本章真题演练
一、选择题
1.(2021天津)如图, ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,1),(-2,-2),(2,-2),则顶点D的坐标是 ( )
A.(-4,1) B.(4,-2) C.(4,1) D.(2,1)
2.(2021海南)如图,点A,B,C都在方格纸的格点上,若点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(2,0),则点C的坐标是 ( )
A.(2,2) B.(1,2) C.(1,1) D.(2,1)
3.(2021贵港)在平面直角坐标系中,若点P(a-3,1)与点Q(2,b+1)关于x轴对称,则a+b的值是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2021泸州)在平面直角坐标系中,将点A(-3,-2)向右平移5个单位得到点B,则点B关于y轴的对称点B'的坐标为 ( )
A.(2,2) B.(-2,2) C.(-2,-2) D.(2,-2)
5.(2021荆州)若点P(a+1,2-2a)关于x轴的对称点在第四象限,则a的取值范围在数轴上的表示为 ( )
6.(2021黄石)如图,△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上,其中点A的坐标是(-1,0),现将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°,则旋转后点C的坐标是 ( )
A.(2,-3) B.(-2,3) C.(-2,2) D.(-3,2)
二、填空题
7.(2021南京)如图,在平面直角坐标系中,△AOB的边AO,AB的中点C,D的横坐标分别是1,4,则点B的横坐标是 .
8.(2021临沂)在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点,顶点A,B的坐标分别是(-1,1),(2,1),将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位,则顶点C的对应点C1的坐标是 .
9.(2021仙桃)如图,在平面直角坐标系中,动点P从原点O出发,水平向左平移1个单位,再竖直向下平移1个单位得到点P1(-1,-1);接着水平向右平移2个单位,再竖直向上平移2个单位得到点P2;接着水平向左平移3个单位,再竖直向下平移3个单位得到点P3;接着水平向右平移4个单位,再竖直向上平移4个单位得到点P4……按此作法进行下去,则点P2021的坐标为 .
答案
1.C 2.D 3.C 4.C
5. C ∵点P(a+1,2-2a)关于x轴的对称点在第四象限,∴点P在第一象限,
∴解得-1
在数轴上的表示如图所示:
6. B 绘制出CA绕点A逆时针旋转90°后的图形,如图.
由图可得点C的对应点C'的坐标为(-2,3).
7. 6
∵边AO,AB的中点分别为C,D,∴CD是△AOB的中位线,∴CD∥OB,CD=OB.
∵点C,D的横坐标分别是1,4,∴CD=3,
∴OB=2CD=6,∴点B的横坐标为6.
8. (4,-1)
∵平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点,∴点A,C关于原点对称.∵A(-1,1),∴C(1,-1).将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位,则顶点C的对应点C1的坐标是(4,-1).
9. (-1011,-1011)
先根据点的坐标的平移变换规律求出点P2(1,1),P3(-2,-2),P4(2,2),P5(-3,-3),归纳类推得:点P2n-1(-n,-n),其中n为正整数.∵2021=2×1011-1,∴点P2021的坐标为(-1011,-1011).第2章 四边形
一、选择题(本大题共9小题,每小题4分,共36分)
1.下列四个图形中,是中心对称图形的是 ( )
2.下列命题中,正确的有 ( )
(1)等边三角形是中心对称图形;
(2)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;
(3)两条对角线互相垂直的矩形是正方形;
(4)两条对角线互相垂直的四边形是菱形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.一个多边形的外角和是内角和的,则这个多边形的边数是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
4.如图,在 ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,∠BCD的平分线交AD于点F,若AB=3,AD=4,则EF的长是 ( )
A.1 B.2 C.2.5 D.3
5.我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形.已知四边形ABCD的中点四边形是正方形,则关于四边形ABCD的对角线AC与BD的关系,下列说法正确的是 ( )
A.AC,BD相等且互相平分
B.AC,BD垂直且互相平分
C.AC,BD相等且互相垂直
D.AC,BD垂直且平分对角
6.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于 ( )
A. B. C. D.
7.已知菱形的周长为4,两条对角线长的和为6,则菱形的面积为 ( )
A.2 B. C.3 D.4
8.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且O是BD的中点.若AB=AD=5,BD=8,∠ABD=∠CDB,则四边形ABCD的面积为 ( )
A.40 B.24 C.20 D.15
9.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在CD,BC边上,△AEF是等边三角形.有以下结论:
①EC=FC;②∠AED=75°;③CF=AF;④EF的垂直平分线是直线AC.正确结论的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、 填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
10.一个多边形过顶点剪去一个角后,所得多边形的内角和为720°,则原多边形的边数是 .
11.如图,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,阴影部分的面积为 .
12.如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为 .
13.如图,E是矩形ABCD的边AD上一点,F,G,H分别是BE,BC,CE的中点,AF=3,则GH的长为 .
14.图为某城市部分街道的示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线BD上,GE⊥CD于点E,GF⊥BC于点F,AD=1500 m,小敏行走的路线为B→A→G→E,小聪行走的路线为B→A→D→E→F,若小敏行走的路程为3100 m,则小聪行走的路程为 m.
三、解答题(本大题共4小题,共39分)
15.(7分)如图,把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠,点C落在点C'处,BC'与AD相交于点E.
(1)连接AC',则AC'与BD的位置关系是 ;
(2)EB与ED相等吗 证明你的结论.
16.(10分)如图,C是BE的中点,四边形ABCD是平行四边形.
(1)求证:四边形ACED是平行四边形;
(2)如果AB=AE,求证:四边形ACED是矩形.
17.(10分)如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB,DF∥AC.
(1)试判断四边形AFDE的形状,并说明理由;
(2)若∠BAC=90°,且AD=2,求四边形AFDE的面积.
图
18.(12分)如图,在正方形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.
(1)求证:四边形EFGH是正方形;
(2)判断直线EG是否经过某一定点,并说明理由.
答案
1.C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.B
7. D ∵菱形的四条边相等,周长为4,∴菱形的边长为.设菱形的两条对角线的长分别为x,y,则x+y=6①,=,即x2+y2=20②.①2-②,得2xy=16,∴xy=8,∴S菱形=xy=4.故选D.
8. B ∵∠ABD=∠CDB,∴AB∥CD.
∵O是BD的中点,∴BO=DO.
又∵∠AOB=∠COD,∴△AOB≌△COD,
∴AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD.
在Rt△ABO中,BO=BD=4,AO===3,
∴AC=2AO=6,∴四边形ABCD的面积为AC·BD=×6×8=24.故选B.
9.C 10.6或7 11.12
12. 2
由题意易知正方形ABCD的边长为1.连接BD,由勾股定理,得BD=.因为E,F分别为BC,CD的中点,所以EF=BD=,所以正方形EFGH的周长为2.
13. 3
在矩形ABCD中,∠BAD=90°.∵F为BE的中点,AF=3,∴BE=2AF=6.∵G,H分别为BC,CE的中点,∴GH=BE=3.
14. 4600
小敏行走的路程为AB+AG+GE=1500+(AG+GE)=3100(m),则AG+GE=1600 m,小聪行走的路程为BA+AD+DE+EF=3000+(DE+EF).连接CG,在正方形ABCD中,∠ADG=∠CDG=45°,AD=CD.在△ADG和△CDG中,∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,∴△ADG≌△CDG,∴AG=CG.∵GE⊥CD,GF⊥BC,∠BCD=90°,∴四边形GECF是矩形,∴CG=EF,∴EF=AG.∵GE⊥CD,∠CDG=45°,∴DE=GE,∴小聪行走的路程为BA+AD+DE+EF=3000+(GE+AG)=3000+1600=4600(m).故答案为4600.
