四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高二上学期9月入学联考
理科数学 原卷版
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2
A. B. C. D.
3. 方程的根位于区间（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，网格上绘制的是某几何体的三视图，其中网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. 9 D. 27
5. 已知，是空间中不重合的两平面，，，是空间中不同的三条直线，A，B是空间中不同的两点，则下列结论正确的是（ ）
A. ， B. ，，，
C. ， D. ，，
6. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若单位向量，满足，则，夹角为（ ）
A B. C. D. 0
8. 若奇函数在区间上是增函数，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知函数，若，，则函数的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知正方体的边长为2，点，分别是为棱，的中点，点为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，则点的轨迹长为（ ）
A. B. 2 C. D. 1
12. 为了优化某绿地（记为）的行走路径，现需要在，上分别选取两点，修建一条直路，使得平分的周长，已知，．则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，若，则_________．
14. 已知等差数列前项和为，若，则_________．
15. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为_________．
16. 为了测量某座山的高度，某兴趣小组在该座山山顶处俯瞰山脚所在水平地面上不共线的三点，测得它们的俯角均为，查阅当地地图可知该三点间距离分别为，，，则山高为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在直角梯形中，，，且．
（1）用，表示，；
（2）求的值．
18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，且．
（1）求；
（2）求．
19. 已知递增的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值．
20. 已知向量，，若函数，且函数的周期为．
（1）求函数的解析式；
（2）已知的内角，，所对的边分别为，，，满足，且，试判断的形状．
21. 如图，在正四棱柱中，，点为棱上的点，且满足．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求出值，若不存在，请说明理由．
22. 已知项数大于3的数列的各项和为，且任意连续三项均能构成不同的等腰三角形的三边长．
（1）若，求和；
（2）若，且，求的最小值．四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高二上学期9月入学联考
理科数学 解析版
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的定义运算即得.
【详解】因为，，
所以.
故选：B．
2.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据特殊角的三角函数值，得出答案.
【详解】根据特殊角的三角函数值，可知.故选D.
【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.从到内特殊角的三角函数值需要熟练记忆.
3. 方程的根位于区间（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令函数，利用零点存在定理确定正确选项．
【详解】令函数，易得函数单调递减，原方程的根即的零点，，
，，，∵，可得根位于区间(12).
故选：C．
4. 如图，网格上绘制的是某几何体的三视图，其中网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. 9 D. 27
【答案】C
【解析】
【分析】由三视图确定该几何体是棱锥，且得出棱锥的性质，然后由体积公式计算．
【详解】解：由三视图可知几何体直观图（如图）是底面为正方形的四棱锥，且平面，
，
∴该几何体的体积为，
故选：C．
5. 已知，是空间中不重合的两平面，，，是空间中不同的三条直线，A，B是空间中不同的两点，则下列结论正确的是（ ）
A. ， B. ，，，
C. ， D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面平行的判定定理判断A，面面平行的判定定理判断B，线面位置关系判断C，平面公理判断D．
【详解】由直线与平面平行的判定定理知A错误（需要加条件）；由平面与平面平行的判定定理知B错误（需加条件两直线相交）；直线与平面平行不具备传递性，C错误（可以平行、可能异面也可能相交）；由平面公理知D正确，
故选：D．
6. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由同角三角函数的基本关系可得，而由配凑法及两角和与差的余弦公式可得 ，代值化简即可.
【详解】，.
又 ，，
，
故选：B．
7. 若单位向量，满足，则，的夹角为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算律可得，进而即得.
【详解】原式两边平方得，
解得，即。
故选：B．
8. 若奇函数在区间上是增函数，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知奇函数和单调性得出函数在R上单调性，由对数函数、指数函数确定，，的大小后可得结论．
【详解】由对数与指数运算的性质可知，，
又∵，∴，
又由函数的奇偶性和单调性可知在上是增函数，
∴，
故选：A．
9. 已知函数，若，，则函数的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由得周期，从而求得，再由求得得函数解析式，然后结合正弦函数的单调区间求解．
【详解】∵，∴函数的最小正周期为，即在，解得，又，即，又，故解得，∴，
令，解得，
故选：A．
10. 已知数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数列的前项和与第项的关系进行求解即可.
【详解】当时，，当时，，
∴当时，，当时，，∴A，B均错误；又当时，，当时，，∴D正确，
故选：D．
11. 已知正方体的边长为2，点，分别是为棱，的中点，点为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，则点的轨迹长为（ ）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得平面，平面，进而可得平面平面，结合条件可得点的轨迹为，即得.
【详解】如图，分别作，的中点，，连接，，，，，
由题可知，
∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，
∴平面；
又，又平面，平面，
∴平面，又，，平面，
∴平面平面，
由题意知平面，又点为四边形内（包括边界）的一动点，
∴线段，点的轨迹为，
∴.
