13.4课题学习-最短路径问题-课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
第13.4课题学习
—最短路径问题
人教版数学八年级上册
学习目标
1.利用轴对称解决简单的最短路径问题.
2.能够利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
情境引入
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
两点之间,线段最短.
①
②
③
选择路线②
互动新授
问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
B
A
l
C
考点一 将军饮马问题
如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点C，使得CA+CB最小。
互动新授


A
B
l
解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.
依据：两点之间，线段最短.
.C
那A、B两点在直线l的同一侧呢？如何确定点C呢？


A
B
l
互动新授
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？
分析：如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B′，同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？
如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质可知：对于直线l上的任意一点C均满足BC=B′C.此时，问题转化为：当点C在直线l的什么位置时，AB+B′C的值最小？

B′
容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.


A
B
l
C

互动新授
你能证明这个结论吗？
证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
在△AB′C′中，AB′所以AC+BC由点C′的任意性可知，AC+BC的值是
最小的，故点C的位置符合要求.
l


A
B

B′
C
C′
互动新授
如图，在平面直角坐标系中，点 A(－2，4)，B(4，2)，在 x 轴上取一点 P，使点 P 到点 A 和点 B 的距离之和最小，则点 P 的坐标是(　　)
A. (－2，0)　　 B. (4，0)　　
C. (2，0)　　 D. (0，0)
C
小试牛刀
互动新授
问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可以使得从A到B的路径AMNB最短？（假定河是平行的直线，桥要与河垂直）
A
B
a
b


M
N
考点二 造桥选址问题
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？
互动新授
A
B
a
b


M
N
互动新授
A
B
M
N
a
b
（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小．问题可转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？
互动新授
（2）如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？
A
B
M
N
a
b
A′
互动新授
（3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求．
A
B
M
N
a
b
A′
你能证明此时AM＋MN＋NB最小吗？
互动新授
在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．
A
B
M
N
a
b
A′
M′
N′
互动新授
证明：在△A′N′B中，
∵A′B＜A′N′＋BN′，
∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．
∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．
即AM＋MN＋BN最小．
N′
A
B
M
N
a
b
A′
M′
互动新授
考点三 两点一线型问题

P
l2
l1
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.
互动新授
作法：过点P分别作关于直线l1，l2的对称点P1，P2，连接P1P2分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.

P
l2
l1
P1
P2
N
M
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.
解析：通过轴对称的原理，把周长最小值转化为两点间距离最短的问题.△PMN周长的最小值为PM+MN+PN=P1P2.
互动新授
考点四 两点两线型问题
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.

P
l2
l1
Q

互动新授
作法：分别作点P，Q关于直线l1，l2的对称点P1，Q1，连接P1Q1分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.

P
l2
l1
Q

P1
Q1
N
M
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.
解析：通过轴对称把周长最小问题转化为两点间距离最短问题，四边形PMNQ的周长的最小值为PM+MN+NQ+QP=P1Q1+PQ，依据的是两点之间，线段最短.
如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请找点E的位置.
A
C
D
B
E
课堂检测
解：如图所示，作点D关于线段AB的对称点D′，连接CD′交线段AB于点E，则点E即为所求，也就是使得EC+ED最小的位置.
A
C
D
D′
B
E
如图，牧童在A处放牛，家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD中点距离为600，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是多少？
A
C
D
B
拓展训练
A
C
D
B
E
A′
.
解：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACD=∠BDC=∠A′CD=90°.
∵A′C=AC=BD，
在△A′CE和△BDE中，
∠A′CE=∠BDE，
∠A′EC=∠BED，
A′C=BD，
∴△A′CE≌△BDE（AAS），
∴CE=DE，A′E=BE.
∴点E是CD的中点.
∴AE=600，则AE+BE=A′E+BE=1200.
拓展训练
2. 解决最短路径问题的方法：
借助轴对称或平移的知识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”来求线段和的最小值.
1. 最短路径问题的类型：
(1)两点一线型的线段和最小值问题；
(2)两线一点型线段和最小值问题；
(3)两点两线型的线段和最小值问题；
(4)造桥选址问题.
课堂小结
某中学八（2）班举行文艺晚会，如图所示，OA，OB分别表示桌面，其中OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C处，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最短.

C
A
B
O
课后作业
解析：（1）如图所示，作点C关于OA的对称点C1；
（2）作点C关于OB的对称点C2；
（3）连接C1C2，分别交OA，OB于点D，E，连接CD，CE.
所以先到点D处拿橘子，再到点E处拿糖果，最后回到点C处，按照这样的路线所走的路程最短.

C
A
B
O
C1
E
C2
D
课后作业