15.解:(1)平行
(2)EB与ED相等.
证明:由折叠可得∠CBD=∠C'BD.
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,
∴∠EDB=∠EBD,∴EB=ED.
16.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∵C是BE的中点,
∴BC=CE,∴AD=CE.
又∵AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC.
∵AB=AE,∴DC=AE.
又∵四边形ACED是平行四边形,
∴四边形ACED是矩形.
17.解:(1)四边形AFDE是菱形.理由:
∵DE∥AB,DF∥AC,
∴四边形AFDE是平行四边形.
∵AD平分∠BAC,
∴∠FAD=∠EAD.
∵DE∥AB,∴∠EDA=∠FAD,
∴∠EDA=∠EAD,∴AE=DE,
∴平行四边形AFDE是菱形.
(2)∵∠BAC=90°,
∴菱形AFDE是正方形.
∵AD=2,
∴AF=DF=DE=AE==2,
∴四边形AFDE的面积为2×2=4.
18.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=90°,DA=AB.
∵DH=AE,∴AH=BE.
又∵AE=BF,∴△AEH≌△BFE,
∴EH=FE,∠AHE=∠BEF.
同理,FE=GF=HG,
∴EH=FE=GF=HG,
∴四边形EFGH是菱形.
∵∠A=90°,∴∠AHE+∠AEH=90°,
∴∠BEF+∠AEH=90°,
∴∠FEH=90°,
∴菱形EFGH是正方形.
(2)直线EG经过正方形ABCD的中心.
理由:如图,连接BD交EG于点O.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥DC,AB=DC,
∴∠EBD=∠GDB.
∵AE=CG,∴BE=DG.
又∵∠EOB=∠GOD,
∴△EOB≌△GOD,
∴BO=DO,即O为BD的中点,
∴直线EG经过正方形ABCD的中心.第1章 直角三角形
一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
1.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,下列结论错误的是 ( )
A.∠A+∠B=90° B.∠1=∠2 C.∠1=∠B D.∠2=∠A
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠A=30°,BD=2,则AD的长度是( )
A.6 B.8 C.12 D.16
3.我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题:“今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深,葭长各几何.”(丈、尺是长度单位,1丈=10尺)其大意为:如图,有一水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面,问水的深度与芦苇长各是多少.则该题中水的深度是 ( )
A.10尺 B.11尺 C.12尺 D.13尺
4.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AB=10,用尺规作图的方法作线段AD和线段DE,保留作图痕迹如图所示,认真观察作图痕迹,则△BDE的周长是 ( )
A.8 B.5 C. D.10
5.下列说法正确的有 ( )
(1)一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等;
(2)一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等;
(3)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
(4)有两条边相等的两个直角三角形全等;
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
6.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=12,D为AC边上的一个动点,连接BD,E为BD上的一个动点,连接AE,CE,当∠ABD=∠BCE时,线段AE的最小值是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
7.若一个直角三角形斜边上的中线长为20,则斜边长为 .
8.如图,∠AOB=30°,P是∠AOB的平分线上一点,PC∥OB,交OA于点C,CD⊥OB于点D.若PC=3,则CD的长为 .
9.若一个三角形的三边长之比为5∶12∶13,且周长为60 cm,则它的面积为 cm2.
10.如图,在△ABC和△ABD中,∠C=∠D=90°,若利用“HL”证明△ABC≌△ABD,则需要添加的条件是 (写出一个即可).
11.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,点E在BC边上,将△ABC沿AE折叠,使点B恰好落在AC边上的点B'处,则BE的长为 .
12.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,M为AB边的中点,连接EM,DM,ED.设AB=4,∠DBE=30°,则△EDM的面积为 .
三、解答题(本大题共3小题,共52分)
13.(15分)根据道路交通管理条例的规定,在某段笔直的公路l上行驶的车辆,限速为12米/秒.如图,已知测速点M到测速区间的端点A,B的距离分别为50米、34米,M距公路l的距离(即MN的长)为30米.现测得一辆汽车从点A到点B所用的时间为5秒,通过计算判断此车是否超速.
图
14.(17分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M是AB边的中点,CH⊥AB于点H,CD平分∠ACB.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)过点M作AB的垂线交CD的延长线于点E,连接AE,BE.求证:CM=EM.
图
15.(20分)将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①所示的方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证:AF+EF=DE.
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转α,且0°<α<60°,其他条件不变,请在图②中画出旋转后的图形,并直接写出(1)中的结论是否仍然成立.
(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转β,且60°<β<180°,其他条件不变,如图③.你认为(1)中的结论还成立吗 若成立,请写出证明过程;若不成立,请写出AF,EF与DE之间的关系,并说明理由.
图
答案
1.B
2. A ∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠BCD+∠ACD=90°,∠A+∠ACD=90°,
∴∠BCD=∠A=30°.
∵BD=2,∴BC=2BD=4,
∴AB=2BC=2×4=8,
∴AD=AB-BD=8-2=6.故选A.
3. C 设水深x尺,则芦苇高为(x+1)尺.
由勾股定理,得52+x2=(x+1)2,解得x=12.
4. D ∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠B=45°.
由尺规作图可知,AD平分∠CAB,DE⊥AB.
又∵∠ACB=90°,∴ED=CD.
在Rt△ACD和Rt△AED中,
∵AD=AD,CD=ED,
∴Rt△ACD≌Rt△AED,∴AC=AE,
∴△BDE的周长=BD+ED+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10.故选D.
5.B
6. B 如图,取BC的中点T,连接AT,ET.
∵∠ABC=90°,
∴∠ABD+∠CBD=90°.
∵∠ABD=∠BCE,
∴∠CBD+∠BCE=90°,
∴∠CEB=90°.
∵T为BC的中点,
∴ET=CT=BT=BC=6,
∴AT===10.
∵AE≥AT-ET,
∴AE≥4,
∴AE的最小值为4.
7.40
8.
∵P是∠AOB的平分线上一点,
PC∥OB,
∴∠CPO=∠POB=∠COP,∴PC=OC.
∵CD⊥OB,∠AOB=30°,
∴CD=OC=PC=.
9. 120
设该三角形的三边长分别为5x cm,12x cm,13x cm.
由题意,得5x+12x+13x=60,
解得x=2,则该三角形的三边长分别为10 cm,24 cm,26 cm.
∵102+242=262,∴这是一个直角三角形,
∴S=×10×24=120(cm2).
10.AC=AD(答案不唯一)
11.
根据折叠的性质可知BE=B'E,AB=AB'=3,∴B'C=AC-AB'=2.
在Rt△ABC中,由勾股定理可得BC=4.
设BE=x,则B'E=x,EC=4-x.
在Rt△B'EC中,由勾股定理可得B'E2+B'C2=EC2,
即x2+22=(4-x)2,解得x=,
∴BE的长为.
12.
∵在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,∴△ABE,△ABD都是直角三角形.
∵M为AB边的中点,
∴EM,DM分别是△ABE,△ABD斜边上的中线,∴EM=DM=AB=2.
∵EM=AB=MA,
∴∠MAE=∠MEA,
∴∠BME=2∠MAE.
同理,DM=AB=MA,
∴∠MAD=∠MDA,
∴∠BMD=2∠MAD,
∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC.
