河间市2023届高三上学期9月开学考试
数学试卷 解析版
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共的40分，在每小题给出的四个选须，只有一项是符合题目要求的）
1 已知集合，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出集合，再利用可以求出的值，即可求出集合，进行并集计算即可.
【详解】,
因为，所以，
所以，解得： ，
解方程得：或，
所以，
所以
故选：B
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及利用单调性解指数不等式，属于基础题.
2. 若，则下列不等式错误的是（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.
【详解】解：对A，，
，故A正确；
对B，，
，
即，
，故B错误；
对C，，
，
即，
即，故C正确，
对D，，
，
即，即，故D正确.
故选：B.
3 已知函数，若，则（ ）
A B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
构造奇函数，根据函数奇偶性，求得，即可代值求得结果.
【详解】因为是奇函数，
又，
故可得
∴.
故选：C.
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及正弦函数的奇偶性，属综合简单题.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
换元，可得出，利用诱导公式以及二倍角余弦公式可求得所求代数式的值.
【详解】换元，可得，且，
所以，.
故选：D.
5. 在中，，，，分别是斜边上的两个三等分点，则（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】
以点为原点建立直角坐标系，写出向量的坐标，结合向量的数量积的坐标运算公式，即可求解.
【详解】如图所示，以点为原点建立直角坐标系，
则可设点，，所以，，
所以.
故选：D.
6. 在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列性质可知数列为等差数列，由已知等式可求得其公差，结合等差数列通项公式可求得，进而得到结果.
【详解】数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为，
又，解得：，又，
，.
故选：B.
7. 鳖臑（biē nào）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A-BCD是一个鳖臑，其中AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝6，BC＝3，DC＝2，则三棱锥A-BCD的外接球的体积是（ ）
A. B. C. 49π D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将三棱锥A-BCD可放在长方体中确定直径AD，计算即得结果.
【详解】依题意，三棱锥A-BCD可放在长方体中，如图所示
易得三棱锥A-BCD的外接球的直径为AD，则，故三棱锥A-BCD的外接球的半径，所以．
故选：D.
【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
8. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出定义域．求出导函数，在定义域内解不等式可得减区间．
【详解】函数定义域是，
，
由可得．
∴减区间是．
故选：D．
【点睛】本题考查求函数的单调区间，求出导函数是基础，然后解不等式确定增区间，确定减区间．
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的回个选项中，有多项符合目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 若点在直线上，其中，，则（ ）
A. 的最大值为 B. 的最大值为2
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】先由题设条件得到：，再利用基本不等式及不等式的性质逐个选项判断正误即可．
【详解】解：由题设可知：，
，，，即，，当且仅当时取“ “，故选项正确；
又由可得：，，，，故选项、错误；
，，，当且仅当时取“”，故选项正确，
故选：AD．
10. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值法解决，
对于A：通过给赋值即可作出判断；
对于B和C：通过给赋值和，得到两个等式作差得到结果，进而作出判断；
对于D：，通过给赋值得到结果即可作出判断.
【详解】由题意，当时，，
当时，，
当时，，
所以，，
，
当时，，
所以
故选：ACD.
【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
11. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 事件B与事件相互独立 D. ，，两两互斥
【答案】AD
【解析】
【分析】根据互斥事件的定义判断D，再根据条件概率及相互独立事件的概率公式计算即可判断其他选项．
【详解】因为事件，和任意两个都不能同时发生，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；
因为，，，，故A正确；
，，
，因为，，所以，所以与不是相互独立事件，故B，C不正确．
故选：AD．
12. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A. 的方程为 B. 的离心率为
C. 曲线经过的一个焦点 D. 直线与有两个公共点
【答案】AC
【解析】
【分析】由双曲线的渐近线为，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断；再求出双曲线的焦点坐标判断，；联立方程组判断．
【详解】解：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，
把点代入，得，即．
双曲线的方程为，故正确；
由，，得，
双曲线的离心率为，故错误；
取，得，，曲线过定点，故正确；
联立，化简得，
所以直线与只有一个公共点，故不正确．
故选：．
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数的单调递增区间是_________．
【答案】
【解析】
【详解】设 ， 或
为增函数，在为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知：函数 的单调递增区间是.
14. 在中，角所对的边分别为，若角依次成等差数列，且，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】由题设易得，根据已知及余弦定理可得，即可求c，再利用三角形面积公式求面积即可.
【详解】由题设，若公差为，则，可得，
由余弦定理有，即，
∴，则.
故答案为：.
