第一章 有理数 章节复习课件（共64张PPT）

(共64张PPT)
有理数章节复习
1.对本章知识要点进行复习梳理;
2.会运用有理数的运算法则、运算律，熟练进行有理数的运算; (重点、难点)
3.用科学记数法表示绝对值较大的数;
4.用四舍五入法，按要求(精确度)确定运算结果.
4.用正、负数表示具有相反意义的量.
一、正数和负数
1.像1,2,3，1.8％这样大于0的数叫做正数.
2.像-3，-1，-2，-2.7％这样在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数.
3.0既不是正数，也不是负数.
5.具有相反意义的量应满足的条件：
①必须是同类量，而且是成对出现的；②只要求意义相反，不要求数量一定相等.
二、有理数的分类
注意： ①分类的标准不同，结果也不同；②分类的结果应无遗漏、无重复；③零是整数，但零既不是正数，也不是负数.
三、数轴
3.数轴的三要素
1.规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.
2.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
数轴的画法：
1.画一条水平直线，定原点(如图)，原点表示0.
0
2.规定从原点向右为正方向，那么相反的方向(从原点向左)则为负方向.
3.选择适当的长度为单位长度.(单位长度要一致)

0
0
1
2
3
-1
-2
-3


三、数轴
(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；
(2)直线一般画水平的；
(3)正方向用箭头表示，一般取从左到右；
(4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀.
画数轴注意事项：
三、数轴
位置特征：1.分居原点左右；2.到原点距离相等.
a的相反数是-a ; 0的相反数是0
2
5
2
5
像2和-2,5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
一般地，设a是一个正数，数轴上与原点距离是a的点有两个，它们分别在原点左右，表示-a和a. 我们说这两点关于原点对称.
四、相反数
五、绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，用“|a|”表示.
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 即
(1)如果 a＞0，那么|a|=___；
(2)如果 a=0，那么|a|=___；
(3)如果 a＜0，那么|a|=___.
a
-a
0
|a|≥0
2.绝对值的性质及应用
六、有理数大小的比较
有理数大小的比较方法2---数的相对大小比较法
一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数;两个负数，绝对值大的反而小.
有理数大小的比较方法1---数轴比较法
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.
七、有理数的运算
有理数加法运算的基本解题思路：
1.先判断类型（同号、异号等）；2.再确定和的符号；3.最后进行绝对值的加减运算.
七、有理数的运算
(a+b)+c=a+(b+c)
a+b=b+a
1.加法交换律：在有理数加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变.
2.加法结合律：在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
用字母表示为：
用字母表示为：
七、有理数的运算
有理数的减法法则是一个转化法则，减号转化为加号，同时要注意减数变为它的相反数，这样就可以用加法来解决减法问题.
七、有理数的运算
1.有理数乘法法则:
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.
2.几个不是零的数相乘，负因数的个数为
奇数时积为负数
偶数时积为正数
3.几个数相乘若有因数为零则积为零.
4.有理数乘法的求解步骤：
有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值.
5.乘积是1的两个数互为倒数.
七、有理数的运算
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
1.有理数除法法则:
2.有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算.
3.乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算）
七、有理数的运算
3.乘方的符号法则：
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）零的正整数次幂都是零.
这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
2.组成要素
1.乘方的定义
七、有理数的运算
(1)看清运算，定运算顺序;
(2)根据特点，巧用运算律;
(3)选对法则，耐心计算.
2.有理数的加减乘除混合运算三步走:
【运算顺序】1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
1.有理数的混合运算
我们可以把大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数(即1≤a＜10)， n是正整数.这种记数方法叫做科学记数法.
1．用科学计数法表示较大的数应注意以下两点：
1≤＜10
当大数是大于10的整数时，n为整数位减去1.
2．灵活运用科学计数法，注意解题技巧，总结解题规律.
八、科学记数法
九、近似数
1.近似数：
(1)我们得不到与实际完全相符的数，而是通过测量、估算得到的数都是近似数.例如，姚明的身高是2.26米.
(2)有时我们为了叙述、书写方便，通过四舍五入得到的数也是近似数.例如，2022年全国高考报名人数1193万人.
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示.