∵BE⊥AC,∠DBE=30°,
∴∠C=60°.
又∵AD⊥BC,
∴∠DAC=30°,
∴∠EMD=60°,
∴△DEM是边长为2的等边三角形,
∴S△EDM=×22=.
13.解:∵MN⊥AB,
∴∠MNA=∠MNB=90°.
在Rt△AMN中,AM=50米,MN=30米,
∴AN===40(米).
在Rt△MNB中,BM=34米,MN=30米,
∴BN===16(米),
∴AB=AN+BN=40+16=56(米),
∴汽车从点A到点B的平均速度为56÷5=11.2(米/秒).
∵11.2米/秒<12米/秒,
∴此车没有超速.
14.证明:(1)∵∠ACB=90°,CD平分∠ACB,
∴∠ABC+∠BAC=90°,∠BCD=∠ACD=45°,
∴∠1=45°-∠BCH,∠2=45°-∠ACM.
∵在Rt△ABC中,M是AB边的中点,
∴AM=MC,
∴∠BAC=∠ACM.
∵CH⊥AB,
∴∠BCH+∠ABC=90°,
∴∠BCH=∠BAC=∠ACM,
∴∠1=∠2.
(2)∵CH⊥AB,EM⊥AB,
∴CH∥EM,
∴∠1=∠MED.
由(1)知∠1=∠2,
∴∠MED=∠2,
∴CM=EM.
15.解:(1)证明:如图①,连接BF.
∵△ABC≌△DBE,
∴BC=BE,AC=DE.
∵∠ACB=∠DEB=90°,
∴∠BCF=∠BEF=90°.
在Rt△BFC和Rt△BFE中,
∵BF=BF,BC=BE,
∴Rt△BFC≌Rt△BFE,
∴CF=EF.
∵AF+CF=AC,∴AF+EF=DE.
(2)画出正确图形如图②.
(1)中的结论AF+EF=DE仍然成立.
(3)(1)中的结论不成立.
此时AF,EF与DE之间的关系为AF-EF=DE.
理由:如图③,连接BF.
∵△ABC≌△DBE,
∴BC=BE,AC=DE.
∵∠ACB=∠DEB=90°,
∴∠BCF=∠BEF=90°.
在Rt△BFC和Rt△BFE中,
∵BF=BF,BC=BE,
∴Rt△BFC≌Rt△BFE,
∴CF=EF.
∵AF-CF=AC,
∴AF-EF=DE.本章真题演练
一、选择题
1.(2021常德)一个多边形的内角和为1800°,则这个多边形的边数为 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
2.(2021泸州)如图,在 ABCD中,AE平分∠BAD且交BC于点E,∠D=58°,则∠AEC的大小是 ( )
A.61° B.109° C.119° D.122°
3.(2021柳州)如图,在菱形ABCD中,对角线AC=8,BD=10,则△AOD的面积为 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
4.(2021恩施州)如图,在 ABCD中,AB=13,AD=5,AC⊥BC,则 ABCD的面积为 ( )
A.30 B.60 C.65 D.
5.(2021无锡)如图,D,E,F分别是△ABC各边中点,则以下说法中错误的是( )
A.△BDE和△DCF的面积相等
B.四边形AEDF是平行四边形
C.若AB=BC,则四边形AEDF是菱形
D.若∠A=90°,则四边形AEDF是矩形
6.(2021常德)如图,已知F,E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点,AE与DF交于点P.则下列结论成立的是 ( )
A.BE=AE B.PC=PD
C.∠EAF+∠AFD=90° D.PE=EC
二、填空题
7.(2021龙东地区)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件 ,使矩形ABCD是正方形.
8.(2021山西)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=8,AC=6,OE∥AB,交BC于点E,则OE的长为 .
9.(2021青海)如图,正方形ABCD的边长为8,点M在DC上且DM=2,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值是 .
三、解答题
10.(2021怀化)已知:如图,四边形ABCD为平行四边形,点E,A,C,F在同一直线上,AE=CF.
求证:(1)△ADE≌△CBF;
(2)ED∥BF.
图
11.(2021岳阳)如图,在四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.
(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线),使得四边形AECF为平行四边形,你添加的条件是 ;
(2)添加了条件后,证明四边形AECF为平行四边形.
图
12.(2021长沙)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△OAB是等边三角形,AB=4.
(1)求证: ABCD是矩形;
(2)求AD的长.
13.(2021张家界)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠AOB=60°,对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°<α<120°),所得的直线l分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:△AOE≌△COF;
(2)当旋转角α为多少度时,四边形AFCE为菱形 试说明理由.
图
14.(2021呼和浩特)如图,四边形ABCD是平行四边形,BE∥DF且分别交对角线AC于点E,F.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)当四边形ABCD分别是矩形和菱形时,请分别说出四边形BEDF的形状.(无须说明理由)
答案
1.D
2. C ∵四边形ABCD是平行四边形,∠D=58°,
∴∠BAD=122°,∠B=∠D=58°.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=61°,
∴∠AEC=∠B+∠BAE=119°.
3.B
4. B ∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BC=AD=5.
∵AC⊥BC,
∴△ACB是直角三角形,
∴AC===12,
∴S ABCD=BC·AC=5×12=60.
5.C
6. C ∵F,E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点,
∴AF=BE.
在△AFD和△BEA中,
∴△AFD≌△BEA(SAS),
∴∠FDA=∠EAB.
又∵∠FDA+∠AFD=90°,
∴∠EAB+∠AFD=90°,
即∠EAF+∠AFD=90°,
故C正确,A,B,D无法证明其成立.
7.答案不唯一,如AB=BC或AC⊥BD
8.
∵四边形ABCD为菱形,对角线AC,BD相交于点O,
∴OA=OC=AC=3,OB=BD=4,AC⊥BD.
∵OE∥AB,
∴BE=CE,
∴OE为△ABC的中位线,
∴OE=AB.
在Rt△ABO中,由勾股定理,得AB==5,
∴OE=.
9. 10
如图,连接BN.∵正方形是轴对称图形,点B与点D关于直线AC对称,∴BN=DN,∴DN+MN=BN+MN.连接BM交AC于点P.∵N为AC上的动点,由三角形两边之和大于第三边,知当点N运动到点P时,BN+MN=BP+PM=BM,故DN+MN的最小值为BM的长度.∵四边形ABCD为正方形,∴BC=CD=8,CM=8-2=6,∠BCM=90°,∴BM==10,∴DN+MN的最小值是10.
10.证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴DA=BC,DA∥BC,∴∠DAC=∠BCA.
又∵∠DAC+∠EAD=180°,∠BCA+∠FCB=180°,
∴∠EAD=∠FCB.
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)由(1)知,△ADE≌△CBF,
∴∠E=∠F,∴ED∥BF.
11.解:本题答案不唯一.(1)AE=CF
(2)证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴AE∥CF.
又∵AE=CF,
∴四边形AECF为平行四边形.
12.解:(1)证明:∵△OAB是等边三角形,
∴OA=OB.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD=BD,OA=OC=AC,
∴BD=AC,∴ ABCD是矩形.
(2)∵ ABCD是矩形,∴∠BAD=90°.
∵△OAB是等边三角形,∴∠ABO=60°,
∴∠ADB=90°-60°=30°,
∴BD=2AB=8,
∴AD==4.
13.解:(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴AO=CO,AD∥BC,
∴∠EAC=∠FCA.
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(ASA).
