哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学 原卷版
一、单选（每题6分）
1. 已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与不能构成空间基底的向量是( )
A. B. C. D. 或
2. 若，且为共线向量，则m+n的值为（ ）
A. 7 B.
C 6 D. 8
3. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 平行
C. 垂直 D. MN在平面BB1C1C内
4. 在空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，-1，﹣4），点E，F分别为线段BC，AD中点，则的坐标为（ ）
A. （2，3，3） B. （﹣2，﹣3，﹣3）
C （5，﹣2，1） D. （﹣5，2，﹣1）
5. 已知，则平面的一个单位法向量是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点坐标为（ ）
A. (1，1，1) B. C. D.
二、多选（每题6分）
7. 已知在正方体中，AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是（ ）.
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
8. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A. 若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可以作为空间的一个基底
B. 已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C. 己知A，B，M，N是空间中的四点，若不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面
D. 己知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
9. 如图，以等腰直角三角形斜边上高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 平面的法向量和平面的法向量互相垂直
10. 已知空间三点，设.则下列结论正确的是（ ）
A. 若，且，则
B. 和的夹角的余弦值
C. 若与互相垂直，则k的值为2；
D. 若与z轴垂直，则，应满足
三、填空（每题6分）
11. 已知，，．若、、三向量共面，则实数______．
12. 二面角为，A，B是棱l上的两点，，分别在半平面内，，，且，，则的长_______________.
四、解答题（每题14分）
13. 在正方体中，E，F分别是，CD的中点．求证：平面平面．
14. 如图所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，，E为上一点，.
（1）求证：平面；
（2）在侧棱上是否存在一点F，使得平面？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由.
五、选做题（10分）
15. 已知正方形的边长为4，平面，，E，F分别是，的中点，求点B到平面的距离.哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学 解析版
一、单选（每题6分）
1. 已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与不能构成空间基底的向量是( )
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出．
详解】，
与、不能构成空间基底；
故选：C．
2. 若，且为共线向量，则m+n的值为（ ）
A. 7 B.
C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线的条件建立方程，解之可求得答案.
【详解】解析：由为共线向量，知n≠0且，
解得m=4，n=2，则m+n=6，
故选：C.
3. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 平行
C. 垂直 D. MN在平面BB1C1C内
【答案】B
【解析】
【分析】以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面BB1C1C的一个法向量，利用向量数量积的坐标运算可得线面平行．
【详解】以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于A1M＝AN＝，则
又C1D1⊥平面BB1C1C，所以＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量．
因为，所以，又平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.
故选：B
4. 在空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，-1，﹣4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（ ）
A. （2，3，3） B. （﹣2，﹣3，﹣3）
C. （5，﹣2，1） D. （﹣5，2，﹣1）
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量加法减法运算及三角形中线的性质求解.
【详解】如图，取中点，连接, 如图，
则, ,
而,
故选：B
5. 已知，则平面的一个单位法向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出平面的法向量，再逐项判断作答.
【详解】依题意，，设平面的一个法向量为，
则，令，得，
于是得与同向的单位向量为，
与反向的单位向量为，D满足，
显然选项A，B，C中的向量与不共线，即A，B，C不满足.
故选：D
6. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为（ ）
A. (1，1，1) B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】试题分析：设交于点，连结，因为正方形与矩形所在的平面互相垂直，，点在上，且平面，所以，又，所以是平行四边形，所以是的中点，因为，所以，故选C．
考点：空间直角坐标系中点的坐标．
二、多选（每题6分）
7. 已知在正方体中，AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是（ ）.
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算，由相反向量的定义判断.
