专题训练(二) 平行四边形的性质与判定
类型一 平行四边形的性质
1.如图,在 ABCD中,∠BAD的平分线AE交DC于点E,∠DAE=25°.
(1)求∠C,∠B的度数;
(2)若BC=5,AB=8,求CE的长.
图
2.(2021桂林)如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线BD的中点,EF过点O,交AB于点E,交CD于点F.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)求证:△DOF≌△BOE.
图
类型二 平行四边形的判定
3.(2020陕西)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C.E是边BC上一点,且DE=DC.求证:AD=BE.
4.(2020广西北部湾经济区)如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)连接AD,求证:四边形ABED是平行四边形.
5.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=12 cm,BC=15 cm,点P自点A向点D以1 cm/s的速度运动,到点D即停止.点Q自点C向点B以2 cm/s的速度运动,到点B即停止,P,Q同时出发,设运动时间为t(s).
(1)当t为何值时,四边形APQB为平行四边形
(2)当t为何值时,四边形PDCQ为平行四边形
图
类型三 平行四边形的性质与判定的综合应用
6.如图,在 ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF.
求证:DE=BF,BE=DF.
图
7.如图,在平行四边形ABCD中,AE,CF分别平分∠BAD和∠BCD,AE交BC于点E,CF交AD于点F.
(1)如图①,求证:BE=DF;
(2)如图②,连接BD分别交AE,CF于点G,H,连接AH,CG,GF,EH,AH与GF交于点M,EH与CG交于点N,请直接写出图中所有的平行四边形(平行四边形ABCD除外).
8.在△ABC中,AB=AC,P为△ABC所在平面内一点,过点P分别作PF∥AC交AB于点F,PE∥AB交BC于点D,交AC于点E.
(1)当点P在BC边上(如图①)时,线段PE,PF,AB之间的数量关系为 ;
(2)当点P在△ABC内(如图②)时,线段PD,PE,PF,AB之间有怎样的数量关系 请说明理由;
(3)当点P在△ABC外(如图③)时,线段PD,PE,PF,AB之间有怎样的数量关系 直接写出结论.
图
答案
1.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∠BAD=∠C,
∴∠B+∠C=180°.
∵AE平分∠BAD,∠DAE=25°,
∴∠BAD=2∠DAE=50°,
∴∠C=50°,∴∠B=130°.
(2)∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE.
∵AB∥CD,
∴∠DEA=∠BAE,∴∠DAE=∠DEA,
∴DE=AD.
∵四边形ABCD为平行四边形,BC=5,AB=8,
∴AD=BC=5,CD=AB=8,
∴CE=CD-DE=CD-AD=8-5=3.
2.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠1=∠2.
(2)∵O是BD的中点,
∴OD=OB.
在△DOF和△BOE中,
∴△DOF≌△BOE(AAS).
3.证明:∵DE=DC,∴∠C=∠DEC.
∵∠B=∠C,∴∠B=∠DEC,
∴AB∥DE.
又∵AD∥BC,∴四边形ABED为平行四边形,
∴AD=BE.
4.证明:(1)∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)由(1)得△ABC≌△DEF,
∴∠B=∠DEF,∴AB∥DE.
又∵AB=DE,
∴四边形ABED是平行四边形.
5.解:根据题意,得AP=t,CQ=2t,PD=12-t,BQ=15-2t.
(1)∵AD∥BC,
∴当AP=BQ时,四边形APQB为平行四边形,
∴t=15-2t,解得t=5,
∴当t=5时,四边形APQB为平行四边形.
(2)∵AD∥BC,
∴当PD=CQ时,四边形PDCQ为平行四边形,
∴12-t=2t,解得t=4,
即当t=4时,四边形PDCQ为平行四边形.
6.证明:连接BD交AC于点O.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以OA=OC,OB=OD.
又因为AE=CF,
所以OA-AE=OC-CF,即OE=OF.
又因为OB=OD,
所以四边形BEDF是平行四边形,
所以DE=BF,BE=DF.
7.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D,∠BAD=∠BCD,AB=CD.
∵AE,CF分别平分∠BAD和∠BCD,
∴∠BAE=∠BAD,∠DCF=∠BCD,
∴∠BAE=∠DCF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(ASA),∴BE=DF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
由(1)得,BE=DF,
∴CE=AF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴AE∥CF,AE=CF.
∵AD∥BC,∴∠ADG=∠CBH.
∵∠BAD=∠BCD,AE,CF分别平分∠BAD,∠BCD,
∴∠DAE=∠BCF.
在△DAG和△BCH中,
∴△DAG≌△BCH(ASA),∴AG=CH.
又∵AG∥CH,∴四边形AGCH是平行四边形,
∴AH∥CG.
∵AE=CF,
∴AE-AG=CF-CH,即EG=FH.
又∵EG∥FH,
∴四边形EGFH是平行四边形,
∴EH∥GF.
又∵AH∥CG,
∴四边形MGNH是平行四边形,
∴图中所有的平行四边形(平行四边形ABCD除外)为平行四边形AECF,平行四边形AGCH,平行四边形EGFH,平行四边形MGNH.
8.解:(1)PE+PF=AB.
∵PF∥AC,PE∥AB,
∴四边形PFAE是平行四边形,
∴PE=AF.
∵PF∥AC,∴∠BPF=∠C.
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠B=∠BPF,∴PF=BF,
∴PE+PF=AF+BF=AB,
∴PE+PF=AB.
(2)PD+PE+PF=AB.
理由:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵PE∥AB,∴∠B=∠CDE,
∴∠C=∠CDE,∴CE=PD+PE.
∵PF∥AC,PE∥AB,
∴四边形PFAE是平行四边形,
∴PF=AE,∴PD+PE+PF=AE+CE=AC,
∴PD+PE+PF=AB.
(3)PE+PF-PD=AB.专题训练(九) 一次函数常见四种易错点
易错点一 忽视函数定义中的限制条件致错
1.当k= 时,函数y=(k-2)x-4+k2是正比例函数.
2.已知y=(k-1)x|k|+(k2-4)是一次函数.