(2)当旋转角α为90°时,四边形AFCE为菱形.
理由如下:由(1)得△AOE≌△COF,
∴EO=FO.
又∵AO=CO,∴四边形AFCE为平行四边形.
∵旋转角α为90°,即∠AOE=90°,∴EF⊥AC,
∴四边形AFCE为菱形.
14.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF.
∵BE∥DF,∴∠BEC=∠DFA,
∴180°-∠BEC=180°-∠DFA,
即∠AEB=∠CFD.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(AAS).
(2)连接ED,BF,BD,如图.
由(1)知△ABE≌△CDF,
∴BE=DF.
又∵BE∥DF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
当四边形ABCD是矩形时,四边形BEDF是平行四边形.
当四边形ABCD是菱形时,AC⊥BD,
∴EF⊥BD,
∴四边形BEDF是菱形.本章真题演练
一、选择题
1.(2021乐山)在一次心理健康教育活动中,张老师随机抽取了40名学生进行心理健康测试,并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格,其中测试结果为“健康”的频率是 ( )
类型 健康 亚健康 不健康
数据(人) 32 7 1
A.32 B.7 C. D.
二、填空题
2.(2021泰州)某班按课外阅读时间将学生分为3组,第1,2组的频率分别为0.2,0.5,则第3组的频率是 .
3.(2020株洲)王老师对本班40名学生所穿校服尺码的数据统计如下:
尺码 S M L XL XXL XXXL
频率 0.05 0.1 0.2 0.325 0.3 0.025
则该班学生所穿校服尺码为“L”的有 人.
三、解答题
4.(2021岳阳)国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出,要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理.某校数学社团成员采用随机抽样的方法,抽取了八年级部分学生,对他们一周内平均每天的睡眠时间t(单位:h)进行了调查,将数据整理后得到下列不完整的统计图表:
组别 睡眠时间t 频数 频率
A t<6 4 0.08
B 6≤t<7 8 0.16
C 7≤t<8 10 a
D 8≤t<9 21 0.42
E t≥9 b 0.14
请根据图表信息回答下列问题:
(1)频数分布表中,a= ,b= ;
(2)扇形统计图中,C组所在扇形的圆心角的度数是 ;
(3)请估计该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数;
(4)研究表明,初中生每天睡眠时长低于7小时,会严重影响学习效率.请你根据以上调查统计结果,向学校提出一条合理化的建议.
5.(2021北京)为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况,从这两座城市的邮政企业中,各随机抽取了25家邮政企业,获得了它们4月份收入(单位:百万元)的数据,并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数直方图如图(数据分成5组:6≤x<8,8≤x<10,10≤x<12,12≤x<14,14≤x≤16).
b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x<12这一组的是:10.0,10.0,10.1,10.9,11.4,11.5,11.6,11.8.
c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下:
平均数(百万元) 中位数(百万元)
甲城市 10.8 m
乙城市 11.0 11.5
根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出表中m的值;
(2)在甲城市抽取的邮政企业中,记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1.在乙城市抽取的邮政企业中,记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2.比较p1,p2的大小,并说明理由;
(3)若乙城市共有200家邮政企业,估计乙城市的邮政企业4月份的总收入(直接写出结果).
6.(2021永州)为庆祝中国共产党成立100周年,某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动.根据竞赛结果,抽取了200名学生的成绩(得分均为正整数,满分为100分,大于80分的为优秀)进行统计,绘制了如下所示尚不完整的统计图表.
200名学生党史知识竞赛成绩的频数分布表
组别 频数 频率
A组(60.5≤x<70.5) a 0.3
B组(70.5≤x<80.5) 30 0.15
C组(80.5≤x<90.5) 50 b
D组(90.5≤x<100.5) 60 0.3
请结合图表解决下列问题:
(1)频数分布表中,a= ,b= ;
(2)请将频数直方图补充完整;
(3)抽取的200名学生竞赛成绩的中位数落在的组别是 组;
(4)若该校共有1000名学生,请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数.
答案
1. D ∵抽取了40名学生进行了心理健康测试,测试结果为“健康”的有32人,∴测试结果为“健康”的频率是=.
2. 0.3
1-0.2-0.5=0.3.
3. 8
由表可知尺码“L”的频率为0.2.又因为班级总人数为40,所以该班学生所穿校服尺码为“L”的有40×0.2=8(人).
4.解:(1)0.2 7 本次调查的同学共有:8÷0.16=50(人),
a=10÷50=0.2,b=50-4-8-10-21=7.故答案为0.2,7.
(2)72° 扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数是360°×0.2=72°.故答案为72°.
(3)600×(0.08+0.16)=144(人).
答:估计该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数为144人.
(4)减少作业,保证睡眠时间,答案不唯一,合理即可.
5.解:(1)甲城市抽取的25家邮政企业4月份收入的数据中前两组有10家,样本容量为25,∴第13个数据为10.1,
因此中位数是10.1,即m=10.1.
(2)由题意得p1=5+3+4=12(家),
由于乙城市抽取的25家邮政企业4月份收入的数据的平均数是11.0百万元,中位数是11.5百万元,
因此乙城市所抽取的25家邮政企业4月份的收入在11.5百万元及以上的占一半,也就是p2的值要大于12,∴p1(3)11.0×200=2200(百万元).
答:估计乙城市200家邮政企业4月份的总收入为2200百万元.
6.解:(1)60 0.25 a=200×0.3=60,b=50÷200=0.25.
(2)由(1)知,a=60.补全频数直方图如图.
(3)C
(4)1000×=1000×0.55=550(人).
答:估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数为550人.第4章 一次函数
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
1.下列函数中是一次函数的为 ( )
A.y=8x2 B.y=x+1 C.y= D.y=
2.在平面直角坐标系中,一次函数y=kx-6(k<0)的图象大致是 ( )
3.若一次函数y=kx+b的图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.k>0 B.b=2
C.y随x的增大而增大 D.当x=3时,y=0
4.根据如图所示的程序,计算当输入x=3时,输出的结果y是 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
5.某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16 cm,44码鞋子的长度为27 cm,则38码鞋子的长度为 ( )
A.23 cm B.24 cm C.25 cm D.26 cm
6.李叔叔开车上班,最初以某一速度匀速行驶,中途停车加油耽误了几分钟,为了按时到单位,李叔叔在不违反交通规则的前提下加快了速度,仍保持匀速行驶,则汽车行驶的路程y(千米)与行驶的时间t(时)之间的函数关系图象是 ( )
7.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=2x-1与直线y=kx+b(k≠0)相交于点P(2,3).根据图象可知,关于x的不等式2x-1>kx+b的解集是 ( )
A.x<2 B.x<3 C.x>2 D.x>3
8.如图所示,购买一种苹果,付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省 ( )
A.3元 B.4元 C.5元 D.6元
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
9.函数y=中,自变量x的取值范围是 .
10.已知函数y=(m+1)是正比例函数,且y随x的增大而增大,则m= .
11.将直线y=x向上平移 个单位后得到直线y=x+7.
12.若A(3,y1),B(1,y2)是直线y=kx+3(k>0)上的两点,则y1 y2(填“>”或“<”).
13.如图,一次函数y=kx+b的图象经过A(2,4),B(0,2)两点,与x轴交于点C,则△AOC的面积为 .
14.某储运部紧急调拨一批物资,调进物资共用4小时,调进物资2小时后开始调出物资(调进物资与调出物资的速度均保持不变).储运部库存物资s(吨)与时间t(时)之间的函数关系如图所示,则这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是 小时.
