北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程根与系数的关系 同步练习题(含答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程根与系数的关系》
同步练习题（附答案）
一．选择题（共10小题）
1．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足+＝﹣1，则m的值是（　　）
A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1
2．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则+的值是（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
3．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m的值为（　　）
A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．1
4．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（　　）
A． B． C． D．0
5．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或4
6．已知x1、x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（　　）
A． B． C． D．
7．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（　　）
A．4，﹣2 B．﹣4，﹣2 C．4，2 D．﹣4，2
8．设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
9．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（　　）
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
10．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（　　）
A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1 x2＝2
二．填空题
11．已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是　 　．
12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，且x12﹣x22＝10，则a＝　 　．
13．若实数a，b满足a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0，则＝　 　．
14．方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x12+x22＝　 　．
15．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+4α+β＝　 　．
16．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　 　．
17．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则+的值为　 　．
18．一元二次方程x2+mx+2m＝0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2＝1，则x1x2＝　 　．
19．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是　 　．
20．若方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根分别为x1和x2，则＝　 　．
21．方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且，则m＝　 　．
三．解答题
22．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若+＝﹣1，求k的值．
23．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．
24．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根．
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．
25．关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|﹣|x2|＝？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由．
26．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根；
（2）求证：无论k取何值，方程总有一定根；
（3）若等腰△ABC的边长a＝3，另两边长b、c恰好是这个方程的根，则△ABC的周长为 　 　．
参考答案
一．选择题
1．解：根据条件知：
α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，
∴＝﹣1，
即m2﹣2m﹣3＝0，
所以，得，
解得m＝3．
故选：A．
2．解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，
∴α+β＝﹣，αβ＝﹣3，
∴+＝＝＝＝﹣．
故选：C．
3．解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝2m，x1 x2＝m2﹣m﹣1．
∵x1+x2＝1﹣x1x2，
∴2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝1．
∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）＝4m+4≥0，
解得：m≥﹣1．
∴m＝1．
故选：D．
4．解：∵x1+x2＝4，
∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，
∴x2＝，
把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，
解得：m＝，
故选：A．
5．解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根，
∴Δ＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝﹣2（m﹣1），α β＝m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．
故选：A．
6．解：∵x1、x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两根，
∴x1+x2＝﹣＝﹣，x1 x2＝＝﹣2，
∴x1﹣x1x2+x2＝﹣﹣（﹣2）＝．
故选：D．
7．解：由根与系数的关系式得：2x2＝﹣8，2+x2＝﹣m＝﹣2，
解得：x2＝﹣4，m＝2，
则另一实数根及m的值分别为﹣4，2，
故选：D．
8．解：∵α，β是方程x2+x﹣2＝0的两个根，
∴α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，
∴原式＝﹣1﹣（﹣2）＝1．
故选：C．
9．解：a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab＝﹣3，
∴a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；
故选：A．方法2：a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴a2＝3﹣a，a+b＝﹣1，∴a2﹣b+2019＝3﹣a﹣b+2019＝3+1+2019＝2023，故选：A．
10．解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴x1≠x2，选项A不符合题意；
∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，
∴x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1 x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根；
∴α+β＝﹣2m﹣3，α β＝m2；
∴+＝＝＝﹣1；
∴m2﹣2m﹣3＝0；
解得m＝3或m＝﹣1；
∵一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根；
∴Δ＝（2m+3）2﹣4×1×m2＝12m+9＞0；
∴m＞﹣；
∴m＝﹣1不合题意舍去；
∴m＝3．
12．解：由两根关系，得根x1+x2＝5，x1 x2＝a，
由x12﹣x22＝10得（x1+x2）（x1﹣x2）＝10，
若x1+x2＝5，即x1﹣x2＝2，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1 x2＝25﹣4a＝4，
∴a＝，
故答案为：．
13．解：若a≠b，
∵实数a，b满足a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0，
∴a、b看作方程x2+x﹣1＝0的两个根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣1，
则＝＝＝＝﹣3．
若a＝b，则原式＝2．
故答案为：2或﹣3
14．解：∵方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝，x1 x2＝＝﹣，
∴x12+x22＝﹣2x1 x2＝﹣2×（﹣）＝．
故答案为：．
15．解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，
∴α+β＝﹣3，α2+3α﹣7＝0，
∴α2+3α＝7，
∴α2+4α+β＝α2+3α+α+β＝7﹣3＝4，
故答案为：4．
16．解：∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
并且m2+m﹣1001＝0，
∴m2+m＝1001，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．
故答案为：1000．
17．解：根据题意得x1+x2＝﹣6，x1x2＝3，
所以+＝＝＝＝10．
故答案为10．
18．解：根据题意得x1+x2＝﹣m＝1，x1x2＝2m，
所以m＝﹣1，
所以x1x2＝﹣2．
故答案为﹣2．
19．解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7
所以，x12+4x1x2+x22＝（x1+x2）2+2x1x2＝16﹣14＝2
故答案为2．
20．解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，
所以+＝＝＝﹣．
故答案为﹣．
21．解：∵方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）≥0，
m2+4＞0，
由题意得：x1 x2＝﹣1；x1+x2＝﹣m，
∵，
∴＝﹣3，
＝﹣3，m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
三．解答题
22．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+3）2﹣4k2＞0，
解得：k＞﹣．
（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2＝0的实数根，
∴x1+x2＝﹣2k﹣3，x1x2＝k2，
∴+＝＝＝﹣1，
解得：k1＝3，k2＝﹣1，
经检验，k1＝3，k2＝﹣1都是原分式方程的根．
又∵k＞﹣，
∴k＝3．
23．解：（1）根据题意得：
Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，
解得：m＜0．
∴m的取值范围是m＜0．
（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝12，
∴﹣2x1x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，
∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），
∴m的值是﹣2．
24．（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意，得
12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，
解得，m＝2，
则方程的另一根为：m+2﹣1＝2+1＝3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，
该直角三角形的面积为＝；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的面积为＝；
综上，该直角三角形的面积为或．
25．解：
（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）＞0，得：4k﹣11＞0，
∴；
（2）由一元二次方程的求根公式得：x1＝，x2＝，
∵，
∴，
∴x1＞0，
又∵x1 x2＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2＞0，
∴x2＞0，
当时，有，
即﹣＝＝，
∴4k﹣11＝3，
∴，
∴存在实数，使得．
26．（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣4×2k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，
∴无论k取何实数，该方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（k+2）x+2k＝0，
∴（x﹣k）（x﹣2）＝0，
∴x1＝k，x2＝2，
∴无论k取何值，方程总有一定根x＝2；
（3）解：①当b＝c时，则Δ＝0，
即（k﹣2）2＝0，
∴k＝2，
方程可化为x2﹣4x+4＝0，
∴x1＝x2＝2，
而b＝c＝2，
∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+2+2＝7；
②解：当b＝a＝3时，
∵x2﹣（k+2）x+2k＝0．
∴（x﹣2）（x﹣k）＝0，
∴x＝2或x＝k，
∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，
∴k＝b＝3，
∴c＝2，
∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+3+2＝8；
综上所述，△ABC的周长为7或8，
故答案是：7或8．