(1)求k的值;
(2)该函数图象不经过哪一个象限
易错点二 忽视分类讨论或分类讨论不全面致错
3.已知一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限,则下列结论正确的是 ( )
A.k<0,b>0 B.k<0,b<0 C.k<0,b≤0 D.k<0,b≥0
4.函数y=-4x+3的图象上一点P到x轴的距离等于4,求点P的坐标.
5.已知一次函数y=kx+4的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为16,求此一次函数的表达式.
易错点三 忽视实际问题中自变量的取值范围致错
6.已知等腰三角形的周长是10,底边长y是腰长x的函数,则下列图象中,能正确反映y与x之间的函数关系的是 ( )
7.医药研究所试验某种新药药效时,成人如果按剂量服用,每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(时)的变化如图所示.如果每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效,那么有效时间是多久
图
易错点四 忽视一次函数的性质致错
8.已知一次函数y=(1-2k)x-k的函数值y随x的增大而增大,且函数图象与y轴的交点在x轴的下方,求k的取值范围.
答案
1. -2
对于一次函数y=kx+b,当b=0,k≠0时,一次函数y=kx+b是正比例函数,
所以-4+k2=0,解得k=±2.
又因为k-2≠0,所以k=-2.
2.解:(1)由题意可得|k|=1且k-1≠0,
解得k=-1.
(2)由题易知所求的一次函数的表达式为y=(-1-1)x+(-1)2-4,
即y=-2x-3.
因为-2<0,-3<0,
所以该一次函数的图象不经过第一象限.
3. D 由于正比例函数是特殊的一次函数,因而若y=kx+b的图象不经过第三象限,则它可能经过第一、二、四象限,此时满足k<0,b>0,也可能只经过第二、四象限,此时满足k<0,b=0.故选D.
4.解:因为点P到x轴的距离为4,
所以点P的纵坐标为4或-4.
当点P的纵坐标为4时,-4x+3=4,
解得x=-;
当点P的纵坐标为-4时,-4x+3=-4,
解得x=.
综上可知,点P的坐标为-,4或,-4.
5.解:当x=0时,y=4,
所以一次函数图象与y轴的交点坐标为(0,4).
设一次函数图象与x轴的交点坐标为(m,0).
由题意,得×4×|m|=16,
解得m=8或m=-8,
所以一次函数图象与x轴的交点坐标为(8,0)或(-8,0).
将(8,0)代入y=kx+4,得8k+4=0,
解得k=-;
将(-8,0)代入y=kx+4,得-8k+4=0,
解得k=.
综上可知,此一次函数的表达式为y=-x+4或y=x+4.
6. D 由题意,得y=10-2x.
因为
所以2.5所以符合要求的图象是选项D.
7.解:当0≤x<2时,设y=kx.
把(2,6)代入上式,得k=3,
所以当0≤x<2时,y=3x.
当x≥2时,设y=ax+b.
把(2,6),(10,3)代入上式,得解得
所以当x≥2时,y=-x+.
把y=4代入y=3x,得x=,
把y=4代入y=-x+,得x=,
-=6(时),
所以有效时间为6小时.
8.解:因为一次函数y=(1-2k)x-k的函数值y随x的增大而增大,且函数图象与y轴的交点在x轴的下方,
所以1-2k>0且-k<0,
解得0 类型一 点的坐标与三角形的综合
1.如图所示,A(-,0),B(0,1)分别为x轴,y轴上的点,△ABC为等边三角形,点P(3,a)在第一象限内,且满足2S△ABP=S△ABC,则a的值为 ( )
A.1 B.2 C. D.
2.如图,在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得△AOP为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,在旁边标上P1,P2,…,Pk,并写出P1,P2,…,Pk的坐标(有k个就标到Pk为止,不必写出画法).
类型二 点的坐标与四边形的综合
3.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点A在x轴的正半轴上,∠AOC=45°,OC=,则点B的坐标为( )
A.(,1) B.(1,) C.(+1,1) D.(1,+1)
4.如图,在平面直角坐标系中,以O(0,0),A(1,1),B(3,0)为顶点,构造平行四边形,下列坐标中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是 ( )
A.(-3,1) B.(4,1) C.(-2,1) D.(2,-1)
5.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A的坐标是(4,0),P为边AB上一点,∠CPB=60°,沿CP折叠正方形,折叠后,点B落在平面内点B'处,则点B'的坐标为 ( )
A.(2,2) B.,2-
C.(2,4-2) D.,4-2
6.如图,四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A(-2,8),B(-11,6),C(-14,0),D(0,0).
(1)求四边形ABCD的面积;
(2)如果把原来的四边形ABCD各个顶点的纵坐标保持不变,横坐标增加2,所得的四边形的面积又是多少
答案
1. C 如图,过点P作PD⊥x轴,垂足为D.由A(-,0),B(0,1),得OA=,OB=1.由勾股定理,得AB=2.∵△ABC为等边三角形,∴S△ABC=×2×=.由题意,得S△ABP=S△AOB+S梯形BODP-S△ADP=××1+×(1+a)×3-×(+3)×a=.由2S△ABP=S△ABC,得+3-a=,∴a=.
2.解:连接OA,则OA==.当OA=OP时,x轴上有(,0),(-,0);y轴上有(0,),(0,-);当AP=OA时,x轴上有(4,0),y轴上有(0,2);当AP=OP时,x轴上有,0,y轴上有0,.故P1(,0),P2(-,0),P3(0,),P4(0,-),P5(4,0),P6(0,2),P7,0,P80,,画图略.
3. C 如图,过点C作CD⊥x轴于点D.
∵四边形OABC是菱形,OC=,∴BC=OC=.
∵CD⊥x轴,∠AOC=45°,∴△OCD为等腰直角三角形.∵OC=,∴OD=CD=1,则点C的坐标为(1,1).又∵BC∥x轴,BC=,∴点B的横坐标为OD+BC=1+,点B的纵坐标为1,则点B的坐标为(+1,1).
4. A 如图,因为经过三点可构造三个平行四边形,即 AOBC1, ABOC2, AOC3B.根据平行四边形的性质,可知B,C,D选项中的坐标正好是点C1,C2,C3的坐标.
5. C 如图,过点B'作B'D⊥OC于点D.
∵∠CPB=60°,
∴∠BCP=30°.