三、解答题(本大题共3小题,共44分)
15.(14分)在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中,“鼠”先从起点出发,1 min后,“猫”从同一起点出发去追“鼠”,抓住“鼠”并稍作停留后,“猫”抓着“鼠”沿原路返回.“鼠”“猫”距起点的距离y(m)与时间x(min)之间的关系如图所示.
(1)在“猫”追“鼠”的过程中,“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 m/min;
(2)求线段AC的函数表达式(不必写自变量的取值范围);
(3)求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间.
16.(15分)如图,直线y=kx+4(k≠0)与x轴,y轴分别交于点B,A,直线y=-2x+1与y轴交于点C,与直线y=kx+4(k≠0)交于点D,△ACD的面积是.
(1)求直线AB的表达式;
(2)设点E在直线AB上,当△ACE是直角三角形时,请直接写出点E的坐标.
17.(15分)李师傅将容量为60升的货车油箱加满后,从工厂出发运送一批物资到某地.行驶过程中,货车离目的地的路程s(千米)与行驶时间t(时)的关系如图所示(中途休息、加油的时间不计).当油箱中剩余油量为10升时,货车会自动显示加油提醒.设货车平均耗油量为0.1升/千米,请根据图象解答下列问题:
(1)直接写出工厂离目的地的路程;
(2)求s关于t的函数表达式;
(3)当货车显示加油提醒后,行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油
图
答案
1.B 2.B 3.B 4.A
5. B ∵鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系,
∴设函数表达式为y=kx+b(k≠0).
由题意知,x=22时,y=16,x=44时,y=27,
∴解得
∴y与x之间的函数表达式为y=x+5.
当x=38时,y=×38+5=24.
故选B.
6.B
7. C 结合函数图象,知当x>2时,直线y=2x-1在直线y=kx+b(k≠0)的上方,所以关于x的不等式2x-1>kx+b的解集是x>2.
8.B 9.x≥-3且x≠0
10. 2
由题意,得m2-3=1,且m+1>0,解得m=2.故答案为2.
11.7 12.>
13.4
14. 4.4
物资一共有3÷2×4=6(吨),调出速度为(6-1)÷2=2.5(吨/时),全部调出需要的时间为6÷2.5=2.4(时),∴这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是2+2.4=4.4(时).
15.解:(1)1
由图象知:“鼠”6 min跑了30 m,
∴“鼠”的速度为30÷6=5(m/min);
∵“猫”5 min跑了30 m,
∴“猫”的速度为30÷5=6(m/min),
∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1 m/min.
(2)设线段AC的函数表达式为y=kx+b.
∵图象经过点A(7,30)和B(10,18),
把点A和点B的坐标分别代入函数表达式,得
解得
∴线段AC的函数表达式为y=-4x+58.
(3)令y=0,则-4x+58=0,∴x=14.5.
∵“猫”比“鼠”迟 1 min出发,
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5-1=13.5(min).
答:“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为13.5 min.
16.解:(1)当x=0时,y=kx+4=4,y=-2x+1=1,
∴A(0,4),C(0,1),
∴AC=3.
∵S△ACD=AC·(-xD)=-xD=,
∴xD=-1.
当x=-1时,y=-2x+1=3,
∴D(-1,3).
将点D(-1,3)代入y=kx+4,得-k+4=3,
解得k=1,
∴直线AB的表达式为y=x+4.
(2)∵直线AB的表达式为y=x+4,
∴∠BAC=45°,
∴△ACE为等腰直角三角形.
如图,当∠ACE1=90°时,
∵AC=3,
∴CE1=3,
∴点E1的横坐标为-3.
将x=-3代入y=x+4中,得y=1,
∴E1(-3,1);
当∠AE2C=90°时,过点E2作E2F⊥AC于点F,则E2F=AF=FC=AC=,
∴点E2的横坐标为-.
把x=-代入y=x+4中,得y=,
∴E2-,.
综上所述,当△ACE是直角三角形时,点E的坐标为(-3,1)或-,.
17.解:(1)由图象,得t=0时,s=880,∴工厂离目的地的路程为880千米.
(2)设s=kt+b.
将(0,880)和(4,560)代入s=kt+b,得
解得
∴s关于t的函数表达式为s=-80t+880(0≤t≤11).
(3)当油箱中剩余油量为10升时,s=880-(60-10)÷0.1=380,
则380=-80t+880,解得t=;
当油箱中剩余油量为0升时,s=880-60÷0.1=280,
则280=-80t+880,解得t=.
故当货车显示加油提醒后,行驶时间t在一、选择题
1.(2020深圳)一把直尺与含30°角的三角尺如图所示放置,若∠1=40°,则∠2的度数为( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
2.(2021临沂)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B都在格点上,若BC=,则AC的长为 ( )
A. B. C.2 D.3
3.(2021新疆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,CD⊥AB于点D,E是AB的中点,则DE的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2021杭州)如图,已知线段AB,按如下步骤作图:①作射线AC,使AC⊥AB;②作∠BAC的平分线AD;③以点A为圆心,AB长为半径作弧,交AD于点E;④过点E作EP⊥AB于点P,则AP∶AB等于 ( )
A.1∶ B.1∶2 C.1∶ D.1∶
5.(2021青海)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,对角线BD平分∠ABC,则△BCD的面积为 ( )
A.8 B.7.5 C.15 D.无法确定
二、填空题
6.(2021成都)如图,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为 .
7.(2021盐城)如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的中线,若CD=2,则AB= .
8.(2021扬州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过点D作DE⊥BC,垂足为E,连接CD.若CD=5,BC=8,则DE= .
9.(2021齐齐哈尔)直角三角形的两条边长分别为3和4,则这个直角三角形斜边上的高为 .
10.(2020扬州)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①以点B为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,BC于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F;③作射线BF交AC于点G.若AB=8,BC=12,△ABC的面积为18,则△CBG的面积为 .
三、解答题
11.(2020淮安)如图,三条笔直的公路两两相交,交点分别为A,B,C,测得∠CAB=30°,∠ABC=45°,AC=8千米,求A,B两点间的距离.(参考数据:≈1.4,≈1.7,结果精确到1千米)
12.(2019西宁)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=BC,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为F,过点B作DB⊥BC交CF的延长线于点D.
(1)求证:AE=CD;
(2)若CA=20 cm,求BD的长.
图
13.(2020随州节选)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”(如图①),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今.
(1)①请叙述勾股定理;
②勾股定理的证明,人们已经找到了400多种方法,请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理.(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)
(2)①如图(a)(b),以直角三角形的三边为边或直径,分别向外部作正方形、半圆,这两个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有 个;
(a)
(b)
(c)
②如图(c)所示,分别以直角三角形三边为直径作半圆,设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1,S2,直角三角形的面积为S3,请判断S1,S2,S3的关系并证明.
答案
1.D
2. B 由题图,可得AB====2.
∵BC=,
∴AC=AB-BC=2-=.
3. A ∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=60°.
∵E是AB的中点,AB=4,
∴CE=BE=AB=×4=2,
∴△BCE为等边三角形.
∵CD⊥AB,∴DE=BD=BE=×2=1.
4. D ∵AC⊥AB,∴∠BAC=90°.
∵AD平分∠BAC,∴∠EAB=×90°=45°.
∵EP⊥AB,∴∠APE=90°,
∴∠EAP=∠AEP=45°,
∴AP=PE.
