湘教版数学八年级下册同步课课练（共41份）（含答案）

[一次函数与一次方程的关系]
一、选择题
1.如图,直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x-y=2的解的是 (　　)
2.一次函数y=kx+b(k≠0,k,b是常数)的图象如图所示,则关于x的方程kx+b=4的解是 (　　)
A.x=3 B.x=4 C.x=0 D.x=b
3.若一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象经过点A(0,-1),B(1,1),则关于x的不等式kx+b>1的解集为 (　　)
A.x<0 B.x>0 C.x<1 D.x>1
4.(2020济宁)数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P,根据图象可知,方程x+5=ax+b的解是 (　　)
A.x=20 B.x=5 C.x=25 D.x=15
5.若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y=-x+b-1上,则常数b的值为 (　　)
A. B.2 C.-1 D.1
二、填空题
6.如图所示,一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点(2,0),与y轴相交于点(0,4),结合图象可知,关于x的方程ax+b=0的解是　　　　.
7.在平面直角坐标系中,一次函数y=kx和y=-x+b的图象如图所示,则关于x的不等式kx>-x+b的解集为　　　　.
8.在平面直角坐标系内,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示,则关于x,y的方程组的解是　　　　.
三、解答题
9.已知一次函数y=-2x+4,完成下列问题:
(1)在所给的直角坐标系中画出此函数的图象.
(2)根据函数图象回答:
①方程-2x+4=0的解是　　　　;
②当x　　　　时,y>2;
③当-4≤y≤0时,x的取值范围是　　　　.
10.在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+4(k≠0)与y轴交于点A.
(1)如图,直线y=-2x+1与直线y=kx+4(k≠0)交于点B,与y轴交于点C,点B的横坐标为-1.
①求点B的坐标及k的值;
②直线y=-2x+1,直线y=kx+4(k≠0)与y轴所围成的△ABC的面积等于　　　.
(2)直线y=kx+4(k≠0)与x轴交于点E(x0,0).若-2[数形结合与转化思想] 如图,在平面直角坐标系中,点C在直线AB上,点A,B的坐标分别是(-1,0),(1,2),点C的横坐标为2,过点B作BD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E,直线BE与y轴交于点F.
(1)若∠OFE=α,∠ACE=β,求∠ABE的度数(用含α,β的代数式表示);
(2)已知直线AB上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程x-y=-1的解,直线BE上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程2x+y=4的解,求点C,F的坐标;
(3)解方程组比较该方程组的解与两条直线的交点B的坐标,你得出什么结论
图
答案
1.B　2.A　3.D　4.A
5. B　因为以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y=-x+b-1上,直线表达式乘2,得2y=-x+2b-2,变形为x+2y-2b+2=0,所以-b=-2b+2,解得b=2.
6. x=2
∵一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点(2,0),
∴关于x的方程ax+b=0的解是x=2.
7. x>1
∵一次函数y=kx和y=-x+b的图象的交点坐标为(1,2),∴关于x的不等式kx>-x+b的解集是x>1.故答案为x>1.
8.
∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象的交点坐标为(2,1),∴关于x,y的方程组的解为
9.解:(1)如图所示.
(2)①由图象可得当x=2时,y=0,
所以方程-2x+4=0的解是x=2.
故答案为x=2.
②由图象可得当x<1时,y>2.故答案为<1.
③由图象可得当2≤x≤4时,-4≤y≤0.
故答案为2≤x≤4.
10.解:(1)①当x=-1时,y=-2×(-1)+1=3,
所以B(-1,3).
将点B的坐标代入y=kx+4中,得k=1.
②由①可得直线AB的函数表达式为y=x+4,与y轴的交点坐标为A(0,4).
由直线y=-2x+1与y轴交于点C,得点C(0,1),
所以AC=3.由点B(-1,3)得△ABC的AC边上的高为1,所以S△ABC=×3×1=.
(2)直线y=kx+4(k≠0)与x轴的交点坐标为.因为-2[素养提升]
解:(1)∵BD⊥x轴,CE⊥x轴,x轴⊥y轴,
∴BD∥CE,BD∥y轴,
∴∠DBE=∠OFE=α,∠ABD=∠ACE=β,
∴∠ABE=∠DBE+∠ABD=α+β.
(2)∵点C的横坐标为2,
∴把x=2代入方程x-y=-1,
解得y=3,∴点C的坐标为(2,3).
∵点F在y轴上,∴点F的横坐标为0.
把x=0代入2x+y=4,解得y=4,
∴点F的坐标是(0,4).
(3)方程组的解是
∵点B的坐标是(1,2),
∴直线AB与直线BE的交点坐标就是方程组的解.[菱形的判定]
一、选择题
1.(2020南通)下列条件中,能判定 ABCD是菱形的是 (　　)
A.AC=BD B.AB⊥BC C.AD=BD D.AC⊥BD
2.如图,已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿边BC折叠,得到△DBC,其与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是 (　　)
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四条边都相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
3.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO.添加下列条件,不能判定四边形ABCD是菱形的是 (　　)
A.AB=AD B.AC=BD C.AC⊥BD D.∠ABO=∠CBO
4.如图,四边形ABCD的四边相等,且面积为120 cm2,对角线AC=24 cm,则四边形ABCD的周长为 (　　)
A.52 cm B.40 cm C.39 cm D.26 cm
5.如图,在菱形ABCD中,E,F,G,H分别是菱形四边的中点,连接EG与FH交于点O,则图中共有菱形 (　　)
A.4个　 B.5个　 C.6个　 D.7个
二、填空题
6.(2020嘉兴)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件:　　　　　　　　　　,使 ABCD是菱形.
7.如图,在△ABC中,D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF,给出下列条件:①BE⊥EC;②BF∥EC;③AB=AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是　　　　　(只填写序号).
三、解答题
8.(2020恩施州)如图,AE∥BF,BD平分∠ABC交AE于点D,点C在BF上且BC=AB,连接CD.
求证:四边形ABCD是菱形.
9.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AB,BC上的点,AE=CF,且∠AED=∠CFD.求证:
(1)△AED≌△CFD;
(2)四边形ABCD是菱形.
10.(2020滨州)如图,过 ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线,分别交边AB,BC,CD,DA于点P,M,Q,N.
(1)求证:△PBE≌△QDE;
(2)顺次连接点P,M,Q,N,求证:四边形PMQN是菱形.
图
[图形变换] 两个全等的三角形ABC和DEF重叠在一起,△ABC的面积为3,且AB=CB,固定△ABC不动,将△DEF进行如下操作:
(1)如图①,△DEF沿线段AB向右平移(点D在线段AB上移动),连接DC,CF,FB,四边形CDBF的形状在不断地变化,但它的面积不变,请求出其面积;
(2)如图②,当点D向右平移到点B时,连接CF,CE,试判断CE与BF的位置关系,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,若∠AEC=15°,求AB的长.
答案
1.D
2. B　∵将△ABC沿边BC折叠得到△DBC,∴AB=BD,AC=CD.又∵AB=AC,∴AB=BD=CD=AC,∴四边形ABDC是菱形.故选B.
3. B　∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
若AB=AD或AC⊥BD,均可判定四边形ABCD是菱形;
若∠ABO=∠CBO,由AD∥BC知∠CBO=∠ADO,∴∠ABO=∠ADO,
∴AB=AD,∴四边形ABCD是菱形;
若AC=BD,可判定四边形ABCD是矩形,但不能判定四边形ABCD是菱形.
4. A　连接BD.∵四边形ABCD的四边相等,∴四边形ABCD为菱形.
∵它的面积为120 cm2,对角线AC=24 cm,
∴120=×24BD,∴BD=10 cm,
∴AB==13(cm),
∴四边形ABCD的周长为4×13=52(cm).
故选A.
5. B　∵四边形ABCD是菱形,E,F,G,H分别是菱形四边的中点,
∴AE=AH=HD=GD=CG=CF=FB=BE=OE=OG=OH=OF,
∴四边形AEOH,HOGD,EOFB,OFCG和ABCD均为菱形,共5个.
6. AB=BC(答案不唯一)
本题四边形ABCD已经是平行四边形,故只需邻边相等即可,所以填AB=BC.
7. ③
需添加条件③.理由:∵D是BC的中点,∴BD=CD.又∵DE=DF,∴四边形BECF为平行四边形.∵AB=AC,D是BC的中点, ∴AD⊥BC,∴ BECF为菱形.故答案为③.
8.证明:∵AE∥BF,∴∠ADB=∠DBC.
∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD,
∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD.
又∵AB=BC,∴AD=BC.
又∵AE∥BF,即AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.
9.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C.
在△AED与△CFD中,
∴△AED≌△CFD(ASA).
(2)由(1)知,△AED≌△CFD,∴AD=CD.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形.
10.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴EB=ED,AB∥CD,
∴∠EBP=∠EDQ.
在△PBE和△QDE中,
∴△PBE≌△QDE(ASA).
(2)如图所示:
∵△PBE≌△QDE,∴EP=EQ.
同(1)可证△BME≌△DNE,
∴EM=EN,∴四边形PMQN是平行四边形.
又∵PQ⊥MN,∴四边形PMQN是菱形.
[素养提升]
解:(1)如图①,过点C作CH⊥AB于点H.
由平移的性质可得CF=AD,CF∥AB,
∴S四边形CDBF=(CF+BD)·CH=(AD+BD)·CH=AB·CH.
∵S△ABC=AB·CH=3,
∴S四边形CDBF=3.
(2)CE⊥BF.
理由:由平移的性质可得BE=CF,BE∥CF,
∴四边形CBEF是平行四边形.
∵AB=CB,AB=BE,∴CB=BE,
∴四边形CBEF是菱形,
∴CE⊥BF.
(3)如图②,过点C作CG⊥AB于点G.
∵CB=BE,∠AEC=15°,
∴∠BCE=∠AEC=15°,
∴∠ABC=∠AEC+∠BCE=30°,
∴在Rt△BCG中,CG=CB.
∵AB=CB,
∴CG=AB,
∴S△ABC=AB·CG=AB2=3,
∴AB=2(负值已舍去).[勾股定理的应用]
一、选择题
1.(2020永州祁阳县文昌中学期中)现在人们锻炼身体的意识日渐增强,但是一些人保护环境的意识却很淡薄,如图是兴庆公园的一角,有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC而走“捷径AC”,于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”.已知AB=40米,BC=30米,他们踩坏了　　　　米的草坪,只为少走　　　　米的路 (　　)
A.20,50 B.50,20 C.20,30 D.30,20
2.《九章算术》中有一道“折竹抵地”的问题:今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.问折高者几何.意思是:一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,则折断处离地面的高度是 (　　)
A.2.4尺 B.3尺 C.3.2尺 D.3.6尺
3.(教材“动脑筋”变式)一云梯AB长25米,如图斜靠在一面墙上,云梯底端离墙7米,如果云梯的顶端下滑了4米,那么它的底端在水平方向滑动的距离BB'的长是(　　)
A.10米 B.8米 C.6米 D.4米
4.(2021益阳南县期中)如图,在高为5 m,坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要 (　　)
A.17 m B.18 m C.25 m D.26 m
二、填空题
5.在两条垂直相交的道路上,一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北、向东驶去.若自行车与摩托车每秒分别行驶7.5米、10米,则相遇10秒后两车相距　　　　米.
6.图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌的示意图(M,A,B在同一条水平直线上),经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为　　　　米(结果精确到0.1米).
7.(2021张家界期中)如图,长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升3 cm到点D处,则橡皮筋被拉长了　　　　cm.
三、解答题
8.如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地的垂直高度DE=1 m,将它往前推送6 m(水平距离BC=6 m)时,秋千的踏板离地的垂直高度BF=4 m,秋千的绳索始终拉得很直,求绳索AD的长度.
9.如图,在一棵树的10米高的B处有两只猴子.一只猴子爬下树走到离树20米远的池塘A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处.若两只猴子所经过的距离相等(距离以直线计算),则这棵树高多少米
图
10.近日A市气象局测得沙尘中心在A市正西方向450千米的B处,正以15千米/时的速度向南偏东60°的BF方向移动(如图),距离沙尘中心300千米的范围内是受沙尘暴严重影响的区域.
(1)通过计算说明A市必然会受到这次沙尘暴的严重影响;
(2)计算A市受沙尘暴严重影响的时间.
图
[方案设计与优化问题] 由于湘中地区水资源缺乏,B,C两地不得不从资江上的扬水站A处引水,这就需要在A,B,C之间铺设地下输水管道.有人设计了3种铺设方案(图中实线表示管道铺设线路).在图②中,AD⊥BC于点D,且BD=DC;在图③中,OA=OB=OC,且AO的延长线交BC于点E,AE⊥BC,BE=EC,OE=OB.为减少渗漏,节约水资源,并降低工程造价,铺设线路应尽量缩短.若△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形,请你通过计算,判断哪一种铺设方案最好.
图
答案
1.B
2. C　画出示意图如图所示.
设折断处离地面的高度AC为x尺,则AB=(10-x)尺.由题意,得BC=6尺.
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
即x2+62=(10-x)2,解得x=3.2,
即折断处离地面的高度是3.2尺.
3.B
4. A　由勾股定理,得楼梯的水平宽度为=12(m).∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和,∴地毯的长度至少是12+5=17(m).
5.125
6. 2.9
由题意,可知∠CMA=90°.
∵AM=4米,∠MAD=45°,∴DM=4米.
∵AM=4米,AB=8米,∴MB=12米.
∵在Rt△MBC中,∠MBC=30°,
∴BC=2MC,∴MC2+MB2=(2MC)2,
即MC2+122=(2MC)2,
∴MC=4米,则DC=4-4≈2.9(米).
7. 2
由题意可知,在Rt△ACD中,AC=AB=4 cm,CD=3 cm,根据勾股定理,得AD==5 cm,∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm),故橡皮筋被拉长了2 cm.
8.解:由题意,得CE=BF=4 m,
∴CD=CE-DE=4-1=3(m).
设秋千的绳索长为x m,则AC=(x-3)m,
在Rt△ACB中,AB2=BC2+AC2,
故x2=62+(x-3)2,解得x=7.5,
答:绳索AD的长度是7.5 m.
9.解:设树的高度为x米.两只猴子所经过的距离相等,都为30米.由勾股定理得x2+202=[30-(x-10)]2,解得x=15.故这棵树高15米.
10.解:(1)过点A作AD⊥BF于点D.
在Rt△ABD中,AB=450千米,∠ABD=30°,
∴AD=AB=×450=225(千米).
∵225千米<300千米,
∴A市必然会受到这次沙尘暴的严重影响.
(2)设沙尘中心距A市300千米时,刚好处在BF上的E,G两点,则DG=DE.
在Rt△ADE中,∵AE=300千米,AD=225千米,∴DE==75千米,
∴EG=2DE=150千米,
∴A市受沙尘暴严重影响的时间为=(时).
[素养提升]
解:题图①中,管道长为2a;
题图②中,AD===a,则管道长为a+a;
题图③中,设OE=x,则OB为2x,
在Rt△OBE中,由勾股定理,得
(2x)2-x2=a2,
解得x=a,
则OB=a,管道长为a×3=a.
∵2a>a+a>a,
∴题图③的铺设方案最好.[平移的坐标表示]
一、选择题
1.(2020成都)在平面直角坐标系中,将点P(3,2)向下平移2个单位得到的点的坐标是 (　　)
A.(3,0) B.(1,2) C.(5,2) D.(3,4)
2.(2020台州)如图,把△ABC先向右平移3个单位,再向上平移2个单位得到△DEF,则顶点C(0,-1)的对应点的坐标为 (　　)
A.(0,0) B.(1,2) C.(1,3) D.(3,1)
3.将点P(m+2,2m+4)向右平移1个单位得到点P',且点P'在y轴上,则点P'的坐标是(　　)
A.(-2,0) 　B.(0,-2) 　C.(1,0) D.(0,1)
二、填空题
4.(2020绵阳)在平面直角坐标系中,将点A(-1,2)先向左平移2个单位,再向上平移1个单位后得到的点A1的坐标为　　　　.
5.若将点P(a+1,2a)向上平移8个单位,得到的点在第二象限,则a的取值范围是　　　　.
6.(2021怀化中方县期中)A,B两点的坐标分别是(-4,1),(-3,3),若将线段AB平移至A'B'的位置,点A',B'的坐标分别为(a,3),(2,b),则a+b=　　　　.
7.在平面直角坐标系中,△A'B'C'是由△ABC平移后得到的,△ABC中任意一点P(x0,y0)经过平移后的对应点为P'(x0+6,y0+1).若点A'的坐标为(5,2),则它的对应点A的坐标为　　　　.
如图,△A'B'C'是由△ABC经过某种平移得到的,点A与点A',点B与点B',点C与点C'分别对应,且这六个点都在格点上,观察各点以及各点坐标之间的关系,解答下列问题:
(1)分别写出点B和点B'的坐标,并说明△A'B'C'是由△ABC经过怎样的平移得到的;
(2)连接BC',直接写出∠CBC'与∠B'C'O之间的数量关系;
(3)若点M(a-1,2b-5)是△ABC内一点,它随△ABC按(1)中方式平移后得到的对应点为N(2a-7,4-b),求a和b的值.
答案
1.A　2.D　3.B
4. (-3,3)
根据平面直角坐标系平移规律“左减右加横坐标,上加下减纵坐标”,可知点A1的坐标为(-3,3).
5. -4点P(a+1,2a)向上平移8个单位后得到的点的坐标是(a+1,2a+8).
∵平移后点在第二象限,∴a+1<0,2a+8>0,∴-46. 6
∵点A,B的坐标分别是(-4,1),(-3,3),若将线段AB平移至A'B'的位置,且A'(a,3),B'(2,b),∴线段AB向右平移了5个单位,向上平移了2个单位,∴a=1,b=5,∴a+b=6.故答案为6.
7. (-1,1)
由平移后点P(x0,y0)的对应点为P'(x0+6,y0+1),可知△ABC向右平移6个单位,再向上平移1个单位得到△A'B'C',∴点A'(5,2)的对应点A的坐标为(5-6,2-1),即(-1,1).故答案为(-1,1).
[素养提升]
解:(1)由图知,B(2,1),B'(-1,-2),△A'B'C'是由△ABC先向左平移3个单位,再向下平移3个单位得到的(或△A'B'C'是由△ABC先向下平移3个单位,再向左平移3个单位得到的).
(2)∠CBC'与∠B'C'O之间的数量关系是∠CBC'-∠B'C'O=90°.
(3)由(1)中的平移变换得a-1-3=2a-7,2b-5-3=4-b,
解得a=3,b=4.
故a的值是3,b的值是4.[轴对称的坐标表示]
一、选择题
1.(2020淮安)在平面直角坐标系中,点(3,2)关于原点对称的点的坐标是 (　　)
A.(2,3) B.(-3,2) C.(-3,-2) D.(-2,-3)
2.点N(x,y)在第三象限内,且|x|=1,|y|=2,那么点N关于x轴的对称点的坐标是(　　)
A.(-1,2) B.(-2,1) C.(2,-1) D.(-1,-2)
二、填空题
3.在平面直角坐标系中,点(-1,2)和(-1,-2)关于　　　　对称.
4.在平面直角坐标系中,如果点A沿x轴翻折后能够与点B(-3,2)重合,那么A,B两点之间的距离为　　　　.
5.(2021常德期中)在平面直角坐标系中,若点M(a,b)与点N(4,-2)关于y轴对称,则a+b=　　　　.
6.(2020长沙雨花区二模)在平面直角坐标系中,点P(m2+1,-3)关于原点对称的点在第　　象限.
三、解答题
7.(1)如图,请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'(其中点A',B',C'分别是点A,B,C的对应点,不写画法);
(2)直接写出A',B',C'三点的坐标:A'(　　　,　　　),B'(　　　,　　　),C'(　　　,　　　).
图
8.在如图所示的平面直角坐标系中,顺次连接下列各点:
(-5,2),(-1,4),(-5,6),(-3,4),(-5,2).
(1)不改变这些点的纵坐标,将它们的横坐标都乘-1,写出新点的坐标;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中,描出这些新点,并顺次连接起来;
(3)新图形与原图形有什么关系
[规律探究题] 已知在点A1,A2,A3,…,An中,点A1与点A2关于x轴对称;点A2与点A3关于y轴对称;点A3与点A4关于x轴对称;点A4与点A5关于y轴对称……
(1)如果点A1在第二象限,那么点A100在第　　　　象限;
(2)若点A1的坐标为(3,-2),求点A2022的坐标.
答案
1. C　点(3,2)关于原点对称的点的坐标是(-3,-2).故选C.
2. A　由点N(x,y)在第三象限内,且|x|=1,|y|=2,得N(-1,-2),所以点N关于x轴的对称点的坐标是(-1,2).
3. x轴
∵点(-1,2)和(-1,-2)的横坐标相同,∴这两个点所连线段与y轴平行.又∵这两个点到x轴的距离相等,∴这两个点关于x轴对称.
4. 4
由题意,得点A与点B关于x轴对称.∵点B的坐标为(-3,2),
∴点A的坐标为(-3,-2),
∴A,B两点之间的距离为2-(-2)=4.
5. -6
由点M(a,b)与点N(4,-2)关于y轴对称,得a=-4,b=-2,故a+b=-6.
6. 二
点P(m2+1,-3)关于原点对称的点为(-m2-1,3).
∵-m2-1<0,∴(-m2-1,3)在第二象限.
7.解:(1)如图所示.
(2)A',B',C'三点的坐标分别为A'(2,3),B'(3,1),C'(-1,-2).
8.解:如图所示.
(1)不改变这些点的纵坐标,将它们的横坐标都乘-1,新点的坐标为(5,2),(1,4),(5,6),(3,4),(5,2).
(2)如图所示.
(3)新图形与原图形关于y轴对称.
[素养提升]
解:(1)根据题意可知,点A2在第三象限,点A3在第四象限,点A4在第一象限,每经过4次轴对称就会回到原来的起点,所以点A5又回到了点A1的位置.对于点An,当n除以4余1时,点An又回到了点A1的位置,如此循环,则点A100与点A4的位置相同,所以点A100在第一象限.故答案为一.
(2)若点A1的坐标为(3,-2),则点A4n的坐标为(-3,-2);点A4n+1的坐标为(3,-2);点A4n+2的坐标为(3,2);点A4n+3的坐标为(-3,2).
因为2022÷4=505……2,所以点A2022的坐标为(3,2).A[勾股定理的逆定理]
一、选择题
1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 (　　)
A.3,4,5 B.2,3,4 C.4,6,7 D.5,11,12
2.若一个三角形的三边长a,b,c满足(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是 (　　)
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
3.下列各组数中,不是勾股数的是 (　　)
A.5,12,13 　　　　 B.7,24,25
C.8,12,15 　　　　 D.3k,4k,5k(k为正整数)
4.如图,在正方形网格中有一个△ABC(A,B,C均在格点上),若小方格的边长均为1,则△ABC是 (　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.以上都不正确
5.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何.”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里、12里、13里,问这块沙田面积有多大.题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为 (　　)
A.7.5平方千米 B.15平方千米
C.75平方千米 D.750平方千米
二、填空题
6.(2021长沙开福区期中)已知在△ABC中,AC=8,AB=10,BC=6,D是AB的中点,则CD=　　　　.
7.如果△ABC的三边长分别为5,12,x,那么当x为　　　　　时,△ABC是直角三角形.
三、解答题
8.已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,试根据下列条件,判断△ABC是不是直角三角形,若是,请指出哪一个角是直角.
(1)a=,b=2,c=;
(2)a=5,b=7,c=9.
9.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,若=,求证:△ABC是直角三角形.
10.如图,在四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°.
(1)判断∠D是不是直角,并说明理由;
(2)求四边形ABCD的面积.
11.如图所示,在4×3的网格中,每个小正方形的边长都是1,有从点A出发的四条线段AB,AC,AD,AE,它们的另一个端点B,C,D,E均在格点上.
(1)求出线段AB,AC,AD,AE的长度(结果保留根号);
(2)在AB,AC,AD,AE四条线段中,是否存在三条线段可以构成直角三角形 如果存在,请指出是哪三条线段,并说明理由.
图
12.如图,一艘在海上朝正北方向航行的轮船,从点A处航行了240海里到达点B处时方位仪坏了,凭经验,船长指挥船左转一定角度后,继续航行70海里到达点C处,此时A,C之间的距离为250海里,请你判断船转弯后,是否沿正西方向航行.
[阅读理解与探究性问题] 在一次“探究性学习”课中,老师设计了如下数表:
n 2 3 4 5 …
a 22-1 32-1 42-1 52-1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系,并用含自然数n(n>1)的代数式表示:a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　;
(2)猜想以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形,证明你的猜想;
(3)显然,满足这样关系的整数a,b,c我们把它们叫作　　　　　数,请再写出一组这样的数:　　　　　(不同于表格中已出现的数组).
问题探究:已知三角形的三边长分别为a,b,c,且a=m-1,b=2,c=m+1(m>1).请你判断这个三角形的形状,能否找出一个以a,b,c为边长的三角形,使它的最小边长不小于20,不大于22,另两边长的差为2,且三边长均为正整数
答案
1.A　2.D　3.C
4. A　利用勾股定理求出AC=,AB=,BC=,所以有AC2+AB2=BC2,所以△ABC是直角三角形.
5. A　∵52+122=132,∴这个三角形为直角三角形.又∵5里=2500米=2.5千米,12里=6000米=6千米,∴该沙田的面积为×6×2.5=7.5(平方千米).
6. 5
∵AC=8,AB=10,BC=6,
∴AC2+BC2=AB2,∴∠C=90°.
∵D为AB的中点,
∴CD=AB=×10=5.
7. 13或
若5,12,x中,x最大,
则x2=52+122,
即当x=13时,△ABC为直角三角形;
若5,12,x中,12最大,则122=x2+52,
即当x=时,△ABC为直角三角形.