∵四边形OABC是正方形,A(4,0),
∴OC=BC=OA=4.
由折叠的性质,知CB'=BC=4,∠B'CP=∠BCP=30°,
∴∠B'CD=30°,∴B'D=2.
在Rt△B'CD中,根据勾股定理,得DC=2,
∴OD=4-2,
∴点B'的坐标为(2,4-2).
6.解:(1)如图,过点B,A分别作BF,AE垂直于x轴,垂足分别为F,E,所以四边形ABCD的面积为×3×6+×(6+8)×9+×2×8=80.
(2)由题意,得新图形是由四边形ABCD向右平移2个单位得到的.根据平移的性质可知,平移前后的图形的形状和大小不变,所以所得的四边形的面积是80.专题训练(五) 特殊平行四边形中的动点问题
类型一 动点与三角形形状
1.如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,AD=8 cm,点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿A→B→C的方向运动;同时点Q从点B出发,以2 cm/s的速度沿B→C→D的方向运动,当其中一点到达终点后两点都停止运动.设两点运动的时间为t s.
(1)当t= 时,两点停止运动;
(2)当t为何值时,△BPQ是等腰三角形
类型二 动点与面积问题
2.如图,A,B,C,D为矩形ABCD的四个顶点,AB=25 cm,AD=8 cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以3 cm/s的速度向点B运动,点Q以2 cm/s的速度向点D运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.
(1)P,Q两点从出发开始到第几秒时,PQ∥AD
(2)P,Q两点从出发开始到第几秒时,四边形PBCQ的面积为84 cm2
3.如图所示,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,点E,F分别在菱形的边BC,CD上滑动,且点E,F不与点B,C,D重合.
(1)求证:不论点E,F在BC,CD上如何滑动,总有BE=CF.
(2)当点E,F在BC,CD上滑动时,四边形AECF的面积是否发生变化 如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值.
类型三 动点与最值问题
4.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,AB=AC=12,P为AB边上一动点,以PA,PC为边作平行四边形PAQC,则对角线PQ的长度的最小值为 ( )
A.6 B.12 C.4 D.6
5.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=6,点E,F,G,H分别在矩形的各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为 ( )
A.3 B.6
C.6 D.9
6.如图,已知菱形ABCD的边长为6,M是对角线AC上的一动点,且∠ABC=120°,则MA+MB+MD的最小值是 ( )
A.3 B.3+3
C.6+ D.6
7.如图,在边长为4的正方形ABCD中,M为对角线BD上一动点,ME⊥BC于点E,MF⊥CD于点F,则EF的最小值为 ( )
A.4 B.2 C.2 D.1
类型四 由动点判断特殊平行四边形的形状
8.如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,连接AD,取AD的中点E,过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F,连接DF.
(1)求证:AF=DC;
(2)若AD=CF,试判断四边形AFDC是什么样的四边形,并证明你的结论.
9.如图,△ABC中,O是边AC上一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形 请说明理由;
(3)当点O在边AC上运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形
图
答案
1.解:(1)7 ∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=6,BC=AD=8,
∴AB+BC=BC+CD=14.
∵14÷2=7,∴t=7.
(2)由题意得,AP=t,BQ=2t.
分情况讨论:当0当4解得t=;
当6综上所述,当t为2或时,△BPQ是等腰三角形.
2.解:(1)设P,Q两点从出发开始到第x s时,PQ∥AD.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,即AP∥DQ.
又∵PQ∥AD,∴四边形APQD是平行四边形,∴AP=DQ,∴3x=25-2x,解得x=5.
答:P,Q两点从出发开始到第5 s时,PQ∥AD.
(2)设P,Q两点从出发开始到第a s时,四边形PBCQ的面积为84 cm2.
∵BP=25-3a,CQ=2a,∴根据梯形面积公式,得(25-3a+2a)·8=84,
解得a=4.
答:P,Q两点从出发开始到第4 s时,四边形PBCQ的面积为84 cm2.
3.解:(1)证明:连接AC,如图所示.
∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,
∴AB=BC=CD=DA,∠BAC=∠DAC=60°,
∴△ABC是正三角形,∠BAE+∠EAC=60°,∴AB=AC.
∵△AEF为正三角形,
∴AE=AF,∠EAF=60°,
∴∠CAF+∠EAC=60°,
∴∠BAE=∠CAF.
在△ABE和△ACF中,
∴△ABE≌△ACF(SAS),
∴BE=CF.
(2)四边形AECF的面积不变.
由(1)得△ABE≌△ACF,
∴S△ABE=S△ACF,
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC,是定值.
过点A作AH⊥BC于点H,如图,
则BH=BC=AB=2,S四边形AECF=S△ABC=BC·AH=BC·=4.
4. A 如图所示:
∵四边形PAQC是平行四边形,
∴AO=CO,OP=OQ.
∵PQ最短也就是PO最短,
∴过点O作OE⊥AB,垂足为E,当点P与点E重合时,PQ的长度取最小值.
∵∠BAC=30°,∴OE=OA.
∵OA=AC=×12=6,
∴OE=3,∴PQ的最小值=2OE=6.
5. C 由题意易知,四边形EFGH为平行四边形.作点E关于BC的对称点E',连接E'G交BC于点F,此时四边形EFGH的周长取最小值,EF=E'F,过点G作GG'⊥AB于点G',如图所示.
∵AE=CG,∴BE=DG,∴BE=AG'.
又∵BE=BE',∴B'E=AG',∴E'G'=AB=3.
∵GG'=AD=6,
∴E'G===3,
∴C四边形EFGH=2(GF+EF)=2E'G=6.
6. D 如图,过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点M,连接BD.
∵四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,
∴∠DAB=60°,AD=AB=DC=BC,
∴△ADB是等边三角形,
∴AE=AB=3,∠MAE=30°,∴AM=2ME.
∵MD=MB,
∴MA+MB+MD=2ME+2DM.
根据垂线段最短知,此时DE最短,即MA+MB+MD的值最小.
∵菱形ABCD的边长为6,
∴DE===3,
∴MA+MB+MD的最小值是6.
7. B 连接MC.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠C=90°,∠DBC=45°.
∵ME⊥BC,MF⊥CD,
∴四边形MECF为矩形,∴EF=MC.