2.精确度：
正数和负数的概念及其应用
1
例1.牛奶盒的包装上印有260±5ml，下列四盒送去质检，不合格的是（ ）
A．265ml B．262ml C．258ml D．250ml
【分析】解：∵牛奶盒的包装上印有260±5ml，
∴最大值为：260+5=265（ml），最小值为：260-5=255（ml），
∴选项A、B、C均合格，选项D不合格.
故选：D．
D
正数和负数的概念及其应用
1
例2.下列是具有相反意义的量是（　　）
A．身高增加1cm和体重减少1kg B．顺时针旋转90°和逆时针旋转45°
C．向右走2米和向西走5米 D．购买5本图书和借出4本图书
【分析】解：A、身高和体重不是相反的量，不符合题意；
B、顺时针旋转与逆时针旋转是具有相反意义的量，符合题意；
C、向右和向西不是相反的量，不符合题意；
D、购买和借出不是相反的量，不符合题意；
故选：B．
B
正数和负数的概念及其应用
1
例3.北京与柏林的时差为7小时，例如，北京时间14：00，同一时刻的柏林时间是7：00．小丽和小红分别在北京和柏林，她们相约在各自当地时间8：00~17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（ ）
A．9：30 B．11：30 C．13：30 D．15：30
【分析】解：由题意得，柏林时间比北京时间早7小时，
当柏林时间为8：00，则北京时间为15：00；当北京时间为17：00，则柏林时间为10：00；
所以这个时间可以是北京时间的15：00到17：00之间，
故选：D．
D
【1-1】某运动项目的比赛规定，胜一场记作“＋1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“－1”分，则该队在比赛中（ ）
A．与对手打成平局 B．输给对手 C．打赢了对手 D．无法确定
【1-2】下列各组数中，具有相反意义的量是(　　)
A．盈利40元和运出货物20吨 B．向东走4千米和向南走4千米
C．身高180 cm和身高90cm D．收入500元和支出200元
B
D
城市 悉尼 纽约
时差/时 +2 -13
【1-3】纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：
当北京10月1日23时，悉尼、纽约的时间分别是 （ ）
A．9月30日21时；9月30日10时 B．10月1日10时；10月2日10时
C．10月2日1时； 10月1日10时 D．9月30日21时；10月2日12时
C
有理数的相关概念、分类及其应用
2
例4. 下列各数中，是负整数的是（ ）
A.－23 B.－|－0.1| C.－(－) D.(－2)2
A
【分析】解：A.－23=-8,是负整数；
B.－|－0.1|=-0.1，是负分数不是负整数；
C.－(－)=，是正分数不是负整数；
D.(－2)2=4，是正整数不是负整数；
故选A.
例5.把下列各数填在相应的集合中：
正数集合：{ }；
负数集合：{ }；
分数集合：{ }；
整数集合：{ }；
非负有理数集合：{ }；
有理数集合：{ }.
有理数的相关概念、分类及其应用
2
【2-1】下列说法正确的是（ ）
A．正有理数和负有理数组成全体有理数 B．零既不是正数，也不是负数
C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数 D．在有理数中，零的意义表示没有
【2-2】在 ，，，，，，， 中，
整数是________；正分数是_____________________；有理数有____个．
B
7
-17,0
，，，
【2-3】指出下列各数中的正数、负数、整数、分数：
-15，+6，-2，-0.9，1，，0，3，0.63，-4.95.
解：正数集合：{ }
负数集合：{ }
整数集合：{ }
分数集合：{ }
-15，-2，-0.9，-4.95，…
-15，+6，-2，1，0，…
-0.9，，3，0.63，-4.95，…
+6，1，3，0.63…
数轴、相反数、绝对值的概念及相关运算
3
例6.如果小虫在数轴上爬行了5个单位长度后停在表示﹣3的点上，那么小虫开始爬行的位置是表示（ ）的点．
A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8或2 D．8或﹣2
C
分析:逆向思维.距离-3的点5个单位长度的点有两个，分别在-3的左边是-8；右边是2.
例7.若 ，则a=____，b=_____．
【解析】一个数的绝对值总是大于或等于0，即为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个数同时为0.
解：因为
所以
所以
所以a＝-5，b＝3.
【点睛】几个非负数的和为0，则这几个数都为0.