[点评] 此题要注意将x分别作为直角边长和斜边长进行分类讨论.
8.解:(1)∵a=,b=2,c=,
∴a2=3,b2=8,c2=5.
∵3+5=8,∴a2+c2=b2,
∴△ABC是直角三角形,且∠B=90°.
(2)∵a=5,b=7,c=9,
∴a2=25,b2=49,c2=81.
∵25+49=74≠81,
∴△ABC不是直角三角形.
9.证明:∵=,
∴ac=(a+b+c)(a-b+c)=[(a2+2ac+c2)-b2],
∴2ac=a2+2ac+c2-b2,∴a2+c2=b2,
∴△ABC是直角三角形.
10.解:(1)∠D是直角.
理由:连接AC.∵∠B=90°,
∴AC2=AB2+BC2=202+152=625.
∵AD2+CD2=242+72=625,
∴AC2=AD2+CD2,
∴△ADC是直角三角形,且∠D是直角.
(2)∵四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ADC的面积,
∴四边形ABCD的面积=AB·BC+AD·CD=×20×15+×24×7=234.
11.解:(1)AB==,AC==,AD==2,AE==2.
(2)线段AB,AC,AD可以构成直角三角形.理由:∵AD2+AB2=AC2,∴由勾股定理的逆定理可得线段AB,AC,AD可以构成直角三角形.
12.解:∵AB=240海里,BC=70海里,AC=250海里,
∴AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°,
∴船转弯后,沿正西方向航行.
[素养提升]
解:(1)n2-1　2n　n2+1　
(2)猜想:以a,b,c为边长的三角形是直角三角形.
证明:∵a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+1,
c2=(n2+1)2=n4+2n2+1,
∴a2+b2=c2,
∴以a,b,c为边长的三角形是直角三角形.
(3)勾股　a=35,b=12,c=37(答案不唯一)
问题探究:∵a2+b2=(m-1)2+(2)2=m2-2m+1+4m=m2+2m+1=(m+1)2,c2=(m+1)2,
∴a2+b2=c2,
∴这个三角形是直角三角形.
能找出一个以a,b,c为边长的三角形,使它的最小边长不小于20,不大于22,另两边长的差为2,且三边长均为正整数.
当b=20时,2=20,∴m=100,
∴a=m-1=99,c=m+1=101;
当b=22时,2=22,∴m=121,
∴a=m-1=120,c=m+1=122.[三角形的中位线]
一、选择题
1.(2020广东)已知△ABC的周长为16,D,E,F分别为△ABC三条边的中点,则△DEF的周长为 (　　)
A.8 B.2 C.16 D.4
2.(2020宜宾)如图,M,N分别是△ABC的边AB,AC的中点.若∠A=65°,∠ANM=45°,则∠B的度数为 (　　)
A.20° B.45° C.65° D.70°
3.(2020长沙雨花区模拟)如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点.若EF=6,BC=13,CD=5,则S△DBC的值为(　　)
A.60 B.30 C.48 D.65
4.如图,A,B为定点,定直线l∥AB,P是直线l上一动点,M,N分别为PA,PB的中点.有下列各值:①线段MN的长;②△PAB的周长;③△PMN的面积;④直线MN,AB之间的距离;⑤∠APB的大小.其中不会随点P的移动而变化的是 (　　)
A.②③ B.②⑤ C.①③④ D.④⑤
二、填空题
5.如图,要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离,可以在池塘外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得DE=50 m,则AB的长是　　　　m.
6.如图,在△ABC中,AB=10,BC=6,D为AB上一点,BC=BD,BE⊥CD于点E,F为AC的中点,连接EF,则EF的长为　　　　.
7.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点.若∠PEF=30°,则∠EPF的度数是　　　　.
8.如图,在△ABC中,BC=1,P1,M1分别是AB,AC边的中点,P2,M2分别是AP1,AM1的中点,P3,M3分别是AP2,AM2的中点……按这样的规律下去,PnMn的长为　　　　(n为正整数).
三、解答题
9.如图,D,E,F分别是△ABC三边的中点,AH⊥BC于点H,连接DF,EH.
求证:(1)∠BDF=∠BAC;
(2)DF=EH.
10.如图,已知BD⊥AG,CE⊥AF,垂足分别为D,E,BD,CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线.若BF=2,ED=3,GC=4.
(1)求FG的长;
(2)求△ABC的周长.
11.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,E,F分别是BD,AC,BC,MN的中点,连接ME,NE,EF.
(1)猜想△MEN的形状,并证明你的猜想;
(2)EF与MN有何位置关系 写出你的结论,并说明理由.
[阅读理解] 如图①,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N,则∠BME=∠CNE(不需证明);
分析:如图①,连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,根据三角形的中位线定理,证明HE=HF,从而∠1=∠2,再利用平行线的性质,可证得∠BME=∠CNE;
【问题拓展】如图②,在△ABC中,AC>AB,点D在AC边上,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G.若∠EFC=60°,试判断△AGF的形状,并说明理由.
答案
1. A　由三角形的中位线定理可得DE+DF+EF=(AB+BC+AC)=8.因此本题选A.
2. D　由M,N分别是△ABC的边AB,AC的中点,可得MN∥BC,所以∠C=∠ANM=45°,所以∠B=180°-∠A-∠C=180°-65°-45°=70°.
3. B　∵E,F分别是AB,AD的中点,
∴BD=2EF=12.
∵CD2+BD2=25+144=169,BC2=169,
∴CD2+BD2=BC2,∴∠BDC=90°,
∴S△DBC=BD·CD=×12×5=30.
故选B.
4. C　∵A,B为定点,M,N分别为PA,PB的中点,∴MN是△PAB的中位线,
∴MN=AB,
即线段MN的长度不变,故①正确;
PA,PB的长度随点P的移动而变化,
所以△PAB的周长会随点P的移动而变化,故②错误;
∵MN的长度不变,点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半,
∴△PMN的面积不变,故③正确;
直线MN,AB之间的距离不随点P的移动而变化,故④正确;
∠APB的大小随点P的移动而变化,故⑤错误.
综上所述,不会随点P的移动而变化的是①③④.
故选C.
5. 100
∵D,E分别是AC,BC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴AB=2DE=2×50=100(m).
6. 2
∵BD=BC=6,
∴AD=AB-BD=4.
∵BC=BD,BE⊥CD,∴CE=ED.
又CF=FA,∴EF=AD=2.
故答案为2.
7.120°　8.
9.证明:(1)∵D,F分别是AB,BC边的中点,
∴DF是△ABC的中位线,
∴DF∥AC,DF=AC,
∴∠BDF=∠BAC.
(2)∵AH⊥BC,E是AC的中点,
∴EH=AC,∴DF=EH.
10.解:(1)∵BD⊥AG,
∴∠ADB=∠GDB=90°.
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠GBD.
又∵BD=BD,
∴△ABD≌△GBD,∴AD=GD.
同理可得AE=FE,
∴ED是△AFG的中位线,
∴FG=2ED=6.
(2)由(1)知△ABD≌△GBD,
∴AB=GB.同理AC=FC.
∵BF=2,FG=6,GC=4,
∴AB=GB=BF+FG=8,AC=FC=GC+FG=10,
∴△ABC的周长=8+10+2+6+4=30.
11.解:(1)△MEN是等腰三角形.证明如下:
∵N,E分别是AC,BC的中点,
∴NE是△ABC的中位线,
∴NE=AB.同理ME=CD.
又∵AB=CD,∴NE=ME,
∴△MEN是等腰三角形.
(2)EF⊥MN.理由如下:
由(1)知△MEN是等腰三角形,NE=ME.
∵F是MN的中点,∴EF⊥MN.
[素养提升]
解:△AGF是等边三角形.理由:如图,连接BD,取BD的中点H,连接HF,HE.
∵F是AD的中点,
∴HF是△ABD的中位线,
∴HF∥AB,HF=AB,
∴∠1=∠3.同理,HE∥CD,HE=CD,
∴∠2=∠EFC.
∵AB=CD,∴HF=HE,
∴∠1=∠2,∴∠3=∠EFC.
∵∠EFC=60°,
∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°,
∴△AGF是等边三角形.[直角三角形的性质和判定]
一、选择题
1.在△OAB中,∠O=90°,∠A=25°,则∠B的度数为 (　　)
A.35° B.55° C.65° D.145°
2.(2020永州陶铸中学期中)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点间的距离为 (　　)
A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km
3.具备下列条件的△ABC,不是直角三角形的是(　　)
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A-∠B=∠C
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
D.∠A=∠B=3∠C
4.在直角三角形中,若斜边和斜边上的中线的长度之和为9,则斜边上的中线长为 (　　)
A.3 B.4.5 C.6 D.9
5.(2020玉林)如图是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东35°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西55°方向,则A,B,C三岛组成一个 (　　)
A.等腰直角三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
二、填空题
6.(2020淮安)已知直角三角形的斜边长为16,则这个直角三角形斜边上的中线长为　　　　.
7.(2020永州柳子中学月考)如图,在Rt△ABC中,E是斜边AB的中点,若CE=10,则AB=　　　　.
8.如图,AD⊥BC于点D,∠BAD=∠B,∠C=65°,则∠BAC的度数为　　　　.
9.在直角三角形中,若两个锐角的度数之比为2∶3,则它们中较大锐角的度数为　　　　°.
10.如图,一根木棒AB斜靠在与地面垂直的墙上,P为AB的中点.若木棒的A端沿墙下滑,B端沿地面向右滑行,在滑行的过程中,点P到点C的距离　　　　(填“会”或“不会”)发生变化,理由是　.
三、解答题
11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高.
(1)图中有几个直角三角形 是哪几个
(2)∠1和∠A有什么关系 ∠2和∠A呢 还有哪些锐角相等
图
12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD,CE分别是AB边上的高和中线.若CE=4 cm,CD=3 cm,∠A=24°.
(1)求∠B和∠ACE的度数;
(2)求△ABC的面积.
13.(2021永州陶铸中学月考)如图,在△ABC中,CF⊥AB于点F,BE⊥AC于点E,M为BC的中点.
(1)求证:△MFE是等腰三角形;
(2)若∠ABC=50°,∠ACB=60°,求△MFE三个内角的度数.
图
14.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为 BC边的中点.如果点M,N分别在线段AB,AC上移动,连接DN,DM,MN,在移动过程中始终保持AN=BM,请判断△DMN的形状,并证明你的结论.
图
[从特殊到一般的思想] 如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点,且点E在BD的左侧,F是BD的中点,连接EF,DE,BE.
(1)若∠BED=90°,求∠BCD的度数;
(2)若∠BED=α,直接写出∠BCD的度数(用含α的代数式表示).
答案
1.C　2.D
3. D　A选项,∠A+∠B=∠C,即2∠C=180°,则最大角∠C=90°,所以△ABC为直角三角形;同理,B,C选项均为直角三角形.D选项中,∠A=∠B=3∠C,即7∠C=180°,三个角中没有90°角,故不是直角三角形.故选D.
4. A　设该直角三角形斜边上的中线长为x,则斜边长为2x,则x+2x=9,解得x=3.
故选A.
5. A　由题意可知∠CAD=35°,∠BAD=80°,∠CBE=55°,根据角的和差、平行线的性质可得∠BAC=45°,∠ABE=100°,从而可得∠ABC=45°,然后根据三角形的内角和定理可得∠C=90°,所以A,B,C三岛组成一个等腰直角三角形.
6.8
7.20
8. 70°
∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°.
又∵∠BAD=∠B,∴∠BAD=∠B=45°.
在Rt△ADC中,∠DAC=90°-∠C=90°-65°=25°,
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=45°+25°=70°.
9. 54
设直角三角形的两个锐角的度数分别为α,β(α<β),则解得
所以两个锐角中较大锐角的度数为54°.故答案为54.
10.不会　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
11.解:(1)图中有3个直角三角形,分别是△ACD,△BCD,△ABC.
(2)∵∠ADC=90°,∴∠1+∠A=90°,即∠1和∠A互余.
又∵∠1+∠2=90°,∴∠2=∠A.
∵∠CDB=90°,∴∠2+∠B=90°.
又∵∠1+∠2=90°,∴∠1=∠B.
12.解:(1)∠B=90°-∠A=66°.
∵在△ABC中,∠ACB=90°,CE是AB边上的中线,
∴CE=AE=AB,∴∠ACE=∠A=24°.
(2)∵CE=4 cm,∴AB=8 cm,
∴S△ABC=AB·CD=×8×3=12(cm2).
13.解:(1)证明:∵CF⊥AB于点F,M为BC的中点,
∴MF=BC,
同理可证ME=BC,
∴MF=ME,
∴△MFE是等腰三角形.
(2)∵MF=MB,
∴∠ABC=∠MFB=50°,
同理∠ACB=∠MEC=60°,
∴∠BMF=180°-50°-50°=80°,
∠EMC=180°-60°-60°=60°,
∴∠FME=180°-80°-60°=40°.
∵MF=ME,
∴∠MFE=∠MEF==70°,故△MFE三个内角的度数分别是40°,70°,70°.
14.解:△DMN是等腰直角三角形.
证明:连接DA.
∵∠BAC=90°,D为 BC边的中点,
∴DC=DA=DB,
∴∠C=∠CAD.
∵AB=AC,∴∠C=∠B,
∴∠CAD=∠B.
在△AND和△BMD中,
∵AN=BM,∠NAD=∠B,DA=DB,
∴△AND≌△BMD,
∴DN=DM,∠ADN=∠BDM.
∵AB=AC,D为BC边的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADM+∠BDM=90°,
∴∠ADM+∠ADN=90°,即∠NDM=90°,
∴△DMN是等腰直角三角形.
[素养提升]
解:(1)∵∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点,
∴DE=AC=EC,BE=AC=EC,
∴∠EDC=∠ECD,∠EBC=∠ECB.
∵在四边形DEBC中,∠EDC+∠ECD+∠ECB+∠EBC+∠BED=360°,∠BED=90°,
∴∠EDC+∠ECD+∠ECB+∠EBC=360°-∠BED=360°-90°=270°,
∴2∠ECD+2∠ECB=270°,
∴∠ECD+∠ECB=135°,
即∠BCD=135°.
(2)∠BCD=180°-α.[正比例函数的图象和性质]
一、选择题
1.(2021湘西模拟)下列图象中,表示正比例函数图象的是 (　　)
2.下列各点中,不在正比例函数y=-x图象上的是 (　　)
A.(0,0) B.(1,-3) C.(-3,1) D.1,-
3.已知正比例函数y=(m-3)x的图象过第二、四象限,则m的取值范围是 (　　)
A.m≥3 B.m>3 C.m≤3 D.m<3
4.已知(x1,y1)和(x2,y2)是直线y=-3x上的两点,且x1>x2,则y1与y2的大小关系是 (　　)
A.y1>y2 B.y15.对于函数y=-k2x(k是常数,k≠0)的图象,下列说法不正确的是 (　　)
A.是一条直线 B.过点,-k
C.经过第一、三象限或第二、四象限 D.y随x的增大而减小
6.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则蜡烛燃烧的长度y(cm)与燃烧时间x(h)的函数关系用图象表示为图中的 (　　)
7.在正比例函数y=ax中,若y随x的增大而增大,则直线y=(-a-1)x经过 (　　)
A.第一、三象限　 B.第二、三象限　
C.第二、四象限　 D.第三、四象限
二、填空题
8.函数y=5x的图象经过的象限是　　　　.
9.若正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)的图象经过第二、四象限,则k的值可以是　　　　(写出一个即可).
10.若函数y=(m-1)x|m|是正比例函数,则该函数的图象经过第　　　　象限.
11.如图,三个正比例函数的图象分别对应的表达式是:①y=ax;②y=bx;③y=cx,则a,b,c的大小关系是　　　　(用“>”号连接).
三、解答题
12.在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象.
(1)y=x;(2)y=-3x.
13.已知正比例函数y=(2m+4)x.
(1)当m为何值时,函数图象经过第一、三象限
(2)当m为何值时,点(1,3)在该函数图象上
14.小明用16元零花钱买某种水果,已知该种水果的单价是每千克4元,设买x千克该种水果用去的钱数为y元.
(1)求买该种水果用去的钱数y(元)关于买该种水果的数量x(千克)的函数表达式;
(2)画出这个函数的图象.
15.定义运算“※”:a※b=
(1)计算:3※4;
(2)在图中画出函数y=2※x的图象.
16.如图所示,若正方形ABCD的边长为2,P为边DC上一动点(不与点D重合),设DP=x,求△ADP的面积y与x之间的函数表达式,并画出该函数的图象.
图
[分类讨论] 数学课上,老师要求同学们画函数y=|x|的图象,小红联想绝对值的性质得y=x(x≥0)或y=-x(x≤0),于是她很快作出了该函数的图象(如图).请回答:
(1)小红所作的图象对吗 如果不对,请你画出正确的函数图象;
(2)根据上述作图方法,请你画出函数y=-3|x|的图象.
答案
1.B　2.B　3.D　4.B　5.C　6.A
7. C　∵在正比例函数y=ax中,y随x的增大而增大,∴a>0,∴-a-1<0,
∴直线y=(-a-1)x经过第二、四象限.故选C.
8.第一、三象限
9. 答案不唯一,只需小于0即可,如-1
根据正比例函数的性质,若函数图象经过第二、四象限,则k<0,因此k的值可以是任意负数.
10. 二、四
由题意,得|m|=1,且m-1≠0,解得m=-1,则此函数的表达式为y=-2x.∵k=-2<0,∴该函数的图象经过第二、四象限.
11.b>a>c
12.解:采用两点法,并且取横、纵坐标均为整数的点最简单.
(1)该函数是正比例函数,函数图象是过原点的一条直线.当x=0时,y=0;当x=2时,y=3,则该直线经过点(0,0),(2,3).其图象如图所示.
(2)该函数是正比例函数,函数图象是过原点的一条直线.当x=0时,y=0;当x=1时,y=-3,则该直线经过点(0,0),(1,-3).其图象如图所示.
13.解:(1)∵函数图象经过第一、三象限,
∴2m+4>0,解得m>-2.
(2)∵点(1,3)在该函数图象上,
∴2m+4=3,解得m=-.
14.解:(1)y=4x(0≤x≤4).
(2)图象如下:
15.解:(1)∵4>0,∴3※4=3×4=12.
(2)当x≥0时,y与x之间的函数表达式为y=2x;当x<0时,y与x之间的函数表达式为y=-2x.列表如下:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 4 2 0 2 4 …
描点、连线,如图所示.
16.解:∵△ADP是直角三角形,
∴y=x·2,即y=x.
∵P为边DC上一动点且不与点D重合,
∴0　　　 　　(注:点O处是空心圆圈)
[素养提升]
解:(1)不对.y=|x|=函数图象如图①所示:
(2)函数y=-3|x|的图象如图②所示.[建立适当的平面直角坐标系]
一、选择题
1.图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标,其中对目标A的位置表述准确的是 (　　)
A.在南偏东75°方向处 B.在5 km处
C.在南偏东15°方向5 km处 D.在南偏东75°方向5 km处
2.如图,在4×4的正方形网格中,若点A的坐标为(1,1),点B的坐标为(2,0),则点C的坐标为 (　　)
A.(-3,-2) B.(3,-2) C.(-2,-3) D.(2,-3)
二、填空题
3.(2021永州祁阳县陶铸中学月考)如图,在中国象棋棋盘上,若棋子“卒”的坐标是(-1,2),棋子“马”的坐标是(2,2),则棋子“炮”的坐标是　　　　.
4.(2021北京昌平区期中)如图是天安门广场周围的主要景点分布示意图,在此图中建立平面直角坐标系,若表示故宫的点的坐标为(0,-1),表示美术馆的点的坐标为(2,2),则人民大会堂的坐标为　　　　.
[定义新运算] 对于平面直角坐标系xOy中的点A(x,y),给出如下定义:若存在点B(x±a,y±a)(a为正数),则称点B为点A的等距点.例如:如图,对于点A(1,1),点B(3,3),点C(-1,3)均为点A的等距点.
(1)若点A的坐标是(0,1),写出a=4时,点A在第一象限的等距点坐标.
(2)若点A的等距点B的坐标是(-3,1),求当点A的横、纵坐标相同时的坐标.
(3)是否存在适当的a值,当将某个点A(x,y)的所有等距点用线段依次连接起来所得到的图形周长不大于 若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
图
答案
1.D
2.B
3. (4,1)
如图所示,棋子“炮”的坐标是(4,1).故答案为(4,1).
4. (-1,-3)
如图,人民大会堂的坐标为(-1,-3).
故答案为(-1,-3).
[素养提升]
解:(1)∵点A的坐标是(0,1),a=4,∴点A的等距点为(0+4,1+4),(0+4,1-4),(0-4,1+4),(0-4,1-4),
即(4,5),(4,-3),(-4,5),(-4,-3),
其中,只有点(4,5)在第一象限,
∴a=4时,点A在第一象限的等距点坐标为(4,5).
(2)由点A的横、纵坐标相同,可得-3+a=1+a①或-3-a=1-a②或-3+a=1-a③或-3-a=1+a④,
方程①②无解,解方程③,得a=2,解方程④,得a=-2.
∵a是正数,∴a=2.
当a=2时,-3+a=1-a=-1,
∴当点A的横、纵坐标相同时的坐标为(-1,-1).
(3)存在.点A(x,y)的所有等距点的坐标分别为(x+a,y+a),(x+a,y-a),(x-a,y-a),(x-a,y+a),
则将所有等距点用线段依次连接起来所得到的图形周长为|8a|.
由题意,得|8a|≤,
解得0一、选择题
1.(2020常德)下面中式窗户图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　　)
2.在 ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=3∶6∶3,则∠D的度数为 (　　)
A.90° B.67.5° C.112.5° D.120°
3.若一个多边形的内角和与外角和之差是720°,则此多边形的边数为 (　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
4.如图,在 ABCD中,ABA.20 cm B.40 cm C.15 cm D.10 cm
5.下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是 (　　)
A.AB∥CD,AD=BC B.AB∥CD,∠A=∠C
C.AD∥BC,AD=BC D.∠A=∠C,∠B=∠D
6.八年级(6)班的一个互助学习小组组长收集并整理了组员们讨论如下问题时所需的条件.
如图所示,在四边形ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,　 .
求证:四边形AECF是平行四边形.
你能在横线上填上最少且简捷的条件使结论成立吗
条件分别是:①BE=DF;②∠B=∠D;③∠BAE=∠DCF;④四边形ABCD是平行四边形.
其中所填条件符合题目要求的是 (　　)
A.①②③④ B.①②③ C.①④ D.④
二、填空题
7.(2020湘西州)若一个多边形的内角和是外角和的2倍,则该多边形的边数是　　　　.
8.(2020甘孜州)如图,在 ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E,若∠EAD=40°,则∠BCE的度数为　　　　.
9.△ABC与△DEF关于点O成中心对称,且点A,B,C的对称点分别为点D,E,F.若AB=5,AC=3,则EF的取值范围是　　　　.
10.若AC=10 cm,BD=8 cm,AC与BD相交于点O,则当AO=　　　　cm,DO=　　　　cm时,四边形ABCD是平行四边形.
11.将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起,则四边形ABCD为平行四边形,请你写出判断的依据　　　　　　　　　　　　　(写出一种即可).
三、解答题
12.一个多边形的每个内角都相等,并且每个外角都等于它的相邻内角的,求这个多边形的边数及内角和.
13.如图,E为平行四边形ABCD的边CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证:AD=CF;
(2)若AB=2BC,∠B=70°,求∠F的度数.
图
14.(2020常德期末)如图,在平行四边形ABCD中,O为对角线AC与BD的交点,M,N分别是OA,OC的中点.连接DM,MB,BN,DN.求证:DM∥BN.
15.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=∠ADC,DE⊥AC,垂足为E,连接BE.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)若△ABE是等边三角形,四边形BCDE的面积等于2,求CE的长.
16.如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在OB和OD上.
(1)当BE,DF满足什么条件时,四边形AECF是平行四边形 请说明理由;
(2)当∠AEB与∠CFD满足什么条件时,四边形AECF是平行四边形 请说明理由.
答案
1.C　2.D
3. C　∵一个多边形的内角和与外角和之差为720°,多边形的外角和是360°,
∴这个多边形的内角和为720°+360°=1080°.设这个多边形的边数为n,则(n-2)·180°=1080°,解得n=8.
4.D　5.A
6. C　当添加①④时,可得四边形AECF是平行四边形.
理由:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∵BE=DF,
∴AD-DF=BC-BE,即AF=EC.
又∵AF∥EC,∴四边形AECF是平行四边形.
7. 6
设该多边形的边数为n.
根据题意,得(n-2)·180°=360°×2,解得n=6.
故这个多边形的边数为6.
故答案为6.
8. 50°
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠EBC=∠EAD.
∵∠EAD=40°,∴∠EBC=40°.
∵CE⊥AB,∴∠BCE=50°.故答案为50°.
9. 2∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称,且点A,B,C的对称点分别为点D,E,F,AB=5,AC=3,∴DE=5,DF=3,∴EF的取值范围为210. 5　4
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=AC,DO=BD.
∵AC=10 cm,BD=8 cm,
∴AO=5 cm,DO=4 cm.
11.两组对边分别平行的四边形是平行四边形(答案不唯一)
12.解:设这个多边形的一个外角的度数为x°.
由题意得x=(180-x),解得x=36.
360÷36=10,
(10-2)×180°=1440°.
所以这个多边形的边数为10,内角和为1440°.
13.解:(1)证明:∵E是边CD的中点,
∴DE=CE.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BF,∴∠D=∠ECF.
在△ADE和△FCE中,
∴△ADE≌△FCE(ASA),∴AD=CF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC.
∵△ADE≌△FCE,∴AD=FC,
∴BC=FC,∴BF=2BC.
又∵AB=2BC,∴BF=AB,
∴∠F=(180°-∠B)=×(180°-70°)=55°.
14.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.
