人教版数学七年级上册专项培优练习九：线段的综合问题（含答案）

人教版数学七年级上册专项培优练习九
《线段的综合问题》
1.如图，AB=30cm，点P从点A出发，沿AB以3cm/s的速度匀速向终点B运动；同时点Q从点B出发，沿BA以5cm/s的速度匀速向终点A运动，设运动时间为t.
(1)填空：PA= cm；BQ= cm(用含t的代数式表示)；
(2)当P、Q两点相遇时，求t的值；
(3)直接写出P、Q两点相距6cm时，t的值 为 .
2.如图，点B、C在线段AD上，CD=2AB＋3.
(1)若点C是线段AD的中点，求BC－AB的值；
(2)若4BC=AD，求BC－AB的值；
(3)若线段AC上有一点P(不与点B重合)，AP＋AC=DP，求BP的长.
3.已知多项式xn+1-3x+1的次数的3.
(1)填空：n= ；
(2)直接判断：单项式0.5anb与单项式-3a2bn是否为同类项 (填“是”或“否”)；
(3)如图，线段AB=12cm，点C是直线AB上一点，且BC=n·AC，若点D是AC的中点，求线段CD的长.
4.(1)如图，点C在线段AB上，AC=10cm，CB=8cm，M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长；
(2)若C为线段AB上任一点，AC＋CB=x(cm)，(1)中其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由.你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？
(3)若点C在线段AB的延长线上，AC－BC=y(cm)，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；
(4)把(1)条件中的”如图”去掉，”点C在线段AB上”改成”点C在直线AB上”，其余条件不变，你能得出线段MN的长度吗？
5.如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD=10cm，设点B运动时间为t秒(0≤t≤10).
(1)当t=2时，①AB=________cm.②求线段CD的长度；
(2)用含t的代数式表示运动过程中AB的长；
(3)在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由.
6.如图，点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，点M，N分别是AC，BC的中点.
(1)求线段MN的长；
(2)若C为线段AB上任意一点，满足AC＋CB=acm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；
(3)若C在AB的延长线上，且满足AC－CB=bcm，其他条件不变，MN的长度为_________.(直接写出答案)
7.已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是4，－5，x.
(1)求线段AB的长；
(2)若A，B，C三点中有一点是其他两点的中点，求x的值；
(3)若点C在原点，此时A，C，B三点分别以每秒1个单位，2个单位，4个单位向数轴的正方向运动，当A，B，C三点中有一点是其他两点的中点时，求运动的时间.
8.如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD=10cm，设点B运动时间为t秒(0≤t≤10).
(1)当t=2时，①AB=　 　cm.
②求线段CD的长度.
(2)用含t的代数式表示运动过程中AB的长.
(3)在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由.
9.探索性问题：已知：b是最小的正整数，且a、b满足(c﹣5)2+|a+b|=0，请回答问题：
(1)请直接写出a、b、c的值.a=　　，b=　　，c=　　；
(2)数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC.
①t秒钟过后，AC的长度为　　(用t的关系式表示)；
②请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.
10.如图，已知数轴上两点A、B所对应的数分别为－3，1，点P在数轴上从点A出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点Q在数轴上从点B出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，设点P的运动时间为t秒.
(1)直接写出线段AB的中点所对应的数，以及t秒后点P所对应的数(用含t的代数式表示)；
(2)若点P和点Q同时出发，求点P和点Q相遇时的位置所对应的数；
(3)若点P比点Q迟1秒出发，问点P出发几秒后，点P和点Q刚好相距1个单位长度，并问此时数轴上是否存在一个点C，使其到点A、点P和点Q这三点的距离和最小，若存在，直接写出点C所对应的数，若不存在，试说明理由.
11.如图，AB=12cm，点C是线段AB上的一点，BC=2AC.动点PP从点A出发，以3cm/s的速度向右运动，到达点B后立即返回，以3cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动.设它们同时出发，运动时间为ts.当点P与点Q第二次重合时，P、Q两点停止运动.
(1)AC= cm，BC= cm ；
(2)当t为何值时，AP=PQ；
(3)当t为何值时，PQ=1cm .
12.已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数﹣26，﹣10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒.
(1)用含t的代数式表示P点对应的数：　　 ；
用含t的代数式表示点P和点C的距离：PC=　　
(2)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A.
①点P、Q同时运动运动的过程中有　　处相遇，相遇时t=　　秒.
②在点Q开始运动后，请用t的代数式表示P、Q两点间的距离.
参考答案
1.解：(1)3t；5t；
(2)3t+5t=30，t=；
(3)相遇前相距6个单位：5t+3t+6=30，t=3；
相遇后相距6个单位：5t-3t+6=30，t=4.5；
2.解：(1)设AB长为x，BC长为y，
则CD=2x+3.
若C是AB的中点，则AC=CD，
即x+y=2x+3，得：y-x=3，
即BC-AB=3；
(2)设AB长为x，BC长为y，
若BC=CD，即AB+CD=3BC，
∴x+2x+3=3y，
∴y=x+1，即y-x=1，
∴BC-AB=1；
(3)以A为原点，AD方向为正方向，1为单位长度建立数轴，
则A：0，B：x，C：x+y，D：x+y+2x+3=3x+y+3.
设P：p，由已知得：0≤p≤x+y，则AP=p，AC=x+y，DP=3x+y+3-p，
∵AP+AC=DP，BP=|p-x|，
∴p+x+y=3x+y+3-p，解得：2p-2x=3，
∴p-x=，∴BP=.