当MC⊥BD时,MC取得最小值,
此时△BCM是等腰直角三角形,
∴MC=BC=2,
∴EF的最小值为2.
8.解:(1)证明:∵E为AD的中点,∴AE=DE.
∵AF∥DC,∴∠AFE=∠DCE.
又∵∠AEF=∠DEC,
∴△AEF≌△DEC(AAS),
∴AF=DC.
(2)四边形AFDC是矩形.
证明:由(1)可知AF=DC且AF∥DC,
∴四边形AFDC是平行四边形.
又∵AD=CF,
∴四边形AFDC是矩形.
9.解:(1)证明:如图,∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,
∴∠2=∠5,∠4=∠6.
∵MN∥BC,∴∠1=∠5,∠3=∠6,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴OE=OC,OF=OC,∴OE=OF.
(2)当点O在边AC上运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
理由:当O为AC的中点时,OA=OC.
又∵OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵∠2=∠5,∠4=∠6,∠5+∠2+∠4+∠6=180°,
∴∠ECF=∠2+∠4=90°,
∴平行四边形AECF是矩形.
(3)当点O在边AC上运动到AC的中点,且∠ACB=90°时,四边形AECF为正方形.
证明:由(2)可得点O在边AC上运动到AC的中点时,平行四边形AECF是矩形.
∵∠ACB=90°,MN∥BC,
∴∠MOA=90°,
∴AC⊥EF,
∴四边形AECF是正方形.专题训练(四) 特殊平行四边形中的折叠问题
类型一 与平行四边形有关的折叠问题
1.如图,在平行四边形ABCD中,E是边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD'E处,AD'与CE交于点F.若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED'的度数为 ( )
A.40° B.36° C.50° D.45°
2.如图,将 ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在点E处,DE交BC于点F.若∠ABD=48°,∠CFD=40°,则∠E的度数为 ( )
A.102° B.112° C.122° D.92°
3.如图,在平行四边形ABCD中,AD⊥DB,垂足为D,将平行四边形ABCD折叠,使点B落在点D的位置,点C落在点G的位置,折痕为EF,EF交对角线BD于点P.
(1)连接CG,请判断四边形DBCG的形状,并说明理由;
(2)若AE=BD,求∠EDF的度数.
图
类型二 与矩形有关的折叠问题
4.(2020连云港)如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线BD上的点A'处.若∠DBC=24°,则∠A'EB等于 ( )
A.66° B.60° C.57° D.48°
5.(2020青岛)如图,将矩形ABCD折叠,使点C和点A重合,折痕为EF,EF与AC交于点O.若AE=5,BF=3,则AO的长为 ( )
A. B. C.2 D.4
6.(2020邵阳)将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作:
(1)将DA沿DP向内折叠,使点A落在点A1处;
(2)将DP沿DA1向内继续折叠,使点P落在点P1处,折痕与边AB交于点M.
若P1M⊥AB,则∠DP1M的大小是 ( )
A.135° B.120° C.112.5° D.115°
7.(2020天门节选)实践操作:第一步:如图①,将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠,使点A落在CD上的点A'处,得到折痕DE,然后把纸片展平.第二步:如图②,将图①中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠,点C恰好落在AD上的点C'处,点B落在点B'处,得到折痕EF,B'C'交AB于点M,C'F交DE于点N,再把纸片展平.
问题解决:
(1)如图①,填空:四边形AEA'D的形状是 .
(2)如图②,线段MC'与ME是否相等 若相等,请给出证明;若不相等,请说明理由.
类型三 与菱形有关的折叠问题
8.(2021南岗模拟)如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,点E在BC边上,将菱形纸片ABCD沿DE折叠,点C落在AB边的垂直平分线上的点C'处,则∠DEC的大小为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
9.如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F,G分别在边AB,AD上.若CE=1,则A,E间的距离为 .
10.如图,菱形ABCD的边长为6,∠B=120°,点E在BC边上,CE=2,F是线段AD上一点,将四边形BEFA沿直线EF折叠,点B的对应点为点B',当DB'的长度最小时,求DF的长.
图
类型四 与正方形有关的折叠问题
11.如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,P为正方形ABCD的边AD上的一点(不与点A,D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在点P处,点C落在点G处,PG交DC于点H,折痕为EF,连接BP,BH.
(1)求证:PB平分∠APH;
(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化 请证明你的结论.
图
答案
1. B ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B=52°.
由折叠的性质得∠D'=∠D=52°,∠D'AE=∠DAE=20°,
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°,∠AED'=180°-∠D'AE-∠D'=108°,
∴∠FED'=108°-72°=36°.
2. B ∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC.
由折叠可得∠ADB=∠BDF,∠A=∠E,
∴∠DBC=∠BDF.
又∵∠DFC=40°,
∴∠DBC=∠BDF=∠ADB=20°.
又∵∠ABD=48°,
∴在△ABD中,∠A=180°-20°-48°=112°,
∴∠E=∠A=112°.
3.解:(1)四边形DBCG是矩形.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD.
由折叠可知,BC=DG,∠CBD=∠BDG.
∵AD⊥DB,
∴∠ADB=∠CBD=90°,
∴∠BDG=90°,
∴A,D,G三点共线,
∴BC∥DG.
又∵BC=DG,∠BDG=90°,
∴四边形DBCG是矩形.
(2)由折叠可知,EF垂直平分BD,
∴BD⊥EF,DP=BP.
∵AD⊥BD,
∴EF∥AD∥BC.
又∵DP=BP,
∴AE=BE,
∴DE是Rt△ADB的斜边上的中线,
∴DE=AE=BE.
∵AE=BD,
∴DE=BD=BE,
∴△DBE是等边三角形,
∴∠EDB=∠DBE=60°.
∵AB∥DC,
∴∠DBA=∠BDC=60°,
∴∠EDF=120°.
4. C ∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ABC=90°,
∴∠ABD=90°-∠DBC=66°.
∵将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线BD上的点A'处,
∴∠BA'E=∠A=90°,∠EBA'=∠ABD=33°,
∴∠A'EB=90°-∠EBA'=57°.故选C.