又∵M,N分别是OA,OC的中点,
∴MO=NO,
∴四边形BMDN是平行四边形,
∴DM∥BN.
15.解:(1)证明:∵AB∥CD,
∴∠DAB+∠ADC=∠ABC+∠BCD=180°.
∵∠ABC=∠ADC,∴∠DAB=∠BCD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)∵△ABE是等边三角形,∴∠BAC=60°.
∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD=60°.
在Rt△CDE中,设CD的长为a,则CE=a,由勾股定理,可得DE=a,∴S△CED=a2.
∵△CED与△CEB是同底等高的三角形,
∴S△CED=S△CEB.
又∵S四边形BCDE=S△CED+S△CEB=2,
∴a2+a2=2,∴a=2(负值已舍去),
∴CE=a=.
16.解:(1)当BE=DF时,四边形AECF是平行四边形.理由:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE与△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴AE=CF.同理,AF=CE,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)当∠AEB=∠CFD时,四边形AECF是平行四边形.理由:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABE=∠CDF.
又∵∠AEB=∠CFD,
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴AE=CF.
∵∠AEB=∠CFD,
∴∠AEO=∠CFO,
∴AE∥CF.
又∵AE=CF,
∴四边形AECF是平行四边形.[平面直角坐标系]
一、选择题
1.下列各点中,位于第二象限的是 (　　)
A.(2022,2021) B.(-2022,2022)
C.(2021,-2022) D.(-2022,-2022)
2.有下列语句:①点(4,5)与点(5,4)是同一个点;②点(4,2)在第二象限;③点(1,0)在第一象限;④点(0,5)在x轴上.其中正确的是 (　　)
A.①② B.②③ C.①②③④ D.没有
3.(2020株洲)在平面直角坐标系中,点A(a,2)在第二象限内,则a的取值可以是 (　　)
A.1 B.- C. D.4或-4
4.(2020邵阳)已知a+b>0,ab>0,则在如图所示的平面直角坐标系中,小手盖住的点的坐标可能是 (　　)
A.(a,b) B.(-a,b) C.(-a,-b) D.(a,-b)
二、填空题
5.(2020丽水)点P(m,2)在第二象限内,则m的值可以是　　　　.(写出一个即可)
6.在平面直角坐标系中,若点P(a,b)在第四象限,则ab　　　　0.(填“>”“<”或“=”)
三、解答题
7.在平面直角坐标系中描出下列各点,分别将各组中的点顺次连接起来,会得到怎样的图形
(1)(-1,-2),(-1,2),(1,2),(1,-2),(-1,-2);
(2)(1,0),(2,2),(3,0),(2,-2),(1,0).
8.在平面直角坐标系中,已知点P(2m+4,m-1).
(1)分别根据下列条件,求出点P的坐标:
①点P在y轴上;
②点P的纵坐标比横坐标大3.
(2)点P　　　　是坐标原点(填“可能”或“不可能”).
如图,在直角坐标系中,A1(1,0),A2(1,1),A3(-1,1),A4(-1,-1).
(1)继续填写:A5(　　),A6(　　),A7(　　),A8(　　),A9(　　),A10(　　),A11(　　).
(2)依据上述规律,分别写出点A2021,A2022的坐标.
答案
1.B　
2. D　点(4,5)与点(5,4)是不同的点,故①错误;点(4,2)在第一象限,故②错误;点(1,0)在x轴上,故③错误;点(0,5)在y轴上,故④错误.
3. B　∵点A(a,2)在第二象限,∴a<0.四个选项中符合题意的数是-,故选B.
4. B　∵a+b>0,ab>0,∴a>0,b>0.选项A:点(a,b)在第一象限;选项B:点(-a,b)在第二象限;选项C:点(-a,-b)在第三象限;选项D:点(a,-b)在第四象限,小手盖住的点位于第二象限,因此本题选B.
5. -1(答案不唯一)
∵点P(m,2)在第二象限内,∴m<0,则m的值可以是-1(答案不唯一).因此本题答案为-1(答案不唯一).
6. <
∵点P(a,b)在第四象限,∴a>0,b<0,∴ab<0.故答案为<.
7.解::(1)如图,得到一个矩形.
(2)如图,得到一个菱形.
8.解:(1)①根据题意,得2m+4=0,解得m=-2,
∴P(0,-3).
②根据题意,得2m+4+3=m-1,解得m=-8,
∴P(-12,-9).
(2)令2m+4=0,解得m=-2;
令m-1=0,解得m=1,
∴点P不可能是坐标原点.故答案为不可能.
[素养提升]
解:(1)A5(2,-1),A6(2,2),A7(-2,2),A8(-2,-2),A9(3,-2),A10(3,3),A11(-3,3).
(2)通过观察可得下标数字是4的倍数的点在第三象限,是4的倍数余1的点在第四象限,是4的倍数余2的点在第一象限,是4的倍数余3的点在第二象限.∵2021÷4=505……1,2022÷4=505……2,∴点A2021在第四象限,点A2022在第一象限,∴点A2021的坐标为(506,-505),点A2022的坐标为(506,506).[简单图形的坐标表示]
一、选择题
1.如图, ABCD的边AD∥x轴,下列说法正确的是 (　　)
A.点A与点D的横坐标相同
B.点C与点D的横坐标相同
C.点B与点C的纵坐标相同
D.点B与点D的纵坐标相同
2.(2020天津)如图,四边形OBCD是正方形,O,D两点的坐标分别是(0,0),(0,6),则点C的坐标是 (　　)
A.(6,3) B.(3,6) C.(0,6) D.(6,6)
3.若点A的坐标是(2,-1),AB=4,且AB平行于y轴,则点B的坐标为 (　　)
A.(2,-5) B.(6,-1)或(-2,-1) C.(2,3) D.(2,3)或(2,-5)
二、填空题
4.(2020连云港)如图,将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中.若顶点M,N的坐标分别为(3,9),(12,9),则顶点A的坐标为　　　　.
5.在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,1),点B的坐标为(9,1),点C到直线AB的距离为4,且△ABC是直角三角形,则满足条件的点C有　　　　个.
三、解答题
6.如图,在平面直角坐标系中,点A(-3b,0)为x轴负半轴上一点,点B(0,4b)为y轴正半轴上一点,其中b满足方程3(b+1)=6.
(1)求点A,B的坐标;
(2)C为y轴的负半轴上一点,且△ABC的面积为12,求点C的坐标.
[存在性问题] 如图,方格纸中小正方形的边长均为1个单位长度,A,B均为格点.
(1)在图中建立直角坐标系,使点A,B的坐标分别为(3,3)和(-1,0);
(2)在(1)中x轴上是否存在点C,使△ABC为等腰三角形(其中AB为腰) 若存在,请直接写出所有满足条件的点C的坐标.
答案
1.C　2.D　3.D　4.(15,3)
5. 6
∵点A,B的纵坐标相等,∴AB∥x轴.∵点C到直线AB的距离为4,
∴点C在平行于AB且到直线AB的距离为4的直线上,这样的直线在直线AB的上方和下方各有1条,共2条,
∴过点A作与AB垂直的直线,与那两条直线有2个交点,过点B作与AB垂直的直线,与那两条直线有2个交点,以AB为直径的圆与那两条直线有2个交点,∴满足条件的点C共6个.
6.解:(1)解方程3(b+1)=6,得b=1,
∴A(-3,0),B(0,4).
(2)∵A(-3,0),B(0,4),
∴OA=3,OB=4.
∵S△ABC=BC·OA=12,
∴BC=8.
∵点C在y轴的负半轴上,∴OC=4,
∴C(0,-4).
[素养提升]
解:(1)如图所示.
(2)存在.所有满足条件的点C的坐标为(7,0),(4,0),(-6,0).A[一次函数的图象和性质]
一、选择题
1.(2020嘉兴)一次函数y=2x-1的图象大致是 (　　)
2.若ab<0且a>b,则函数y=ax+b的图象可能是 (　　)
3.直线y=2x-4与y轴的交点坐标是 (　　)
A.(4,0) B.(0,4) C.(-4,0) D.(0,-4)
4.(2020内江)将直线y=-2x-1向上平移2个单位,平移后的直线所对应的函数关系式为 (　　)
A.y=-2x-5 B.y=-2x-3 C.y=-2x+1 D.y=-2x+3
5.一次函数y1=k1x+b1的图象l1如图所示,将直线l1向下平移若干个单位后得到直线l2,l2的函数表达式为y2=k2x+b2.下列说法中错误的是(　　)
A.k1=k2 B.b1b2 D.当x=5时,y1>y2
6.(2020镇江)一次函数y=kx+3(k≠0)的函数值y随x的增大而增大,则它的图象不经过 (　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.一次函数y=mx+n与y=mnx(mn≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (　　)
二、填空题
8.已知点M(1,a)和点N(2,b)是一次函数y=-2x+1的图象上的两点,则a与b的大小关系是　　　　.
9.在一次函数y=(m-1)x+6中,y随x的增大而增大,则m的取值范围是　　　　.
10.如图,在平面直角坐标系中,函数y=x和y=-x的图象分别为直线l1,l2,过点A11,-作x轴的垂线交l1于点A2,过点A2作y轴的垂线交l2于点A3,过点A3作x轴的垂线交l1于点A4,过点A4作y轴的垂线交l2于点A5……依次进行下去,则点A2022的横坐标为　　　　.
三、解答题
11.在同一平面直角坐标系中,作出函数y=2x+3和y=2x的图象,并指出它们的位置关系.
12.已知一次函数y=(1-m)x+m-3.
(1)若一次函数的图象过原点,求实数m的值;
(2)当一次函数的图象经过第二、三、四象限时,求实数m的取值范围.
13.如图,已知直线AB的函数表达式为y=2x+10,与y轴交于点A,与x轴交于点B.
(1)直接写出点A,B的坐标;
(2)若P(a,b)为线段AB上的一个动点(不与点B重合),连接PO.若△PBO的面积为S,求S关于a的函数关系式.
图
14.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3过点A(5,m)且与y轴交于点B,把点A向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到点C.过点C且与直线y=2x平行的直线交y轴于点D.
(1)求直线CD的函数表达式;
(2)直线AB与CD交于点E,将直线CD沿EB方向平移,平移到经过点B的位置结束,求直线CD在平移过程中与x轴交点横坐标的取值范围.
[阅读理解与一题多变] 问题:探究一次函数y=kx+k+2(k是不为0的常数)图象的共性特点.
　　探究过程:小明尝试把x=-1代入,发现可以消去k,竟然求出了y=2.
老师问:结合一次函数的图象,这说明了什么
小组讨论得出:无论k取何值,一次函数y=kx+k+2的图象一定经过点(-1,2).
老师:如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线,那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”.
已知一次函数y=(k+3)x+(k-1)的图象是“点旋转直线”.
(1)一次函数y=(k+3)x+(k-1)的图象经过的定点P的坐标是　　　　;
(2)已知一次函数y=(k+3)x+(k-1)的图象与x轴,y轴分别相交于点A,B.若△OBP的面积为3,求k的值.
答案
1.B
2. A　∵ab<0且a>b,∴a>0,b<0,
∴函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限.
3. D　与y轴的交点必在y轴上,而y轴上点的坐标特点是x=0,所以将x=0代入函数表达式中,得y=-4,所以直线与y轴的交点坐标为(0,-4).
4. C　原直线的k=-2,b=-1,向上平移2个单位得到了新直线,那么新直线的k=-2,b=-1+2=1,∴新直线所对应的函数关系式为y=-2x+1.因此本题选C.
5. B　∵将直线l1向下平移若干个单位后得到直线l2,
∴直线l1∥直线l2,
∴k1=k2.
∵直线l1向下平移若干个单位后得到直线l2,
∴b1>b2,
∴当x=5时,y1>y2.
6.D
7. C　(1)当m>0,n>0时,mn>0,
一次函数y=mx+n的图象经过第一、二、三象限,正比例函数y=mnx的图象经过第一、三象限,无符合选项;
(2)当m>0,n<0时,mn<0,
一次函数y=mx+n的图象经过第一、三、四象限,正比例函数y=mnx的图象经过第二、四象限,C选项符合;
(3)当m<0,n<0时,mn>0,
一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限,正比例函数y=mnx的图象经过第一、三象限,无符合选项;
(4)当m<0,n>0时,mn<0,
一次函数y=mx+n的图象经过第一、二、四象限,正比例函数y=mnx的图象经过第二、四象限,无符合选项.
故选C.
8.a>b
9. m>1
∵在一次函数y=(m-1)x+6中,y随x的增大而增大,
∴m-1>0,
解得m>1.
10. 21010
观察发现规律:A11,-,A2(1,1),A3(-2,1),A4(-2,-2),A5(4,-2),A6(4,4),A7(-8,4),A8(-8,-8),…,
∴A2n的横坐标为(-2)n-1(n为正整数).
∵2022=2×1011,
∴点A2022的横坐标为(-2)1010=21010.
11.解:作图略.它们的位置关系是互相平行.
12.解:(1)∵一次函数y=(1-m)x+m-3的图象过原点,
∴
解得m=3.
(2)∵一次函数y=(1-m)x+m-3的图象经过第二、三、四象限,
∴
∴113.解:(1)对于y=2x+10,
令x=0,得y=10;
令y=0,得x=-5,
则A(0,10),B(-5,0).
(2)∵P(a,b)在线段AB上,∴b=2a+10.
由(1)得OB=5,∴S△PBO=OB·(2a+10),
即S=×5(2a+10)=5a+25(-514.解:(1)在y=-x+3中,当x=5时,y=-2,故A(5,-2).
∵把点A向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到点C,
∴C(3,2).
∵直线CD平行于直线y=2x,
∴可设直线CD的函数表达式为y=2x+b(b≠0),则2×3+b=2,解得b=-4,
∴直线CD的函数表达式为y=2x-4.
(2)易知点B(0,3).
在y=2x-4中,令y=0,得2x-4=0,
解得x=2.
由题意易知平移后所得直线的函数表达式为y=2x+3.
令y=0,得2x+3=0,
解得x=-,
∴直线CD在平移过程中与x轴交点横坐标的取值范围是-≤x≤2.
[素养提升]
解:(1)把一次函数y=(k+3)x+(k-1)整理为y=k(x+1)+3x-1的形式,
令x+1=0,得x=-1,
当x=-1时,y=-4,
∴P(-1,-4).故答案为(-1,-4).
(2)∵一次函数y=(k+3)x+(k-1)的图象与x轴,y轴分别相交于点A,B,
∴A,0,B(0,k-1),则OB=|k-1|.
∵△OBP的面积为3,点P到y轴的距离为1,
∴|k-1|×1=3,
解得k=7或k=-5,
故k的值为7或-5.[含30 °角的直角三角形的性质及应用]
一、选择题
1.(2020常德五中月考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB+BC=12 cm,则AB的长度为(　　)
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
2.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,D为斜边AB的中点,则图中与线段AC的长度相等的线段有(　　)
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠A=30°,AB=4,则BD的长为(　　)
A.3 B.2 C.1 D.
4.已知三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3,若这个三角形的最短边长为,则它的最长边长为 (　　)
A.2 B.2 C.3 D.3
5.(2020怀化六中期中)如图,∠ACB=90°,AC=AB,CD⊥AB于点D,AD=ED,则图中30°角的个数是 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
6.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,过点B作BD⊥BC,交AC于点D,若AD=1,则CD的长度为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如图,已知∠1=∠2,AD=BD=4,CE⊥AD于点E,2CE=AC,那么CD的长是 (　　)
A.2 B.3 C.1 D.1.5
二、填空题
8.在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=10,则AC=　　　　.
9.在直角三角形中,最长边长为10 cm,最短边长为5 cm,则这个直角三角形中最小的内角为　　　　度.
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D.若CD=1,则BD=　　　　.
11.如图,在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AB于点E,交AC于点D,AD=2BC,则∠A=　　　　°.
12.等腰三角形一腰上的高与腰之比为1∶2,则等腰三角形顶角的度数为　　　　　　.
三、解答题
13.如图所示,在四边形ACBD中,AD∥BC,AB⊥AC,且AC=BC,求∠DAC的度数.
图
14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CE⊥AB于点E,D是AB的中点.
(1)求证:AE=DE;
(2)若AC=2,求DE的长.
15.如图,某轮船由西向东航行,在A处测得小岛P在北偏东75°方向,又继续航行7海里后到达B处,在B处测得小岛P在北偏东60°方向.
(1)求此时轮船与小岛P的距离BP;
(2)小岛P 3海里内有暗礁,如果轮船继续向东行驶,请问轮船有没有触礁的危险,请说明理由.
16.如图,在△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,AC=6 cm,点D从点A出发以1 cm/s的速度向点C运动,同时点E从点C出发以2 cm/s的速度向点B运动,设运动的时间为t s,解决以下问题:
(1)当t为何值时,△DEC为等边三角形
(2)当t为何值时,△DEC为直角三角形
图
[转化思想] 如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=30°,∠ABC的平分线BE交AC于点E,D为AB上的一点,且AD=AC,CD,BE相交于点M.
(1)求∠DMB的度数;
(2)若CH⊥BE于点H,求证:AB=4MH.
图
答案
1.C
2. D　由“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”可知,AC=AB.根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CD=AB=AD=BD,所以AC=AD=BD=CD.故选D.
3. C　∵∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,∴CB=AB=2,∠B=60°.
∵CD是AB边上的高,∴∠BDC=90°,
∴∠BCD=30°,
∴BD=BC=1.
4. B　设三个内角的度数分别为x°,(2x)°,(3x)°,则x+2x+3x=180,解得x=30,∴三个内角的度数分别为30°,60°,90°,∴这个三角形是直角三角形,30°角所对的直角边为最短边,斜边为最长边.∵这个三角形的最短边长为,∴它的最长边长为2.
5.C
6. B　∵BD⊥BC,∴∠CBD=90°,
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=120°-90°=30°.
∵AB=BC,∠ABC=120°,∴∠A=∠C=30°,
∴∠A=∠ABD,∴BD=AD=1.
在Rt△CBD中,∵∠C=30°,
∴CD=2BD=2.
7. A　在Rt△AEC中,∵2CE=AC,
∴∠1=30°=∠2.又∵AD=BD=4,∴∠B=∠2=30°,
∴∠ACD=90°,∴CD=AD=2.
8.5　9.30
10. 2
∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°.
∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD=∠CAB=30°,∴∠BAD=∠B,∴AD=BD.
∵CD=1,∠CAD=30°,∴AD=2CD=2,
∴BD=AD=2.
11. 15
连接BD.∵DE垂直平分AB,∴AD=BD.∵AD=2BC,∴BD=2BC,∴在Rt△BCD中,∠BDC=30°.又∵BD=AD,∴∠A=∠DBA=∠BDC=15°.
12. 30°或150°
当该三角形为锐角三角形时,如图①,
∵BD=AB,∴∠A=30°,
即△ABC的顶角为30°;
当该三角形为钝角三角形时,如图②,
在Rt△ABD中,
∵BD=AB,
∴∠BAD=30°,
∴∠BAC=150°,
即△ABC的顶角为150°.
综上所述,该等腰三角形顶角的度数为30°或150°.
13.解:∵AB⊥AC,∴∠CAB=90°.
∵AC=BC,∴∠CBA=30°.
∵AD∥BC,∴∠BAD=∠CBA=30°,
∴∠DAC=∠CAB+∠BAD=120°.
14.解:(1)证明:在△ABC中,∵∠ACB=90°,D是AB的中点,
∴CD=AD=BD=AB,
∴∠DCB=∠B.
∵∠B=30°,∠ACB=90°,
∴∠DCB=30°,∠A=90°-30°=60°,
∴∠ADC=∠B+∠DCB=60°,
∴∠A=∠ADC,∴AC=DC.
又∵CE⊥AB于点E,∴AE=DE.
(2)∵CE⊥AB,∴∠AEC=90°.
∵∠A=60°,∴∠ACE=30°,∴AE=AC.
∵AC=2,AE=DE,∴DE=AE=1.
15.解:如图,过点P作PD⊥AB,交直线AB于点D.
(1)由题意,得∠PBD=90°-60°=30°,∠PAB=90°-75°=15°.
∵∠PBD=∠PAB+∠APB,
∴∠APB=15°=∠PAB,
∴BP=AB=7海里.
(2)没有.理由:∵在Rt△PBD中,∠PBD=30°,
∴PD=BP=×7=3.5(海里)>3海里,
∴轮船继续向东行驶没有触礁的危险.
16.解:(1)根据题意可得AD=t cm,CD=(6-t)cm,CE=2t cm.
∵∠A=90°,∠B=30°,
∴∠C=90°-∠B=90°-30°=60°.
若△DEC为等边三角形,
则CD=CE,∴6-t=2t,解得t=2,
∴当t的值为2时,△DEC为等边三角形.
(2)①当∠DEC为直角时,∠EDC=30°,
∴CE=CD,∴2t=(6-t),解得t=;
②当∠EDC为直角时,∠DEC=30°,
∴CD=CE,∴6-t=×2t,解得t=3.
∴当t的值为或3时,△DEC为直角三角形.
[素养提升]
　　解:(1)∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°.
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABE=∠CBE=30°.
∵∠A=30°,AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC=75°,
∴∠DMB=∠ADC-∠ABE=45°.
(2)证明:∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴AB=2BC.
∵CH⊥BE,∠CBE=30°,
∴BC=2CH,∴AB=4CH.
∵在Rt△CHM中,∠CMH=∠DMB=45°,
∴CH=MH,
∴AB=4MH.[角平分线的性质]
一、选择题
1.OP是∠MON的平分线,点E,F,G分别在射线OM,ON,OP上,则可以解释定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是 (　　)
2.如图,已知BG是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DE=6,则DF的长是 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
3.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P.小明说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”他的依据是 (　　)
A.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.以上均不正确
4.如图,已知BD是∠ABC的平分线,DE是BC的垂直平分线,∠BAC=90°,AD=3,则CE的长为 (　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
二、填空题
5.如图,点P在∠AOB的内部,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=3 cm,当PD=
　　　　cm时,点P在∠AOB的平分线上.
6.如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB于点C,若EC=1,则OF=　　　　.
7.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,则点P,Q,M,N中在∠AOB的平分线上的是点　　　　.
8.(2020湘潭)如图,P是∠AOC的平分线上一点,PD⊥OA,垂足为D,且PD=3,M是射线OC上一动点,则PM的最小值为　　　　.
9.如图,在△ABC中,∠CAB和∠CBA的平分线交于点P,连接PC.若△PAB,△PBC,△PAC的面积分别为S1,S2,S3,则S1　　　　S2+S3.(填“>”“<”或“=”)
三、解答题
10.如图,已知CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,BD,CE相交于点O,且AO平分∠BAC.
求证:OB=OC.
图
11.如图,已知P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.
求证:OC是∠AOB的平分线.
12.已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证:DF=EF.
图
13.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,DB=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
[归纳猜想] 已知∠AOB=90°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角尺的直角顶点与点C重合,它的两条直角边分别与OA,OB交于点D,E.
(1)如图①,当CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E时,求证:CD=CE.
(2)当三角尺绕点C旋转到CD与OA不垂直时,在图②的情况下,(1)中的结论是否还成立 若成立,请给予证明;若不成立,请写出你的猜想,不需证明.
答案
1.D　2.D
3. A　如图,过两把直尺的交点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F.∵两把长方形直尺完全相同,∴PE=PF,∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上).
4. D　∵DE是BC的垂直平分线,
∴DB=DC,∴∠C=∠DBC.
∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥BC,DA⊥AB,
∴∠ABD=∠DBC,DE=AD=3.
∵∠BAC=90°,
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°,
∴CD=2DE=6,∴CE==3.
5.3　6.2　7.Q
8. 3
根据垂线段最短,可知当PM⊥OC时,PM最小.当PM⊥OC时,
又∵OP平分∠AOC,PD⊥OA,PD=3,
∴PM=PD=3.故答案为3.
9.<
10.证明:∵CE⊥AB,BD⊥AC,且AO平分∠BAC,
∴OE=OD.
在△BOE和△COD中,
∵∠BEO=∠CDO,OE=OD,∠BOE=∠COD,
∴△BOE≌△COD,∴OB=OC.
11.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDF=∠PEG=90°.
在Rt△PFD和Rt△PGE中,
∵PF=PG,DF=EG,
∴Rt△PFD≌Rt△PGE,
∴PD=PE.
∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴OC是∠AOB的平分线.
12.证明:∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE.
在Rt△OPD和Rt△OPE中,
∵OP=OP,PD=PE,
∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL),
∴OD=OE.
∵OC是∠AOB的平分线,
∴∠DOF=∠EOF.
在△ODF和△OEF中,
∵OD=OE,∠DOF=∠EOF,OF=OF,
∴△ODF≌△OEF(SAS),
∴DF=EF.
13.证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
∵DC=DE,DF=DB,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),
∴CF=EB.
(2)由(1)知DC=DE,CF=EB.
在Rt△ADC与Rt△ADE中,
∵DC=DE,AD=AD,
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL),∴AC=AE,
∴AB=AE+EB=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.
[素养提升]
解:(1)证明:∵OM是∠AOB的平分线,CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E,∴CD=CE.
(2)(1)中的结论还成立.
证明:如图,过点C分别作CK⊥OA,CH⊥OB,垂足为K,H.
∵OM为∠AOB的平分线,CK⊥OA,CH⊥OB,
∴CK=CH,∠CKD=∠CHE=90°.
∵∠1与∠2都为旋转角,
∴∠1=∠2.
