：对所有的成立
表述②：对一切成立
表述③：对每一个成立
表述④：任选一个成立
表述⑤：凡是成立
全称量词命题
(2)所有的正方形都是矩形。
都是全称量词命题。
例如:命题 (1)对任意的n Z,2n+1是奇数;
全称量词命题
全称量词命题
(1)实数都能写成小数形式;
(2)凸多边形的外角和等于3600
练习：用量词“ ”表达下列命题:
（3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数
x R, x能写成小数形式
x {x|x是凸n边形},x的外角和等于3600
x R,x·(-1)= -x
全称量词命题
【1】从集合的观点来看，
全称量词命题是陈述某个集合中的所有元素都具有某种相同的性质。因此，全称量词表示的数量可以是无限的，也可以是有限的。这取决于所描述的这个集合中的元素的个数。
全称量词命题
【2】一个全称量词命题可以表示包含多个变量，如 “”
【3】全称量词命题中一般含有全称量词，但是有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，
例如“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”
例1.判断下列全称量词命题的真假.
(1) 所有的素数都是奇数;
(2) x R, |x|+1≥1
(3) 对每一个无理数x,x2也是无理数
(4)所有能被3整除的整数都是奇数；
典型例题
思考：如何判断全称量词命题的真假？
方法:
若判定一个全称量词命题“x∈M ，p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x，证明P(x)成立;
若判定一个全称量词命题“x∈M ，p(x)”是假命题,只要能集合M中找到一个元素x0,使得P(x0)不成立即可。
例1.判断下列全称量词命题的真假.
(1) 所有的素数都是奇数;
典型例题
∵2是素数,但不是奇数.
∴全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题
解:
例1.判断下列全称量词命题的真假.
(2) x R, |x|+1≥1
典型例题
∵ x R,|x|≥0,从而|x|+1≥1
∴全称命题 是真命题
x R, |x|+1≥1
解:
例1.判断下列全称量词命题的真假.
(3) 对每一个无理数x,x2也是无理数
典型例题
∵ 是无理数,但 是有理数
∴全称量词命题“对每一个无理数x,x2也是无理数”
是假命题
解:
例1.判断下列全称量词命题的真假.
(4)所有能被3整除的整数都是奇数；
典型例题
举反例：6能被3整除，但是6不是奇数，
∴全称量词命题“所有能被3整除的整数都是奇数”
是假命题.
解:
下列语句是命题吗 (1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系
(1)2x+1=3 (3)存在一个x∈R,使2x+1=3;
(2)x能被2和3整除; (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
思考
不是
不是
是
是
下列语句是命题吗 (1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系
(1)2x+1=3 (3)存在一个x∈R,使2x+1=3;
思考
(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;
关系
下列语句是命题吗 (1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系
(2)x能被2和3整除; (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
思考
关系
(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.
短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词。
1. 存在量词及表示:
定义:
用符号“ ”表示,
表示：
存在量词命题
常见的存在量词有“存在”“某一个”“任给”“对部分”“对某个”“对某些”“有一个”“有的”等等
存在量词命题
存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M,p(x).
含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
2.存在量词命题及表示：
定义:
表示：
读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.
请用不同表述方法表示存在量词命题“”
表述①：成立
表述②：成立
表述③：对有些成立
表述④：对某个成立
表述⑤：有一个成立
存在量词命题
存在量词命题
【1】从集合的观点来看，存在量词命题是陈述某个集合中的某些(个)元素 所具有的某种性质。
【2】含有存在量词的命题，不管包含的程度有多大，都是存在量词命题.
如 “存在无数个”中，无数个也不能代表每一个.
存在量词命题
【3】含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在性命题.
【4】一个存在量词命题中可以包含多个变量，如“使”.
下列命题是不是存在量词命题？
（1）有些平行四边形是菱形;
（2）有一个素数不是奇数
（3）存在一个三角形，它的内角和不等于1800.
存在量词命题
都是存在量词命题
练习： 设q(x):x2=x,使用不同的表达方法，写出存在量词命题
“ x∈R,q(x)”
解:
存在一个实数x,使x2=x成立
至少有一个x∈R,使x2=x成立
对有些实数x,使x2=x成立
有一个x∈R,使x2=x成立
对某个x∈R,使x2=x成立
存在量词命题
例2 下列语句是不是全称量词命题或存在量词命题
(1) 有一个实数a,a不能取倒数；
(2) 所有不等式的解集A,都是A R；
(3) 有些四边形不是平行四边形。
存在量词命题
全称量词命题
存在量词命题
例3 判断下列存在量词命题的真假
(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;
(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;
(3)有些平行四边形是菱形.
典型例题
要判断存在量词命题“ x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.
思考：如何判断存在量词命题的真假
方法:
如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题.
例3 判断下列存在量词命题的真假
(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;
典型例题
(1)由于 ,
因此使一元二次方程x2+2x+3=0无实数根.
所以,存在量词命题“有一个实数x,使x2+2x+3=0”
是假命题.