【详解】如图所示：
M，N分别为中点，分别为上下底面的中心，
A. ,，互为相反向量，故正确；
B. ,，互为相等向量，故错误；
C. ，，互为相反向量，故正确；
D. ,，，互为相反向量，
故正确；故选：ACD
8. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A. 若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可以作为空间的一个基底
B. 已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C. 己知A，B，M，N是空间中的四点，若不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面
D. 己知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
【答案】ABCD
【解析】
【分析】直接利用向量的基底的定义，向量的共线，共面向量的充要条件判定、、、的结果．
【详解】对于选项：，，可以作为空间的一个基底，，，不共面，与共线，，，，不共面，故正确．
对于选项：向量，，与任何向量都共面，，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故正确．
对于选项：，，不能构成空间的一个基底，，，共面，，，，共面，故正确．
对于选项：，，是空间的一个基底，，，不共面，，，，不共面，，，也是空间的一个基底，故正确．
故选：．
9. 如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 平面的法向量和平面的法向量互相垂直
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，判断直线AB 与AC是否垂直即可；
对于B，证明直线CD垂直平面ABD，从而有；
对于C，证明直线BD垂直平面ACD，从而有；
对于D，判断平面ADC与平面ABC是否垂直即可.
【详解】对于A，设AB = AC= t，平面ABD平面ADC，而BDAD， ADCD，则有为二面角的平面角，即∠BDC = 90°，则BC =BD= t，故，，故A错误；
对于B，平面ABD平面ADC，其交线为AD，又由CDAD，且CD含于面ADD,则CD面ABD，则有ABDC，故B正确；
对于C，同理可证BDAC，故C正确；
对于D，平面ADC与平面ABC不垂直，则平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不能互相垂直，故D错误；
故选：BC.
10. 已知空间三点，设.则下列结论正确的是（ ）
A. 若，且，则
B. 和的夹角的余弦值
C. 若与互相垂直，则k的值为2；
D. 若与z轴垂直，则，应满足
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出的坐标，借助共线向量的意义判断A；求出向量和的坐标，再分别计算判断B，C，D作答.
【详解】依题意，，，
对于A，因，而，且，则或，A不正确；
对于B，，B正确；
对于C，因与互相垂直，则，
解得或，C不正确；
对于D，，z轴的一个方向向量，
依题意，，即，D正确.
故选：BD
三、填空（每题6分）
11. 已知，，．若、、三向量共面，则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，存在实数x，y，使，列出方程组，即可求得答案.
【详解】因为不平行，且、、三向量共面，
所以存在实数x，y，使，
所以，解得，
故答案为：
12. 二面角为，A，B是棱l上两点，，分别在半平面内，，，且，，则的长_______________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的性质及运算律计算作答.
【详解】依题意，，且有，而，
所以.
故答案为：4
四、解答题（每题14分）
13. 在正方体中，E，F分别是，CD中点．求证：平面平面．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】通过作在平面的投影，结合三垂线定理和面面垂直的判定定理加以证明
【详解】如图所示：
取AB的中点．连接，HF．
，，，，，
四边形为平行四边形，．
在平面中，，，
，，．
平面，，故平面，平面平面ADE
【点睛】证明是难点，需要用到几何知识，要求考生对于初中的几何知识掌握扎实，熟练最基本的几何图形边角知识证明方法，三垂线定理常用于解决异面直线垂直的问题，应用较为广泛
14. 如图所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，，E为上一点，.
（1）求证：平面；
（2）在侧棱上是否存在一点F，使得平面？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理得到，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，再假设存在，求得，由求得，即是的中点，可使得平面.
【小问1详解】
，
，
，
又面，
平面.
【小问2详解】
点为原点，以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
故, ，
设平面的法向量，则
，即，令，则，
故则，
假设侧棱上存在一点, 且，使得平面, 即，
又因为，
故，即，
所以存在中点, 使得平面．
五、选做题（10分）
15. 已知正方形的边长为4，平面，，E，F分别是，的中点，求点B到平面的距离.
【答案】.
【解析】
【分析】根据给定条件，在三棱锥中利用等体积法求解作答.
【详解】在正方形中，，E，F分别是，的中点，如图，
则有，而平面，
平面，则，又，即有，
等腰底边上的高，的面积，
又的面积，令点B到平面的距离为，由得：
，即，解得，
所以点B到平面的距离是.