在△CKD与△CHE中,
∵∠CKD=∠CHE,CK=CH,∠1=∠2,
∴△CKD≌△CHE,
∴CD=CE.[频数与频率]
一、选择题
1.已知频数为12,下列画记中与之相对应的是 (　　)
A.正正一 B.正正 C.正正 D.正正
2.某班共有40名学生,在一次体育测试中有8人不合格,那么不合格的频率为 (　　)
A.0.2 B.0.25 C.0.55 D.0.8
3.在八年级某班50名学生中,1月份出生学生的频率是0.30,那么这个班1月份出生的学生人数为(　　)
A.15 B.14 C.13 D.12
4.校女子排球队队员的年龄(单位:岁)分布情况如下表,该校女子排球队队员的平均年龄约是(结果取整数)(　　)
年龄/岁 13 14 15 16
频数 1 3 5 3
A.13岁 B.14岁 C.15岁 D.16岁二、填空题
5.(2020牡丹江)已知一个样本中50个数据分别落在5个组内,第一、二、三、四、五组数据的个数分别为2,8,15,20,5,则第四组的频率为　　　　.
6.王老师对本班学生的血型做了统计(如下表),其中B型血的人数是14人,则本班总人数是　　　　人.
组别 A型 B型 AB型 O型
频率 0.4 0.35 0.1 0.15
7.一枚质地均匀的骰子,六个面上分别写着数字1,2,3,4,5,6,小明投掷6次,正面朝上的数字出现的结果是:3出现2次,4出现1次,5出现3次,那么5出现的频率是　　　　.
8.“阳光体育”活动在我市各校开展,某校在一次大课间活动中随机抽查了10名学生每分钟跳绳的次数,获得如下数据(单位:次):83,89,93,99,117,121,130,146,158,188.其中跳绳次数大于100的频率是　　　　.
[利用数据分析解决实际问题] 下表是光明中学八年级(5)班的40名学生的出生月份的调查记录:
2 8 9 6 5 4 3 3
11 10 12 10 12 3 4 9
12 3 5 10 11 2 12 7
2 9 12 8 1 12 11 4
12 10 5 3 2 8 10 12
(1)请你重新设计一张统计表,使全班学生在每个月出生人数情况一目了然;
(2)求出八年级(5)班10月份出生的学生的频数和频率;
(3)若现在是1月份,如果你准备为下个月过生日的每一名学生送一份小礼物,那么你应该准备多少份礼物
答案
1.B
2.A
3.A
4. C　根据题意,得(13×1+14×3+15×5+16×3)÷(1+3+5+3)≈15(岁),
故该校女子排球队队员的平均年龄约是15岁.
5. 0.4
第四组的频率==0.4.
6. 40
总人数=14÷0.35=40(人).
7. 0.5
5出现的频率是=0.5.
8.
∵在这10个数据中,跳绳次数大于100的有117,121,130,146,158,188这6个,∴跳绳次数大于100的频率是=.
[素养提升]
解:(1)按生日的月份重新分组可得如下统计表.
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
人数 1 4 5 3 3 1 1 3 3 5 3 8
　　(2)由(1)中表格可得八年级(5)班10月份出生的学生的频数是5,频率是=.
(3)2月份有4名学生过生日,因此应准备4份礼物.[角平分线性质定理的应用]
一、选择题
1.(2020怀化)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E,若BD=3,则DE的长为 (　　)
A.3 B. C.2 D.6
2.如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等.若∠A=50°,则∠BOC的度数为 (　　)
A.115° B.105° C.125° D.130°
3.如图,∠BAC=30°,AP平分∠BAC,GF垂直平分AP,交AC于点F,交AP于点G,Q为射线AB上一动点.若PQ的最小值为3,则AF的长为(　　)
A.3 B.6 C.3 D.9
二、填空题
4.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E.若BC=5,DE=,则△BCE的面积为　　　　.
5.如图,AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于点E.若两平行线间的距离为6,则OE=　　　　.
三、解答题
6.如图,某地有两个村庄M,N和两条相交的公路OA,OB,现计划在∠AOB内部修建一个物资仓库,希望仓库到两个村庄的距离相等,到两条公路的距离也相等,请你确定该点.
7.如图,已知△ABC的周长是20,BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC 于点D,OE⊥AB于点E, OF⊥AC于点F,且OD=3,求△ABC的面积.
图
8.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.
(1)试说明:AD垂直平分EF;
(2)若AB=6, AC=4,S△ABC=15,求DE的长.
图
9.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC,交AB于点E,交AC于点F.
(1)若AB=4,AC=5,求△AEF的周长;
(2)过点O作OH⊥BC于点H,连接OA,如图②.当∠BAC=60°时,试探究OH与OA的数量关系,并说明理由.
[从特殊到一般的思想] (1)如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD平分∠BAC,交BC于点D.如果作辅助线DE⊥AB于点E,猜想AC,CD,AB三条线段之间具有怎样的数量关系,并证明你的猜想.
(2)如图②,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC,交BC于点D.(1)中的结论是否仍然成立 若不成立,试说明理由;若成立,请证明.
答案
1. A　∵∠B=90°,∴DB⊥AB.
又∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,
∴由角平分线的性质得DE=BD=3.故选A.
2.A
3. B　过点P作PH⊥AC于点H,连接PF,当PQ⊥AB时,PQ最小.
∵AP平分∠BAC,PQ⊥AB,PH⊥AC,
∴PH=PQ=3,∠PAB=∠PAC=15°.
∵GF垂直平分AP,∴AF=PF,∴∠FPA=∠PAC=15°,∴∠PFH=30°,∴PF=2PH=6,∴AF=6.
4.
过点E作EF⊥BC于点F.∵BE平分∠ABC,CD是AB边上的高,EF⊥BC,∴EF=DE=,∴△BCE的面积=BC·EF=×5×=.
5. 3
如图,过点O作OF⊥AB于点F,延长FO交CD于点G.
∵AB∥CD,∴OG⊥CD.
∵∠ACD与∠BAC的平分线相交于点O,OE⊥AC,∴OE=OF=OG.
∵FG=6,∴OE=3.
故答案为3.
6.解:点P为线段MN的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点,此时点P到点M,N的距离相等,到OA,OB的距离也相等,作图如下.
7.解:连接AO.∵BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D, OE⊥AB于点E, OF⊥AC于点F,
∴OE=OF=OD.
∵OD=3,∴OE=OF=OD=3.
∵△ABC的周长是20,
∴S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC=·AB·OE+·BC·OD+·AC·OF=·(AB+BC+AC)×3=×20×3=30.
8.解:(1)∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB, DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,DE=DF.
在Rt△AED和Rt△AFD中,
∵AD=AD,DE=DF,
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴AE=AF.
又∵DE=DF,∴AD垂直平分EF.
(2)∵DE=DF,
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB·DE+AC·DF=DE·(AB+AC)=15.
∵AB=6,AC=4,∴×10·DE=15,
∴DE=3.
9.解:(1)∵BO平分∠ABC,∴∠CBO=∠ABO.∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO,∴∠EOB=∠ABO,∴OE=BE.同理可得OF=CF,
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=4+5=9.
(2)OH=OA.理由如下:过点O作OG⊥AB于点G,OQ⊥AC于点Q,如图.
∵BO平分∠ABC,OH⊥BC,OG⊥AB,
∴OH=OG.同理可得OH=OQ,
∴OG=OQ.
又∵OG⊥AB,OQ⊥AC,∴AO平分∠BAC,
∴∠GAO=∠BAC=30°,
∴OG=OA,∴OH=OA.
[素养提升]
解:(1)猜想:AB=AC+CD.证明:∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,
∴∠DEB=∠DEA=90°=∠C,CD=ED.
在Rt△ACD和Rt△AED中,
∵AD=AD,CD=ED,
∴Rt△ACD≌Rt△AED,∴AC=AE.
∵∠B=45°,∠DEB=90°,
∴∠EDB=45°,
∴ED=EB,
∴CD=EB.
∵AB=AE+EB=AC+CD,
∴AC,CD,AB三条线段之间的数量关系为AB=AC+CD.
(2)(1)中的结论仍然成立.
证明:在AB上截取AE=AC,连接DE.
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠EAD.
在△ACD和△AED中,
∵AC=AE,∠CAD=∠EAD,AD=AD,
∴△ACD≌△AED(SAS),
∴CD=ED,∠C=∠AED.
∵∠C=2∠B,
∴∠AED=2∠B.
∵∠AED=∠B+∠EDB,
∴2∠B=∠B+∠EDB,
∴∠B=∠EDB,
∴ED=EB.
∵AB=AE+EB,ED=EB=CD,AE=AC,
∴AB=AC+CD.B[范围:4.1 ~4.3]
一、选择题
1.在圆的面积公式S=πr2中,下列说法正确的是 (　　)
A.常量是2,变量是S,π,r B.常量是π,变量是S,r
C.常量是2,变量是r D.常量是2,变量是S,r
2.(2020菏泽)函数y=的自变量x的取值范围是 (　　)
A.x≠5 B.x>2且x≠5 C.x≥2 D.x≥2且x≠5
3.若函数y=xm+1+1是一次函数,则m的值是 (　　)
A.0 B.1 C.-1 D.-2
4.(2020杭州)在平面直角坐标系中,已知函数y=ax+a(a≠0)的图象经过点P(1,2),则该函数的图象可能是 (　　)
5.(2020随州)小明从家出发步行至学校,停留一段时间后乘车返回,则下列函数图象最能体现他离家的距离s与出发时间t之间的对应关系的是 (　　)
6.(2020凉山州)若一次函数y=(2m+1)x+m-3的图象不经过第二象限,则m的取值范围是 (　　)
A.m>- B.m<3 C.-二、填空题
7.(2020常州)若一次函数y=kx+2的函数值y随自变量x的增大而增大,则实数k的取值范围是　　　　.
8.(2020天津)将直线y=-2x向上平移1个单位,平移后直线的表达式为　　　　　　.
9.(2020宿迁)已知一次函数y=2x-1的图象经过点A(x1,1),B(x2,3),则x1　　　　x2(填“>”“<”或“=”).
10.(2020苏州)若一次函数y=3x-6的图象与x轴交于点(m,0),则m=　　　　.
11.如图①,在矩形ABCD中,动点P从点A出发,以相同的速度沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止.设点P运动的路程为x,△PAB的面积为y.如果y与x之间的函数图象如图②所示,那么矩形ABCD的面积为　　　　.
12.我们规定:当k,b为常数,k≠0,b≠0,k≠b时,一次函数y=kx+b与y=bx+k互为交换函数.例如:y=4x+3的交换函数为y=3x+4.一次函数y=kx+2与它的交换函数的图象的交点的横坐标为　　　　.
三、解答题
13.已知一次函数y=(4+2m)x+m-4.
(1)若y随x的增大而减小,求m的取值范围;
(2)若该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方,求m的取值范围;
(3)若该函数的图象经过第一、三、四象限,求m的取值范围.
14.已知一次函数y=-2x-6.
(1)画出该函数的图象;
(2)求该函数的图象与x轴,y轴的交点A,B的坐标;
(3)求A,B两点之间的距离;
(4)求△AOB的面积.
15.在平面直角坐标系xOy中,一次函数y1=-x+6的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,坐标系内有一点P(m,m-3).
(1)点P是否一定在一次函数y1=-x+6的图象上 说明理由;
(2)若点P在△AOB的内部(不含边界),求m的取值范围;
(3)若y2=kx-6k(k>0),请比较y1,y2的大小.
答案
1. B　∵在圆的面积公式S=πr2中,S与r是改变的,π是不变的,∴变量是S,r,常量是π.
2.D　
3. A　由题意得m+1=1,解得m=0.
4.A　
5. B　距离s先随时间t的增大而增大(变化速度较慢),然后保持不变,最后随时间的增大而减小(变化速度较快).因此本题选B.
6. D　由题意得解得-7. k>0
∵y随x的增大而增大,∴k>0.
8.y=-2x+1
9. <
∵k=2>0,∴y随x的增大而增大.∵1<3,∴x110. 2
∵一次函数y=3x-6的图象与x轴交于点(m,0),∴3m-6=0,解得m=2.
11. 24
根据题意,得AB=4,BC=10-4=6,所以矩形ABCD的面积是4×6=24.
12. 1
由题意可得
解得
13.解:(1)∵在一次函数y=(4+2m)x+m-4中,y随x的增大而减小,
∴4+2m<0,解得m<-2,
∴m的取值范围是m<-2.
(2)由题意,得m-4>0,且4+2m≠0,
解得m>4,
∴m的取值范围是m>4.
(3)∵该函数的图象经过第一、三、四象限,
∴
解得-2∴m的取值范围是-214.解:(1)一次函数y=-2x-6的图象如图所示.
(2)当y=0时,-2x-6=0,解得x=-3,
∴A(-3,0).
当x=0时,y=-6,∴B(0,-6).
(3)AB==3.
(4)S△AOB=OA·OB=×|-3|×|-6|=9.
15.解:(1)点P不一定在一次函数y1=-x+6的图象上.理由:当x=m时,y1=-m+6.
若-m+6=m-3,则m=,∴当m=时,点P在一次函数y1=-x+6的图象上;当m≠时,点P不在一次函数y1=-x+6的图象上.
故点P不一定在一次函数y1=-x+6的图象上.
(2)∵一次函数y1=-x+6的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,∴A(6,0),B(0,6).
∵点P在△AOB的内部(不含边界),
∴0∴3(3)若y1=y2,则-x+6=kx-6k,解得x=6;
若y1>y2,则-x+6>kx-6k,解得x<6;
若y16,
∴当x=6时,y1=y2;当x<6时,y1>y2;当x>6时,y1一、选择题
1.小邢到单位附近的加油站加油,图是小邢所用的加油机上的数据显示牌,则其中的变量是(　　)
A.金额 B.数量 C.单价 D.金额和数量
2.(2021浏阳期末)世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元/(千瓦·时),当用电量为x(单位:千瓦·时)时,收取电费为y(单位:元).在这个问题中,下列说法正确的是 (　　)
A.x是自变量,0.6是因变量 B.0.6是自变量,y是因变量
C.y是自变量,x是因变量 D.x是自变量,y是因变量,0.6是常量
3.下列关于变量x,y的关系,其中y不是x的函数的是 (　　)
4.小明用50元钱去买单价是8元/本的笔记本,则他剩余的钱Q(元)与他买这种笔记本x(本)之间的关系是 (　　)
A.Q=8x B.Q=8x-50 C.Q=50-8x D.Q=8x+50
5.根据如图所示的程序计算函数y的值,若输入x的值是7,则输出y的值是-2.若输入x的值是-8,则输出y的值是 (　　)
A.5 B.10 C.19 D.21
二、填空题
6.以固定的速度v0(m/s)向上抛一个小球,小球的高度h(m)与小球运动的时间t(s)之间的关系是h=v0t-4.9t2,其中常量是　　　　,变量是　　　　.
7.(教材“动脑筋”变式题)图表示某地3月份某一天的气温T(℃)随时间t(时)变化的情况.
试根据这个图象回答问题:
(1)这天　　　时的气温最高,最高气温是　　　℃;
(2)这天　　　时的气温最低,最低气温是　　　　℃;
(3)这天11时与18时的气温都是　　　　℃,　　　　时和　　　　时的气温都是0 ℃.
8.图是由若干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个顶点)上有n(n>1,且n为整数)盆花,每个图案中花盆的总数是s.
(1)填表:
n 2 3 4 5 6 … 10 …
s 3 6 9 … …
(2)观察上表,找出规律,填空:
用含n的代数式表示s,则s=　　　　,这说明　　　是　　　的函数,　　　是自变量,当n=8时,s=　　　.
三、解答题
9.矩形的周长为20 cm,若它的一边长为x(cm),它的面积为y(cm2).
(1)用含x的代数式来表示y,并写出自变量x的取值范围;
(2)若矩形的一边长为5 cm,求它的面积.
10.如图所示,梯形上底的长是x,下底的长是15,高是8,梯形的面积是y.
(1)用含x的代数式来表示y;(不必写出自变量的取值范围)
(2)用表格表示当x从10变化到15时(每次增加1)y的相应值;
(3)当x每增加1时,y如何变化
(4)当x=0时,y等于多少 此时图形是什么
图
阅读下面的材料,再回答问题.
一般地,如果函数y=f(x)对于自变量取值范围内的任意x,都有f(-x)=-f(x),那么y=f(x)就叫作奇函数;如果函数y=f(x)对于自变量取值范围内的任意x,都有f(-x)=f(x),那么y=f(x)就叫作偶函数.
例如:f(x)=x3+x.
当x取任意实数时,f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x),
即f(-x)=-f(x),
所以f(x)=x3+x为奇函数.
又如f(x)=|x|,
当x取任意实数时,f(-x)=|-x|=|x|,
即f(-x)=f(x),
所以f(x)=|x|是偶函数.
(1)下列函数中:①y=x4;②y=x2+1;③y=;④y=;⑤y=x+,奇函数是　　　　,偶函数是　　　　(只填序号).
(2)请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数.
答案
1.D
2. D　在一个变化过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量.根据常量和变量的定义来解答即可.
3. D　选项A,B,C中,当x取任意值时,y都有唯一的值与之对应.
4. C　由剩余的钱数等于原有钱数减去用去的钱数,可知Q=50-8x.
5. C　由当x=7时,y=-2,可得=-2,则b=3.
当x=-8时,y=-2×(-8)+3=19.
6.v0,4.9　h,t
7.(1)14　12　(2)4　-4　(3)8　0　8
8.(1)12　15　27　(2)3n-3　s　n　n　21
9.解:(1)由题意,得y=x(20÷2-x)=-x2+10x(0(2)当x=5时,y=-52+10×5=25.
故它的面积为25 cm2.
10.解:(1)由题意得,y=(x+15)×8=4x+60.
(2)如下表:
x 10 11 12 13 14 15
y 100 104 108 112 116 120
(3)当x每增加1时,y增加4.
(4)当x=0时,y=60,此时图形是三角形.
[素养提升]
解:(1)③⑤　①②
(2)奇函数y=;偶函数y=x2.(答案不唯一)A[中心对称和中心对称图形]
一、选择题
1.下列图形是中心对称图形的是 (　　)
2.下列窗花图案中,是轴对称图形不是中心对称图形的是 (　　)
3.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,则下列结论不成立的是 (　　)
A.点A与点A'是对称点 B.BO=B'O
C.AB∥A'B' D.∠ACB=∠C'A'B'
4.下列说法中,正确的有 (　　)
①线段两端点关于它的中点对称;
②平行四边形的一组对边关于对角线的交点对称;
③成中心对称的两个图形一定全等;
④如果两个图形全等,那么这两个图形一定关于某点成中心对称;
⑤如果两个三角形的对应点的连线都经过同一点,那么这两个三角形成中心对称.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二、填空题
5.如图,如果△ABC和△DEF关于点G成中心对称,那么△ABC绕点G旋转　　　　°后能与△DEF重合.
6.如图,在方格纸(每个小正方形的边长均相等)中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂上阴影,与图中阴影部分构成中心对称图形,则该小正方形的序号是　　　　.
7.图是一个中心对称图形,点A为对称中心.若∠C=90°,∠B=30°,AC=1,则AB'的长是　　　　.
8.如图,AB⊥BC,AB=BC=2 cm,弧OA与弧OC关于点O成中心对称,则AB,BC,弧OC,弧OA所围成的图形的面积是　　　　cm2.
三、解答题
9.如图分别是五角星、六角星、七角星、八角星的图形.
(1)其中的中心对称图形有哪些
(2)依此类推,36角星是不是中心对称图形
(3)怎样判断一个n(n是正整数)角星是不是中心对称图形
10.已知:如图,AD是△ABC的中线.
(1)画出与△ADC关于点D成中心对称的三角形;
(2)找出(1)中所画图形中与AC相等的线段;
(3)探索AB,AC的和与中线AD之间的关系,并说明理由;
(4)若AB=3,AC=5,直接写出线段AD的长的取值范围.
11.知识背景:过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分.
(1)如图①,直线m经过 ABCD对角线的交点O,与AD边交于点E,与BC边交于点F,则S四边形AEFB　　　　S四边形DEFC(填“>”“<”或“=”);
(2)两个正方形如图②所示摆放,O为小正方形对角线的交点,求作过点O的直线,使它将整个图形分成面积相等的两部分;
(3)八个大小相同的正方形如图③所示摆放,求作一条直线,使它将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分割).
已知:如图,△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称,△ABE与△DCE关于点E成中心对称,点E,D,M都在线段AF上,BM的延长线交CF于点P.
(1)求证:AC=DC;
(2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.
图
答案
1.D　2.B　3.D　4.B　
5.180　6.②
7. 2
∵此图形是中心对称图形,点A为对称中心,∴AB'=AB.∵∠C=90°,∠B=30°,AC=1,∴AB=2AC=2,∴AB'=AB=2.故答案为2.
8. 2
由弧OA与弧OC关于点O成中心对称,根据中心对称的性质可知,若连接AC,则O为AC的中点,题中所求面积等于△BAC的面积.
[点评] 根据中心对称的性质,把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解决本题的关键.
9.解:(1)中心对称图形有六角星,八角星.
(2)36角星是中心对称图形.
(3)当n是偶数时,n角星绕中心点旋转180°能与原来的图形完全重合,n角星是中心对称图形;
当n是奇数时,n角星绕中心点旋转180°不能与原来的图形完全重合,n角星不是中心对称图形.
10.解:(1)如图,△A'BD即为所求作的三角形.
(2)根据中心对称的性质可得A'B=AC.
(3)AB+AC>2AD.理由如下:
由(2)知A'B=AC,
∴AB+AC=AB+A'B.
由中心对称的性质,知AD=A'D.
在△A'BA中,由三角形的两边之和大于第三边可知AB+A'B>AA',
即AB+AC>2AD.
(4)111.解:(1)=
(2)如图①所示.
(3)如图②所示.
[素养提升]
解:(1)证明:∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称,
∴△ABM≌△ACM,
∴AB=AC.
∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称,
∴△ABE≌△DCE,
∴AB=DC,
∴AC=DC.
(2)∠F=∠MCD.
理由:由(1)可得△ABM≌△ACM,AC=DC,
∴∠BAE=∠CAE=∠CDE,∠CMA=∠BMA.
∵∠BAC=2∠MPC,∠BMA=∠PMF,
∴∠MPC=∠BAE=∠CAE=∠CDE,∠PMF=∠CMA.
∵∠F=∠MPC-∠PMF,∠MCD=∠CDE-∠CMA,
∴∠F=∠MCD.[频数直方图]
一、选择题
1.老师将某次数学测试的成绩整理后,绘制成如图所示的频数直方图,下列说法正确的是(　　)
A.得分在60~70分的人数最多
B.人数最少的分数段的频数为4
C.得分及格(≥60分)的有12人
D.该图数据分组的组距为10分
二、填空题
2.小明将本班全体同学假期用于读书的时间制成了频数直方图,图中从左到右各小长方形的高的比为2∶3∶4∶1,且第二小组的频数是15,则小明所在班级的学生人数是　　　　.
3.某校学生“汉字听写”大赛成绩的频数直方图(满分100分,每一组含前一个边界值,不含后一个边界值)如图所示,其中成绩为“优良”(85分及以上)的学生有　　　　人.
4.八年级(3)班共有50名同学,图是该班一次体育模拟测试成绩的频数直方图(满分为30分,成绩均为整数).若将不低于23分的成绩评为合格,则该班此次成绩达到合格的同学占全班总人数的百分比是　　　　.
三、解答题
5.某校为了了解学生在校吃午餐所需时间的情况,抽查了20名同学在校吃午餐所花的时间,获得如下数据(单位:min):
10,12,15,10,16,18,19,18,20,38,
22,25,20,18,18,20,15,16,21,16.
若将这些数据分为6组,请列出频数分布表,画出频数直方图.
6.某同学统计了家中10月份的长途电话清单,并按通话时间画出了如图所示的频数直方图(每组数据含左端点值,不含右端点值).
(1)该同学家这个月一共打了　　　　次长途电话;
(2)通话时间不足10分钟的有　　　　次;
(3)哪个时间范围内的通话次数最多 哪个时间范围内的通话次数最少
7.(2021台州)杨梅果实成熟期正值梅雨季节,雨水过量会导致杨梅树大量落果,给果农造成损失.为此,市农科所开展了用防雨布保护杨梅果实的试验研究.在某杨梅果园随机选择40棵杨梅树,其中20棵加装防雨布(甲组),另外20棵不加装防雨布(乙组).在杨梅成熟期,统计了甲、乙两组中每一棵杨梅树的落果率(落地的杨梅颗数占树上原有杨梅颗数的百分比),绘制成如下统计图表(数据分组包含左端值,不包含右端值).
甲组杨梅树落果率的频数分布表
落果率x 组中值 频数
0≤x<10% 5% 12
10%≤x<20% 15% 4
20%≤x<30% 25% 2
30%≤x<40% 35% 1
40%≤x<50% 45% 1
(1)甲、乙两组分别有几棵杨梅树的落果率低于20%
(2)请用落果率的中位数或平均数,评价市农科所“用防雨布保护杨梅果实”的实际效果;
(3)若该果园的杨梅树全部加装这种防雨布,落果率可降低多少 说出你的推断依据.
(2020宁波)某学校开展了防疫知识的宣传教育活动.为了解这次活动的效果,学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试(测试满分100分,得分x均为不小于60的整数),并将测试成绩分为四个等第:基本合格(60≤x<70),合格(70≤x<80),良好(80≤x<90),优秀(90≤x≤100),制作了如下统计图(部分信息未给出).
由图中给出的信息解答下列问题:
(1)求测试成绩为合格的学生人数,并补全频数直方图;
(2)求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数;
(3)这次测试成绩的中位数是什么等第
(4)如果全校学生都参加测试,请你根据抽样测试的结果,估计该校获得优秀的学生有多少人.
答案
1.D
2. 50
小明所在班级的学生人数是15÷=50,故答案为50.
3.90
4. 92%
由频数直方图知,八年级(3)班成绩不低于23分的学生人数为6+4+14+22=46,则该班此次成绩达到合格的同学占全班总人数的百分比是46÷50×100%=92%.故答案为92%.
5.解:在样本数据中,最大值为38,最小值为10,最大值与最小值的差为38-10=28,要分6组,则组距为5 min.所分6组为9.5≤x<14.5,14.5≤x<19.5,19.5≤x<24.5,24.5≤x<29.5,29.5≤x<34.5,34.5≤x<39.5.
