华东师大版九年级数学上册23.3相似三角形 同步测试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 华东师大版九年级数学上册23.3相似三角形 同步测试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 349.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-19 10:13:34 | ||
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文档简介
2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《23.3相似三角形》同步测试题（附答案）
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．下列判断中，不正确的有（ ）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
2．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，则S△BEF：S△ADF＝（ ）
A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4
3．如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC．小红同学由此得出了以下四个结论：①＝；②＝；③＝；④＝，能其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M在BC边上，且满足BM＝1，过D作DN⊥AM交AM于点N，则DN的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：
7．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．无法确定
9．如图 ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF交于点G，延长BE交CD的延长线于H，下列结论错误的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
10．如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且AD＝3.5，BD＝2.5，AE＝3，CE＝4，则下列∠1，∠2，∠B，∠C的大小关系，一定正确的是（ ）
A．∠1＞∠B B．∠2＝∠C C．∠1＜∠B D．∠2＝∠B
11．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5m，OA的长为3m，C点到AB的距离为0.3m，支柱OE的高为0.6m，则栏杆D端离地面的距离为（ ）
A．1.2m B．1.8m C．2.4m D．3m
12．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；
③△PFD∽△PDB；
④DP2＝PH PC．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共8小题，满分32分）
13．如图，△ABC中，P为边AB上一点．且∠ACP＝∠B，若AP＝2，BP＝3，则AC的长为 ．
14．已知两个相似三角形对应角平分线的比为4：5，周长和为18cm，那么这两个三角形的周长分别是 ．
15．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为 ．
16．如图，△ADE和△ABC中，∠1＝∠2，请添加一个适当的条件 ，使△ADE∽△ABC（只填一个即可）．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P、Q分别为直线AB、BC上的动点，且PD⊥PQ，当△PDQ为等腰三角形时，则AP的长为 ．
18．如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，AE和BD交于点F，已知△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，则四边形CDFE的面积等于 ．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一点，CD⊥AB于D，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为 ．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A．设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．BP＝x，CQ＝y，那么y与x之间的函数式为 ．
三．解答题（共5小题，满分40分）
21．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD：DE＝3：5，AE＝16，BD＝8，
（1）求证：△ACD∽△BED；
（2）求DC的长．
22．已知：如图，∠1＝∠2＝∠3，求证：AC DE＝AE BC．
23．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm．EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
24．在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）
25．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，求点E的坐标；
（2）若AB平分∠EBP时，求t的值；
（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；
B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；
C、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；
故选：B．
2．解：∵点E是边BC的中点，
∴BE＝BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴BE＝AD，△BEF∽△DAF，
∴S△BEF：S△ADF＝（）2＝＝1：4；
故选：D．
3．解：∵MN∥BC，
∴＝，＝，故①错误，③正确；
∵DN∥MC，
∴，＝，故④正确；
∴＝，故②正确，