设AP=PE=x,
故AE=AB=x,
∴AP∶AB=x∶x=1∶.
5. B 过点D作DE⊥BC于点E,如图.
∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DA⊥AB,
∴DE=DA=3,
∴△BCD的面积=×5×3=7.5.
6.100 7.4 8.3
9. 或
设这个直角三角形斜边上的高为h.分两种情况讨论:①当3,4都是直角边长时,斜边长为5,则×3×4=×5h,解得h=;
②当4为斜边长时,另一直角边长为=,则×3×=×4h,解得h=.
综上所述,这个直角三角形斜边上的高为或.
10.
由作法可知BG为∠ABC的平分线,过点G作GH⊥BC,GM⊥AB,垂足分别为H,M,则GM=GH.
∵S△ABC=S△ABG+S△BCG=18,
∴AB·GM+BC·GH=18.
∵AB=8,BC=12,
∴×8GM+×12GH=18,解得GH=,
∴△CBG的面积为×12×=.
11.解:如图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵在Rt△ACD中,∠CAD=30°,AC=8千米,
∴CD=AC=×8=4(千米),
∴AD===4(千米).
∵在Rt△BCD中,∠DBC=45°,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴BD=CD=4千米,
∴AB=AD+BD=4+4≈4×1.7+4=10.8≈11(千米).
答:A,B两点间的距离约为11千米.
12.解:(1)证明:∵DB⊥BC,CF⊥AE,
∴∠DBC=∠EFC=90°,
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°,
∴∠D=∠AEC.
又∵∠DBC=∠ECA=90°,BC=CA,
∴△DBC≌△ECA(AAS),
∴AE=CD.
(2)由(1)知△DBC≌△ECA,∴BD=CE.
∵在△ABC中,AE是BC边上的中线,
∴BD=CE=BC=CA.
∵CA=20 cm,∴BD=10 cm.
13.解:(1)①如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
(或者:在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方)
②证明:在题图①中,大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和,即c2=ab·4+(b-a)2,化简得a2+b2=c2.
在题图②中,大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和,
即(a+b)2=c2+ab·4,化简得a2+b2=c2.
在题图③中,梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和,
即(a+b)(a+b)=ab·2+c2,
化简,得a2+b2=c2.(答案不唯一,选择一种即可)
(2)①2 如图所示.
在图(a)中,直角三角形的边长分别为a,b,c,则由勾股定理,得a2+b2=c2,∴S1+S2=S3;
在图(b)中,三个半圆的直径分别为a,b,c,则
S1=π·2=πa2,S2=π·2=πb2,S3=π·2=πc2,
∴S1+S2=π(a2+b2).
∵a2+b2=c2,∴π(a2+b2)=πc2,
∴S1+S2=S3.
两个图形都满足.故答案为2.
②S1+S2=S3.
证明:∵S1+S2=π·2+π·2+S3-π·2=π(a2+b2-c2)+S3,
又a2+b2=c2,∴S1+S2=S3.本章真题演练
一、选择题
1.(2021北部湾经济区)函数y=2x+1的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(2021长沙)下列函数图象中,表示直线y=2x+1的是 ( )
3.(2021甘肃)将直线y=5x向下平移2个单位,所得直线的表达式为 ( )
A.y=5x-2 B.y=5x+2
C.y=5(x+2) D.y=5(x-2)
4.(2021贺州)直线y=ax+b(a≠0)过点A(0,1),B(2,0),则关于x的方程ax+b=0的解为 ( )
A.x=0 B.x=1 C.x=2 D.x=3
5.(2021恩施州)某物体在力F的作用下,沿力的方向移动的距离为s,力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A.W=s B.W=20s
C.W=8s D.s=
6.(2021衢州)已知A,B两地相距60 km,甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地,甲骑自行车匀速行驶3 h到达,乙骑摩托车,比甲迟1 h出发,行至30 km处追上甲,停留半小时后继续以原速行驶.他们离开A地的路程y(km)与甲行驶时间x(h)的函数图象如图所示.当乙再次追上甲时距离B地( )
A.15 km B.16 km C.44 km D.45 km
二、填空题
7.(2021成都)在正比例函数y=kx中,y的值随着x值的增大而增大,则点P(3,k)在第 象限.
8.(2021眉山)一次函数y=(2a+3)x+2中,y的值随x值的增大而减小,则常数a的取值范围是 .
9.(2021黄石)将直线y=-x+1向左平移m(m>0)个单位后,经过点(1,-3),则m的值为 .
10.(2021达州)如图是一个运算程序示意图,若开始输入x的值为3,则输出y值为 .
11.(2021永州)如图,A,B两点的坐标分别为A(4,3),B(0,-3),在x轴上找一点P,使线段PA+PB的值最小,则点P的坐标是 .
12.(2021上海)某人购进一批苹果到集贸市场零售,已经卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示,成本为5元/千克,现以8元/千克卖出,挣得 元.
三、解答题
13.(2021北京)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象向下平移1个单位得到.
(1)求这个一次函数的表达式;
(2)当x>-2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值都大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围.
14.(2021绍兴)Ⅰ号无人机从海拔10 m处出发,以10 m/min的速度匀速上升,Ⅱ号无人机从海拔30 m处同时出发,以a m/min的速度匀速上升,经过5 min两架无人机均位于海拔b m处.无人机海拔y(m)与时间x(min)的关系如图.两架无人机都上升了15 min.
(1)求b的值及Ⅱ号无人机海拔y(m)与时间x(min)之间的函数表达式;
(2)当无人机上升多少时间时,Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28 m
15.(2021齐齐哈尔)在一条笔直的公路上依次有A,C,B三地,甲、乙两人同时出发,甲从A地骑自行车匀速去B地,途经C地时因事停留1分钟,继续按原速骑行至B地,甲到达B地后,立即按原路原速返回A地;乙步行匀速从B地至A地.甲、乙两人距A地的距离y(米)与时间x(分)之间的函数关系如图所示,请结合图象解答下列问题:
(1)甲的骑行速度为 米/分,点M的坐标为 ;
(2)求甲返回时距A地的距离y(米)与时间x(分)之间的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围);
(3)请直接写出两人出发后,在甲返回到A地之前, 分钟时两人距C地的距离相等.
答案
1.D 2.B 3.A 4.C
5. C 设W与s之间的函数表达式为W=ks.把(20,160)代入上式,得160=20k,解得k=8,∴W=8s.
6. A 根据题意易知正比例函数图象为自行车的图象,表达式为y=20x(0≤x≤3).
根据题意易求得一次函数的表达式为y=
联立得x=.
把x=代入y=20x,得y=45,因此当乙再次追上甲时距离B地60-45=15(km).
7.一
8. a<-
∵一次函数y=(2a+3)x+2中,y的值随x值的增大而减小,
∴2a+3<0,解得a<-.
9. 3
将直线y=-x+1向左平移m(m>0)个单位后得到直线y=-(x+m)+1.
把(1,-3)代入,得到-3=-(1+m)+1,解得m=3.
10. 2
∵3<4,∴把x=3代入y=|x|-1,得y=3-1=2.
11. (2,0)
如图,连接AB交x轴于点P',
根据两点之间,线段最短,可知P'即为所求.
设直线AB的函数表达式为y=kx+b.
把(4,3),(0,-3)代入,得
解得∴y=x-3.
当y=0时,x=2,∴P'(2,0).
12. 6600
设卖出数量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系式为y=kx+b.