解:
例3 判断下列存在量词命题的真假
(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;
典型例题
解:
(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,
因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.
所以,存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同
一条直线”是假命题.
例3 判断下列存在量词命题的真假
(3)有些平行四边形是菱形.
典型例题
（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，
所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”
是真命题。
解:
P28练习1、2
P31习题1、2
定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新
的命题，这一新命题称为原命题的否定。
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能用时为假命题，只能一真一假。
命题的否定
命题的否定
牛刀小试：说出下列命题的否定
（2） 空集是集合A={1,2,3}的真子集；
否定： 56不是7的倍数；
（1） 56是7的倍数；
否定： 空集不是集合A={1,2,3}的真子集；
探究
写出下列命题的否定：
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3）
它们与原命题在形式上有什么变化？
探究
写出下列命题的否定：
（1）所有的矩形都是平行四边形；
否定：
并非所有的矩形都是平行四边形，也就是说，
存在一个矩形不是平行四边形；
探究
写出下列命题的否定：
（2）每一个素数都是奇数；
否定：
并非每一个素数都是奇数，也就是说，
存在一个素数不是奇数；
探究
写出下列命题的否定：
（3）
否定：
并非所有，也就是说，
从形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题。
全称量词命题的否定
全称量词命题:x∈M，p(x).则它的否定“并非x∈M，p(x)，
也就是说“x∈M，p(x)不成立”.
通常用符号“p(x)”表示p(x) 不成立
含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论：
全称量词命题
它的否定
从形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题。
全称量词命题的否定
x∈M，p(x).
x∈M，p(x)
典型例题
例3 写出下列全称量词命题的否定；
（1）所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
（3）对任意3；
典型例题
例3 写出下列全称量词命题的否定；
（1）所有能被3整除的整数都是奇数；
解：（1）该命题的否定
存在一个能被3整除的整数不是奇数.
典型例题
例3 写出下列全称量词命题的否定；
（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
解：（2)该命题的否定
存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.
典型例题
例3 写出下列全称量词命题的否定；
（3）对任意3；
解：（3) 该命题的否定
的个位数字等于3 .
探究
探究
否定:
所有实数的绝对值都不是正数;
探究
否定：
每一个平行四边形都不是菱形;
探究
否定：
从命题形式看,存在量词命题的否定是全称量词命题.
存在量词命题:x∈M ，p(x)，则它的否定“x∈M ，使p(x)成立，
也就是说“x∈M ，p(x)不成立”.
存在量词命题的否定
存在量词命题的否定
一般地，对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论
存在量词命题
它的否定
从命题形式看,存在量词命题的否定是全称量词命题.
x∈M ，p(x)
x∈M ，p(x)
3）有一个偶数是素数.
典型例题
典型例题
解:
典型例题
解:
2) 该命题的否定：所有三角形都不是等边三角形
3）有一个偶数是素数.
典型例题
3） 该命题的否定：任意一个偶数都不是素数
解:
例5 写出下列命题的否定，并判断真假；
（1）任意两个等边三角形都相似；
典型例题
例5 写出下列命题的否定，并判断真假；
（1）任意两个等边三角形都相似；
典型例题
解：
（1） 该命题的否定：存在两个对边三角形，它们不相似。
因为任意两个等边三角形的三边成比例，
所以任意两个等边三角形都相似。
因此这是一个假命题。
例5 写出下列命题的否定，并判断真假；
典型例题
（2）该命题的否定：
所以这是一个真命题。
解：
思考 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题
或存在量词命题，并写出它们的否定：
(1)平行四边形的对角线互相平分；
(2)三个连续整数的乘积是6的倍数；
(3)三角形不都是中心对称图形；
(4)一元二次方程不总有实数根．
思考 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题
或存在量词命题，并写出它们的否定：
(1)平行四边形的对角线互相平分；
解： 原命题：任意一个平行四边形的对角线都互相平分.
命题的否定：存在一个平行四边形，它的对角线不
互相平分.
思考 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题
或存在量词命题，并写出它们的否定：
(2)三个连续整数的乘积是6的倍数；
解： 原命题：任意三个连续整数的乘积是6的倍数.
命题的否定：存在三个连续整数，它们的乘
积不是6的倍数.
思考 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题
或存在量词命题，并写出它们的否定：
(3)三角形不都是中心对称图形；
解： 原命题：有些三角形不是中心对称图形.
命题的否定：任意一个三角形都是中心对称图形.
思考 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题
或存在量词命题，并写出它们的否定：
(4)一元二次方程不总有实数根．
解 ：原命题：有的一元二次方程没有实数根．
命题的否定：所有的一元二次方程都有实数根．
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小结：
2.一般地，对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论：
3.一般地，对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论：
1.（1）全称量词、全称量词命题；
（2）存在量词、存在量词命题。
存在量词命题
它的否定
x∈M ，p(x)
x∈M ，p(x)
全称量词命题
它的否定
x∈M，p(x).
x∈M，p(x)