故选：C．
4．解：连接DM，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC＝4，△AMD底边AD上的高为AB，
AM＝＝＝，
∵△ADM的面积＝AM×DN＝AD×AB，
∴DN＝＝＝；
故选：D．
5．解：∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴＝，
∴AC2＝CD×BC，即82＝CD×16，
解得：CD＝4；
故选：A．
6．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．故选：C．
7．解：根据勾股定理，AC＝＝2，BC＝，
所以，夹直角的两边的比为＝2，
观各选项，只有C选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．故选：C．
8．解：＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠CAE＝∠BAD＝20°，故选：B．
9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CH，AB＝CD，
∴△ABE∽△DHE，△ABG∽△FHG，
∴＝，＝＝，＝，
故选项A，B，D正确，故选：C．
10．解：∵AD＝3.5，BD＝2.5，AE＝3，CE＝4，
∴AB＝6，
AC＝7，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠2＝∠B，∠1＝∠C，
故选：D．
11．解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，
则DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴＝，
∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，
∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，
∴OC＝0.5m，
∴＝，
∴DG＝1.8m，
∵OE＝0.6m，
∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6＝2.4m． 故选：C．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠CBA＝90°，
∵△BCP是等边三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE，故①正确，
∵AD∥BC，
∴∠DFP＝∠BCP＝∠BPH＝60°，
∵∠PHB＝∠PCB+∠CBH＝60°+45°＝105°，
又∵CD＝CP，∠PCD＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
∴∠DPF＝105°，
∴∠PHB＝∠DPF，
∴△DFP∽△BPH，故②正确，
∵∠DPB＝60°+75°＝135°≠∠DPF，
∴△PFD与△PDB不相似，故③错误，
∵∠PDH＝∠PDC﹣∠CDH＝75°﹣45°＝30°，
∴∠PDH＝∠PCD，
∵∠DPH＝∠CPD，
∴△PDH∽△PCD，
∴＝，
∴PD2＝PH PC，故④正确，故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分）
13．解：AB＝AP+BP＝2+3＝5，
∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AP AB＝2×5＝10，
∴AC＝，
故答案为：．
14．解：设其中一个三角形的周长为xcm，则另一个三角形的周长为（18﹣x）cm，
∵两个相似三角形对应角平分线的比为4：5，
∴两个相似三角形的相似比为4：5，
∴两个相似三角形的周长比为4：5，
∴＝，
解得，x＝8，
则18﹣x＝10，
故答案为：8cm、10cm．
15．解：如图，设AD交PN于点K．
∵PM：PQ＝3：2，
∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．
∵四边形PQNM是矩形，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∵AD⊥BC，BC∥PM，
∴AD⊥PN，
∴＝，
∴＝，
解得k＝20mm，
∴PM＝3k＝60mm，
故答案为：60mm．
16．解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴要使△ADE∽△ABC，则添加的一个条件可以是∠D＝∠B或∠E＝∠C或＝．
故答案为：∠D＝∠B或∠E＝∠C或＝．
17．解：当P点在边AB上，如图1，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝3，∠A＝∠B＝90°，
∵PD⊥PQ，
∴∠DPQ＝90°，
∵∠APD+∠ADP＝90°，∠APD+∠BPQ＝90°，
∴∠ADP＝∠BPQ，
∴Rt△ADP∽Rt△BPQ，
∴＝＝1，
∴PB＝AD＝3，
∴AP＝AB﹣PB＝4﹣3＝1．
当P点在AB的延长线上时，如图2，
同样方法得到Rt△ADP∽Rt△BPQ，
∴＝＝1，
∴PB＝AD＝3，
∴AP＝AB+PB＝4+3＝7．
综上所述，AP的长度为1或7． 故答案为1或7．
18．解：∵△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，
即S△ABF：S△BEF＝6：4＝3：2，
∴AF：FE＝3：2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，
∴△AFD∽△EFB，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△AFD＝×4＝9，
∴S△ABD＝S△CBD＝6+9＝15，
∴四边形CDFE的面积＝15﹣4＝11．
故答案为11．
19．解：由射影定理得，AC2＝AD AB＝2×（2+6），
解得，AC＝4，
故答案为：4．
20．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，∵∠APQ＝90°，
∴∠APB+∠QPC＝90°，∠QPC+∠PQC＝90°，
∴∠APB＝∠PQC，
∴△ABP∽△PCQ，
∴＝，
∴＝，
∴y＝﹣x2+x（0＜x＜6），
故答案为：y＝﹣x2+x（0＜x＜6）．
三．解答题（共5小题，满分40分）
21．解：（1）∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE，