3
-5
数轴、相反数、绝对值的概念及相关运算
3
数轴、相反数、绝对值的概念及相关运算
3
例8.点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b，对于以下结论：(1)b﹣a＜0；(2)|a|＜|b|；(3)a+b＞0；(4)＞0．其中正确的是( ) A．(1)(2) B．(2)(3) C．(3)(4) D．(1)(4)
【分析】解：根据图示，可得﹣3＜a＜0，b＞3，
∴(1)b﹣a＞0，故错误；(2)|a|＜|b|，故正确；(3)a+b＞0，故正确；(4)＜0，故错误．故选B．
B
数轴、相反数、绝对值的概念及相关运算
3
例9.如果、、是非零有理数，且，那么的所有可能的值为_____.
【分析】、、为非零有理数，且
、、只能为两正一负或一正两负.
①当、、为两正一负时，设、为正，为负
原式
②当、、为一正两负时，设为正，、为负
原式综上，的值为.
0
例10.同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）计算|5－（－2）|=______；
（2）使得|x－1|+|x+5|=6这样的整数有_______________________（写出所有符合条件的整数）；
（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，式子|x－2|+|x+3.5|是否有最小值？________
数轴、相反数、绝对值的概念及相关运算
3
数轴、相反数、绝对值的概念及相关运算
3
解：（1），
故答案为：7；
（2）可以理解为：数轴上某点到1所对应的点的距离和到所对应的点的距离之和为6，满足条件的整数有：，，，，，0，1，
故答案为：，，，，，0，1；
（3）有，理解为：数轴上某点到2所对应的点的距离和到所对应的点的距离之和，其最小值为．
【3-1】点A为数轴上表示－1的动点，当点A沿数轴移动3个单位长度到点B时，点B所表示的数为 ( )
A.2 B.－4 C.2或－4 D.不同于以上
C
【3-2】下列各对数中，互为相反数的有（ ）
①-1与+1；②+(+1)与-1；③-(-2)与+(-2)；④-(-)与+(+) ；
⑤+[-(+1)]与-[+(-1)]；⑥-(+2)与-(-2)．
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
B
【3-3】在数轴上，a，b所表示的数如图所示，下列结论正确的是（　 ）
A．a+b＞0 B．|b|＜|a| C．a﹣b＞0 D．a b＞0
C
【3-4】若，则______．
4
【3-5】|x﹣5|+|2﹣x|的最小值为_____．
3
有理数的大小比较
4
例11.比较下列各对数的大小.
(1) -(-1)和-(+2)；(2)-和-；(3) -(-0.3)和|-|.
解：(1)先化简，-(-1)=1，-(+2)=-2
因为正数大于负数，
所以1＞-2，即 -(-1)＞-(+2)
(2)这是两个负数比较大小，先求它们的绝对值.
|-|= ，|-|= =
因为＜ ，即|-|＜|-|，
所以-＞-
(3)先化简，-(-0.3)=0.3，|-|=
0.3＜ ，即-(-0.3)＜|-|.
有理数的大小比较
4
例12.若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
C
【分析】解：∵，，且，
∴，，，
∴，
∴．故选：C．
【4-2】下列判断，正确的是（ ）
A．若a＞b，则│a│＞│b│ B．若│a│＞│b│，则a＞b
C．若a＜b＜0，则│a│＜│b│ D．若a＞b＞0，则│a│＞│b│
D
【4-3】绝对值大于1而不大于4的整数有__________________________.
-4、-3、-2、2、3、4
【4-1】下列四组有理数大小的比较正确的是（ ）
A．-＞ B．-＞- C．-＞- D．＞
D
例13.计算：
(1)2×(-3)3-4×(-3)+15 (2)(-2)3+(-3)×[(-4)2+2]-(-3)2÷(-2)
解：(1)原式=2×(-27)-(-12)+15
=-54+12+15
=-27
(2)原式=-8+(-3)×(16+2)-9÷(-2)
=-8+(-3)×18-(-4.5)
=-8-54+4.5
=-57.5
有理数的运算
5
有理数的运算
5
例14.已知a，b互为相反数，c、d互为倒数，x的平方是4.试求x2-(a+b+cd)x
+(a+b)2000+(-cd)2020的值.
解:根据题意得,
a+b=0，cd=1，x2=4(即x=±2)
(1)当x=2时，原式=4-(0+1)×2+02000+(-1)2020=4-2+O+1=3
(2)当x=-2时,原式=4-(0+1)×(-2)+02000+(-1)2020=4-(-2)+O+1=7.