15. 已知斜率为的直线与抛物线交于两点，当弦的中点到焦点的距离达到最小时，直线的方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用点差法可求得弦的中点的纵坐标，由此可设中点为，由两点间距离公式可将中点到焦点的距离表示为关于的函数，由函数最值的求法可求得当时距离最小，由此确定中点坐标，由直线点斜式方程可求得结果.
【详解】设，，，
两式相减得：，则，
，，弦的中点的纵坐标为，
可设中点坐标为，
中点到焦点的距离，
当时，，则中点坐标为，
直线的方程为，即为，经检验符合题意.
故答案：.
【点睛】结论点睛：求解圆锥曲线中的中点弦或弦中点相关问题时，常采用点差法，针对不同曲线，弦中点与弦所在直线斜率的关系如下：
（1）椭圆中，；
（2）双曲线中，；
（3）抛物线中，.
16. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从生产线上随机抽取10个零件，并测量其尺寸（单位：）.根据长期的生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.现假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的10个零件中尺寸在之外的零件数，则__________.
[附：，，]
【答案】3.174
【解析】
【分析】根据正态分布求出抽取的1个零件尺寸在之外的概率，得出服从二项分布，即可求出均值.
【详解】由已知可得，则，，
则，
所以一天内抽取的1个零件尺寸在之外的概率为，
则，所以.
故答案为：3.714.
四 解答题
17. 如图，与在同一个平面内，，，．
（1）求；
（2）若，且的面积为3，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理可求得，从而得角的大小；
（2）由结合（1）中结论求得，再，由的面积求得，再由余弦定理得．
【详解】解：（1）因为，，
所以，
,
又因为，
故．
（2）因为，所以，
又因为，
所以，
整理得，
解得或（舍去）．
因为，所以，
由余弦定理得，
所以．
【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．
18. 已知数列满足，且)，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出数列的首项即可求解作答.
（2）利用（1）的结论求出，再利用等差数列求和公式计算作答.
【小问1详解】
在数列中，由得，而，则数列是公比为2的等比数列，
因成等差数列，即，有，解得，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）得，有，即数列是等差数列，
所以数列的前项和.
19. 如图，正方形所在平面与等边所在平面互相垂直，设平面与平面相交于直线．
（1）求与所成角的大小；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由线面平行的判定和性质可证得，由可得结果；
（2）取的中点，利用面面垂直的性质可证得两两互相垂直，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）四边形为正方形，.
平面，平面，平面
又平面，且平面与平面相交于直线，.
四边形为正方形，，
与所成角的大小为.
（2）分别取的中点，连结.
由为等边三角形知：；由四边形为正方形知：；
平面与平面互相垂直，平面平面，且平面，平面.
则以为坐标原点，可以建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，.
，，.
设平面的一个法向量，
，令，解得：，，；
设平面的一个法向量，
，令，解得：，，；
.
二面角的正弦值为.
20. 某市一隧道由于机动车常在隧道内变道、超速，进而引发交通事故，交管部门在该隧道内安装了监控测速装置，并将该隧道某日所有车辆的通行速度进行统计，如图所示．已知通过该隧道车辆的平均速度为．
（1）求，的值，并估计这一天通过该隧道车辆速度的中位数；
（2）为了调查在该隧道内安装监控测速装置的必要性，研究人员随机抽查了通过该隧道的200名司机，得到的答复统计如表所示，判断是否有的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关．
认为安装监控测速装置十分必要 认为安装监控测速装置没有必要
男司机 70 30
女司机 50 50
附：，其中．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1），，中位数为；（2）有的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关．
【解析】
【分析】
（1）根据频率和为以及平均数为可以建立起关于，的二元一次方程，从而可以求出，的值，进而可以由频率分布直方图求出中位数；
（2）根据的计算公式计算出的值，与临界值比较，即可得出结论.
【详解】（1）根据频率和为可得：，
化简为，①
又，
所以，②
由①②联立得，，；
由于前两块矩形的面积分别为和，
故所求的中位数为；
（2）根据表中数据，计算，
所以有的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关．
21. 已知在平面直角坐标系中，圆A：的圆心为A，过点B(，0)任作直线l交圆A于点C、D，过点B作与AD平行的直线交AC于点E.
（1）求动点E的轨迹方程；
（2）设动点E的轨迹与y轴正半轴交于点P，过点P且斜率为k1，k2的两直线交动点E的轨迹于M、N两点(异于点P)，若，证明：直线MN过定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】(1)作出图象，易知|EB|＋|EA|为定值，根据椭圆定义即可判断点E的轨迹，从而写出其轨迹方程；
(2)设，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为：，联立MN方程和E的轨迹方程得根与系数的关系，根据解出k与m的关系即可以判断MN过定点；最后再考虑MN斜率不存在时是否也过该定点即可.