∴△ACD∽△BED；
（2）∵△ACD∽△BED，
∴＝，
又∵AD：DE＝3：5，AE＝16，
∴AD＝6，DE＝10，
∵BD＝8，
∴＝，即＝．
∴DC＝．
22．证明：∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠ADC＝∠ABC+∠1＝∠ADE+∠2，
∴∠ADE＝∠ABC，且∠BAC＝∠DAE，
∴△ADE∽△ABC
∴
∴AC DE＝AE BC．
23．解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D
∴△DEF∽△DCB
∴，
∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝10m，
∴，
∴BC＝7.5米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9米．
24．解：（1）CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：
∵AB＝AC，∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝45°．
由正方形ADEF得AD＝AF，
∵∠DAF＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD．
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．
∴CF⊥BC．
∴CF⊥BD．
（2）AB＞AC时，CF⊥BD的结论成立．
理由是：
过点A作GA⊥AC交BC于点G，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AGD＝45°，
∴AC＝AG，
同理可证：△GAD≌△CAF
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
即CF⊥BD．
（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4．
∴DQ＝4﹣x，△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA＝45°，
∴AQ＝CQ＝4，
∴DQ＝4+x．
过A作AQ⊥BC，
∴∠Q＝∠FAD＝90°，
∵∠C′AF＝∠C′CD＝90°，∠AC′F＝∠CC′D，
∴∠ADQ＝∠AFC′，
则△AQD∽△AC′F．
∴CF⊥BD，
∴△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
25．解：（1）当t＝2时，PC＝2，
∵BC＝2，
∴PC＝BC，
∴∠PBC＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝3，
，
∴点E的坐标是（5，0）；
（2）当AB平分∠EBP时，
∠PBF＝45°，
则∠CBP＝∠CPB＝45°，
，
∴t＝2；
（3）存在，
∵∠ABE+∠ABP＝90°，
∠PBC+∠ABP＝90°，
∴∠ABE＝∠PBC，
∵∠BAE＝∠BCP＝90°，
∴△BCP∽△BAE，
∴，
∴，
∴，
当点P在点O上方时，
若＝时，△POE∽△EAB，
∵OP＝3﹣t，OE＝2+t，
∴＝，
∴t1＝，
t2＝（舍去），
∴OP＝3﹣＝，
∴P的坐标为（0，），
当点P在点O下方时，
①若＝，
则△OPE∽△ABE，
＝，
解得：t1＝3+，t2＝3﹣（舍去），
OP＝t﹣3＝3+﹣3＝，
P的坐标为（0，﹣），
②若＝，
则△OEP∽△ABE，＝，
解得：t2＝﹣9，
∴这种情况不成立，
∴P的坐标为：
（0，），（0，﹣）．
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．下列判断中，不正确的有（ ）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
2．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，则S△BEF：S△ADF＝（ ）
A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4
3．如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC．小红同学由此得出了以下四个结论：①＝；②＝；③＝；④＝，能其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M在BC边上，且满足BM＝1，过D作DN⊥AM交AM于点N，则DN的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：
7．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．无法确定
9．如图 ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF交于点G，延长BE交CD的延长线于H，下列结论错误的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
10．如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且AD＝3.5，BD＝2.5，AE＝3，CE＝4，则下列∠1，∠2，∠B，∠C的大小关系，一定正确的是（ ）
A．∠1＞∠B B．∠2＝∠C C．∠1＜∠B D．∠2＝∠B
11．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5m，OA的长为3m，C点到AB的距离为0.3m，支柱OE的高为0.6m，则栏杆D端离地面的距离为（ ）
A．1.2m B．1.8m C．2.4m D．3m
12．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；
③△PFD∽△PDB；
④DP2＝PH PC．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共8小题，满分32分）
13．如图，△ABC中，P为边AB上一点．且∠ACP＝∠B，若AP＝2，BP＝3，则AC的长为 ．
14．已知两个相似三角形对应角平分线的比为4：5，周长和为18cm，那么这两个三角形的周长分别是 ．
15．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为 ．