有理数的运算
5
例15.计算：
解：设，，，
而A+B==1，∴原式=．
【5-2】如图是一个计算程序，若输入a的值为-1，则输出的结果应为（　　）
A．7 B．﹣5 C．1 D．5
【5-1】计算﹣23+[（﹣4）2﹣（1﹣32）×3]＝　 　．
B
32
【5-3】现规定一种新的运算“☉”: a☉b=ab，如3☉2=32=9.则3等于( )
A. B.8 C. D.
A
例16.某公司去年1~3月平均每月亏损1.5万元，4~6月平均盈利2万元，7~10月平均盈利1.7万元，11~12月平均亏损2.3万元，这个公司去年总盈亏情况如何？
解：记盈利额为正数，亏损额为负数，公司去年全年总的盈亏（单位：万元）为
（-1.5）×3+2×3+1.7×4+（-2.3）×2
=-4.5+6+6.8-4.6
=3.7
答：这个公司去年全年盈利3.7万元.
有理数运算的实际应用
6
有理数运算的实际应用
6
例17.入冬以来，某品牌的羽绒服统计了在西乡市场某一周的销售情况，以每天100件为标准，超过的件数记作正数，不足的件数记作负数，记录如下：8，12，-9，6，-11，10，-2．
(1)求销量最多的一天比销量最少的一天多销售______件；
(2)该品牌羽绒服这一周的销售总量是多少件？若每件羽绒服的利润为130元，则这一周销售该品牌羽绒服的总利润为多少元？
有理数运算的实际应用
6
解：(1)（件）
(2)7×100+8+12+（-9）+6+（-11）+10+（-2）=714（件）
所以该品牌羽绒服这一周的销售总量是714件．
714×130=92820（元）
所以这一周销售该品牌羽绒服的总利润为92820元．
【6-1】某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售．他以每套55元的价格为标准，将超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：＋2，－3，＋2，＋1，－2，－1，0，－2（单位：元）．他卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损？他盈利（或亏损）了多少钱？
解：（元），
（元），
答：他盈利了37元．
【6-2】武汉百步亭小区交警每天都骑摩托车沿南北街来回巡逻，早晨从A地出发，晚上最后到达B地．假定向北为正方向，当天巡逻记录如下（单位：km）：14，﹣9，18，﹣7，13，﹣6，10，﹣6，问：
（1）B地在A地什么位置？
（2）若摩托车每千米耗油0.1升，则一共需耗油多少升？
解：（1）14-9+18-7+13-6+10-6=14+18+13+10-9-7-6-6=27（km），
答：B在A正北27km；
（2）|14|+|﹣9|+|18|+|﹣7|+|13|+|﹣6|+|10|+|﹣6|＝83（km），
83×0.1＝8.3 （升 ），
答：一共需耗油8.3升．
【6-3】2021年国庆档电影《长津湖》以抗美援朝为背景，讲述了中国人民志愿军在极端严酷惨烈的环境下，凭借钢铁意志最终取得了长津湖战役的胜利，该电影也再次扻起了全民爱国热潮，国安民才安，有国才有家！据猫眼数据，截止10月8日，《长津湖》累计票房超过60亿，成为2021年全球票房冠军！该电影9月30日在莱芜的票房为6.7万元，接下来国庆假期7天的票房变化情况如下表（正数表示比前一天增加的票房，负数表示比前一天减少的票房）．
日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
票房（万元） +7.6 +2.7 +2.5 +4.7 +2 -0.6 -13.8
(1)国庆假期7天中，10月4日的票房收入是______万元；
(2)国庆假期7天中，票房收入最多的一天是10月______日；
(3)国庆假期7天中，求票房收入最多的一天比最少的一天多多少万元？
（1）解： 10月4日的票房收入是：6.7＋7.6＋2.7＋2.5＋4.7＝24.2（万元），
故答案为：24.2；
（2）解：10月1日票房收入为：6.7＋7.6＝14.3（万元），
10月2日票房收入为：14.3＋2.7＝17（万元），
10月3日票房收入为：17＋2.5＝19.5（万元），
10月4日票房收入为：19.5＋4.7＝24.2（万元），
10月5日票房收入为：24.2＋2＝26.2（万元），
10月6日票房收入为：26.2 0.6＝25.6（万元），
10月7日票房收入为：25.6 13.8＝11.8（万元），
故国庆假期7天中，票房收入最多的一天是10月5日．
故答案为：5；
（3）解：26.2 11.8＝14.4（万元），
故票房收入最多的一天比最少的一天多14.4万元．
例18.用科学记数法表示下列各数：
1000000，57000000，-123000000000
解：1000000=106，57000000=5.7×107，-123000000000=-1.23×1011
科学记数法及其应用
7
例19.下列用科学记数法写出的数，原数分别是什么数？
1×107，4×103， 8.5×106， 7.04×105， -3.96×104.