5. C 由折叠的性质得,EF是AC的垂直平分线,AD'=CD,D'E=DE,∠D'=∠D=90°,
∴AO=CO=AC.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD∥BC,
∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC,
∴△OAE≌△OCF(AAS),∴CF=AE=5.
又∵AD=BC=BF+CF=3+5=8,
∴D'E=DE=AD-AE=8-5=3,
∴AB=CD=AD'===4.
又∵∠D=90°,
∴AC===4,
∴AO=AC=×4=2.
6. C ∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°.
由折叠知,∠DMP1=∠DMA.
∵P1M⊥AB,∴∠P1MA=90°,
∴∠DMP1=∠DMA=45°,∴∠ADM=45°.
由折叠可得∠MDP1=∠ADP=∠PDM=∠ADM=22.5°,
∴在△DP1M中,∠DP1M=180°-45°-22.5°=112.5°.因此本题选C.
7.解:(1)正方形 ∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AE∥DA',∠A=∠C=90°.
∵矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠,使点A落在CD上的点A'处,
∴△AED≌△A'ED,
∴AE=A'E,∠DA'E=∠A=90°,
∴∠DA'E=∠C,∴EA'∥BC∥AD,
∴四边形AEA'D是平行四边形.
又∵∠A=90°,
∴四边形AEA'D是矩形.
又∵AE=A'E,
∴四边形AEA'D是正方形.
(2)MC'=ME.证明:如图,连接EC'.
易证AD=AE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠EAC'=∠B=90°.
由折叠知,B'C'=BC,∠B'=∠B=90°,
∴AE=B'C',∠EAC'=∠B'=90°.
又∵EC'=C'E,∴Rt△EC'A≌Rt△C'EB',
∴∠C'EA=∠EC'B',
∴MC'=ME.
8. D 连接BD,如图所示.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=AD,AB∥CD,∠A=∠C.
又∵∠A=60°,
∴△ABD为等边三角形,∠ADC=120°,∠C=60°,∴AD=BD.
又∵点C'在AB边的垂直平分线上,
∴DC'垂直平分AB,
∴DC'为∠ADB的平分线,
∴∠ADC'=∠BDC'=30°,∴∠C'DC=90°.
由折叠的性质,得∠CDE=∠C'DE=45°,
∴在△DEC中,∠DEC=180°-(∠CDE+∠C)=75°.
9.
如图,连接AE,BE,BD.∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,∴∠C=∠BAD=60°,∠ABC=120°,CD=CB,∴△CBD为等边三角形.
∵E为CD的中点,
∴BE⊥DC,∴∠CBE=30°,∴∠ABE=90°.
∵CE=1,∴BC=2,BE=,∴AB=BC=2,
∴AE==.
10.解:如图,过点D作DH⊥BC于点H.
当DB'的长度最小时,点E,B',D共线.
∵菱形ABCD的边长为6,∠B=120°,
∴CD=6,∠C=60°,
∴CH=3,由勾股定理,得DH=3.
∵CE=2,∴HE=1.
在Rt△DHE中,DE==2.
∵AD∥BC,∴∠DFE=∠BEF.
∵将四边形BEFA沿直线EF折叠,点B的对应点为点B',∴∠BEF=∠DEF,
∴∠DFE=∠DEF,∴DF=DE=2.
11.解:(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴AD∥BC,
∴∠APB=∠PBC.
∵四边形EPGF由四边形EBCF折叠而成,
∴∠EPH=∠EBC,EB=EP,
∴∠EBP=∠EPB,
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP,
∴∠BPH=∠PBC,∴∠APB=∠BPH,
∴PB平分∠APH.
(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长不发生变化.
证明:如图,过点B作BQ⊥PH,垂足为Q.
在△BPA和△BPQ中,
∴△BPA≌△BPQ(AAS),
∴AP=PQ,AB=BQ.
又∵AB=BC,
∴BQ=BC.
在Rt△BQH与Rt△BCH中,
∴Rt△BQH≌Rt△BCH(HL),
∴QH=HC.
∵△PDH的周长为PD+PH+DH,
PD+PH+DH=PD+PQ+QH+DH=PD+AP+HC+DH=AD+DC=8,
∴△PDH的周长不变,为8.专题训练(三) 特殊平行四边形的判定
类型一 矩形的判定
1.如图,将 ABCD的边AB延长至点E,使AB=BE,连接DE,EC,BD,DE交BC于点O.
(1)求证:△ABD≌△BEC;
(2)若∠BOD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形.
2.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,M,N分别为OB,OD的中点,连接AM并延长至点E,使EM=AM,连接CE,CN.
(1)求证:△ABM≌△CDN;
(2)当AB与AC满足 数量关系时,四边形MECN是矩形.
类型二 菱形的判定
3.(2021贺州)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,∠ADB=∠ABD=∠BDC,DE交BC于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,且EF=EC.
求证:四边形ABED是菱形.
图
4.(2021云南节选)如图,四边形ABCD是矩形,E,F分别是线段AD,BC上的点,O是EF与BD的交点.若将△BED沿直线BD折叠,则点E与点F重合.
求证:四边形BEDF是菱形.
5.(2021随州)如图,在菱形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)求证:四边形BEDF是菱形.
图
类型三 正方形的判定
6.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)当∠EAD等于多少度时,四边形ABCD是正方形 请写出推理过程.
7.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,垂足为E,F是BC延长线上的点,且DF⊥BD.
(1)求证:AD=CF;
(2)当C为BF的中点时,求证:四边形ABCD是菱形;
(3)在(2)的条件下,当△BDF满足什么条件时,四边形ABCD是正方形
图
答案
1.证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC,AB=DC,AB∥DC,即BE∥DC.
又∵AB=BE,∴BE=DC,
∴四边形BECD为平行四边形,∴BD=EC.
在△ABD与△BEC中,
∴△ABD≌△BEC(SSS).
(2)由(1)知,四边形BECD为平行四边形,
∴OD=OE,OC=OB.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴∠A=∠BCD,即∠A=∠OCD.
又∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC,
∴∠OCD=∠ODC,∴OC=OD,
∴OC+OB=OD+OE,即BC=ED,
∴ BECD为矩形.
2.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,OB=OD,
∴∠ABM=∠CDN.