16．如图，△ADE和△ABC中，∠1＝∠2，请添加一个适当的条件 ，使△ADE∽△ABC（只填一个即可）．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P、Q分别为直线AB、BC上的动点，且PD⊥PQ，当△PDQ为等腰三角形时，则AP的长为 ．
18．如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，AE和BD交于点F，已知△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，则四边形CDFE的面积等于 ．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一点，CD⊥AB于D，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为 ．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A．设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．BP＝x，CQ＝y，那么y与x之间的函数式为 ．
三．解答题（共5小题，满分40分）
21．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD：DE＝3：5，AE＝16，BD＝8，
（1）求证：△ACD∽△BED；
（2）求DC的长．
22．已知：如图，∠1＝∠2＝∠3，求证：AC DE＝AE BC．
23．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm．EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
24．在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）
25．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，求点E的坐标；
（2）若AB平分∠EBP时，求t的值；
（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；
B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；
C、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；
故选：B．
2．解：∵点E是边BC的中点，
∴BE＝BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴BE＝AD，△BEF∽△DAF，
∴S△BEF：S△ADF＝（）2＝＝1：4；
故选：D．
3．解：∵MN∥BC，
∴＝，＝，故①错误，③正确；
∵DN∥MC，
∴，＝，故④正确；
∴＝，故②正确，
故选：C．
4．解：连接DM，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC＝4，△AMD底边AD上的高为AB，
AM＝＝＝，
∵△ADM的面积＝AM×DN＝AD×AB，
∴DN＝＝＝；
故选：D．
5．解：∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴＝，
∴AC2＝CD×BC，即82＝CD×16，
解得：CD＝4；
故选：A．
6．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．故选：C．
7．解：根据勾股定理，AC＝＝2，BC＝，
所以，夹直角的两边的比为＝2，
观各选项，只有C选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．故选：C．
8．解：＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠CAE＝∠BAD＝20°，故选：B．
9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CH，AB＝CD，
∴△ABE∽△DHE，△ABG∽△FHG，
∴＝，＝＝，＝，
故选项A，B，D正确，故选：C．
10．解：∵AD＝3.5，BD＝2.5，AE＝3，CE＝4，
∴AB＝6，
AC＝7，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠2＝∠B，∠1＝∠C，
故选：D．
11．解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，
则DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴＝，
∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，
∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，
∴OC＝0.5m，
∴＝，
∴DG＝1.8m，
∵OE＝0.6m，
∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6＝2.4m． 故选：C．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠CBA＝90°，
∵△BCP是等边三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE，故①正确，
∵AD∥BC，
∴∠DFP＝∠BCP＝∠BPH＝60°，
∵∠PHB＝∠PCB+∠CBH＝60°+45°＝105°，
又∵CD＝CP，∠PCD＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
∴∠DPF＝105°，
∴∠PHB＝∠DPF，
∴△DFP∽△BPH，故②正确，
∵∠DPB＝60°+75°＝135°≠∠DPF，
∴△PFD与△PDB不相似，故③错误，
∵∠PDH＝∠PDC﹣∠CDH＝75°﹣45°＝30°，
∴∠PDH＝∠PCD，
∵∠DPH＝∠CPD，
∴△PDH∽△PCD，
∴＝，
∴PD2＝PH PC，故④正确，故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分）
13．解：AB＝AP+BP＝2+3＝5，
∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AP AB＝2×5＝10，
∴AC＝，
故答案为：．
14．解：设其中一个三角形的周长为xcm，则另一个三角形的周长为（18﹣x）cm，