列出频数分布表如下:
分组 画记 频数
9.5≤x<14.5 3
14.5≤x<19.5 正正 10
19.5≤x<24.5 正 5
24.5≤x<29.5 1
29.5≤x<34.5 0
34.5≤x<39.5 1
　　画出频数直方图如图所示:
6.解:(1)77　 25+18+8+10+16=77(次),
故该同学家这个月一共打了77次长途电话.
(2)43　 通话时间不足10分钟的有25+18=43(次).
(3)0~5分钟范围内的通话次数最多,10~15分钟范围内的通话次数最少.
7.解:(1)由甲组杨梅树落果率的频数分布表,知甲组杨梅树的落果率低于20%的有12+4=16(棵),由乙组杨梅树落果率的频数直方图,知乙组杨梅树的落果率低于20%的有1+1=2(棵).
(2)用中位数评价,甲组杨梅树落果率的中位数位于0%~10%之间,乙组杨梅树落果率的中位数位于30%~40%之间,
可见甲组杨梅树的落果率远小于乙组,
∴市农科所“用防雨布保护杨梅果实”确实有效果.(答案合理即可)
(3)甲组杨梅树落果率的平均数为(12×5%+4×15%+2×25%+1×35%+1×45%)÷20=12.5%;
乙组杨梅树落果率的平均数为(1×5%+1×15%+3×25%+10×35%+5×45%)÷20=33.5%.
∵33.5%-12.5%=21%,
∴若该果园的杨梅树全部加装这种防雨布,落果率可降低21%.
[素养提升]
解:(1)所抽取的学生总人数为30÷15%=200(人),
其中测试成绩为合格的学生人数为200-30-80-40=50(人).
补全频数直方图如图所示:
(2)扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数为360°×=144°.
(3)这次测试成绩的中位数的等第是良好.
(4)×1500=300(人).
答:如果全校学生都参加测试,估计该校获得优秀的学生有300人.[勾股定理]
一、选择题
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=1,则BC的长度为 (　　)
A.5 B.3 C. D.
2.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B都在格点上,则线段AB的长度为(　　)
A.5　 B.6　 C.7　 D.25
3.如图,所有的四边形都是正方形,三角形为直角三角形,若正方形A,B的面积分别为5,3,则正方形C的面积是 (　　)
A.15 B.13 C.11 D.8
4.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,已知AB=AC=13,AD=12,则BC的长为 (　　)
A.5 B.8 C.9 D.10
5.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形中较长的直角边长为a,较短的直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为 (　　)
A.9 B.6 C.4 D.3
6.如图,OP=1,过点P作PP1⊥OP且PP1=1,得OP1=;再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1,得OP2=;又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1,得OP3=2……依此法继续作下去,得OP2022等于 (　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,若AC=3,BC=4,则DC=　　　　.
8.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,E是AC的中点.若AD=6,DE=5,则CD=　　　　.
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,BC∶AC=3∶4,则BC=　　　　.
10.若直角三角形的两边长分别为6和8,则该三角形的第三边长为　　　　　.
11.在长方形纸片ABCD中,AD=10 cm,AB=4 cm,按图所示的方式折叠,使点D与点B重合,点C落在点C'处,折痕为EF,则DE=　　　　 cm.
12.(2021永州蓝山县期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若AC=12,BC=5,则CD=　　　　.
13.如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边向外作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2……按照此规律继续下去,则S2022的值为　　　　.
三、解答题
14.如图,在△ABC中,AB=13,BC=21,AD⊥BC,垂足为D,AD=12,求AC的长.
15.如图,折叠长方形纸片ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=CD=8 cm,BC=AD=10 cm,求EC的长.
16.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=16 cm,AC=20 cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为1 cm/s,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为2 cm/s,它们同时出发,设运动的时间为t s.
(1)求BC的长;
(2)当t为何值时,点P在边AC的垂直平分线上 求出此时CQ的长.
含45°角的三角尺按如图所示方式放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.
(1)求证:EC=BD;
(2)若设△AEC的三边长分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.
答案
1.D
2. A　如图,AB==5.故选A.
3. D　设正方形A,B,C的边长分别为x,y,z,由勾股定理,得z2=x2+y2=5+3=8,∴正方形C的面积为8.
4.D
5. D　设直角三角形的斜边长为c.根据勾股定理,得c2=a2+b2.∵大正方形的面积为25,∴c2=25,即a2+b2=25.∵ab=8,∴(a-b)2=a2+b2-2ab=25-2×8=9,即a-b=3,即小正方形的边长为3.
6. D　由OP=1,OP1=,OP2=,OP3=,OP4==,…,可得OPn=,∴OP2022=.
7.2.5
8. 8
因为CD⊥AB于点D,E是AC的中点,且DE=5,所以AC=10.在Rt△ADC中,CD===8.
9.9
10.10或2
11.　12.
13.
如图所示.
∵正方形ABCD的边长为2,△CDE为等腰直角三角形,
∴DE2+CE2=CD2,DE=CE,
∴S2+S2=S1.
观察,发现规律:S1=22=4,S2=S1=2,S3=S2=2S1=1,S4=S3=3S1=,…,
∴S2022=2022-1S1=.
14.解:∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵AB=13,AD=12,
∴BD===5.
∵BC=21,∴CD=BC-BD=16,
∴AC===20.
15.解:依题意,可得BC=AD=AF=10 cm,DE=EF.
在△ABF中,∠ABF=90°,
∴BF===6(cm),
∴FC=10-6=4(cm).
设EC=x cm,则EF=DE=(8-x)cm.
∵在△EFC中,∠C=90°,
∴EC2+FC2=EF2,
即x2+42=(8-x)2,
解得x=3,
∴EC=3 cm.
16.解:(1)∵∠B=90°,AB=16 cm,AC=20 cm,∴BC===12(cm).
(2)∵点P在边AC的垂直平分线上,
∴PC=PA=t cm,PB=(16-t)cm.
在Rt△BPC中,BC2+PB2=PC2,
即122+(16-t)2=t2,解得t=,
∴当t=时,点P在边AC的垂直平分线上.
此时,点Q运动的路程为2×=25(cm)>12 cm,∴点Q在边AC上,
∴CQ=25-12=13(cm).
[素养提升]
证明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ACB=90°,AC=BC,∴∠ACE+∠BCD=90°.
∵AE⊥EC,BD⊥CD,
∴∠AEC=∠CDB=90°,
∴∠CAE+∠ACE=90°,
∴∠CAE=∠BCD,
∴△AEC≌△CDB(AAS),∴EC=BD.
(2)∵△AEC≌△CDB,△AEC的三边长分别为a,b,c,∴BD=EC=a,CD=AE=b,BC=AC=c,
∴S梯形=(AE+BD)·ED=(a+b)(a+b),S梯形=S△AEC+S△ABC+S△CDB=ab+c2+ab,
∴(a+b)(a+b)=ab+c2+ab,
整理可得a2+b2=c2,故勾股定理得证.[菱形的性质]
一、选择题
1.如图所示,在菱形ABCD中,AB=5,∠BAD=120°,则对角线AC的长是(　　)
A.20 B.15 C.10 D.5
2.(2020贵阳)菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的周长是 (　　)
A.5 B.20 C.24 D.32
3.(2020甘孜州)如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为AB的中点.若菱形ABCD的周长为32,则OE的长为 (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
4.如图,在菱形ABCD中,M,N分别是边BC,CD上的点,且AM=AN=MN=AB,则∠C的度数为 (　　)
A.120° B.100° C.80° D.60°
5.(2020遵义)如图,在菱形ABCD中,AB=5,AC=6,过点D作DE⊥BA,交BA的延长线于点E,则线段DE的长为 (　　)
A. B. C.4 D.
二、填空题
6.(2020营口)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,其中OA=1,OB=2,则菱形ABCD的面积为　　　　.
7.(2020无锡)如图,在菱形ABCD中,∠B=50°,点E在CD上.若AE=AC,则∠BAE=　　　　°.
8.如图,在菱形ABCD中,F是对角线AC上的一点,FE⊥AB于点E.若FE=3,则点F到AD的距离为　　　　.
9.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD的长分别为6,8,则图中阴影部分的面积为　　　　.
10.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E为AB的中点,F是AC上一动点,则EF+BF的最小值为　　　　.
三、解答题
11.(2020岳阳一模)如图,在菱形ABCD中,CE=CF.求证:AE=AF.
12.如图,在菱形ABCD中,E为对角线BD上一点,且AE=DE,连接CE.
(1)求证:CE=DE;
(2)当BE=4,CE=2时,求菱形ABCD的边长.
13.(2020北京)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF.
(1)求证:四边形OEFG是矩形;
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.
[分类讨论与动态几何问题] 如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,BC=5 cm,点E从点A出发沿射线AD以1 cm/s的速度运动,同时点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动,设运动时间为t s.
(1)连接EF,当EF经过BD的中点G时,求证:△DGE≌△BGF.
(2)A,C,F,E四点能否组成平行四边形 若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
图
答案
1.D
2. B　如图所示:
∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,
∴AB=BC=CD=AD,OA=AC=4,OB=BD=3,AC⊥BD,
∴AB===5,
∴此菱形的周长=4×5=20.故选B.
3. B　∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA,OA=OC.
∵菱形ABCD的周长为32,∴BC=8.
∵OA=OC,E为AB的中点,
∴OE为△ABC的中位线,
∴OE=BC=4.
故选B.
4. B　∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD.∵AM=AN=MN=AB,∴AB=AM,AN=AD,△AMN是等边三角形,∴∠B=∠AMB,∠D=∠AND,∠MAN=60°.设∠B=∠D=x,则∠BAM=∠DAN=180°-2x,∠BAD=2×(180°-2x)+60°=420°-4x.∵AB∥CD,∴∠BAD+∠D=180°,即(420°-4x)+x=180°,∴420°-3x=180°,解得x=80°,∴∠C=180°-80°=100°.
5. D　在菱形ABCD中,∵AB=5,AO=AC=3,AC⊥BD,∴BO==4,∴BD=8,∴AB·DE=AC·BD,即5DE=×6×8,解得DE=.故选D.
6. 4
根据菱形的对角线互相垂直且平分,得AC=2OA=2,BD=2OB=4,则S菱形ABCD=AC·BD=×2×4=4.
7. 115
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC.
又∵∠B=50°,∴∠BAC=∠BCA=65°.
∵菱形ABCD关于直线AC对称,
∴∠ACE=∠BCA=65°.
又∵AC=AE,∴∠AEC=∠ACE=65°,
∴在△ACE中,∠CAE=180°-∠ACE-∠AEC=50°,
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=115°.
8.3
9. 12
∵对角线AC,BD的长分别为6,8,
∴菱形ABCD的面积==24.
∵菱形ABCD是中心对称图形,
∴图中阴影部分的面积=×菱形ABCD的面积=12.
故答案为12.
10. 　
连接BD.点B,D关于AC对称,连接DE交AC于点F,则此时EF+BF的值最小,最小值是DE的长.
依题意可知△ABD是等边三角形.
∵E为AB的中点,∴DE⊥AB,
∴DE===.
11.证明:∵四边形ABCD为菱形,
∴AD=AB=CD=CB,∠B=∠D.
又∵CE=CF,
∴CD-CE=CB-CF,即DE=BF.
在△ADE和△ABF中,
∴△ADE≌△ABF(SAS),∴AE=AF.
12.解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABE=∠CBE,AB=CB.
在△ABE和△CBE中,
∴△ABE≌△CBE(SAS),
∴AE=CE.
又∵AE=DE,∴CE=DE.
(2)如图,连接AC交BD于点H.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AH⊥BD,BH=DH,AH=CH.
∵CE=DE=AE=2,BE=4,
∴BD=BE+DE=4+2=6,
∴BH=BD=3,EH=BE-BH=1,
∴CH===,
∴BC===2,
∴菱形ABCD的边长为2.
13.解:(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,
∴O为BD的中点.
∵E为AD的中点,
∴OE为△ABD的中位线,∴OE∥FG.
又∵OG∥EF,
∴四边形OEFG为平行四边形.
又∵EF⊥AB,∴ OEFG为矩形.
(2)∵E为AD的中点,AD=10,
∴AE=AD=5.
又∵∠EFA=90°,EF=4,
∴在Rt△AEF中,AF===3.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=AD=10,∴OE=AB=5.
∵四边形OEFG为矩形,
∴FG=OE=5,
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.
[素养提升]
解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∴∠EDG=∠FBG,∠DEG=∠BFG.
∵G为BD的中点,∴DG=BG.
在△DGE和△BGF中,
∴△DGE≌△BGF(AAS).
(2)能.①若点F在点C的左侧,根据题意,得AE=t cm,BF=2t cm,则CF=BC-BF=(5-2t)cm.
∵AD∥BC,
∴若AE=CF,则四边形AFCE是平行四边形,即t=5-2t,解得t=;
②若点F在点C的右侧,根据题意,得AE=t cm,BF=2t cm,
则CF=BF-BC=(2t-5)cm.
∵AD∥BC,
∴若AE=CF,则四边形ACFE是平行四边形,
即t=2t-5,
解得t=5.
综上可得,当t=或t=5时,A,C,F,E四点能组成平行四边形.[利用一次函数对邻近数据做预测]
一、选择题
1.小明参加100 m短跑训练,2022年1~4月的训练成绩如下表所示:
月份 1 2 3 4
成绩(s) 15.6 15.4 15.2 15
体育老师夸奖小明是“田径天才”,请你预测小明5年(60个月)后100 m短跑的成绩为 (　　)
A.14.8 s B.3.8 s C.3 s D.预测结果不可靠
二、填空题
2.某商店今年3月初销售纯净水的数量如下表所示:
日期 1日 2日 3日 4日
数量(瓶) 120 125 130 135
观察此表,利用所学函数知识预测今年3月7日该商店销售纯净水的数量约为　　　　瓶.
三、解答题
3.某公司中标承包了一段路基工程,进入施工场地后,所挖路基的长度y(m)与工作时间x(天)之间的函数关系如图所示,请根据提供的信息解答下列问题:
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)预测完成1620 m的路基工程,需要工作多少天
某玉米种子每千克的价格为a元,如果一次性购买2千克以上的种子,超过2千克部分的种子价格打八折.某科技人员对付款金额和购买数量这两个变量的对应关系用列表法做了分析,并绘制出了如图所示的函数图象.以下是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料,已知点A的坐标为(2,10).
付款金额(元) a 7.5 10 12 b
购买数量(千克) 1 1.5 2 2.5 3
请你结合表格和图象回答下列问题:
(1)指出付款金额和购买数量这两个变量中,哪个变量是函数的自变量x;
(2)求出当x>2时,y关于x的函数表达式,并写出表中a,b的值;
(3)甲农户将8.8元钱全部用于购买该玉米种子,乙农户购买了4.165千克该玉米种子,分别计算他们的购买数量和付款金额.
答案
1.D　
2. 150
这是一个一次函数模型,设销售数量为y瓶,日期为x,y与x之间的函数表达式为y=kx+b,则解得
∴y=5x+115.
当x=7时,y=150,
∴预测今年3月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶.
3.解:(1)①当0≤x<2时,设y与x之间的函数关系式为y=k'x.
∵点(1,40)在函数图象上,∴40=k',
∴当0≤x<2时,y与x之间的函数关系式为y=40x;
②当x≥2时,设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.
依题意得解得
∴当x≥2时,y与x之间的函数关系式为y=35x+10.
∴y与x之间的函数关系式为y=
(2)当y=1620时,35x+10=1620,解得x=46.
答:需要工作46天.
[素养提升]
解:(1)购买数量是函数的自变量x.
(2)当x>2时,设y关于x的函数表达式为y=mx+n.
∵y=mx+n的图象经过点(2,10),(2.5,12),
∴解得
∴当x>2时,y关于x的函数表达式为y=4x+2.
当x=3时,y=14,
∴b=14.
当0≤x≤2时,设y与x之间的函数表达式为y=tx.
∵y=tx的图象过点A(2,10),
∴10=2t,
∴t=5,
∴y=5x.
当x=1时,y=5,
∴a=5.
(3)∵y=8.8<10,
∴把y=8.8代入y=5x,
得x==1.76;
把x=4.165代入y=4x+2,得y=4×4.165+2=18.66.
∴甲农户的购买数量为1.76千克,乙农户的付款金额为18.66元.B[范围:1.1 ~1.2]
一、选择题
1.在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,则∠B的度数为 (　　)
A.15° B.30° C.75° D.85°
2.(2021株洲南雅实验中学期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,D是AB的中点,则CD的长为 (　　)
A.5 B.6 C.8 D.10
3.以下列四组数中的三个数为边长,不能构成直角三角形的是 (　　)
A.1,, B.5,12,13 C.32,42,52 D.8,15,17
4.如图,在△ABC中,AB=AC=10,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是∠BAD的平分线,DF∥AB交AE的延长线于点F,则DF的长是(　　)
A.2 B.4 C.5 D.
5.一直角三角形的一直角边长为6,斜边长比另一直角边长大2,则该三角形的面积为 (　　)
A.8 B.10 C.24 D.48
6.图是“赵爽弦图”,△ABH,△BCG,△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形.如果EF=4,AH=12,那么AB的长为 (　　)
A.30 B.25 C.20 D.15
7.如图,在Rt△ABC和Rt△ABD中,∠ACB=∠ADB=90°,AB=10,M是AB的中点,连接MC,MD,CD,若CD=6,则△MCD的面积为 (　　)
A.12 B.12.5 C.15 D.24
二、填空题
8.在没有直角工具之前,聪明的古埃及人用如图的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中5个结间距长的边所对的角便是直角,依据是 　.
9.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14 cm,c=12 cm,则Rt△ABC的面积为　　　　.
10.在△ABC中,高AD,BE所在的直线相交于点H,且BH=AC,则∠ABC=　.
11.如图,在四边形ABCD中,AD=3,AB=4,BC=12,CD=13,∠A=90°,则四边形ABCD的面积为　　　　.
12.如图所示,在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上一点,AD=5,且AD⊥AB,E是BD上一点,AE=BD,AC=6.5,则AB的长度为　　　　.
三、解答题
13.(2020耒阳冠湘中学期中)星期天,爱动脑筋的小刚同学用下面的方法测量家门前池塘两端A,B间的距离.他是这样做的:
如图,选定一个点P,连接PA,PB,在PA上取一点C,恰好有PA=14 m,PB=13 m,PC=5 m,BC=12 m,他立即确定池塘两端A,B间的距离为15 m.
小刚同学得出的结果正确吗 为什么
14.如图,已知AC⊥BC,AD⊥BD,E为AB的中点.
(1)如图①,求证:△ECD是等腰三角形;
(2)如图②,CD与AB交于点F,若AD=BD,EF=3,DE=4,求CD的长.
15.如图,在△ABC中,∠C=30°,∠BAC=105°,AD⊥BC,垂足为D,AC=2,求BC的长.
图
16.如图所示,等腰三角形ABC的底边BC为8 cm,腰长为5 cm,一动点P在底边上从点B向点C以0.25 cm/s的速度移动.请你探究:当点P运动几秒时,点P与顶点A的连线PA与等腰三角形ABC的腰垂直
答案
1.C　2.A
3. C　A选项,12+()2=()2,能构成直角三角形,故本选项不符合题意;
B选项,52+122=132,能构成直角三角形,故本选项不符合题意;
C选项,(32)2+(42)2≠(52)2,不能构成直角三角形,故本选项符合题意;
D选项,82+152=172,能构成直角三角形,故本选项不符合题意.
故选C.
4. C　∵AB=AC,AD是△ABC的中线,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°.∵AE是∠BAD的平分线,∴∠DAE=∠BAE.∵DF∥AB,∴∠F=∠BAE,∴∠DAE=∠F,∴AD=DF.
∵∠B=90°-60°=30°,∴AD=AB=×10=5,∴DF=5.
5. C　设另一直角边长为x,则斜边长为x+2.由勾股定理,得x2+62=(x+2)2,解得x=8,∴该三角形的面积=×6×8=24.
6. C　∵△ABH≌△BCG,∴BG=AH=12.
∵四边形EFGH是正方形,∴HG=EF=4,∴BH=16.
在Rt△ABH中,由勾股定理,得AB===20.
7. A　如图,过点M作ME⊥CD于点E.
∵∠ACB=∠ADB=90°,AB=10,M是AB的中点,
∴CM=AB=5,DM=AB=5,∴CM=DM.
∵ME⊥CD,CD=6,∴CE=DE=3.
由勾股定理,得EM===4,∴△MCD的面积为CD·EM=×6×4=12.
8.如果三角形的三条边长a,b,c满足关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
9. 13 cm2
∵∠C=90°,∴a2+b2=c2=144,
∴(a+b)2-2ab=144,
∴196-2ab=144,∴ab=26,
∴S△ABC=ab=13 cm2.
10. 45°或135°
如图①,若∠ABC为锐角,
∵∠BHD=∠AHE,∠AEH=∠ADC=90°,
∴∠HBD+∠BHD=90°,∠AHE+∠HAE=90°,∴∠HBD=∠HAE.
在△HBD和△CAD中,
∵∠HBD=∠CAD,∠BDH=∠ADC,BH=AC,∴△HBD≌△CAD(AAS),∴AD=BD,
∴∠ABC=45°.
图①
图②
如图②,若∠ABC是钝角,同理可得AD=BD,∴∠ABD=45°,∴∠ABC=135°.
综上所述,∠ABC的度数为45°或135°.
11. 36
连接BD.在△ABD中,∵∠A=90°,AD=3,AB=4,
∴BD==5,
S△ABD=AB·AD=×4×3=6.
在△BCD中,∵BC=12,CD=13,BD=5,
∴BD2+BC2=CD2,
∴△BCD是直角三角形,且∠CBD=90°,
∴S△BCD=BC·BD=×12×5=30,
∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=6+30=36.
故答案为36.
12. 12
在Rt△ABD中,∵AE=BD,
∴E是BD的中点,∴AE=BE=DE,
∴∠B=∠BAE,即∠AED=2∠B.
∵∠C=2∠B,∴∠AEC=∠C,
即AE=AC=6.5,
∴BD=2AE=13.
在Rt△ABD中,由勾股定理,得AB==12.
13.解:小刚同学得出的结果正确.理由如下:∵PA=14 m,PB=13 m,PC=5 m,BC=12 m,
∴AC=PA-PC=9(m),PC2+BC2=52+122=169,PB2=132=169,
∴PC2+BC2=PB2,
∴△BCP是直角三角形,∠BCP=90°,
∴∠ACB=90°,
∴AB===15(m).
即小刚同学得出的结果正确.
14.解:(1)证明:∵AC⊥BC,AD⊥BD,
∴∠ACB=90°,∠ADB=90°.
又∵E为AB的中点,
∴CE=AB,DE=AB,
∴CE=DE,∴△ECD是等腰三角形.
(2)∵AD=BD,E为AB的中点,
∴DE⊥AB.
∵DE=4,EF=3,
∴DF=5.
过点E作EH⊥CD于点H.
∵∠FED=90°,EH⊥DF,
∴EH==,
∴DH==.
同(1)得CE=DE,又EH⊥CD,
∴CD=2DH=.
15.解:∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.∵∠C=30°,AC=2,
∴∠CAD=60°,AD=AC=1,
∴CD===.
∵∠BAC=105°,
∴∠BAD=105°-60°=45°,
∴∠B=90°-45°=45°,∴BD=AD=1,
∴BC=BD+CD=1+.
16.解:如图,作AD⊥BC于点D.
∵AB=AC,BC=8 cm,
∴BD=CD=BC=4 cm,
∴AD=3 cm.
分两种情况:①设点P运动x s后,有PA⊥AC,如图(a).
∵AP2=PD2+AD2=PC2-AC2,
∴PD2+AD2=PC2-AC2,
即PD2+32=(PD+4)2-52,
∴PD=2.25 cm,
∴BP=BD-PD=4-2.25=1.75(cm),
即0.25x=1.75,∴x=7.
②设点P运动y s后,有PA⊥AB,如图(b),同理可求得PD=2.25 cm,
∴BP=BD+PD=4+2.25=6.25(cm),
即0.25y=6.25,∴y=25.
综上所述,当点P运动7 s或25 s时,点P与顶点A的连线PA与等腰三角形ABC的腰垂直.[多边形的内角和]
一、选择题
1.如图所示的图形中,属于多边形的有 (　　)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.图中的黑色正五边形的内角和是 (　　)
A.180° B.360° C.540° D.720°
3.正八边形的每一个内角的度数为 (　　)
A.120° B.135° C.140° D.144°
4.(2020济宁)一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形的边数是 (　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
5.从六边形的一个顶点出发,可以画出m条对角线,它们将六边形分成n个三角形,则m,n的值分别为 (　　)
A.4,3 B.3,3 C.3,4 D.4,4
二、填空题
6.(2020天门)已知正n边形的一个内角为135°,则n的值是　　　　.
7.如图,过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的平分线相交于点P,且∠ABP=60°,则∠APB=　　　　°.
三、解答题
8.已知n边形的内角和p=(n-2)·180°.
(1)甲同学说:“p能取360°.”而乙同学说:“p也能取630°.”甲、乙两名同学的说法对吗 若对,求出边数n;若不对,请说明理由.
(2)若m边形变为(m+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.
[从特殊到一般的思想] 如果一个多边形的各边都相等,且各内角也都相等,那么这个多边形就叫作正多边形,如图是一组正多边形,观察每个正多边形中∠α的变化情况,解答下列问题.
　　(1)将下面的表格补充完整:
正多边形的边数 3 4 5 6 … 18
∠α的度数 …
　　(2)是否存在一个正n边形,使∠α=20° 若存在,直接写出n的值;若不存在,请说明理由.
(3)是否存在一个正n边形,使∠α=21° 若存在,直接写出n的值;若不存在,请说明理由.