∵M,N分别为OB,OD的中点,
∴BM=DN.
在△ABM和△CDN中,
∴△ABM≌△CDN(SAS).
(2)AC=2AB ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,即AC=2OA.
∵AC=2AB,∴AB=OA.
又∵M为OB的中点,∴AM⊥BD.
同理,CN⊥BD,
∴AM∥CN,即EM∥CN.
由(1)得:△ABM≌△CDN,∴AM=CN.
又∵EM=AM,∴EM=CN,
∴四边形MECN是平行四边形.
又∵CN⊥BD,即∠CNM=90°,
∴平行四边形MECN是矩形.
故答案为AC=2AB.
3.证明:∵∠C=90°,∴EC⊥DC.
又∵EF⊥BD,且EF=EC,
∴∠EDB=∠EDC=∠BDC.
又∵∠ABD=∠BDC,
∴∠ABD=∠EDB,
∴AB∥DE.
又∵AD∥BC,
∴四边形ABED是平行四边形.
∵∠ADB=∠ABD,
∴AB=AD,
∴ ABED是菱形.
4.证明:∵将△BED沿直线BD折叠,点E与点F重合,
∴△BED≌△BFD,
∴BE=BF,DE=DF,∠BED=∠BFD,
∴∠AEB=∠CFD.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠A=∠C=90°.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴BE=DF,
∴BE=BF=DE=DF,
∴四边形BEDF是菱形.
5.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠BAE=∠DCF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)如图,连接BD,交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,AO=CO,BO=DO.
又∵AE=CF,
∴AO-AE=CO-CF,即EO=FO,
∴四边形BEDF是平行四边形.
又∵BD⊥EF,
∴平行四边形BEDF是菱形.
6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC.
∵△ACE是等边三角形,
∴EO⊥AC,∴ ABCD是菱形.
(2)当∠EAD=15°时,四边形ABCD是正方形.
理由如下:
∵△ACE是等边三角形,∴∠EAO=60°.
∵∠EAD=15°,
∴∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠BAD=2∠DAO=90°,
∴菱形ABCD是正方形.
7.解:(1)证明:∵AC⊥BD,DF⊥BD,
∴AC∥DF.
又∵AD∥BC,
∴四边形ACFD是平行四边形,
∴AD=CF.
(2)证明:∵C为BF的中点,∴BC=CF.
∵AD=CF,∴AD=BC.
又∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC⊥BD,
∴ ABCD是菱形.
(3)当△BDF满足BD=DF时,四边形ABCD是正方形.理由:
∵DF⊥BD,∴∠BDF=90°.
∵BD=DF,∴∠DBF=∠DFB=(180°-∠BDF)=×(180°-90°)=45°.
由(2)知,四边形ABCD是菱形,
∴∠ABD=∠DBF=45°,
∴∠ABC=∠ABD+∠DBF=45°+45°=90°.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴四边形ABCD是正方形.专题训练(六) 点的坐标规律探究
类型一 沿坐标轴运动的点的坐标规律探究
1.(2021长沙岳麓区期中)如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第一次从原点O运动到点P1(1,1),第二次运动到点P2(2,0),第三次运动到点P3(3,-2),第四次运动到点P4(4,0),第五次运动到点P5(5,2),第六次运动到点P6(6,0)……按这样的运动规律,点P2022的纵坐标是 ( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
2.在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点O出发,按向上→向右→向下→向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位,其行走路线如图所示.
(1)求点A4,A8的坐标;
(2)写出点A4n的坐标(n为正整数);
(3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向.
类型二 绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究
3.如图,在平面直角坐标系中,A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2),把一条长为2022个单位且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处,并按A→B→C→D→A→…的规律绕在四边形ABCD的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是 ( )
A.(1,0) B.(1,1) C.(-1,1) D.(-1,-2)
类型三 图形变化中的点的坐标规律探究
4.如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB变成△OA1B1,第二次将△OA1B1变成△OA2B2,第三次将△OA2B2变成△OA3B3,已知A(1,5),A1(2,5),A2(4,5),A3(8,5);B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0).
(1)将△OA3B3变成△OA4B4,则点A4的坐标是 ,点B4的坐标是 ;
(2)若将△OAB进行n次变换,得到△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点的坐标有何变化,找出规律,直接写出点An,Bn的坐标.
图
答案
1. B 观察图象,结合动点P第一次从原点O运动到点P1(1,1),第二次运动到点P2(2,0),第三次运动到点P3(3,-2),第四次运动到点P4(4,0),第五次运动到点P5(5,2),第六次运动到点P6(6,0)……可知纵坐标每6次运动组成一个循环:1,0,-2,0,2,0;∵2022÷6=337,∴经过第2022次运动后,点P2022的纵坐标是0.故选B.
2.解:(1)由题图可知,点A4,A8都在x轴上.
∵蚂蚁每次移动1个单位,
∴OA4=2,OA8=4,∴A4(2,0),A8(4,0).
(2)由(1)知OA4n=4n÷2=2n,
∴点A4n的坐标为(2n,0).
(3)∵100÷4=25,∴100是4的整数倍,
∴蚂蚁从点A100到点A101的移动方向与从点O到点A1的方向一致,为从下向上.
3. C
∵A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2),∴AB=1-(-1)=2,BC=1-(-2)=3,CD=1-(-1)=2,DA=1-(-2)=3,
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10.∵2022÷10=202……2,∴细线另一端所在位置的点的坐标是(-1,1).
4.解:(1)由A(1,5),A1(2,5),A2(4,5),A3(8,5),…,可知点An的纵坐标不变都为5,同时横坐标都和2有关,为2n,则A4(16,5).由B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0),…,可知点Bn的纵坐标不变都为0,同时横坐标都和2有关,为2n+1,则B4(32,0).
故答案为(16,5),(32,0).
(2)规律:点An的纵坐标总为5,横坐标为2n;点Bn的纵坐标总为0,横坐标为2n+1.
点An的坐标是(2n,5),点Bn的坐标是(2n+1,0).专题训练(一) 利用勾股定理解决问题
类型一 利用勾股定理解决平面图形问题
1.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=20,CD=12,BD=9.
(1)求BC的长;
(2)求△ABC的面积.
2.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,AC=4,BC=3,DB=.