3.解：(1)2；
(2)否；
(3)①显然，点C不在线段AB的延长线上；
②如图1，当点C是线段AB上的点时
∵n=2，BC=nAC
∴BC=2AC
∵AB=12，
∴AC=4
又∵D是AC的中点
∴CD=2；
②如图2，当点C是线段BA的延长线上的点时
∵n=2，BC=nAC
∴BC=2AC
∵AB=12，
∴AC=12
又∵D是AC的中点
∴CD=6；
综上所述，CD=2或6.
4.解：(1)MN=MC＋CN=AC＋CB=5＋4=9(cm).
(2)MN=x(cm).
理由：MN=MC＋CN=AC＋CB=(AC＋CB)=AB=x(cm).
结论：若C为线段AB上任一点，M，N分别是AC，BC的中点，
则线段MN的长是线段AB长的一半.
(3)MN=y(cm).
理由：如图，MN=MC－NC=AC－BC=(AC－BC)=y(cm).
(4)1cm或9cm.
5.解：(1)①4
②因为AD=10cm，AB=4cm，
所以BD=10－4=6(cm).
因为C是线段BD的中点，
所以CD=3(cm)；
(2)因为B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动，
所以当0≤t≤5时，AB=2tcm；
当5＜t≤10时，AB=10－(2t－10)=(20－2t)cm；
(3)不变.
因为AB的中点为E，C是线段BD的中点，
所以EC=(AB＋BD)=5(cm).
6.解：(1)因为点M、N分别是AC、BC的中点，
所以MC=AC=×8=4cm，CN=CB=×6=3cm，
MN=MC＋CN=4＋3=7cm.
(2)因为点M、N分别是AC、BC的中点，
所以MC=AC，CN=CB，MN=MC＋CN=AC＋CB=(AC＋CB)=cm.
(3)cm
7.解：(1)线段AB的长为9
(2)①点C为AB中点时，x=－，
②点A为BC中点时，x=13，
③点B为AC中点时，x=－14.
(3)1秒，秒，秒.
8.解：(1)①∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动，
∴当t=2时，AB=2×2=4cm.故答案为：4；
②∵AD=10cm，AB=4cm，∴BD=10﹣4=6cm，
∵C是线段BD的中点，
∴CD=BD=×6=3cm；
(2)∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动，
∴当0≤t≤5时，AB=2t；
当5＜t≤10时，AB=10﹣(2t﹣10)=20﹣2t；
(3)不变.∵AB中点为E，C是线段BD的中点，
∴EC=(AB+BD)=AD=×10=5cm.
9.解：(1)∵b是最小的正整数，∴b=1．
∵(c-5)2+|a+b|=0，
∴c-5=0，a+b=0，
∴c=5,a=-1．．
(2)①由题意，得t秒钟过后A点表示的数为：-1-t，C点表示的数为：5+3t，
∴AC=5+3t-(-1-t)=6+4t；故答案为：6+4t；
②由题意，得BC=4+2t，AB=2+2t，
∴BC-AB=4+2t-(2+2t)=2．
∴BC-AB的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2．
10.解：(1)AB中点对应的数为－1，t秒后点P所对应的数为－3＋2t.
(2)设相遇时间为t秒，则2t＋t=4，t=，则－3＋2×=－.
答：相遇时的位置所对应的数为－.
(3)①P、Q没相遇，则2t＋t=3－1，t=，此时C所对应的数为－3＋2×=－.
②P、Q相遇后再分开，则2t＋t=3＋1，t=，此时C所对应的数为0－1×=－.
答：点P出发秒后，P、Q相距1个单位长度，此时C点表示－，
或点P出发秒后，P、Q相距1个单位长度，此时点C表示－.
11.解：(1)AC=8，BC=4；
(2)点P到达点B的时间为：12÷3=4s，所以，AP=12-6(t-4)=36-6t；
点Q到达点C的时间为10÷2=5s，
点P返回时到达点C的时间为4+2÷6=s，
所以，点P、Q相遇时，点Q未到达点C，相遇时，AP=AQ，
所以，36-6t=2t，解得t=4.5s；
(3)∵点P、Q相距的路程为1cm，
∴36-6t-2t=1或2t-(36-6t)=1，解得t=4或t=4，
若刚出发，则3t-2t=1，解得t=1，
综上所述，t=1s或4或t=4s时，点P、Q相距的路程为1cm.
12.解：(1)P点对应的数为﹣26+t；PC=36﹣t；故答案为：﹣26+t；36﹣t；
(2)①有2处相遇；分两种情况：
Q返回前相遇：3(t﹣16)﹣16=t﹣16，解得：t=24，
Q返回后相遇：3(t﹣16)+t=36×2.解得：t=30.
综上所述，相遇时t=24秒或30秒.故答案为：24或30；
②当16≤t≤24时 PQ=t﹣3(t﹣16)=﹣2t+48，
当24＜t≤28时 PQ=3(t﹣16)﹣t=2t﹣48，
当28＜t≤30时 PQ=72﹣3(t﹣16)﹣t=120﹣4t，
当30＜t≤36时 PQ=t﹣[72﹣3(t﹣16)]=4t﹣120，
当36＜t≤40时 PQ=3(t﹣16)﹣36=3t﹣84.