由图象可知解得
所以y=-600x+7000.
当x=8时,y=7000-4800=2200,
∴挣得的钱为2200×(8-5)=6600(元).
13.解:(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象向下平移1个单位得到,
∴这个一次函数的表达式为y=x-1.
(2)≤m≤1.
14.解:(1)b=10+10×5=60.
设Ⅱ号无人机海拔y与时间x之间的函数表达式为y=kx+t.
将(0,30),(5,60)代入上式,
得解得
故Ⅱ号无人机海拔y与时间x之间的函数表达式为y=6x+30(0≤x≤15).
(2)由题意得(10x+10)-(6x+30)=28,
解得x=12,
故当无人机上升12 min时,Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28 m.
15.解:(1)由题意得甲的骑行速度为1020÷-1=240(米/分).
∵甲往返总时间为11分钟,中间休息1分钟,
∴甲从A地到B地的骑行时间为5分钟,
∴点M的横坐标为6,纵坐标为240×5=1200,
则点M的坐标为(6,1200).
故答案为240,(6,1200).
(2)设线段MN的函数表达式为y=kx+b.
∵函数y=kx+b的图象过点M(6,1200),N(11,0),
∴解得
∴线段MN的函数表达式为y=-240x+2640.
即甲返回时距A地的距离y与时间x之间的函数表达式为y=-240x+2640.
(3)设甲返回A地之前,经过m分钟两人距C地的距离相等.
由题易知乙的速度为1200÷20=60(米/分).
如图所示:
∵AB=1200米,AC=1020米,
∴BC=1200-1020=180(米).
分5种情况:
①当03,此种情况不符合题意;
②当3则1020-240m=60m-180,解得m=4,此种情况符合题意;
③当则240(m-1)-1020=60m-180,解得m=6,此种情况不符合题意;
④当m=6时,甲到达B地,距离C地180米,乙距离C地6×60-180=180(米),
即m=6时两人距C地的距离相等;
⑤当m>6时,甲在返回途中,
当甲在B,C之间时,则180-[240(m-1)-1200]=60m-180,解得m=6,此种情况不符合题意,
当甲在A,C之间时,则240(m-1)-1200-180=60m-180,解得m=8.
综上所述,在甲返回到A地之前,经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的距离相等.
故答案为4或6或8.第3章 图形与坐标
一、选择题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)
1.如图,P1,P2,P3这三个点中,在第二象限内的有 ( )
A.点P1,P2,P3 B.点P1,P2 C.点P1,P3 D.点P1
2.在平面直角坐标系的第四象限内有一点M,到x轴的距离为4,到y轴的距离为5,则点M的坐标为( )
A.(-4,5) B.(-5,4) C.(4,-5) D.(5,-4)
3.在平面直角坐标系中,若点A(a,-b)在第三象限,则点B(-ab,b)所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.已知点P的坐标为(2-a,2a+5),且点P到两坐标轴的距离相等,则点P的坐标为 ( )
A.(3,3) B.(3,-3) C.(9,-9) D.(9,-9)或(3,3)
5.在平面直角坐标系中,将点P(3,6)向左平移4个单位,再向下平移8个单位后,得到的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6. 如图,四边形ABCD是长方形,AB∥x轴,BC∥y轴,AB=3,AD=4.已知A-,-1,则点C的坐标是 ( )
A.-3, B.,-3 C.3, D.,3
7.已知点A(1,0),B(0,2),点P在x轴上,且△PAB的面积为5,则点P的坐标是 ( )
A.(-4,0) B.(6,0)
C.(-4,0)或(6,0) D.(0,12)或(0,-8)
二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
8.在平面直角坐标系中,若点P(1-m,5-2m)在第二象限,则整数m的值为 .
9.已知点M(a,b),且ab>0,a+b<0,则点M在第 象限.
10.一只小虫在小方格组成的网格线上爬行,它的起始位置是点A(2,2),先爬到点B(2,4),再爬到点C(5,4),最后爬到点D(5,6),则小虫共爬了 个单位.
11.已知点A(-1,0)和点B(0,2),把线段AB平移,使点B移动到点C(4,4)处,这时点A移动到点D处,则点D的坐标为 .
12.如图是一片枫叶标本,其形状呈“掌状五裂型”,裂片具有少数突出的齿,将其放在平面直角坐标系中,表示叶片“顶部”A,B两点的坐标分别为(-2,2),(-3,0),则叶杆“底部”点C的坐标为 .
13.如图,在平面直角坐标系中,以点O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在第二象限内交于点P(a,b),则a与b的数量关系是 .
14.如图,在平面直角坐标系中,将点A(-1,2)向右平移2个单位得到点B,则点B关于x轴的对称点C的坐标是 .
15.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-3,0),B(0,4),将△OAB沿x轴作连续无滑动地翻滚,依次得到三角形①,②,③,④,…,则第个三角形的直角顶点的坐标是 .
三、解答题(本大题共4小题,共40分)
16.(8分)图是某镇的部分单位的示意图.若用(2,5)表示图上镇政府的位置,用(-1,3)表示图上供电所的位置,试在图上建立平面直角坐标系,并用坐标表示出其他各单位的位置.
17.(8分)在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点:A(0,3),B(1,-3),C(3,-5),D(-3,-5),E(3,5),F(5,7),G(5,0).
(1)点A到原点O的距离是 ;
(2)将点C沿x轴的负方向平移6个单位,它与点 重合;
(3)若连接CE,则直线CE与y轴是什么关系
(4)点F到x轴,y轴的距离分别是多少
18.(12分)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)请写出△ABC各顶点的坐标;
(2)若把△ABC向上平移2个单位,再向左平移1个单位得到△A'B'C',写出点A',B',C'的坐标;
(3)求△ABC的面积.
19.(12分)如图,在平面直角坐标系中,一颗棋子从点P处开始依次关于点A,B,C作循环对称跳动,即第一次跳到点P关于点A的对称点M处,接着跳到点M关于点B的对称点N处,第三次再跳到点N关于点C的对称点处……如此下去.
(1)在图中画出点M,N,并写出点M,N的坐标;
(2)求经过第2022次跳动之后,棋子落点的坐标.
答案
1.D 2.D
3. A 本题考查了象限内点的坐标特征.因为第三象限内的点横、纵坐标均为负数,所以a<0,-b<0,即a<0,b>0,所以-ab>0,所以点B(-ab,b)位于第一象限.因此本题选A.
4.D 5.C
6. D ∵四边形ABCD是长方形,∴BC=AD=4.又∵AB∥x轴,BC∥y轴,
∴点C的坐标为-+3,-1+4,即,3.故选D.
7.C
8. 2
由题意得
解得19. 三
∵ab>0,∴a,b同号.
∵a+b<0,∴a<0,b<0,
∴点M(a,b)在第三象限.
10. 7
小虫从点A(2,2)爬到点B(2,4),爬了4-2=2(个)单位,从点B(2,4)爬到点C(5,4),爬了5-2=3(个)单位,从点C(5,4)爬到点D(5,6),爬了6-4=2(个)单位,所以小虫一共爬了2+3+2=7(个)单位.
11.(3,2)
12. (2,-3)
由A,B两点的坐标分别为(-2,2),(-3,0),得出坐标轴在如图所示的位置:
∴点C的坐标为(2,-3).
故答案为(2,-3).
13.a+b=0 14.(1,-2)
15. (60,0)
∵点A(-3,0),B(0,4),
∴OB=4,OA=3,
∴AB==5.