(1)求AD的长;
(2)△ABC是直角三角形吗 为什么
图
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8.
(1)求AB的长;
(2)求斜边AB上的高CD的长.
类型二 利用勾股定理解决最短路线问题
4.如图,有一个圆柱形透明玻璃容器,高15 cm,底面周长为24 cm,在容器内壁距上边缘4 cm的A处停着一只小飞虫,一只蜘蛛在容器外部从容器底部向上爬3 cm到达B处时(B处与A处恰好相对),发现了小飞虫,则蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近 它至少要爬多少厘米 (容器厚度忽略不计)
类型三 利用勾股定理解决折叠问题
5.如图,在长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠,使点D落在点E处,求重叠部分△AFC的面积.
图
类型四 利用勾股定理解决实际问题
6.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破.已知点C与公路上的停靠站A的距离为600米,与公路上另一停靠站B的距离为800米,且CA⊥CB,如图.为了安全起见,爆破点C周围400米范围内不得进入.在进行爆破时,公路AB段是否有危险 是否需要暂时封锁 请通过计算进行说明.
7.某快递公司为了给客户提供“安全、快速”的优质服务,购置了一台无人机往返A,B,C三地运输货物,如图所示,幸福小区C位于快递站点B的北偏东35°方向,沁苑小区A位于快递站点B的南偏东55°方向.当无人机以1千米/分的速度配送快递时,从B到C需飞行8分钟,从B到A需飞行15分钟,请求出无人机从幸福小区C飞到沁苑小区A所需要的时间.
8.为了积极响应国家新农村建设,某镇政府采用移动宣讲的形式进行宣传动员.如图,笔直公路MN的一侧点A处有一村庄,村庄A到公路MN的距离AB为600米,假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传,宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶.
(1)村庄A能否听到宣讲 请说明理由;
(2)如果村庄A能听到宣讲,已知宣讲车的速度是200米/分,那么村庄A总共能听到多长时间的宣讲
答案
1.解:(1)∵CD⊥AB,∴∠CDB=∠CDA=90°.
在Rt△BDC中,CD2+BD2=BC2,
即122+92=BC2,解得BC=15.
(2)在Rt△ADC中,AD2+CD2=AC2,
即AD2+122=202,解得AD=16,
∴AB=AD+BD=16+9=25.
∴S△ABC=AB·CD=×25×12=150.
2.解:(1)∵CD是AB边上的高,
∴∠CDB=∠CDA=90°.
在Rt△BCD中,BC=3,DB=,
根据勾股定理,得CD==.
在Rt△ACD中,AC=4,CD=,
根据勾股定理,得AD==.
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
∵AB=DB+AD=+=5,
∴AC2+BC2=42+32=52=AB2,
∴△ABC是直角三角形.
3.解:(1)由勾股定理,得AB===10.
(2)∵在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高,∴△ABC的面积=AB·CD=AC·BC,
∴CD===4.8.
4.解:将圆柱沿相对的A,B垂直切开,并将半圆柱侧面展开成一个长方形,如图所示.
过点B作BO⊥AO于点O,则AO,BO分别平行于长方形的两边,作点A关于点D的对称点A',连接A'B,交长方形一边ED于点C,则△A'BO为直角三角形,且BO==12(cm),A'O=(15-3)+4=16(cm).
在Rt△A'BO中,由勾股定理,得A'B2=A'O2+BO2=162+122=400,∴A'B=20 cm.故蜘蛛沿折线BCA爬去吃小飞虫最近,它至少要爬20 cm.
5.解:∵四边形ABCD是长方形,
∴∠B=90°,AB∥CD,∴∠DCA=∠BAC.
由题意易知△ACD≌△ACE,
∴∠DCA=∠ECA,
∴∠BAC=∠ECA,∴AF=CF.
设AF=CF=x,则BF=8-x.
在Rt△BCF中,根据勾股定理,得
BC2+BF2=CF2,
即42+(8-x)2=x2,解得x=5,∴AF=5,
∴S△AFC=AF·BC=×5×4=10.
6.解:过点C作CD⊥AB于点D.
∵CA⊥CB,∴∠C=90°.
∵BC=800米,AC=600米,
∴AB==1000(米).
∵S△ABC=AB·CD=BC·AC,
∴CD===480(米).
∵400米<480米,∴在进行爆破时,公路AB段没有危险,不需要暂时封锁.
7.解:∵幸福小区C位于快递站点B的北偏东35°方向,沁苑小区A位于快递站点B的南偏东55°方向,
∴∠CBA=90°.
∵当无人机以1千米/分的速度配送快递时,从B到C需飞行8分钟,从B到A需飞行15分钟,
∴BC=8 千米,BA=15 千米,
∴由勾股定理,得CA==17(千米).
∵无人机以1千米/分的速度配送快递,
∴17÷1=17(分).
答:无人机从幸福小区C飞到沁苑小区A所需要的时间为17分钟.
8.解:(1)村庄A能听到宣讲.理由:∵村庄A到公路MN的距离为600米<1000米,
∴村庄A能听到宣讲.
(2)如图.
假设AP=AQ=1000米,
∵AB⊥PQ,∴BP=BQ.
∵AB=600米,∴BP==800(米),
∴PQ=1600米,
∴1600÷200=8(分),
∴村庄A总共能听到8分钟的宣讲.专题训练(八) 一次函数情景应用的四种类型
类型一 行程问题
1.(2020淮安)甲、乙两地的路程为290千米,一辆汽车早上8:00从甲地出发,匀速向乙地行驶,途中休息一段时间后,按原速继续前进,当离甲地路程为240千米时接到通知,要求中午12:00准时到达乙地.设汽车出发x小时后离甲地的路程为y千米,图中折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数关系.
(1)根据图象可知,休息前汽车行驶的速度为 千米/时;
(2)求线段DE所表示的y与x之间的函数表达式;
(3)接到通知后,汽车仍按原速行驶能否准时到达 请说明理由.
图
2.(2020宁夏)“低碳生活,绿色出行”是一种环保、健康的生活方式,小丽从甲地匀速步行前往乙地,同时,小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地,两人之间的距离y(m)与步行时间x(min)之间的函数关系如图中折线段AB-BC-CD所示.