∵两个相似三角形对应角平分线的比为4：5，
∴两个相似三角形的相似比为4：5，
∴两个相似三角形的周长比为4：5，
∴＝，
解得，x＝8，
则18﹣x＝10，
故答案为：8cm、10cm．
15．解：如图，设AD交PN于点K．
∵PM：PQ＝3：2，
∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．
∵四边形PQNM是矩形，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∵AD⊥BC，BC∥PM，
∴AD⊥PN，
∴＝，
∴＝，
解得k＝20mm，
∴PM＝3k＝60mm，
故答案为：60mm．
16．解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴要使△ADE∽△ABC，则添加的一个条件可以是∠D＝∠B或∠E＝∠C或＝．
故答案为：∠D＝∠B或∠E＝∠C或＝．
17．解：当P点在边AB上，如图1，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝3，∠A＝∠B＝90°，
∵PD⊥PQ，
∴∠DPQ＝90°，
∵∠APD+∠ADP＝90°，∠APD+∠BPQ＝90°，
∴∠ADP＝∠BPQ，
∴Rt△ADP∽Rt△BPQ，
∴＝＝1，
∴PB＝AD＝3，
∴AP＝AB﹣PB＝4﹣3＝1．
当P点在AB的延长线上时，如图2，
同样方法得到Rt△ADP∽Rt△BPQ，
∴＝＝1，
∴PB＝AD＝3，
∴AP＝AB+PB＝4+3＝7．
综上所述，AP的长度为1或7． 故答案为1或7．
18．解：∵△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，
即S△ABF：S△BEF＝6：4＝3：2，
∴AF：FE＝3：2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，
∴△AFD∽△EFB，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△AFD＝×4＝9，
∴S△ABD＝S△CBD＝6+9＝15，
∴四边形CDFE的面积＝15﹣4＝11．
故答案为11．
19．解：由射影定理得，AC2＝AD AB＝2×（2+6），
解得，AC＝4，
故答案为：4．
20．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，∵∠APQ＝90°，
∴∠APB+∠QPC＝90°，∠QPC+∠PQC＝90°，
∴∠APB＝∠PQC，
∴△ABP∽△PCQ，
∴＝，
∴＝，
∴y＝﹣x2+x（0＜x＜6），
故答案为：y＝﹣x2+x（0＜x＜6）．
三．解答题（共5小题，满分40分）
21．解：（1）∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE，
∴△ACD∽△BED；
（2）∵△ACD∽△BED，
∴＝，
又∵AD：DE＝3：5，AE＝16，
∴AD＝6，DE＝10，
∵BD＝8，
∴＝，即＝．
∴DC＝．
22．证明：∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠ADC＝∠ABC+∠1＝∠ADE+∠2，
∴∠ADE＝∠ABC，且∠BAC＝∠DAE，
∴△ADE∽△ABC
∴
∴AC DE＝AE BC．
23．解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D
∴△DEF∽△DCB
∴，
∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝10m，
∴，
∴BC＝7.5米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9米．
24．解：（1）CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：
∵AB＝AC，∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝45°．
由正方形ADEF得AD＝AF，
∵∠DAF＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD．
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．
∴CF⊥BC．
∴CF⊥BD．
（2）AB＞AC时，CF⊥BD的结论成立．
理由是：
过点A作GA⊥AC交BC于点G，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AGD＝45°，
∴AC＝AG，
同理可证：△GAD≌△CAF
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
即CF⊥BD．
（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4．
∴DQ＝4﹣x，△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA＝45°，
∴AQ＝CQ＝4，
∴DQ＝4+x．
过A作AQ⊥BC，
∴∠Q＝∠FAD＝90°，
∵∠C′AF＝∠C′CD＝90°，∠AC′F＝∠CC′D，
∴∠ADQ＝∠AFC′，
则△AQD∽△AC′F．
∴CF⊥BD，
∴△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
25．解：（1）当t＝2时，PC＝2，
∵BC＝2，
∴PC＝BC，
∴∠PBC＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝3，
，
∴点E的坐标是（5，0）；
（2）当AB平分∠EBP时，
∠PBF＝45°，
则∠CBP＝∠CPB＝45°，
，
∴t＝2；
（3）存在，
∵∠ABE+∠ABP＝90°，
∠PBC+∠ABP＝90°，
∴∠ABE＝∠PBC，
∵∠BAE＝∠BCP＝90°，
∴△BCP∽△BAE，
∴，
∴，
∴，
当点P在点O上方时，
若＝时，△POE∽△EAB，
∵OP＝3﹣t，OE＝2+t，
∴＝，
∴t1＝，
t2＝（舍去），
∴OP＝3﹣＝，
∴P的坐标为（0，），
当点P在点O下方时，
①若＝，
则△OPE∽△ABE，
＝，
解得：t1＝3+，t2＝3﹣（舍去），
OP＝t﹣3＝3+﹣3＝，
P的坐标为（0，﹣），
②若＝，
则△OEP∽△ABE，＝，
解得：t2＝﹣9，
∴这种情况不成立，
∴P的坐标为：
（0，），（0，﹣）．