12.2.4 直角三角形全等的判定(HL) 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
直角三角形全等的判定
---HL
1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（难点）
2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．（重点）
1.判定两个三角形全等方法__________________________.
2.如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E.
(1)若∠A=∠D，AB=DE. 则△ABC与△DEF_____(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).
(2)若∠A=∠D，BC=EF. 则△ABC与△DEF_____(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).
(3)若AB=DE，BC=EF. 则△ABC与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).
SSS、SAS、ASA、AAS
ASA
全等
全等
全等
AAS
SAS
若AB=DE，AC=DF，此时△ABC与△DEF还会全等吗？
任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB. 把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
直角三角形“HL”判定方法
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′ （HL）.
AB=A′B′
BC=B′C′
几何语言：
【注意】 (1)“HL”定理是仅适用于Rt△的特殊方法. 因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”. (2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△.
例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证BC=AD.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠C与∠D都是直角 ，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL) ，
∴ BC=AD.
如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D、E两地. DA⊥AB，EB⊥AB. D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？
解：AD=BE，理由如下：
依题意可得，AC=BC，CD=CE.
∵ DA⊥AB，EB⊥AB，
∴ ∠A=∠B=90° ，
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
∴ Rt△ACD≌Rt△BCE (HL) ，
∴ AD=BE.
例2.如图，AC⊥AD，BC⊥BD，AC=BD，求证：AD=BC.
证明:连接DC.
∵AC⊥AD，BC⊥BD，
∴∠A=∠B=90°，
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD (HL)，
∴AD=BC.
已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，求证：BC=DC．
证明：连接AC.
∵AB⊥BC,AD⊥DC,
∴∠B=∠D=90°,
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC (HL) ,
∴BC=BD.
例3.如图，已知AD是△ABC的角平分线,且BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足分别为E、F.求证BE=CF.
证明:AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
∵DE、DF分别垂直于AB、AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD(AAS)，
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF.
已知：如图，点A、E、C同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD．
求证：BE＝DE．
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠BAE＝∠DAE，
在Rt△ABE和Rt△ADE中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADE（SAS），
∴BE＝DE．
例4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若DF＝DB，试说明∠B与∠AFD的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若AB＝m，AF＝n，求BE的长（用含m，n的代数式表示）．
（1）证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴∠C＝∠AED＝90°，
在△ACD和△AED中，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE.
例4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF．
（2）若DF＝DB，试说明∠B与∠AFD的数量关系；
（2）解：∠B+∠AFD＝180°，理由如下：
由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC＝DE，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴∠CFD＝∠B，
∵∠CFD+∠AFD＝180°，
∴∠B+∠AFD＝180°.
例4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF．
（3）在（2）的条件下，若AB＝m，AF＝n，求BE的长（用含m，n的代数式表示）．
（3）解：由（2）知，Rt△CDF≌Rt△EDB，
∴CF＝BE，
由（1）知AC＝AE，
∵AB＝AE+BE，
∴AB＝AC+BE，
∵AC＝AF+CF，
∴AB＝AF+2BE，
∵AB＝m，AF＝n，
∴BE＝（m﹣n）．
1.判定两个直角三角形全等的方法有________________________________.
2.如图，已知∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△BAD还需增加一个什么条件 把增加的条件填在横线上，并在后面相应括号内填上判定它们全等的理由.
(1)________________( )(2)________________( ) (3)________________( )(4)________________( )
3.如图，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D,若BC=10cm，则BD=______cm.
SSS、SAS、ASA、AAS、HL
BC=AD
AC=BD
HL
∠CAB=∠DBA
HL
AAS
AAS
∠CBA=∠DAB
5
4.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，CE=BF.求证AE=DF.
证明:∵BF=CE，
∴BF-EF=CE-EF，
即BE=CF，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
∴AE=DF.
5.如图，已知，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB=CD，AC=CE.
求证：AC⊥CE.
证明:AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△CDE中,
∴Rt△ABC≌Rt△CDE(HL)，
∴∠A=∠ECD，
∵∠A+∠ACB=90°，
∴∠ECD+∠ACB=90°，
∴∠ACE=90°，
即AC⊥CE.
6.如图，在△ABC和△ADE中，B，E，C,F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设,余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF.
己知:____________(填序号)，求证:____________(填序号)
【分析】总共可组成的命题(不论真假)有:
①②③ ④；①②④ ③；
①③④ ②；②③④ ①.
共4个命题,其中真命题有2个:
①②④ ③和①③④ ②
6.如图，在△ABC和△ADE中，B，E，C,F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设,余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF.
己知:____________(填序号)，求证:____________(填序号)
证明:∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中,
∴ △ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠ABC=∠DEF.
①②④
③
6.如图，在△ABC和△ADE中，B，E，C,F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设,余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF.
己知:____________(填序号)，求证:____________(填序号)
证明:∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴AC=DF.
①③④
②
文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
直角三角形“HL”判定方法
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′ （HL）.
AB=A′B′
BC=B′C′
几何语言：