答案
1.A
2. C　黑色正五边形的内角和为(5-2)×180°=540°.
3.B
4. B　设这个多边形的边数为n,则有(n-2)·180°=1080°,解得n=8.
5.C
6. 8
根据题意,得(n-2)·180°=n·135°,解之即得.
7. 66
∵五边形ABCDE为正五边形,
∴∠EAB=108°.
∵AP是∠EAB的平分线,∴∠PAB=54°.
又∵∠ABP=60°,
∴∠APB=180°-60°-54°=66°.
故答案为66.
8.解:(1)甲同学的说法对.∵p=360°,∴(n-2)·180°=360°,解得n=4.乙同学的说法不对.理由:∵p=630°,∴(n-2)·180°=630°,解得n=.∵n应为整数,∴p不能取630°.
(2)由题意,得(m+x-2)·180°-(m-2)·180°=360°,解得x=2,故x的值是2.
[素养提升]
解:(1)填表如下:
正多边形的边数 3 4 5 6 … 18
∠α的度数 60° 45° 36° 30° … 10°
(2)存在一个正n边形,使∠α=20°,此时n=9.
(3)不存在.理由如下:假设存在一个正n边形,使∠α=21°,
根据题意,得=21°,
解得n=8.
因为n应是正整数,所以不存在一个正n边形,使∠α=21°.[多边形的外角和]
一、选择题
1.(2020北京)正五边形的外角和为 (　　)
A.180° B.360° C.540° D.720°
2.一个正多边形的内角和为540°,则这个正多边形的每一个外角都等于 (　　)
A.60°　 B.72°　 C.90°　 D.108°
3.(2020扬州)如图,小明从点A出发沿直线前进10米到达点B,向左转45°后又沿直线前进10米到达点C,再向左转45°后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去,小明第一次回到出发点A时所走的路程为 (　　)
A.100米 B.80米 C.60米 D.40米
二、填空题
4.要使如图所示的五边形木架不变形,至少要钉上　　　　根木条.
三、解答题
5.如图,分别在三角形、四边形的广场各角向内或向外修建半径为R的扇形草坪(阴影部分).求:
(1)图①中草坪的面积;
(2)图②中草坪的面积;
(3)图③中草坪的面积.
图
[阅读理解与情境问题] 下面是小华和老师的对话:
小华:“这个凸多边形的内角和是2020°.”
老师:“不可能吧!我敢肯定你算错了,仔细检查一下.”
小华:“哦,我把一个外角也当作这个凸多边形的内角加在一起了.”
(1)老师肯定小华算错的理由是什么
(2)小华求的是几边形的内角和
(3)错加的外角是多少度
答案
1. B　多边形的外角和等于360°.
2.B
3. B　∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度,∴他走过的图形是正多边形,边数n=360°÷45°=8,∴他第一次回到出发点A时,一共走了8×10=80(米).因此本题选B.
4. 2
从多边形的一个顶点能引几条对角线,则至少需要几根木条才能使多边形稳定.
5.解:(1)因为半径为R的圆的面积为πR2,三角形的内角和为180°,故题图①中的草坪可拼成圆心角为180°的扇形,所以题图①中草坪的面积为πR2.
(2)因为半径为R的圆的面积为πR2,四边形的内角和为360°,故题图②中草坪的面积为4πR2-πR2=3πR2.
(3)因为半径为R的圆的面积为πR2,四边形的外角和为360°,因此题图③中草坪的面积为πR2.
[素养提升]
解:(1)由n边形的内角和公式,可知n边形的内角和一定是180°的整数倍,而2020不能被180整除,所以老师敢肯定小华算错了.
(2)设小华求的是n边形的内角和,由题意知所加的外角一定小于180°.
根据题意,得2020°-180°<(n-2)·180°<2020°,
解得12因为n为正整数,所以n=13,
所以小华求的是十三边形的内角和.
(3)十三边形的内角和为(13-2)×180°=1980°,
所以错加的外角是2020°-1980°=40°.[函数的表示法]
一、选择题
1.已知A,B两地相距3千米,小黄从A地到B地,平均速度为4千米/时.若用x(时)表示行走的时间,y(千米)表示余下的路程,则y关于x的函数表达式是 (　　)
A.y=4x(x≥0)
B.y=4x-3x≥
C.y=3-4x(x≥0)
D.y=3-4x0≤x≤
2.下列图象中,表示y是x的函数的是 (　　)
3.(2020甘孜州)函数y=中,自变量x的取值范围是 (　　)
A.x>-3 B.x<3 C.x≠-3 D.x≠3
4.(2020连云港)快车从甲地驶往乙地,慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶.图中的折线表示快、慢两车之间的路程y(km)与它们的行驶时间x(h)之间的函数关系.小欣同学结合图象得出如下结论:
①快车途中停留了0.5 h;②快车速度比慢车速度多20 km/h;③图中a=340;④快车先到达目的地.其中正确的是 (　　)
A.①③ B.②③ C.②④ D.①④
5.新龟兔赛跑的故事:龟兔从同一地点同时出发后,兔子很快把乌龟远远甩在后头.骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先,就躺在路边呼呼大睡起来.当它一觉醒来,发现乌龟已经超过它,于是奋力直追,最后同时到达终点.用s1,s2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程,t为赛跑时间,则下列图象中与故事情节相吻合的是 (　　)
二、填空题
6.(2020北京改编)有一个装有水的容器,如图所示.容器内的水面高度是10 cm,现向容器内注水,并同时开始计时,在注水过程中,水面高度以0.2 cm/s的速度匀速增加,则容器注满水之前,容器内的水面高度h(cm)与对应的注水时间t(s)满足的函数关系式是　　　　　　.
7.某水果店卖出的香蕉数量(千克)与销售金额(元)之间的关系如下表所示.如果卖出的香蕉数量用x(千克)表示,销售金额用y(元)表示,则y与x之间的关系式为　　　　.
数量(千克) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
销售金额(元) 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 …
8.(2020重庆A卷)A,B两地相距240 km,甲货车从A地以40 km/h的速度匀速前往B地,到达B地后停止.在甲出发的同时,乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地,到达A地后停止.两车之间的路程y(km)与甲货车出发的时间x(h)之间的函数关系如图中的折线CD-DE-EF所示,其中点C的坐标是(0,240),点D的坐标是(2.4,0),则点E的坐标是　　　　.
三、解答题
9.王大爷带了若干千克土豆进城出售,为了方便,他带了一些零用钱备用,他先按市场价卖出一些后,又降价卖,卖出土豆千克数x与他手中持有的钱数y(含备用零钱)的关系如图所示.结合图象回答下列问题:
(1)王大爷自带的零钱是多少
(2)降价前土豆的单价是多少
(3)降价后他按每千克1.6元将剩下的土豆全部售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是104元,则他一共带了多少千克土豆
10.一油箱中有油40 L,现在每小时耗油5 L,用y(单位:L)表示油箱中剩余油量,用t(单位:h)表示时间.
(1)y与t之间的函数表达式为　　　　　　;
(2)把下列表格补充完整.
t/h 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y/L 0
(3)根据以上信息画出函数图象.
[拓展探究] 已知y是x的函数,自变量x的取值范围是x>0,下表是y与x的几组对应值.
x … 1 2 3 5 7 9 …
y … 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 …
　　小腾根据学习函数的经验,利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律,对该函数的图象与性质进行了探究.
　　下面是小腾的探究过程,请补充完整:
　　(1)如图,在平面直角坐标系Oxy中,描出了以上表中各组对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象.
　　(2)根据画出的函数图象,回答下列问题:
　　①x=4对应的函数值y约为　　　　;
　　②你从该函数的图象中可以得出什么结论
答案
1.D　2.D
3. C　由题意,得x+3≠0,解得x≠-3.故选C.
4. B　根据题意及图象可知,两车的速度和为360÷2=180(km/h).
相遇后慢车停留了0.5 h,快车停留了1.6 h.故结论①错误;
慢车的速度为88÷(3.6-2.5)=80(km/h),则快车的速度为100 km/h,
所以快车速度比慢车速度多20 km/h.故结论②正确;
88+180×(5-3.6)=340(km),
所以图中a=340.故结论③正确;
快车到达终点所用的时间为360÷100+1.6=5.2(h),慢车到达终点所用的时间为360÷80+0.5=5(h),5.2>5,所以慢车先到达目的地.故结论④错误.所以正确的是②③.
故选B.
5.C
6.h=10+0.2t　7.y=3x
8. (4,160)
∵C(0,240),D(2.4,0),∴甲货车出发2.4 h后两车相遇,即2.4(40+v乙)=240,解得v乙=60(km/h).240÷60=4(h),即乙车出发4 h后达到A地,此时两车距离y=(4-2.4)×(40+60)=160(km),即点E的坐标为(4,160).
9.解:(1)由图象可知,当x=0时,y=20.
所以王大爷自带的零钱是20元.
(2)降价前土豆的单价是(80-20)÷30=2(元/千克).
(3)降价出售的土豆为=15(千克),30+15=45(千克),
所以王大爷一共带了45千克土豆.
10.解:(1)y=40-5t
(2)补充表格如下:
t/h 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y/L 40 35 30 25 20 15 10 5 0
(3)如图所示:
[素养提升]
解:(1)如图所示,顺次连接各点.
(2)①如图,过点(4,0)作x轴的垂线,交函数的图象于一点,过该点作y轴的垂线,交y轴于另一点,从图中观察可知,该点的纵坐标约为2,故x=4对应的函数值y约为2.(答案不唯一).
②答案不唯一,如:当x>2时,y随x的增大而减小.[用待定系数法确定一次函数表达式]
一、选择题
1.一个正比例函数的图象经过点(2,-1),则它的表达式为 (　　)
A.y=-2x B.y=2x C.y=-x D.y=x
2.图中的直线对应的函数表达式是 (　　)
A.y=2x+2 B.y=-2x-2 C.y=-2x+2 D.y=2x-2
3.已知y-3与x成正比例,且当x=2时,y=7,则y与x之间的函数表达式为 (　　)
A.y=2x+3 B.y=2x-3 C.y-3=2x+3 D.y=3x-3
4.如图,把直线y=-2x向上平移后得到直线AB,直线AB经过点(a,b),且2a+b=6,则直线AB的表达式是 (　　)
A.y=-2x-3　　 B.y=-2x-6　 C.y=-2x+3　 D.y=-2x+6
5.如图,已知直线l1:y=-2x+4与x轴,y轴分别交于A,B两点,那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的表达式为 (　　)
A.y=x B.y=x C.y=x D.y=2x
二、填空题
6.(2020郴州)小红在练习仰卧起坐,本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系:
日期x(日) 1 2 3 4
成绩y(个) 40 43 46 49
小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系,则该函数的表达式为　　　　.
7.(2020黔西南州)如图,正比例函数的图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P,点P到x轴的距离是2,则这个正比例函数的表达式是　　　　.
8.(2020南京)将一次函数y=-2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°,所得到的图象对应的函数表达式是　　　　.
9.已知y是x的一次函数,当-2≤x≤2时,-1≤y≤3,那么这个函数的表达式是　　　　　　　　.
三、解答题
10.已知一次函数的图象经过点(3,5)和(-4,-9).
(1)求这个一次函数的表达式;
(2)求这个函数的图象与x轴的交点坐标.
11.已知y与x+3成正比例,且当x=1时,y=8.
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)若点(a,6)在这个函数的图象上,求a的值.
12.图是某型号新能源纯电动汽车充满电后,蓄电池剩余电量y(千瓦·时)关于已行驶路程x(千米)的函数图象.
(1)根据图象,直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦·时时汽车已行驶的路程,当0≤x≤150时,求1千瓦·时的电量汽车能行驶的路程;
(2)当150≤x≤200时,求y关于x的函数表达式,并计算当汽车已行驶180千米时,蓄电池的剩余电量.
图
13.(2020南通)如图,直线l1:y=x+3与过点A(3,0)的直线l2交于点C(1,m),与x轴交于点B.
(1)求直线l2的表达式;
(2)点M在直线l1上,MN∥y轴,交直线l2于点N.若MN=AB,求点M的坐标.
图
[转化思想] 如图,A,B分别是x轴上位于原点左、右两侧的点,点P(2,p)在第一象限,直线PA交y轴于点C(0,2),直线PB交y轴于点D,此时S△AOP=6.
(1)求p的值;
(2)若S△BOP=S△DOP,求直线BD的函数表达式.
答案
1. C　设该正比例函数的表达式为y=kx.∵正比例函数的图象经过点(2,-1),∴-1=2k,解得k=-,∴这个正比例函数的表达式是y=-x.
2.A
3.A
4. D　∵直线AB经过点(a,b),且2a+b=6,∴直线AB经过点(a,6-2a).∵直线AB与直线y=-2x平行,∴设直线AB的表达式是y=-2x+b1.把点(a,6-2a)代入函数表达式,得6-2a=-2a+b1,则b1=6,∴直线AB的表达式是y=-2x+6.
5. D　当y=0时,-2x+4=0,解得x=2,则A(2,0);
当x=0时,y=-2x+4=4,则B(0,4),
∴线段AB的中点坐标为(1,2).
∵直线l2把△AOB的面积平分,
∴直线l2经过AB的中点.
设直线l2的表达式为y=kx.
把(1,2)代入,得2=k,即k=2,
∴直线l2的表达式为y=2x.
6. y=3x+37
设该函数的表达式为y=kx+b.
根据题意,得解得
∴该函数的表达式为y=3x+37.
故答案为y=3x+37.
7. y=-2x
∵点P到x轴的距离为2,∴点P的纵坐标为2.∵点P在一次函数y=-x+1的图象上,∴2=-x+1,解得x=-1,∴点P的坐标为(-1,2).设正比例函数的表达式为y=kx.把P(-1,2)代入,得2=-k,解得k=-2,∴正比例函数的表达式为y=-2x,因此本题答案为y=-2x.
8. y=x+2
直线y=-2x+4与x轴,y轴的交点坐标分别为(2,0),(0,4),该两点逆时针旋转90°后的对应点分别是(0,2),(-4,0).
设旋转后的直线的表达式为y=kx+b.
把点(0,2),(-4,0)代入,得
解得
故旋转后的直线的表达式为y=x+2.
9. y=x+1或y=-x+1
设所求的函数表达式为y=kx+b(k,b为常数,k≠0).
分情况讨论:
(1)当k>0时,函数图象经过点(-2,-1),(2,3),则解得则函数的表达式是y=x+1;
(2)当k<0时,函数图象过点(-2,3),(2,-1),则解得则函数的表达式是y=-x+1.
故这个函数的表达式是y=x+1或y=-x+1.
10.解:(1)设一次函数的表达式为y=kx+b,则解得
所以这个一次函数的表达式为y=2x-1.
(2)令y=0,得2x-1=0,解得x=,
故这个函数的图象与x轴的交点坐标为,0.
11.解:(1)根据题意,设y=k(x+3).
把x=1,y=8代入y=k(x+3),得8=4k,
解得k=2.
则y与x之间的函数表达式为y=2(x+3)=2x+6.
(2)把点(a,6)代入y=2x+6,得6=2a+6,
解得a=0.
12.解:(1)由图象可知,蓄电池剩余电量为35千瓦·时时汽车已行驶的路程为150千米.
当0≤x≤150时,1千瓦·时的电量汽车能行驶的路程为=6(千米).
(2)当150≤x≤200时,设y关于x的函数表达式为y=kx+b.把点(150,35),(200,10)代入,得解得
∴当150≤x≤200时,y关于x的函数表达式为y=-0.5x+110.
当x=180时,y=-0.5×180+110=20.
故当150≤x≤200时,y关于x的函数表达式为y=-0.5x+110,当汽车已行驶180千米时,蓄电池的剩余电量为20千瓦·时.
13.解:(1)把x=1代入y=x+3,得y=4,∴C(1,4).
设直线l2的表达式为y=kx+b.
把点(1,4)(3,0)代入,得
解得∴y=-2x+6.
(2)在y=x+3中,令y=0,得x=-3,
∴B(-3,0),则AB=3-(-3)=6.
设M(a,a+3).
由MN∥y轴,点N在直线l2上,得N(a,-2a+6),
∴MN=|a+3-(-2a+6)|=AB=6,
解得a=3或a=-1,∴M(3,6)或M(-1,2).
[素养提升]
解:如图,过点P作PF⊥y轴于点F,
则PF=2.
(1)∵C(0,2),
∴CO=2,
∴S△COP=CO·PF=×2×2=2.
∵S△AOP=6,S△COP=2,∴S△COA=4,
即OA×2=4,∴OA=4.
又∵A是x轴上位于原点左侧的点,
∴A(-4,0).
∵点P(2,p)在第一象限,∴p>0,
∴S△AOP=×4×p=6,∴p=3.
(2)如图,过点P作PE⊥x轴于点E,过点O作OH⊥BD于点H,则OH为△BOP,△DOP的高.
∵S△BOP=S△DOP,且这两个三角形同高,
∴DP=BP,
即P为BD的中点.
∵PF⊥y轴,PE⊥x轴,x轴⊥y轴,
∴PF∥OB,PE∥OD,
∴OB=2PF=4,OD=2PE=6,
∴B(4,0),D(0,6).
设直线BD的函数表达式为y=kx+b,
则解得
∴直线BD的函数表达式为y=-x+6.[平行四边形的对角线的性质]
一、选择题
1.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列说法一定正确的是(　　)
A.AO=DO　　 B.AO⊥DO　 C.AO=CO　　 D.AO⊥AB
2.证明:平行四边形的对角线互相平分.
已知:四边形ABCD是平行四边形,如图所示.求证:AO=CO,BO=DO.
以下是排乱的证明过程:①∴∠ABO=∠CDO,∠BAO=∠DCO;②∵四边形ABCD是平行四边形;③∴AB∥CD,AB=CD;④∴△AOB≌△COD;⑤∴OA=OC,OB=OD.
正确的顺序应是 (　　)
A.②①③④⑤ B.②③⑤①④ C.②③①④⑤ D.③②①④⑤
3.(2020益阳)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若AC=6,BD=8,则AB的长可能是 (　　)
A.10 B.8 C.7 D.6
4.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AB⊥AC.若AD=5,AB=3,则对角线BD的长为(　　)
A. B.2 C.9 D.8
二、填空题
5.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,则图中有　　　　对全等三角形.
6.如图,平行四边形ABCD的周长为18 cm,AC,BD相交于点O,△OBC的周长比△OAB的周长小2 cm,则AB的长度为　　　　cm.
7.如图, ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC交AD于点M,△CDM的周长为8,那么 ABCD的周长是　　　　.
8.如图, ABCD的面积为16,对角线交于点O;以AB,AO为邻边作 AOC1B,对角线交于点O1;以AB,AO1为邻边作 AO1C2B,对角线交于点O2……依此类推,则 AOC1B的面积为　　　　　; AO4C5B的面积为　　　　; AOnCn+1B的面积为　　　　.
三、解答题
9.如图,在 ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,那么OE与OF是否相等 为什么
图
10.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O任作一条直线分别交AB,CD于点E,F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若CD=6,AD=5,OE=2,求四边形AEFD的周长.
11.如图①,四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形,点E,F在 ABCD的对角线AC上.
(1)求证:∠ABE=∠CDF;
(2)若点E,F不在对角线AC上,而在对角线AC所在的直线上,如图②所示,则∠ABE=∠CDF是否还成立 请说明理由.
[操作设计] 如图①,四边形ABCD是平行四边形,E是AB边上一点,只用无刻度直尺在CD边上作一点F,使得CF=AE.
(1)作出满足题意的点F,简要说明你的作图过程;
(2)依据你的作图,证明:CF=AE;
(3)小明从图①找到了一种将平行四边形面积平分的方法.图②是一块纸片,其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形,小明发现可以用一条直线将其分割成面积相等的两部分,请你帮助小明设计三种不同的分割方案.
答案
1.C　
2.C
3. D　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=AC=3,OB=BD=4.
在△AOB中,4-3即1∴AB的长可能为6.故选D.
4. B　∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∴BO=DO,OA=OC,BC=AD=5.
∵AB⊥AC,AB=3,∴AC==4,∴OA=2,∴BO===,
∴BD=2BO=2.
5. 4
△AOB≌△COD;△AOD≌△COB;△ADB≌△CBD;△ADC≌△CBA.
6. 5.5
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AD=BC,AO=CO.
∵平行四边形ABCD的周长是18 cm,
∴AB+BC=9 cm.
∵△OBC的周长比△OAB的周长小2 cm,
∴AB-BC=2 cm,∴AB=5.5 cm.
7. 16　
依题意可知OM垂直平分AC,∴AM=CM,∴AD+CD=△CDM的周长=8,
∴ ABCD的周长=2(AD+CD)=16.
8. 8　　
∵ ABCD的面积为16,O为 ABCD的对角线的交点,∴ AOC1B的底边AB上的高等于 ABCD的底边AB上的高的,∴ AOC1B的面积=×16.∵ AOC1B的对角线交于点O1,∴ AO1C2B的边AB上的高等于 AOC1B的底边AB上的高的,∴ AO1C2B的面积=××16=×16……依此类推, AO4C5B的面积=×16=, AOnCn+1B的面积为×16=.
9.解:OE=OF.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD.
又∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠OEB=∠OFD=90°.
又∵∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF,
∴OE=OF.
10.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,OA=OC,∴∠OAE=∠OCF.
在△AEO和△CFO中,
∴△AEO≌△CFO(ASA),∴OE=OF.
(2)∵△AEO≌△CFO,∴CF=AE,
∴DF+AE=DF+CF=CD=6.
又∵EF=2OE=4,
∴四边形AEFD的周长=AD+DF+AE+EF=5+6+4=15.
11.解:(1)证明:连接BD交AC于点O,如图①.
∵四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,OA=OC,OE=OF,
∴∠BAE=∠DCF,AE=CF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴∠ABE=∠CDF.
(2)∠ABE=∠CDF还成立.理由如下:
连接BD交AC于点O,如图②所示.
∵四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形,∴BE∥DF,BE=DF,OA=OC,OE=OF,
∴∠BEA=∠DFC,AE=CF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴∠ABE=∠CDF.
[素养提升]
解:(1)如图①,连接EO并延长交CD于点F,则点F为所求.
(2)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=CO,AB∥CD,∴∠BAO=∠DCO.
又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,
∴CF=AE.
(3)三种不同的分割方案如图②③④所示.[矩形的判定]
一、选择题
1.下列说法中能判定四边形是矩形的是 (　　)
A.有两个角为直角的四边形
B.对角线互相平分的四边形
C.对角线相等的四边形
D.四个角都相等的四边形
2.(2020十堰)在平行四边形ABCD中,有下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD.其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是 (　　)
A.① B.② C.③ D.④
3.数学活动课上,老师要求同学们判断一个四边形的门框是不是矩形,下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案,其中正确的是 (　　)
A.测量其中三个角是否都为直角
B.测量对角线是否相等
C.测量两组对边是否分别相等
D.测量对角线是否互相平分
二、填空题
4.如图,在平行四边形ABCD中,添加一个条件:　　 　,使平行四边形ABCD是矩形.
5.如图,在四边形ABCD 中,对角线 AC⊥BD,垂足为O,E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD 的中点,则四边形EFGH 为　　　　形.
6.为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直,工人师傅用一根绳子比较其对角线AC,BD的长度.若二者长度相等,则该书架的侧边与上、下边都垂直,请你说出其中的数学原理:　 .
7.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=4 cm,AD>AB,CD=5 cm,点P从点C出发沿边CB以1 cm/s的速度向点B运动,　　　　s后四边形ABPD是矩形.
三、解答题
8.(2020聊城)如图,在 ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC.若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.
图
9.(2020遂宁)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是线段BC,AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:△BDE≌△FAE;
(2)求证:四边形ADCF为矩形.
图
10.(2020娄底娄星区一模)如图,将 ABCD的边AB延长到点E,使BE=AB,连接DE,交BC边于点F.
(1)求证:△BEF≌△CDF;
(2)连接BD,CE,请探究:当∠BFD与∠A之间满足怎样的数量关系时,能使四边形BECD成为矩形 为什么
11.已知△ABC的三边AB=3,AC=4,BC=5,如图,P为BC边上一动点,PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N.
(1)求证:四边形AMPN是矩形.
(2)在点P的运动过程中,MN的长度是否存在最小值 若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
图
[分类讨论思想] 如图,以△ABC的三边为边,在BC的同一侧分别作等边三角形ABD,等边三角形BCE,等边三角形ACF.请回答下面的问题:
(1)当△ABC满足什么条件时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在
(2)四边形ADEF是什么四边形
(3)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形
答案
1.D
2.B
3.A
4.答案不唯一,如AC=BD
5. 矩
∵E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD 的中点,∴HE∥AC, GF∥AC,∴HE∥GF.同理,HG∥EF,∴四边形EFGH是平行四边形.由AC⊥BD,易证∠EHG=90°,∴四边形EFGH是矩形.
6.对角线相等的平行四边形是矩形
7.3
8.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DF,AD=BC,
∴∠ABE=∠FCE.
∵E为BC的中点,∴BE=CE.
又∵∠AEB=∠FEC,
∴△ABE≌△FCE(ASA),
∴AE=FE.
又∵BE=CE,∴四边形ABFC是平行四边形.
∵AD=BC,AD=AF,∴BC=AF,
∴ ABFC是矩形.
9.证明:(1)∵AF∥BC,∴∠DBE=∠AFE.
∵E是线段AD的中点,∴DE=AE.
又∵∠DEB=∠AEF,
∴△BDE≌△FAE(AAS).
(2)∵△BDE≌△FAE,∴AF=BD.
∵D是线段BC的中点,
∴BD=CD,∴AF=CD.
又∵AF∥CD,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴ ADCF为矩形.
10.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD.
∵BE=AB,∴BE=CD.
∵AB∥CD,
∴∠BEF=∠CDF,∠EBF=∠DCF.
在△BEF与△CDF中,
∴△BEF≌△CDF(ASA).