解：1×107=10000000， 4×103=4000， 8.5×106=8500000，
7.04×105=704000，-3.96×104=-39600.
【7-1】据统计，中国每年生产75亿支铅笔,需要大量木材.75亿用科学记数法表示为____________.
【7-2】天文学里常用“光年”作为距离单位.规定1“光年”为光一-年(365天)内传播的距离，光的传播速度为3×108米/秒，则用科学记数法表示1光年=_____________千米.
7.5×109
9.4608×1012
【7-3】生物学指出:生态系统中，每输入一个营养级的能量,大约只有10%的能量能够流动到下一个营养级，在H1→H2→H3→H4→H5→H6， 这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n=1,2,…,6)，要使H6获得30千焦的能量，则需要H1的提供的能量为多少千焦 (用科学记数法表示)
解:根据题意,得30×10×10×10×10×10
=3000000=3×106(千焦)
答:需要H1的提供的能量为3×106千焦.
近似数及其应用
8
（1）0.0158（精确到0.001）；
（2）304.35（精确到个位）；
（3）1.804（精确到0.1）；
（4）1.804（精确到0.01）．
例20.按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
解：（1）0.0158 ≈0.016；（2）304.35≈304；
（3）1.804 ≈1.8； （4）1.804≈1.80．
对8四舍五入
对3四舍五入
对0四舍五入
对4四舍五入
近似数及其应用
8
例21.下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？
（1）3200；（2）230万；（3）0.080；（4）6.2×103；（5）4.00万．
解:（1）近似数3200精确到个位；
（2）近似数230万精确到万位；
（3）近似数0.080精确到千分位；
（4）近似数6.2×103精确到百位；
（5）近似数4.00万精确到百位．
先把数还原，再看2所在的数位.
近似数及其应用
8
例22.数四舍五入后的近似值为1.30，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据四舍五入法的原则，保留两位小数的情况下，大于或等于1.295且小于1.305的数四舍五入后的近似值是1.30，
B
【8-1】下列各数是通过四舍五入得到的近似数:
(1) 0.600它精确到_______位； (2) 4.10×106精确到________位:
(3) 13.6万精确到________位.
【8-2】用四舍五入法，按要求取近似值:
(1) 0.05098 (精确到0.01)≈______;(2) 549.49 (精确到个位)≈______;
(3) 0.9999 (精确到0.1)≈_______.
千分
万
千
0.05
549
1.0
【8-3】近似数3.2的准确值a的取值范围是( )
A.3.1C
与有理数运算有关的规律问题
9
例23.(1)计算:①2-1=___;②22-2-1=___; ③23-22-2-1=___; ④24-23-22-2-1 =___; ⑤25-24-23-22-2-1=___.
(2)根据上面的计算结果猜想:
22020-22019-22018-…-22-2-1的值为____;
2n-2n-l-2n-2-.….-22-2-1的值为____.
(3)根据上面猜想的结论，求213-212-211-210-29-28-27-26的值.
1
1
1
1
1
1
1
解:由猜想的结论得:213-212-211-210-29-28-27-26-25-24-23-22-2-1=1
所以，213-212-211-210-29-28-27-26
=1+1+2+22+23+24+25
=1+2+4+8+16+32
=64
(3)根据上面猜想的结论，求213-212-211-210-29-28-27-26的值.
与有理数运算有关的规律问题
9
例24.如图，在数轴上，点表示1，现将点沿数轴做如下移动：第一次将点向左移动3个单位长度到达点，第2次将点向右平移6个单位长度到达点，第3次将点向左移动9个单位长度到达点…，则第2020次移动到点时，在数轴上对应的实数是_________．
与有理数运算有关的规律问题
9
3031
【9-1】求所有分母不超过100的正的真分数的和，即：＝_______．
2475
【9-2】观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）=________.
【9-3】观察下列等式：
……
请按上述规律，写出第个式子的计算结果（为正整数）______．（写出最简计算结果即可）