∵将△OAB连续作如题图所示的旋转变换,
∴△OAB每三次旋转后回到原来的状态,并且每三次旋转向前移动了4+5+3=12(个)单位,
∵16÷3=5……1,
∴第个三角形与第①个三角形的状态相同,直角顶点的横坐标为12×5=60,纵坐标为0.
故答案为(60,0).
16.解:根据镇政府及供电所的坐标,建立平面直角坐标系,如图所示.其他各单位的坐标为小学(3,6),中学(5,6),市场(4,2),公司(5,1),化工厂(-1,1).
17.解:在平面直角坐标系中描出各点略.
(1)3 (2)D
(3)直线CE与y轴平行.
(4)点F到x轴,y轴的距离分别是7,5.
18.[解析](1)根据点的坐标的定义即可写出答案;(2)根据上加下减,左减右加的原则写出答案即可;(3)先将三角形补成一个矩形,再减去三个直角三角形的面积即可.
解:(1)A(-2,-2),B(3,1),C(0,2).
(2)∵把△ABC向上平移2个单位,再向左平移1个单位得到△A'B'C',A(-2,-2),B(3,1),C(0,2),
∴A'(-3,0),B'(2,3),C'(-1,4).
(3)S△ABC=4×5-×5×3-×4×2-×1×3=20-7.5-4-1.5=7.
19.解:(1)图略.由题图知点P的坐标是(0,-2),第一次跳到点P关于点A的对称点M处是(-2,0),再跳到点M关于点B的对称点N处是(4,4).
(2)棋子跳动3次后又回到点P处,且2022÷3=674,所以经过2022次跳动后,棋子落在点P处,即棋子落点的坐标为(0,-2).第5章 数据的频数分布
一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
1.中国抗击疫情最宝贵的经验就是“早发现,早报告,早隔离,早治疗”.在这12个字中“早”字出现的频率是 ( )
A. B. C. D.
2.已知一个样本的最大值是178,最小值是155,对这组数据进行整理时,若取组距为2.4,则组数为 ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
3.某班50名学生在一次数学测试中不及格人数的频率是0.1,则及格的学生有 ( )
A.5名 B.40名 C.45名 D.30名
4.为了了解某校九年级学生的运算能力,随机抽取了100名学生进行测试,将所得成绩x(单位:分)整理后,列出下表:
分组 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤99
频率 0.06 0.16 0.08 0.30 0.40
本次测试中这100名学生成绩为良好(x≥80分为良好)的人数是 ( )
A.22 B.30 C.60 D.70
5.胜利中学在一次健康知识竞赛活动中,抽取了一部分学生的测试成绩(成绩均为整数),整理后绘制成如图所示的频数直方图,根据图示信息,下列描述不正确的是 ( )
A. 抽取了50名学生
B.成绩在60.5~70.5分范围的频数为2
C.成绩在70.5~80.5分范围的频数比成绩在60.5~70.5分范围的频数多1
D.成绩在70.5~80.5分范围的频率为0.8
6.为了解某校学生的身高情况,随机抽取该校男生、女生进行调查.已知抽取的样本中,男生、女生的人数相同,利用所得数据绘制成如下统计图表:
组别 身高x(cm)
A x<155
B 155≤x<160
C 160≤x<165
D 165≤x<170
E x≥170
根据图表提供的信息,样本中,身高在160≤x<170之间的女生人数为 ( )
A.8 B.6 C.14 D.16
二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)
7.调查某小区内30户居民月人均收入情况,制成如图所示的频数直方图,收入在1200~1240元的频数是 .
8.一组数据含有三个不同的数:3,8,7,它们的频数分别是3,5,2,则这组数据的平均数是 .
9.一个容量为n的样本分成若干组,已知某组的频数和频率分别是30和0.25,则n= .
10.在一个调查过程中,将所有数据分成四组,各个小组的频数比为1∶5∶4∶6,则画频数直方图时对应的小长方形的高的比为 .
11.空气质量检测标准规定:当空气质量指数W≤50时,空气质量为优;当50空气质量指数(W) 40 60 90 110 120 140
天数 3 5 10 7 4 1
这个月中,空气质量为良的天数的频率为 .
12.在样本的频数直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的,且样本容量是160,则中间一组的频数为 .
13.在一个不透明的袋中装有除颜色不同外其余均相同的n个小球,其中有5个黑球,从袋中随机摸出一个球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,之后把它放回袋中,搅匀后,再继续摸出一个球,不断重复,下表是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数情况.
摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000
摸出黑球次数 46 487 2506 5008 24996 50007
根据表格,可以估计出n的值是 .
三、解答题(本大题共3小题,共48分)
14.(14分)学期结束前,学校想调查八年级学生对湘教数学试验教材的意见,特向八年级400名学生做问卷调查,其结果如下:
意见 非常喜欢 喜欢 无所谓 不喜欢
人数 200 140 50 10
(1)计算出每一种意见的人数在这次调查中的频率;
(2)请作出反映此调查结果的扇形统计图;
(3)从本次调查中你能得出什么结论 说明你的理由.
15.(16分)对某班的一次数学测验成绩进行统计分析,各分数段的人数如图所示(分数取正整数,满分100分),请观察图形,并回答下列问题:
(1)该班共有多少名学生
(2)69.5~79.5这一组的频数、频率分别是多少
16.(18分)某校为了了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况,在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查,调查发现学生每天课后进行体育锻炼的时间都不超过100分钟,现将调查结果绘制成如下尚不完整的统计图表.请根据统计图表提供的信息,解答下列问题:
组别 锻炼时间(分) 频数 百分比
A 0B 20C 40D 60E 80(1)本次调查的样本容量是 ;表中a= ,b= .
(2)将频数直方图补充完整.
(3)若该校学生共有2200人,请根据以上调查结果估计该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有多少人.
答案
1.D 2.A 3.C 4.D 5.D
6. D 由男生身高情况频数直方图得男生总人数为4+12+10+8+6=40,由于抽取的样本中男生、女生的人数相同,所以女生的人数是40,而在女生身高情况扇形统计图中,C与D所占的比例为25%+15%=40%,所以身高在160≤x<170之间的女生人数为40×40%=16.
7.14
8.6.3 9.120
10.1∶5∶4∶6
11.0.5
12. 32
若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的,则中间一个小长方形的面积等于总面积的=0.2.又因为样本容量是160,所以中间一组的频数为160×0.2=32.
13. 10
当独立随机试验的次数足够大时,某现象发生的频率总在某一数据附近波动,由表格知摸出黑球的频率约为0.500,所以所有小球的数量约为10个.
14.解:(1)非常喜欢、喜欢、无所谓、不喜欢的频率分别为0.5,0.35,0.125,0.025.
(2)略.
(3)绝大多数学生喜欢湘教数学试验教材.理由:因为喜欢湘教数学试验教材的学生的频率为0.5+0.35=0.85,不喜欢的学生的频率只有0.025(答案不唯一,合理即可).
15.解:(1)6+8+10+18+16+2=60(名).
答:该班共有60名学生.
(2)69.5~79.5这一组的频数为18,
频率为=.
16.解:(1)60 21 30%
本次调查的样本容量是12÷20%=60,a=60-12-18-6-3=21,b=18÷60×100%=30%.
故答案为60,21,30%.
(2)将频数直方图补充完整如下:
(3)2200×(10%+5%)=330(人).
答:估计该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有330人.