(2)当∠BFD=2∠A时,四边形BECD为矩形.
理由:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∠A=∠DCB.
∵AB=BE,∴CD=BE.
又∵CD∥BE,
∴四边形BECD是平行四边形,
∴BF=CF,EF=DF.
∵∠BFD=2∠A,∴∠BFD=2∠DCF.
又∵∠BFD=∠DCF+∠FDC,
∴∠DCF=∠FDC,
∴DF=CF,∴DE=BC,
∴四边形BECD是矩形.
11.解:(1)证明:∵AB2+AC2=32+42=52=BC2,
∴∠BAC=90°.
∵PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,
∴∠AMP=∠ANP=90°,
∴∠BAC=∠AMP=∠ANP=90°,
∴四边形AMPN是矩形.
(2)存在.理由如下:连接AP,如图所示.
∵四边形AMPN是矩形,∴MN=AP.
当AP⊥BC时,AP最短,即MN的长度取得最小值,此时,S△ABC=AB·AC=AP·BC,
即×3×4=×AP×5,解得AP=,
∴MN的长度的最小值为.
[素养提升]
解:(1)当∠BAC=60°时,点D,A,F在同一条直线上,此时以A,D,E,F为顶点的四边形不存在.
(2)由题意,易得AC=FC,∠BCA=∠ECF,BC=EC,所以△BAC≌△EFC,得EF=AB=AD.同理得△BDE≌△BAC,得DE=AC=AF,所以四边形ADEF是平行四边形.
(3)当∠DAF=90°时, ADEF是矩形,此时∠BAC=360°-∠DAF-∠BAD-∠CAF=360°-90°-60°-60°=150°,所以当△ABC中的∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.[正方形]
一、选择题
1.如图,已知四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O,则图中与△AOB全等的三角形有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2020绵阳)如图是以正方形的边长为直径,在正方形内画半圆得到的图形,则此图形的对称轴有 (　　)
A.2条 B.4条 C.6条 D.8条
3.(2020滨州)下列命题是假命题的是 (　　)
A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B.对角线互相垂直的矩形是正方形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
4.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,BE=CF,则图中与∠AEB相等的角的个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图,F是正方形ABCD的边CD上的一个动点,BF的垂直平分线交对角线AC于点E,交BF于点M,连接BE,EF,则∠EBF的度数是 (　　)
A.45° B.50° C.60° D.无法确定
二、填空题
6.如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点D,B作DE⊥a于点E,BF⊥a于点F.若DE=4,BF=3,则EF的长为　　　　.
7.(2020镇江)如图,P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点,∠1=∠2,则∠BPC的度数为　　　　.
8.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD,其中符合题意的是　　　　　(填序号).
9.(2020毕节)如图,已知正方形ABCD的边长为4,E是边AB的中点,P是对角线BD上的动点,则AP+PE的最小值是　　　　.
10.以正方形ABCD的边AD为一边作等边三角形ADE,则∠BEC的度数是　　　　.
三、解答题
11.如图,已知平行四边形ABCD,若M,N是BD上两点,且BM=DN,AC=2OM.
(1)求证:四边形AMCN是矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AMCN是正方形 请说明理由.
12.(2020呼和浩特)如图,在正方形ABCD中,G是BC边上任意一点(不与点B,C重合),DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F.
(1)求证:AF-BF=EF.
(2)四边形BFDE是否可能是平行四边形 如果可能,请指出此时点G的位置;如果不可能,请说明理由.
图
[探究题] 分别以Rt△ABC的两边AB,AC为边,向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,过点A作AM⊥BC于点M,延长MA交EG于点N.
(1)如图①,若∠BAC=90°,AB=AC,求证:EN=GN.
(2)如图②,∠BAC=90°;如图③,∠BAC≠90°,(1)中结论是否成立 若成立,选择一个图形进行证明;若不成立,写出你的结论,并说明理由.
图
答案
1. C　∵四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O,
∴OA=OB=OC=OD,AB=BC=CD=DA,
∴△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA,
∴与△AOB全等的三角形有3个.
2. B　如图.
故选B.
3. D　对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,不一定是正方形.因此本题选D.
4. C　∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,AD∥BC,AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°.
在△ABE和△BCF中,
∴△ABE≌△BCF(SAS),
∴∠BFC=∠AEB.
∵AB∥CD,∴∠BFC=∠ABF,
∴∠ABF=∠AEB.
∵AD∥BC,∴∠AEB=∠DAE.
故图中与∠AEB相等的角的个数是3.
5. A　如图,过点E作EG⊥BC,EH⊥CD,垂足分别为G,H,易证明△BEG≌△FEH(HL),得∠BEG=∠FEH,所以∠BEF=∠GEH=90°,所以∠EBF=45°.故选A.
6. 7
可证△ABF≌△DAE,则有AF=DE,AE=BF,故EF=AF+AE=DE+BF=4+3=7.
7. 135°
∵∠1=∠2,∴∠2+∠PCB=∠1+∠PCB=45°,∴∠P=135°.
8. ①③④
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.
又∵AB⊥AD,∴四边形ABCD是正方形,①正确;
由四边形ABCD是平行四边形,AB=BD,AB⊥BD,不能得到平行四边形ABCD是正方形,故②错误;
∵四边形ABCD是平行四边形,OB=OC,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.
又∵OB⊥OC,即对角线互相垂直,
∴平行四边形ABCD是正方形,③正确;
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
又∵AC=BD,∴四边形ABCD是正方形,
④正确.
9. 2
∵正方形ABCD的边长为4,E是边AB的中点,∴BE=2.∵P是对角线BD上的动点,连接PC,则PC=PA.连接EC交BD于点P,此时AP+PE=CP+PE=EC有最小值,最小值EC===2.故答案为2.
10. 30°或150°
分两种情况:(1)如图①,等边三角形ADE在正方形ABCD的内部.∠CDE=∠CDA-∠ADE=90°-60°=30°.∵CD=DE,∴∠DCE=75°,∴∠ECB=90°-75°=15°,同理可以得到∠EBC=15°,
∴∠BEC=150°.
(2)如图②,等边三角形ADE在正方形ABCD的外部.∠CDE=∠CDA+∠ADE=90°+60°=150°.∵CD=DE,∴∠CED=15°.同理∠AEB=15°,∴∠BEC=∠AED-∠CED-∠AEB=60°-15°-15°=30°.
11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵BM=DN,
∴OB-BM=OD-DN,即OM=ON,
∴四边形AMCN是平行四边形.
∵AC=2OM,∴MN=AC,
∴ AMCN是矩形.
(2)当△ABC满足AB=BC时,四边形AMCN是正方形.
理由:∵AB=BC,OA=OC,
∴BO垂直平分AC.
∵点M在BO上,
∴AM=MC,∴矩形AMCN为正方形.
12.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∴∠BAF+∠DAE=90°.
∵DE⊥AG,∴∠AED=90°,
∴∠DAE+∠ADE=90°,∠DEF=90°,
∴∠ADE=∠BAF.
又∵BF∥DE,∴∠BFA=∠DEF=90°,
∴△ABF≌△DAE(AAS),∴AE=BF,
∴AF-BF=AF-AE=EF.
(2)不可能.理由:如图.
∵DE∥BF,∴当DE=BF时,四边形BFDE为平行四边形.
∵DE=AF,∴BF=AF,
即此时∠BAF=45°,而点G不与点B,C重合,
∴∠BAF≠45°,
∴四边形BFDE不可能是平行四边形.
[素养提升]
解:(1)证明:∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ACB=45°.
∵AM⊥BC,∴∠MAC=45°,
∴∠EAN=∠MAC=45°.
同理∠NAG=45°,∴∠EAN=∠NAG.
∵四边形ABDE和四边形ACFG为正方形,
∴EA=AB=AC=AG,∴EN=GN.
(2)如图①,当∠BAC=90°时,(1)中结论成立.
证明:过点E作EP⊥AN交AN的延长线于点P,过点G作GQ⊥AN于点Q.
∵四边形ABDE是正方形,
∴AB=EA,∠BAE=90°,
∴∠EAP+∠BAM=180°-90°=90°.
∵AM⊥BC,∴∠ABM+∠BAM=90°,
∴∠ABM=∠EAP.
在△ABM和△EAP中,
∴△ABM≌△EAP(AAS),∴EP=AM.
同理可得GQ=AM,∴EP=GQ.
在△EPN和△GQN中,
∴△EPN≌△GQN(AAS),∴EN=GN.
如图②,当∠BAC≠90°时,(1)中结论成立.
证明:过点E作EP⊥AN交AN的延长线于点P,过点G作GQ⊥AN于点Q.
∵四边形ABDE是正方形,
∴AB=EA,∠BAE=90°,
∴∠EAP+∠BAM=180°-90°=90°.
∵AM⊥BC,
∴∠ABM+∠BAM=90°,
∴∠ABM=∠EAP.
在△ABM和△EAP中,
∴△ABM≌△EAP(AAS),∴EP=AM.
同理可得GQ=AM,
∴EP=GQ.
在△EPN和△GQN中,
∴△EPN≌△GQN(AAS),
∴EN=GN.[矩形的性质]
一、选择题
1.(2020南平期末)下列性质中,矩形具有但平行四边形不一定具有的是 (　　)
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
2.在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法错误的是 (　　)
A.∠ABC=90° B.AC=BD C.OA=OB D.OA=AD
3.如图,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O.若AB=3,AC=6,则∠AOD的度数为 (　　)
A.90° B.100° C.110° D.120°
4.(2020怀化)如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,若△AOB的面积为2,则矩形ABCD的面积为 (　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
5.(2020广州)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为 (　　)
A. B. C. D.
二、填空题
6.(2020青海)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知∠BOC=120°,DC=3 cm,则AC的长为　　　　cm.
7.如图,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB,CD于点E,F.若矩形ABCD的面积是12,则阴影部分的面积是　　　　.
8.如图,在矩形纸片ABCD中,边AB=12,AD=5,P为DC边上的动点(点P不与点D,C重合),将纸片沿AP折叠,点D落在点D'处,则CD'的最小值为　　　　.
三、解答题
9.已知:如图,四边形ABCD是矩形(AD>AB),点E在BC上,且AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.求证:DF=AB.
10.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,DF⊥AC于点F.求证:AE=DF.
图
11.如图,矩形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.求矩形的边BC的长和矩形ABCD的面积.
12.如图,在矩形ABCD中,E,F为BC上的两点,且BE=CF,连接AF,DE交于点O.
求证:(1)△ABF≌△DCE;
(2)△AOD是等腰三角形.
13.如图,在矩形ABCD中,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连接DE,BF.
(1)求证:BE=DF;
(2)判断四边形BEDF的形状,并说明理由.
[方程思想] 如图,在矩形ABCD中,E是BC边上的点,连接DE,AE,将△DEC沿线段DE翻折,点C恰好落在线段AE上的点F处.
(1)求证:△ABE≌△DFA;
(2)如果AB=6,EC∶BE=1∶4,求线段DE的长.
答案
1. C　矩形的性质有:四个角都是直角,对角线相等且互相平分,对边平行且相等;
平行四边形的性质有:对角相等,对边平行且相等,对角线互相平分;
故矩形具有但平行四边形不一定具有的性质是对角线相等.
故选C.
2.D　3.D
4. C　∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,
∴AC=BD,且OA=OB=OC=OD,
∴S△ADO=S△BCO=S△CDO=S△AOB=2,
∴矩形ABCD的面积为4S△AOB=8.故选C.
5. C　∵四边形ABCD为矩形,∴∠ABC=90°,OA=OB=OC=OD.又∵AB=6,BC=8,∴AC=10,∴OA=OD=5.∵S△AOE+S△EOD=S△AOD=S矩形ABCD=×6×8=12,∴OA·OE+OD·EF=12,即×5OE+×5EF=12,∴OE+EF=.因此本题选C.
6. 6
由矩形的性质可知∠ABC=90°,AB=DC=3 cm,OB=OC.
∵∠BOC=120°,
∴∠ACB=∠DBC=×(180°-120°)=30°,
∴AC=2AB=6 cm.
7. 3
由矩形的中心对称性,得△AOE≌△COF,所以S△AOE=S△COF,所以S阴影=S△AOB=S矩形ABCD=3.
8. 8
连接AC,当点D'在AC上时,CD'有最小值.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠B=90°,AD=BC.
∵AB=12,AD=5,∴BC=5,
∴AC===13.
由折叠的性质,得AD=AD'=5,
∴CD'的最小值=AC-AD'=13-5=8.
9.证明:∵四边形ABCD是矩形,DF⊥AE,
∴∠B=∠DFA=90°,AD∥BC,
∴∠DAF=∠AEB.
在△AFD和△EBA中,
∴△AFD≌△EBA(AAS),
∴DF=AB.
10.证明:∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,
∴OA=OC=OB=OD.
∵AE⊥BD,DF⊥AC,
∴∠AEO=∠DFO=90°.
在△AOE和△DOF中,
∴△AOE≌△DOF(AAS),∴AE=DF.
11.解:∵∠AOD=120°,
∴∠AOB=180°-120°=60°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,AC=BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD,
∴OA=OB.
∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,
∴OA=OB=AB=2,∴AC=2OA=4.
在直角三角形ABC中,BC===2,
则矩形ABCD的面积是AB·BC=2×2=4.
12. (1)先由BE=CF, 得BF=CE,
再根据矩形的性质得∠B=∠C=90°,AB=DC,
根据SAS可以判定△ABF≌△DCE;
(2)利用(1)中的△ABF≌△DCE,
可得∠BAF=∠CDE,
从而90°-∠BAF=90°-∠CDE,
即∠DAO=∠ADO,
所以OA=OD,
因此得△AOD是等腰三角形.
证明:(1)∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=DC,∠B=∠C=90°.
∵BE=CF,∴BF=CE.
在△ABF和△DCE中,
∴△ABF≌△DCE(SAS).
(2)由(1)知△ABF≌△DCE,
∴∠BAF=∠CDE.
∵∠DAF=90°-∠BAF,∠EDA=90°-∠CDE,
∴∠DAF=∠EDA,即∠DAO=∠ADO,
∴OA=OD,
∴△AOD是等腰三角形.
13.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,AB=CD,∴∠BAE=∠DCF.
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠BEA=∠DFC=90°,
∴△ABE≌△CDF(AAS),∴BE=DF.
(2)四边形BEDF是平行四边形.
理由:∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴BE∥DF.
又∵BE=DF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
[素养提升]
解:(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠B=∠C=90°,CD=AB,AD=BC,AD∥BC.
∵将△DEC沿线段DE翻折,点C恰好落在线段AE上的点F处,∴△DEF≌△DEC,
∴DF=DC,∠DFE=∠C=90°,
∴DF=AB,∠AFD=90°,
∴∠AFD=∠B.
∵AD∥BC,∴∠DAF=∠AEB.
在△ABE和△DFA中,
∴△ABE≌△DFA.
(2)∵EC∶BE=1∶4,
∴设EC=x,则BE=4x,∴AD=BC=5x.
由△ABE≌△DFA,得AF=BE=4x.
在Rt△ADF中,由勾股定理得DF==3x.
又∵DF=DC=AB=6,∴x=2,即EC=2.
在Rt△DCE中,DE===2.[利用对角线的关系判定平行四边形]
一、选择题
1.四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件可以判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A.AC=10,BD=8
B.OA=5,OB=8,OC=5,OD=8
C.OA=5,OB=5,OC=8,OD=8
D.OA=5,OD=5,OC=8,OB=8
2.下面给出了四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是 (　　)
A.1∶2∶3∶4 B.2∶3∶2∶3
C.2∶3∶3∶2 D.1∶2∶2∶3
3.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,下列不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 (　　)
A.AB∥DC,AD=BC B.AB∥DC,AD∥BC
C.AB=DC,AD=BC D.OA=OC,OB=OD
二、填空题
4.将两根木条AC,BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD为平行四边形,理由是　　　　　　　　　　　　　　　　　.
5.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请添加一个条件:　　　　　　(填一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.
6.已知三条线段的长分别为10,14,20,以其中两条为对角线,其余一条为边可以画出　　　个平行四边形.
三、解答题
7.如图,在 ABCD中,E是边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F,连接AC,DF.
求证:四边形ACDF是平行四边形.
图
8.(2020淮安)如图,在 ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF相交于点O,且AO=CO.
(1)求证:△AOF≌△COE;
(2)连接AE,CF,则四边形AECF　　　　(填“是”或“不是”)平行四边形.
图
9.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,∠B=55°,∠1=85°,∠2=40°.
(1)求∠D的度数;
(2)求证:四边形ABCD是平行四边形.
10.已知:如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在线段AC上,点G,H在线段BD上,且AE=CF,BG=DH,连接EH,HF,GF,EG.
(1)若AC=6,BD=8,试求AD的取值范围;
(2)若AC=AD,∠CAD=50°,试求∠ABC的度数;
(3)求证:四边形EHFG是平行四边形.
图
11.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,E是AD的中点,连接BE并延长交CD的延长线于点F.
(1)连接AF,BD,试判断四边形ABDF是何种特殊四边形,并说明理由;
(2)若AB=4,BC=5,CD=6,求△BCF的面积.
图
[从特殊到一般的思想与猜想、证明] 如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=5 cm,E,F为直线BD上的两个动点(点E,F始终在 ABCD的外面),当DE=OD,BF=OB时,连接AE,CE,CF,AF.据此回答下列问题:
(1)求证:四边形AFCE为平行四边形;
(2)当DE=OD,BF=OB时,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗 由此你能得出什么结论
(3)若CA平分∠BCD,∠AEC=60°,求四边形AFCE的周长.
答案
1.B　2.B　3.A　
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形
5.答案不唯一,如BO=DO
6.2
7.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE.
∵E是AD的中点,∴AE=DE.
又∵∠FEA=∠CED,
∴△FAE≌△CDE(ASA),
∴FE=CE.
又∵AE=DE,
∴四边形ACDF是平行四边形.
8.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠FAO=∠ECO.
在△AOF和△COE中,
∴△AOF≌△COE(ASA).
(2)是　 由(1)知△AOF≌△COE,∴OF=OE.
又∵OA=OC,
∴四边形AECF为平行四边形.
9.解:(1)∵∠D+∠2+∠1=180°,∠1=85°,∠2=40°,
∴∠D=180°-∠2-∠1=55°.
(2)证明:∵AB∥DC,
∴∠2=∠CAB,
∴∠DAB=∠1+∠CAB=∠1+∠2=125°.
∵∠DCB+∠DAB+∠D+∠B=360°,
∴∠DCB=125°=∠DAB.
又∵∠D=∠B=55°,
∴四边形ABCD是平行四边形.
10.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=AC=3,OD=BD=4,
∴1(2)∵AC=AD,∠CAD=50°,
∴∠ADC=∠ACD=×(180°-50°)=65°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC=65°.
(3)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
又∵AE=CF,BG=DH,
∴OE=OF,OG=OH,
∴四边形EHFG是平行四边形.
11.解:(1)四边形ABDF是平行四边形.
理由:∵AB∥CD,
∴∠EAB=∠EDF.
∵E是AD的中点,
∴AE=DE.
在△ABE和△DFE中,
∴△ABE≌△DFE(ASA),
∴BE=FE.
又∵AE=DE,
∴四边形ABDF是平行四边形.
(2)∵△ABE≌△DFE,BC⊥CD,
∴△BCF的面积=梯形ABCD的面积=(AB+CD)·BC=×(4+6)×5=25.
[素养提升]
解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵DE=OD,BF=OB,且F,B,D,E四点共线,∴DE=BF,
∴OE=OF.
又∵OA=OC,
∴四边形AFCE为平行四边形.
(2)成立.理由:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵DE=OD,BF=OB,∴DE=BF,
∴OE=OF.
又∵OA=OC,
∴四边形AFCE为平行四边形.
由此可得出结论:若DE=OD,BF=OB(n>0),则四边形AFCE为平行四边形.
(3)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA.
∵CA平分∠BCD,
∴∠BCA=∠DCA,
∴∠DCA=∠DAC,∴AD=CD.
∵OA=OC,∴OD⊥AC,
∴OE是线段AC的垂直平分线,
∴AE=CE.
∵∠AEC=60°,
∴△ACE是等边三角形,
∴AE=CE=AC=2OA=10 cm,
∴四边形AFCE的周长=2(AE+CE)=2×(10+10)=40(cm).[频数与频率的应用]
一、选择题
1.小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表:
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
若抛掷硬币的次数为1000,则估计“正面朝上”的频数最接近(　　)
A.20 B.300 C.500 D.800
2.为了解某地区九年级男生的身高情况,随机抽取了该地区100名九年级男生,他们的身高x(cm)统计如下表:
分组 x<160 160≤x<170 170≤x<180 x≥180
人数 5 38 42 15
根据以上结果,随机抽查该地区一名九年级男生,估计他的身高不低于180 cm的可能性是 (　　)
A.0.85 B.0.57 C.0.42 D.0.15
二、填空题
3.在1000个数据中,用适当的方法抽取50个作为样本进行统计.在统计所得的表格中,54.5~57.5这一组的频率为0.12,那么这1000个数据中落在54.5~57.5之间的数据约有
　　　　个.
4.在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个.某学习小组做摸球试验,将球搅匀后从中摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,搅匀后,再继续摸出一个球,不断重复.下表是试验进行中的一组统计数据:
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.59 0.605 0.601
(1)请填出表中所缺的数据;
(2)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近　　　　(精确到0.01);
(3)估计袋中白球约有　　　　个.
三、解答题
5.阅读对人成长的影响是巨大的,一本好书往往能改变人的一生,每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”.某校倡导学生读书,下面的表格是全校学生阅读课外书籍情况统计表,图是该校初中三个年级学生人数分布的扇形统计图,其中八年级学生人数为204,请你根据图表中提供的信息,解答下列问题:
图书种类 频数 频率
科普常识 840 b
名人传记 816 0.34
中外名著 a 0.25
其他 144 0.06
(1)求该校八年级学生人数占全校学生总人数的百分比;
(2)求表中a,b的值;
(3)该校学生平均每人读多少本课外书
答案
1. C　观察表格发现:随着试验次数的增加,“正面朝上”的频率逐渐稳定到0.5附近,
所以抛掷硬币的次数为1000,估计“正面朝上”的频数最接近1000×0.5=500.
2.D　
3. 120
用样本估计总体:在频数分布表中,54.5~57.5这一组的频率是0.12,那么估计总体数据落在54.5~57.5这一组的频率同样是0.12,那么落在这一范围内的数据大约有1000×0.12=120(个).
4.(1)所填数据从左到右依次为0.58,484
(2)0.60　(3)12
5.解:(1)∵1-28%-38%=34%,
∴该校八年级学生人数占全校学生总人数的百分比为34%.
(2)∵144÷0.06=2400,
∴a=2400×0.25=600,b=840÷2400=0.35.
(3)∵八年级学生人数为204,占全校学生总人数的百分比为34%,
∴全校学生总人数为204÷34%=600(人),
∴该校学生平均每人读课外书2400÷600=4(本).
答:该校学生平均每人读4本课外书.[利用边的关系判定平行四边形]
一、选择题
1.下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是 (　　)
A.∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°
B.∠A+∠B=180°,∠C+∠A=180°
C.∠A+∠D=180°,∠C+∠B=180°
D.∠A+∠D=180°,∠A+∠B=180°
2.已知在四边形ABCD中,AB∥CD,若要用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD是平行四边形,还需要添加的条件是(　　)
A.AD=BC B.AC=BD C.AB=CD D.AB=AD
3.在四边形ABCD中,若AB=3,BC=4,CD=3,要使该四边形是平行四边形,则AD的长是 (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题
4.如图,A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以点A,C为圆心,BC,AB的长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB,AD,CD,则四边形ABCD一定是　　　　　.
5.在四边形ABCD中,AD=BC,要使四边形ABCD是平行四边形,还需添加一个条件,这个条件可以是　　　　　　.(写出一种情况即可)
6.一个四边形的四条边长依次为a,b,c,d,且满足(a-c)2+(b-d)2=0,则这个四边形一定是　　　　　.
三、解答题
7.已知:如图,在 ABCD中,E,F分别是边AD,BC的中点.
求证:四边形BFDE是平行四边形.
图
8.证明命题:若四边形ABCD和四边形BEFC都是平行四边形,则四边形AEFD是平行四边形.
请指出小海同学证明过程中的错误之处,并写出你的证明过程.
9.如图,在线段AD上有E,F两点,且AE=DF,过点E,F分别作AD的垂线BE和CF,连接AB,CD,BF,CE,且AB∥CD.求证:四边形BECF是平行四边形.
10.如图,已知∠A=∠D,AB=DC,AC,BD相交于点O.
(1)求证:△AOB≌△DOC;
(2)若AB=BC,∠A=32°,求∠AOB的度数;
(3)作△BDC关于直线BC的对称图形△BEC,求证:四边形ABEC是平行四边形.
图
[分类讨论思想] 如图,等边三角形ABC的边长为8,动点M从点B出发,沿B→A→C→B的方向以每秒3个单位的速度运动,动点N从点C出发,沿C→A→B→C的方向以每秒2个单位的速度运动.
(1)若动点M,N同时出发,经过几秒第一次相遇
(2)若动点M,N同时出发,且其中一点到达终点时,另一点立即停止运动.在△ABC的边上是否存在一点D,使得以点A,M,N,D为顶点的四边形为平行四边形 若存在,求此时运动的时间t及点D的具体位置;若不存在,请说明理由.
答案
1.D　2.C　3.B
4. 平行四边形
∵分别以点A,C为圆心,BC,AB的长为半径画弧,两弧交于点D,
∴AD=BC,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
5.答案不唯一,如AB=CD
6. 平行四边形
∵(a-c)2+(b-d)2=0,∴a=c,b=d,∴四边形ABCD是平行四边形.
7.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∵E,F分别是边AD,BC的中点,
∴DE=BF.