【小问1详解】
由圆A：可得(，
∴圆心A(－，0)，圆的半径r＝8，
，
，可得，
，
，
由椭圆的定义可得：点E的轨迹是以A(，0)、B(，0)为焦点，2a＝8的椭圆，
即a＝4，c＝，∴＝16－7＝9，
∴动点E的轨迹方程为；
【小问2详解】
由(1)知，P(0，3)，设，当直线MN的斜率存在时，
设直线MN的方程为：，
由，可得，
∴，，
∵，
∴，
即，
整理可得：，
∴k＝m＋3或m＝3，
当m＝3时，直线MN的方程为：，
此时过点P(0，3)不符合题意，
∴k＝m＋3，∴直线MN的方程为：
此时直线MN过点(－1，－3)，
当直线MN的斜率不存在时，，
，解得，
此时直线MN的方程为：，过点(－1，－3)，
综上所述：直线MN过定点(－1，－3).
22. 设函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）任意正实数，当时，试判断与的大小关系并证明
【答案】（1）增区间为，减区间为，
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导得导函数的表达式，根据导函数的正负，可求的单调区间.
（2）由，换元，构造函数得，分情况讨论最值，进而求解.
【小问1详解】
时，，，
令得；令得或
故的单增区间为，单减区间为，
【小问2详解】
结论：，证明如下：
设，由 均为正数且得
设，则
①当时，由得即
故单调递减，从而
而，此时成立
②当时，在上单调递减，在上单调递增
故的最小值为
此时只需证，化简后即证
设，
故单调递增，从而有，即证
综上：不等式得证．
【点睛】本题考查了用导数研究函数的单调性和最值，同时考查了构造函数，分类讨论的数学思想，是一道中档题.河间市2023届高三上学期9月开学考试
数学试卷
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共的40分，在每小题给出的四个选须，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则下列不等式错误是（ ）.
A
B.
C.
D.
3. 已知函数，若，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
4. 已知，则（ ）
A B. C. D.
5. 在中，，，，分别是斜边上的两个三等分点，则（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
6. 在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
7. 鳖臑（biē nào）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A-BCD是一个鳖臑，其中AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝6，BC＝3，DC＝2，则三棱锥A-BCD的外接球的体积是（ ）
A. B. C. 49π D.
8. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的回个选项中，有多项符合目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 若点在直线上，其中，，则（ ）
A. 的最大值为 B. 的最大值为2
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 事件B与事件相互独立 D. ，，两两互斥
12. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A. 的方程为 B. 的离心率为
C. 曲线经过的一个焦点 D. 直线与有两个公共点
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数的单调递增区间是_________．
14. 在中，角所对的边分别为，若角依次成等差数列，且，则____________．
15. 已知斜率为的直线与抛物线交于两点，当弦的中点到焦点的距离达到最小时，直线的方程为___________.
16. 为了监控某种零件一条生产线的生产过程，检验员每天从生产线上随机抽取10个零件，并测量其尺寸（单位：）.根据长期的生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.现假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的10个零件中尺寸在之外的零件数，则__________.
[附：，，]
四 解答题
17. 如图，与在同一个平面内，，，．
（1）求；
（2）若，且的面积为3，求的长．
18 已知数列满足，且)，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
19. 如图，正方形所在平面与等边所在平面互相垂直，设平面与平面相交于直线．
（1）求与所成角的大小；
（2）求二面角的正弦值．
20. 某市一隧道由于机动车常在隧道内变道、超速，进而引发交通事故，交管部门在该隧道内安装了监控测速装置，并将该隧道某日所有车辆的通行速度进行统计，如图所示．已知通过该隧道车辆的平均速度为．
（1）求，的值，并估计这一天通过该隧道车辆速度的中位数；
（2）为了调查在该隧道内安装监控测速装置的必要性，研究人员随机抽查了通过该隧道的200名司机，得到的答复统计如表所示，判断是否有的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关．
认为安装监控测速装置十分必要 认为安装监控测速装置没有必要
男司机 70 30
女司机 50 50
附：，其中．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
21. 已知在平面直角坐标系中，圆A：的圆心为A，过点B(，0)任作直线l交圆A于点C、D，过点B作与AD平行的直线交AC于点E.
（1）求动点E的轨迹方程；
（2）设动点E的轨迹与y轴正半轴交于点P，过点P且斜率为k1，k2的两直线交动点E的轨迹于M、N两点(异于点P)，若，证明：直线MN过定点.
22. 设函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）任意正实数，当时，试判断与的大小关系并证明
