22.2 二次函数与一元二次方程 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
22.2 二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程
学习目标
1. 通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系；(难点）
2. 能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集；（重点）
3. 了解用图象法求一元二次方程的近似根.
22.2 二次函数与一元二次方程
新课导入
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：
h=20t-5t2，
考虑以下问题：
22.2 二次函数与一元二次方程
新课导入
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
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讲授新课
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
15
1
3
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
解：解方程 15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.
h=20t-5t2
二次函数与一元二次方程的关系
你能结合上图，指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？
例1
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讲授新课
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？
O
h
t
20
4
解方程：
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
当球飞行2秒时，它的高度为20米.
h=20t-5t2
22.2 二次函数与一元二次方程
讲授新课
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度
20.5
解方程：
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1<0,
所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5米.
h=20t-5t2
22.2 二次函数与一元二次方程
讲授新课
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
O
h
t
0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.
即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
h=20t-5t2
22.2 二次函数与一元二次方程
从以上问题的解法中，可以发现：
(1)求y=ax2+bx+c的值为k时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程 解决；
(2)求y=ax2+bx+c的值为0时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程 解决.
ax2+bx+c=k
ax2+bx+c=0
讲授新课
22.2 二次函数与一元二次方程
讲授新课
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
如：y=3时，则3=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.
为一个常数
（定值）
22.2 二次函数与一元二次方程
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为5，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=5（即x2－4x+5=0）．
反过来，解方程x2－4x+5=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+5 的值为0，求自变量x的值．
22.2 二次函数与一元二次方程
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
利用二次函数深入讨论一元二次方程
思考
22.2 二次函数与一元二次方程
二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？
无公共点
先画出函数图象：
公共点的函数值为 。
0
对应一元二次方程的根是多少？
x1 =-2，
x2 =1.
x1 =x2 =3.
方程无解
有两个不等的实根
有两个相等的实根
没有实数根
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由上述问题，你可以得到什么结论呢？
方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标。当抛物线与x轴没有公共点时，对应的方程无实数根.
反过来，由一元
二次方程的根的情
况，也可以确定相
应的二次函数的图
象与 x 轴的位置关
系。
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二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
知识要点
22.2 二次函数与一元二次方程
已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴总有交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
(1)证明：∵m≠0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴此抛物线与x轴总有交点；
例2
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(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，
所以 x－1＝0或mx－2＝0，
解得 x1＝1，x2＝ .
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有
交点，且它们的横坐标都是整数．
所以正整数m的值为1或2.
已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴总有交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值
．
例2
22.2 二次函数与一元二次方程
求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）.
分析：一元二次方程 x -2x-1=0 的根就是抛物线 y=x -2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
利用二次函数求一元二次方程的近似解
例3
22.2 二次函数与一元二次方程
解：画出函数 y=x -2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
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先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
x … -0.4 -0.5 …
y … -0.04 0.25 …
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.
同理可得另一近似值为x2≈2.4.
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一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.
（1）用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象；
（2）观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);
（3）确定方程2x2+x-15=0的解;
由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3，x2≈2.5.
方法归纳
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已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1
解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则 ＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.
B
例4
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解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
方法总结
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二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式 的符号
一元二次方程根的情况
Δ
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