又∵DE∥BF,
∴四边形BFDE是平行四边形.
8.解:小海同学证明过程中的错误之处是列举了一个特例,画出了特殊图形,应该画一般图形.
证明:如图.
∵四边形ABCD和四边形BEFC都是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,BC∥EF,BC=EF,
∴AD∥EF,AD=EF,
∴四边形AEFD是平行四边形.
9.证明:∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠AEB=∠BEF=∠CFE=∠DFC=90°,
∴BE∥CF.
∵AB∥CD,∴∠A=∠D.
在△AEB和△DFC中,
∴△AEB≌△DFC(ASA),∴BE=CF.
又∵BE∥CF,
∴四边形BECF是平行四边形.
10.解:(1)证明:在△AOB与△DOC中,
∴△AOB≌△DOC(AAS).
(2)∵AB=BC,∠A=32°,
∴∠ACB=∠A=32°.
∵△AOB≌△DOC,
∴OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=32°,
∴∠AOB=∠OCB+∠OBC=64°.
(3)证明:在△ABC与△DCB中,
∴△ABC≌△DCB,
∴AC=DB.
∵△BDC与△BEC关于直线BC对称,
∴DC=CE,DB=BE,
∴AB=CE,AC=BE,
∴四边形ABEC是平行四边形.
[素养提升]
解:(1)设动点M,N同时出发,经过x秒第一次相遇.
由题意,得3x+2x=16,解得x=.
即动点M,N同时出发,经过秒第一次相遇.
(2)存在.①当0≤t≤时,点M,N,D的位置如图(a)所示.
∵四边形ANDM为平行四边形,
∴AM=ND,AM∥ND,∴∠NDC=∠B.
∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠C=60°,
∴∠NDC=∠C,∴ND=NC,
∴AM=NC,
∴MA+BM=NC+BM=8,即2t+3t=8,
解得t=,
此时点D在线段BC上,且BD=或CD=.
②当③当4∵四边形ANDM为平行四边形,
∴ND=AM,AM∥ND,
∴∠NDB=∠C.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∴∠NDB=∠B,
∴ND=NB,
∴AM=NB,
∴AM+AN=NB+AN=8,
即3t-8+2t-8=8,解得t=,
此时点D在线段BC上,且BD=或CD=.
④当由题意得BN=16-2t,BM=24-3t.
易得△BNM为等边三角形,
∴BN=BM,即16-2t=24-3t,解得t=8,此时点M,N重合,不能构成平行四边形.
故在△ABC的边上存在一点D,使得以点A,M,N,D为顶点的四边形为平行四边形,此时运动的时间t为秒或秒,此时点D在线段BC上,分别为BD=或CD=,BD=或CD=.[平行四边形的边、角的性质]
一、选择题
1.(2020湘西州凤凰县期末)如图,在 ABCD中,∠A+∠C=260°,则∠B的度数是 (　　)
A.110° B.160° C.70° D.50°
2.如图,在平行四边形ABCD中,BE=2,AD=8,DE平分∠ADC交BC于点E,则平行四边形ABCD的周长为 (　　)
A.14 B.24 C.20 D.28
3.如图,在 ABCD中,下列结论不一定正确的是 (　　)
A.∠1=∠2 B.∠1=∠3 C.AB=CD D.∠BAD=∠BCD
4.(2020温州)如图,在△ABC中,∠A=40°,AB=AC,点D在AC边上,以CB,CD为边作 BCDE,则∠E的度数为 (　　)
A.40° B.50° C.60° D.70°
二、填空题
5.如图,在 ABCD中,AE平分∠BAD,过点D作DE⊥AE于点E.若∠ADE=30°,则∠C=　　　　°.
6.如图,E为 ABCD的边AD上任意一点, ABCD的面积为6,则图中阴影部分的面积为　　　　.
三、解答题
7.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是边BC,AD的中点.
求证:∠ABF=∠CDE.
图
8.(2020重庆B卷)如图,在平行四边形ABCD中,AE,CF分别平分∠BAD和∠DCB,交对角线BD于点E,F.
(1)若∠BCF=60°,求∠ABC的度数;
(2)求证:BE=DF.
图
9.如图,l1∥l2,点C1在l1上,并且C1A⊥l2,A为垂足,C2,C3是l1上任意两点,点B在l2上.设△ABC1的面积为S1,△ABC2的面积为S2,△ABC3的面积为S3,小颖认为S1=S2=S3,请帮小颖说明理由.
10.如图,在 ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,延长BE交CD的延长线于点F.
(1)若∠F=20°,求∠A的度数;
(2)连接CE.若AB=5,BC=8,CE⊥AD,求 ABCD的面积.
11.如图,在 ABCD中,∠BCD=120°,分别延长DC,BC到点E,F,使得△BCE和△CDF都是等边三角形,连接AE,FA.
(1)求证:AE=FA;
(2)求∠EAF的度数.
图
如图,在 ABCD中,点E,F分别在边DC,AB上,DE=BF,把 ABCD沿直线EF折叠,使得点B,C分别落在点B',C'处,线段EC'与线段AF交于点G,连接DG,B'G.
求证:(1)∠1=∠2;
(2)DG=B'G.
图
答案
1. D　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,∠B+∠C=180°.
又∵∠A+∠C=260°,∴∠C=130°,
∴∠B=180°-130°=50°.
故选D.
2. D　∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,BC=AD=8,AB=CD,
∴∠ADE=∠CED,
∴∠CDE=∠CED,∴CE=CD.
∵BC=8,BE=2,∴CE=BC-BE=8-2=6,∴CD=CE=AB=6,
∴平行四边形ABCD的周长=6+6+8+8=28.
3.B
4. D　由∠A=40°,AB=AC,可得∠C=70°.又因为四边形BCDE是平行四边形,所以∠E=∠C=70°.因此本题选D.
5. 120
∵DE⊥AE,∴∠AED=90°,
∴∠EAD+∠ADE=90°.
∵∠ADE=30°,∴∠EAD=60°.
∵AE平分∠BAD,∴∠BAD=120°.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴∠C=∠BAD=120°.
6. 3
由E是 ABCD的边AD上任意一点,可得△EBC与 ABCD等底等高,进而可得S△EBC=S ABCD.
7.证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C.
∵E,F分别是边BC,AD的中点,
∴CE=BC,AF=AD,
∴AF=CE,
∴△ABF≌△CDE(SAS),
∴∠ABF=∠CDE.
8.解:(1)∵CF平分∠BCD,∴∠BCD=2∠BCF.
∵∠BCF=60°,∴∠BCD=2×60°=120°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠ABC=180°-120°=60°.
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∠BAD=∠DCB,
∴∠ABE=∠CDF.
∵AE,CF分别平分∠BAD和∠DCB,
∴∠BAE=∠BAD,∠DCF=∠DCB,
∴∠BAE=∠DCF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF,∴BE=DF.
9.解:如图,分别过点C2,C3作l2的垂线,垂足分别为D,E,则C1A∥C2D∥C3E.
∵l1∥l2,∴C1A=C2D=C3E,
∴△ABC1,△ABC2,△ABC3同底等高,
∴S1=S2=S3.
10.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠A+∠ABC=180°,∠ABE=∠F=20°.
∵∠ABC的平分线交AD于点E,
∴∠ABE=∠CBF=20°,
∴∠ABC=40°,∴∠A=140°.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,AB=5,BC=8,
∴AD∥BC,AD=BC=8,CD=AB=5,
∴∠AEB=∠EBC.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,
∴∠AEB=∠ABE,
∴AE=AB=5,∴DE=AD-AE=3.
∵CE⊥AD,∴∠CED=90°,
∴CE===4,
∴ ABCD的面积=AD·CE=8×4=32.
11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∠BCD=120°,
∴AB=CD,DA=BC,∠BAD=∠BCD=120°,∠ABC=∠ADC=60°.
∵△BCE和△CDF都是等边三角形,
∴BC=BE,CD=FD,∠EBC=∠CDF=60°,
∴BE=DA,∠ABE=∠FDA=120°,AB=FD,∴△ABE≌△FDA,∴AE=FA.
(2)∵△ABE≌△FDA,∴∠BAE=∠DFA.
∵∠FDA=120°,∴∠DAF+∠DFA=60°,
∴∠DAF+∠BAE=60°,
∴∠EAF=∠BAD-(∠DAF+∠BAE)=60°.
[素养提升]
证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠2=∠FEC.
由折叠的性质,得∠1=∠FEC,
∴∠1=∠2.
(2)由(1)知∠1=∠2,∴EG=FG.
∵AB∥CD,
∴∠DEG=∠EGF.
由折叠的性质,得EC'∥B'F,BF=B'F,
∴∠B'FG=∠EGF,
∴∠B'FG=∠DEG.
∵DE=BF,BF=B'F,
∴DE=B'F,
∴△DEG≌△B'FG,
∴DG=B'G.[一次函数与方案决策]
一、选择题
1.某地打长途电话3分钟之内收费1.8元,3分钟以后每增加1分钟加收0.5元,当通话时间t不小于3分钟时,电话费y(元)与通话时间t(分)之间的表达式为 (　　)
A.y=t+2.4　　 B.y=0.5t+1　
C.y=0.5t+0.3　 D.y=0.5t-0.3
2.根据如图所示的程序计算函数值,若输入的x值为,则输出的y值为 (　　)
A.　 B.　 C.　 D.
3.(2021益阳模拟)某市出租车计费方法如图所示,x(km)表示行驶里程,y(元)表示车费.若某乘客有一次乘出租车的车费为36元,则这位乘客乘车的里程为 (　　)
A.10 km B.14 km C.15 km D.17 km
二、填空题
4.某书的定价为25元/本,如果一次性购买20本以上,超过20本的部分打八折,试写出付款金额y(单位:元)与购书数量x(单位:本)之间的函数表达式:　　　　　　　　　.
5.元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载:“今有良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日,问良马几何日追及之.”图是两匹马行走的路程s关于行走时间t的函数图象,则两图象交点P的坐标是　　　　.
三、解答题
6.(2021张家界模拟)某市为了鼓励居民节约用水,采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费:
月用水量不超过20 m3时,按2.5元/m3计费;月用水量超过20 m3时,其中20 m3仍按2.5元/m3收费,超过部分按3.2元/m3计费.设每户家庭月用水量为x m3时,应交水费y元.
(1)分别写出当0≤x≤20和x>20时,y与x之间的函数表达式;
(2)小明家第二季度缴纳水费的情况如下:
月份 四月份 五月份 六月份
缴费金额 40元 45元 56.4元
小明家第二季度共用水多少立方米
7.某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡,设入园次数为x时所需费用为y元,选择这两种卡消费时,y与x之间的函数关系如图所示,解答下列问题:
(1)分别求出选择这两种卡消费时,y关于x的函数表达式;
(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.
8.新农村社区改造过程中,有一部分楼盘要对外销售,某楼盘共23层,销售价格如下:第八层楼房售价为4000元/米2,从第八层起每上升一层,每平方米的售价提高50元;反之,楼层每下降一层,每平方米的售价降低30元.已知该楼盘每套楼房面积均为120平方米.
若购买者一次性付清所有房款,开发商有两种优惠方案:
方案一:降价8%,另外每套楼房赠送a元装修基金;
方案二:降价10%,没有其他赠送.
(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23,x取整数)之间的函数表达式;
(2)老王要购买第十六层的一套楼房,若他一次性付清购房款,请帮他计算哪种优惠方案更加合算.
[数形结合] 已知A,B两地相距60 km,甲骑自行车,乙骑摩托车沿同一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地.设行驶时间为x(h),甲、乙两人离开A地的路程分别记为y1(km),y2(km),它们与x(h)的关系如图所示.
(1)线段OD所在直线的函数表达式是　　　　,线段EF所在直线的函数表达式是　　　　;
(2)试求点F的坐标,并说明其实际意义;
(3)乙在行驶过程中,求两人距离超过6 km时x的取值范围.
答案
1.C
2. A　因为x的值为,所以根据自变量的取值范围,选用第三个函数表达式进行计算,得结果为.
3. D　由图象得出租车的起步价是8元;设当x>3时,y与x之间的函数关系式为y=kx+b.由函数图象,得解得
故y与x之间的函数关系式为y=2x+2.
∵36>8,
∴令y=36,则36=2x+2,解得x=17.
4.y=
5. (32,4800)
由题意,得150t=240(t-12),解得t=32,则150t=150×32=4800,
∴点P的坐标为(32,4800).
6.解:(1)当0≤x≤20时,y与x之间的函数表达式是y=2.5x;
当x>20时,y与x之间的函数表达式是
y=2.5×20+3.2(x-20)=3.2x-14.
(2)小明家用水量x=20时,水费y=2.5×20=50(元).
因为小明家四、五月份的水费都不超过50元,故满足y=2.5x;
六月份的水费超过50元,故满足y=3.2x-14.
把y=40代入y=2.5x中,得2.5x=40,
解得x=16;
把y=45代入y=2.5x中,得2.5x=45,
解得x=18;
把y=56.4代入y=3.2x-14中,得3.2x-14=56.4,解得x=22.16+18+22=56(m3),
故小明家第二季度共用水56 m3.
7.解:(1)设选择甲种消费卡时,y关于x的函数表达式为y甲=k1x.根据题意,得5k1=100,解得k1=20,∴选择甲种消费卡时,y关于x的函数表达式为y甲=20x(x≥0,且x为整数);
设选择乙种消费卡时,y关于x的函数表达式为y乙=k2x+100.根据题意,得20k2+100=300,解得k2=10,∴选择乙种消费卡时,y关于x的函数表达式为y乙=10x+100(x≥0,且x为整数).
(2)结合(1)得:①当y甲②当y甲=y乙,即20x=10x+100时,x=10,所以当入园次数等于10次时,选择两种消费卡费用一样;
③当y甲>y乙,即20x>10x+100时,x>10,所以当入园次数大于10次时,选择乙消费卡比较合算.
8.解:(1)当1≤x≤8,x为整数时,y=4000-30(8-x)=30x+3760;
当8所以售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23,x取整数)之间的函数表达式为
y=
(2)当x=16时,y=50×16+3600=4400,
总价为4400×120=528000(元).
方案一需付房款:[528000×(1-8%)-a]元;
方案二需付房款:528000×(1-10%)元.
令528000×(1-8%)-a=528000×(1-10%),解得a=10560,
所以当a<10560时,选择方案二更合算;当a=10560时,两种方案均可;当a>10560时,选择方案一更合算.
[素养提升]
解:(1)y1=10x　y2=40x-120　 设线段OD所在直线的函数表达式为y1=kx.
根据题意,得6k=60,解得k=10,
∴线段OD所在直线的函数表达式为y1=10x,
∴点C的纵坐标为4×10=40.
设线段EF所在直线的函数表达式为y2=k1x+b.根据题意,得
解得
∴线段EF所在直线的函数表达式为y2=40x-120.
(2)令40x-120=60,
解得x=4.5,
∴点F的坐标为(4.5,60).
点F的实际意义为乙骑摩托车出发1.5小时后到达B地.
(3)当10x-(40x-120)>6时,解得x<3.8,即3≤x<3.8时,乙在行驶过程中,两人距离超过6 km;
当40x-120-10x>6时,解得x>4.2,即4.2故乙在行驶过程中,两人距离超过6 km时x的取值范围为3≤x<3.8或4.2一、选择题
1.已知函数y=3x|m-2|是关于x的正比例函数,则常数m的值为 (　　)
A.3或1 B.3 C.±1 D.1
2.有下列函数表达式:①y=-x;②y=2x+11;③y=x2;④y=.其中一次函数有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列说法中,不正确的是 (　　)
A.一次函数不一定是正比例函数
B.正比例函数是一次函数的特例
C.不是正比例函数就不是一次函数
D.不是一次函数就不是正比例函数
4.若函数y=(m-1)x|m|-5是一次函数,则m的值为(　　)
A.±1 B.-1 C.1 D.2
二、填空题
5.若函数y=(m-2)x+5是一次函数,则m满足的条件是　　　　.
6.(2020常德期末)已知y=3x+m+3是正比例函数,则m=　　　　.
7.图是一根生活中常用的塑料软尺,软尺一面的刻度表示市寸,另一面的刻度表示厘米.小颖观察软尺发现,两个刻度x(市寸)与y(厘米)之间的关系如下表:
x/市寸 1.5 3 4.5 6
y/厘米 5 10 15 20
根据上面数据可知y与x之间的函数表达式为　　　　　　(0≤x≤30).
8.定义[p,q]为一次函数y=px+q的特征数.若特征数是[2,k-2]的一次函数为正比例函数,则k的值是　　　　.
三、解答题
9.已知函数y=(m-2)x+m2-4.
(1)当m取何值时,y是x的正比例函数
(2)当m取何值时,y是x的一次函数
10.写出下列各题中y与x之间的函数表达式(不用体现自变量的取值范围),并判断y是不是x的一次函数.
(1)汽车以80 km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系;
(3)一棵树现在的高度为60 cm,每个月长高3 cm,x个月后这棵树的高度为y cm.
11.声音在空气中的传播速度v(m/s)与温度T(℃)的关系如下表:
T(℃) 1 2 3 4 5
v(m/s) 331+0.6 331+1.2 331+1.8 331+2.4 331+3.0
(1)写出速度v(m/s)与温度T(℃)之间的关系式(不必写出自变量的取值范围),并判断它是正比例函数还是一次函数;
(2)当T=2.5时,求声音的传播速度.
12.某风景区集体门票的收费标准是:30人以内(含30人),每人35元;超过30人,超出部分每人20元.
(1)写出应收门票费用y(元)与x(人)(x>30且x为整数)之间的函数表达式;
(2)如果某单位有45人去该风景区游览,那么购买门票共花了多少钱
(3)若某单位购买门票花了1650元,则该单位组织了多少人去该风景区游览
[方程思想] 在综合与实践活动中,活动小组对学校400米跑道进行规划设计,如图,跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成.其中最内圈周长为400米,两端半圆弧的半径为36米.(π取3.14)
(1)求跑道中一段直道的长度;
(2)在活动中发现每条跑道周长(单位:米)随跑道宽度(距最内圈的距离,单位:米)的变化而变化.请完成下表:
跑道宽度/米 0 1 2 3 4 5 …
跑道周长/米 400 …
若设x表示跑道宽度(单位:米),y表示该跑道周长(单位:米),试写出y与x之间的函数表达式;(不必写出自变量的取值范围)
(3)将周长为446米的跑道作为400米跑道场地的最外沿,那么它与最内圈(跑道周长为400米)形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条
答案
1.A　2.B　3.C
4. B　依题意得解得m=-1.
5. m≠2
由题意得m-2≠0,解得m≠2.
6. -3
由题意,得m+3=0,
解得m=-3.
故答案为-3.
7.y=x
8. 2
根据题意,可知特征数是[2,k-2]的一次函数的表达式为y=2x+(k-2).因为此一次函数为正比例函数,所以k-2=0,解得k=2.
9.解:(1)当m2-4=0且m-2≠0,即m=-2时,y是x的正比例函数.
(2)当m-2≠0,即m≠2时,y是x的一次函数.
10.解:(1)y=80x,y是x的一次函数.
(2)y=πx2,y不是x的一次函数.
(3)y=3x+60,y是x的一次函数.
11.解:(1)根据表格可得v=331+0.6T.
故速度v与温度T之间的关系式为v=331+0.6T.它是一次函数.
(2)当T=2.5时,v=331+0.6×2.5=332.5(m/s).
故当T=2.5时,声音的传播速度为332.5 m/s.
12.解:(1)y=20x+450(x>30且x为整数).
(2)将x=45代入y=20x+450中,得y=1350,则购买门票共花了1350元.
(3)因为35×30=1050(元),1650>1050,
所以该单位去该风景区游览的人数超过30人.
将y=1650代入y=20x+450中,解得x=60,即该单位组织了60人去该风景区游览.
[素养提升]
解:(1)跑道中一段直道的长度约为(400-2×36×3.14)÷2=86.96(米).
(2)填表如下:
跑道宽度/米 0 1 2 3 4 5 …
跑道周长/米 400 406.28 412.56 418.84 425.12 431.40 …
y与x之间的函数表达式为y=2π(36+x)+400-2π×36=2πx+400≈6.28x+400.
(3)由题意可得y=446,
即400+6.28x=446,
解得x≈7.32,7.32÷1.2=6.1,
∴该区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道6条.[直角三角形全等的判定]
一、选择题
1.如图,AC=BC,AC⊥OA,CB⊥OB,则直接判定Rt△AOC≌Rt△BOC的理由是 (　　)
A.SSS B.ASA C.SAS D.HL
2.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则图中的全等三角形共有 (　　)
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
3.下列条件中,不能作出唯一直角三角形的是(　　)
A.已知两个锐角
B.已知两条直角边长
C.已知一条直角边长和斜边长
D.已知一个锐角和其所对直角边长
4.如图,∠ACB=∠EDB=90°,AC=ED,则下列条件中,不能判定△ABC≌△EBD的是(　　)
A.∠A=∠E B.AB=BD C.BC=BD D.∠ABE=∠CBD
二、填空题
5.如图,已知AC⊥BC,AD⊥BD,垂足分别是C,D,若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD,则应添加的条件是　　　　　　(写一种即可).
6.如图,MN∥PQ,AB⊥PQ于点B,交MN于点A,点D,C分别在直线MN与PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=BE,DE=EC,则AB=　　　　.
7.如图,已知CA⊥AB,垂足为A,AB=8米,AC=4米,射线BM⊥AB,垂足为B.一动点E从点A出发以2米/秒的速度沿射线AN运动,D为射线BM上一动点,随着点E的运动而运动,且始终保持ED=CB,当点E运动　　　　　　　秒时,△DEB与△BCA全等.
三、解答题
8.如图,已知∠C=∠D=90°,BC与AD交于点E,AC=BD.求证:AE=BE.
图
9.如图,已知AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高,且AD=AF,AC=AE.求证:BC=BE.
10.在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E.
(1)若点B,C在DE的同侧(如图①所示),且AD=CE.求证:AB⊥AC.
(2)若点B,C在DE的两侧(如图②所示),且AD=CE,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗 若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.
　　　　　　　
[阅读理解与分类讨论] 问题提出:学习了全等三角形的判定方法(“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
初步思考:将问题用符号语言表示为:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠ABC=∠DEF,则AB是否等于DE 可对∠ABC进行分类,分为“∠ABC是锐角、直角、钝角”三种情况进行探究.
第一种情况:若∠ABC是锐角,则AB不一定等于DE;
第二种情况:若∠ABC是直角,根据“HL”,可得△ABC≌△DEF,则AB=DE;
第三种情况:若∠ABC是钝角,则AB=DE.
问题解决:如图,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠ABC=∠DEF,且∠ABC是钝角.求证:AB=DE.
方法归纳:化归是一种有效的数学思维方式,一般是将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题,观察发现第三种情况可以转化为第二种情况,如图①,过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G.
(1)在△DEF中用尺规作出DE边上的高FH,不写作法,保留作图痕迹;
(2)请你在完成(1)中作图的基础上,证明AB=DE.
　　　　　　　　　　　
答案
1.D　2.B　3.A
4. B　A项符合ASA;C项符合SAS;D项符合AAS;B项中AB与BD不是对应边.故选B.
5.答案不唯一,如BC=AD
6. 7
∵MN∥PQ,AB⊥PQ,∴AB⊥MN,
∴∠DAE=∠EBC=90°.
在Rt△ADE和Rt△BEC中,
∵DE=EC,AD=BE,
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL),∴AE=BC.
∵AD+BC=7,
∴AB=BE+AE=AD+BC=7.
7. 0或2或6或8　
①当点E在线段AB上,AC=BE时,△ACB≌△BED.
∵AC=4米,∴BE=4米,
∴AE=8-4=4(米),
∴点E的运动时间为4÷2=2(秒);
②当点E在射线BN上,AC=BE时,△ACB≌△BED,
∵AC=4米,∴BE=4米,
∴AE=8+4=12(米),
∴点E的运动时间为12÷2=6(秒);
③当点E在线段AB上,AB=EB时,△ACB≌△BDE,这时点E在点A处未动,因此运动时间为0秒;
④当点E在射线BN上,AB=EB时,△ACB≌△BDE,AE=8+8=16(米),点E的运动时间为16÷2=8(秒).
8.证明:在Rt△ACB和Rt△BDA中,
∵AB=BA,AC=BD,
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL),
∴∠ABC=∠BAD,∴AE=BE.
9.证明:∵AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高,
∴∠ADC=∠AFE=90°.
在Rt△ADC和Rt△AFE中,
∵AD=AF,AC=AE,
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL),∴CD=EF.
在Rt△ABD和Rt△ABF中,
∵AD=AF,AB=AB,
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL),∴BD=BF,
∴BD-CD=BF-EF,即BC=BE.
10.解:(1)证明:∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠ADB=∠CEA=90°.
在Rt△ABD和Rt△CAE中,
∵AB=CA,AD=CE,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE,
∴∠DAB=∠ECA.
∵∠EAC+∠ECA=90°,
∴∠DAB+∠EAC=90°,
∴∠BAC=180°-(∠DAB+∠EAC)=90°,∴AB⊥AC.
(2)AB与AC仍垂直.
证明:同(1)可证得Rt△ABD≌Rt△CAE,
∴∠DAB=∠ECA.
∵∠EAC+∠ECA=90°,
∴∠EAC+∠DAB=90°,即∠BAC=90°,
∴AB⊥AC.
[素养提升]
解:(1)如图所示,FH即为所作.
(2)证明:∵∠ABC=∠DEF,
∴∠CBG=∠FEH.
∵CG⊥AB,FH⊥DE,
∴∠BGC=∠EHF=90°.
又∵BC=EF,
∴△CBG≌△FEH(AAS),
∴BG=EH,CG=FH.
在Rt△ACG和Rt△DFH中,
∵AC=DF,CG=FH,
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL),
∴AG=DH,
∴AG-BG=DH-EH,
即AB=DE.