(1)小丽与小明出发 min相遇.
(2)在步行过程中,若小明先到达甲地.
①求小丽和小明步行的速度各是多少;
②计算出点C的坐标,并解释点C表示的实际意义.
图
类型二 利润最值问题
3.一家蔬菜公司计划到某绿色蔬菜基地收购A,B两种蔬菜共140吨,预计两种蔬菜销售后的获利情况如下表所示:
销售品种 A种蔬菜 B种蔬菜
每吨获利(元) 1200 1000
其中A种蔬菜的5%、B种蔬菜的3%需运往C市场销售,其余蔬菜运往D市场销售,C市场的销售总量不超过5.8吨.设销售总利润为y元(不计损耗),购进A种蔬菜x吨(x>0).
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)求自变量x的取值范围;
(3)将这140吨蔬菜全部销售完,最多可获得多少利润
类型三 方案选择问题
4.某食品加工厂需要一批食品包装盒,这种包装盒的供应有两种方案可供选择:
方案一:从包装盒加工厂直接购买,购买所需的费用y1(单位:元)与包装盒个数x满足如图①所示的函数关系.
方案二:租赁机器自己加工,所需费用y2(单位:元,包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用)与包装盒个数x满足如图②所示的函数关系.
根据图象回答下列问题:
(1)方案一中每个包装盒的价格是多少元
(2)方案二中租赁机器的费用是多少元 生产一个包装盒的费用是多少元
(3)请分别求出y1,y2与x之间的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围);
(4)如果你是决策者,你认为选择哪种方案更省钱
类型四 分段函数问题
5.甲、乙两个批发店销售同一种苹果,在甲批发店,不论一次性购买数量是多少,价格均为6元/kg.在乙批发店,一次性购买数量不超过50 kg时,价格为7元/kg;一次性购买数量超过50 kg时,其中50 kg的部分价格仍为7元/kg,超过50 kg的部分价格为5元/kg.设小王在同一个批发店一次性购买苹果的数量为x kg(x>0).
(1)根据题意填表:
一次性购买数量/kg 30 50 150 …
甲批发店花费/元 300 …
乙批发店花费/元 350 …
(2)设在甲批发店花费y1元,在乙批发店花费y2元,分别求y1,y2关于x的函数表达式.
(3)根据题意填空:
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次性购买苹果的数量相同,且花费相同,则他在同一个批发店一次性购买苹果的数量为 kg;
②若小王在同一个批发店一次性购买苹果的数量为120 kg,则他在甲、乙两个批发店中的
批发店购买花费较少;
③若小王打算用360元在同一个批发店一次性购买苹果,则他在甲、乙两个批发店中的
批发店购买数量较多.
答案
1.解:(1)由图可知,休息前汽车行驶的速度为80÷1=80(千米/时).
(2)休息后按原速继续前进行驶的时间为(240-80)÷80=2(时),
∴点E的坐标为(3.5,240).
设线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为y=kx+b,则解得
∴线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为y=80x-40(1.5≤x≤3.5).
(3)不能.理由:接到通知后,若汽车仍按原速行驶,则全程所需时间为290÷80+0.5=4.125(时),
12:00-8:00=4(时).
∵4.125>4,
∴接到通知后,汽车仍按原速行驶不能准时到达.
2.解:(1)由图象可得小丽与小明出发30 min相遇.
故答案为30.
(2)①设小丽步行的速度为v1 m/min,小明步行的速度为v2 m/min,且v2>v1,
则解得
答:小丽步行的速度为80 m/min,小明步行的速度为100 m/min.
②设点C的坐标为(x,y),
则可得方程(100+80)(x-30)+80(67.5-x)=5400,解得x=54,
y=(100+80)(54-30)=4320,
∴点C的坐标为(54,4320).
点C表示的实际意义:两人出发54 min时,小明到达甲地,此时两人相距4320 m.
3.解:(1)由题意,得y=1200x+1000(140-x)=200x+140000,
即y与x之间的函数表达式是y=200x+140000.
(2)∵A种蔬菜的5%、B种蔬菜的3%需运往C市场销售,C市场的销售总量不超过5.8吨,
∴5%x+3%(140-x)≤5.8,解得x≤80,
∴0(3)∵在一次函数y=200x+140000中,k>0,∴y随x的增大而增大.
∵0∴当x=80时,y取得最大值,此时ymax=156000.
答:将这140吨蔬菜全部销售完,最多可获得利润156000元.
4.解:(1)500÷100=5(元),
所以方案一中每个包装盒的价格是5元.
(2)根据函数的图象可以知道租赁机器的费用为20000元,生产一个包装盒的费用为(30000-20000)÷4000=2.5(元).
(3)设y1与x之间的函数表达式为y1=k1x.
因为图象经过点(100,500),所以500=100k1,
解得k1=5,
所以y1与x之间的函数表达式为y1=5x.
设y2与x之间的函数表达式为y2=k2x+20000.
因为图象经过点(4000,30000),
所以4000k2+20000=30000,
解得k2=2.5,
所以y2与x之间的函数表达式为y2=2.5x+20000.
(4)令5x=2.5x+20000,解得x=8000,
所以当x=8000时,两种方案费用相同;
当x<8000时,选择方案一更省钱;
当x>8000时,选择方案二更省钱.
5.解:(1)甲批发店:6×30=180(元),6×150=900(元);
乙批发店:7×30=210(元),7×50+5×(150-50)=850(元).
故第一行填:180,900;第二行填:210,850.
(2)y1=6x(x>0).
当0当x>50时,y2=7×50+5(x-50)=5x+100(x>50).
因此y1关于x的函数表达式为y1=6x(x>0),
y2关于x的函数表达式为y2=
(3)①若0若x>50,当y1=y2时,6x=5x+100,解得x=100.
故他在同一个批发店一次性购买苹果的数量为100 kg.故填100.
②当x=120时,y1=6×120=720,y2=5×120+100=700.
∵720>700,∴在乙批发店购买花费较少.
故填乙.
③当y1=360时,即6x=360,解得x=60;
当y2=360时,5x+100=360,解得x=52.
∵60>52,∴在甲批发店购买数量较多.
故填甲.