故选：A．
12. 为了优化某绿地（记为）的行走路径，现需要在，上分别选取两点，修建一条直路，使得平分的周长，已知，．则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形面积公式，结合二次函数的性质进行求解即可.
【详解】解：设，，则，∴，
，
则，
令，，对称轴为，开口向下，
所以有，
∴当，且时，有最小值，
故选：D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解.
【详解】因为向量，，
若，则有，解得，
故答案为：．
14. 已知等差数列的前项和为，若，则_________．
【答案】15
【解析】
【分析】由等差数列的前项和公式、等差数列的性质求解．
【详解】由题知，
故答案为：15．
15. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合指数函数和二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为函数是实数集上减函数，
所以由复合函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，
函数的对称轴为，且开口向下，所以有，
解得的取值范围为，
故答案为：．
16. 为了测量某座山的高度，某兴趣小组在该座山山顶处俯瞰山脚所在水平地面上不共线的三点，测得它们的俯角均为，查阅当地地图可知该三点间距离分别为，，，则山高为______．
【答案】##
【解析】
【分析】设山顶在水平地面上的投影为点，山高为，由题可得点是的外接圆的圆心，然后利用余弦定理及正弦定理可得的外接圆的半径，进而即得.
【详解】设山顶在水平地面上的投影为点，山高为，
不妨设三点分别为，，，且，，，
由题知，
∴点是的外接圆的圆心，
在中，由余弦定理得，
则，
∴的外接圆的半径，
由题知，
∴.
故答案为：．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在直角梯形中，，，且．
（1）用，表示，；
（2）求的值．
【答案】（1），
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解；
（2）由数量积的运算律计算．
【小问1详解】
，；
【小问2详解】
．
18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，且．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理即得；
（2）利用同角关系式及余弦定理即得.
【小问1详解】
由正弦定理得：，
∴，即，
解得；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
由余弦定理得：，
∴，
即，
解得：或．
19. 已知递增的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）运用裂项相消法进行求解即可.
【小问1详解】
设数列的公差为，因为是递增的等差数列，所以，
因为，，成等比数列，
所以有，即，解得或（舍去），
因为，所以；
【小问2详解】
因为是等差数列，所以，
所以，
即．
20. 已知向量，，若函数，且函数的周期为．
（1）求函数的解析式；
（2）已知的内角，，所对的边分别为，，，满足，且，试判断的形状．
【答案】（1）；
（2）等边三角形．
【解析】
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式、正弦二倍角公式、降幂公式，结合正弦型函数的周期公式进行求解即可；
（2）根据正弦定理、正弦二倍角公式，结合特殊角的正弦值进行求解即可.
【小问1详解】
，
∵，，∴，∴；
【小问2详解】
由正弦定理得，因为，所以，
所以有，
即，
又因为，所以，即，得，
即，即．
由，，
因为，所以，因此，
解得，∴是等边三角形．
21. 如图，在正四棱柱中，，点为棱上的点，且满足．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）根据异面直线所成角的定义，结合余弦定理进行求解即可；
（2）根据正四棱柱的性质，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行求解即可.
【小问1详解】
∵是正四棱柱，
∴，四边形是矩形，∴，
∴求异面直线与所成角的余弦值即是求与所成角的余弦值，
在中，，，
∴；
【小问2详解】
如图，当点为的三等分点（靠近点）时，使得平面，
作的中点，连接，，连接交于点，连接，
由棱柱的性质可知，∴四边形是平行四边形，∴，
又∵点，分别是，的中点，∴，
由平面公理4可得，又∵平面，平面，
∴平面，此时．
22. 已知项数大于3数列的各项和为，且任意连续三项均能构成不同的等腰三角形的三边长．
（1）若，求和；
（2）若，且，求的最小值．
【答案】（1），
（2）17
【解析】
【分析】(1)列举法即可得到结果.
(2)先验证要使最小，则使和最小，从而可求得结论.
【小问1详解】
边长为1或2的等腰三角形只有1，1，1；1，2，2；2，2，2．
若前三项有1，1，1，则该数列只能有3项，不合题意；
若前三项有1，2，2，该数列只有4项，且该数列只能为1，2，2，2；
若前三项有2，2，2，该数列只有4项，且该数列只能为2，2，2，1；
综上：，；
【小问2详解】
设为数列的每一组连续三项之和的和，则
，
即，
连续三项（不考虑这三项的顺序）及这三项的和（标注在下面的括号内）有以下可能：
2，2，1（5）；2，2，2（6）；2，2，3（7）；
3，3，1（7）；3，3，2（8）；3，3，3（9）；3，3，4（10）；3，3，5（11）；
4，4，1（9）；4，4，2（10）；4，4，3（11）；4，4，4（12）；4，4，5（13）；4，4，6（14）；4，4，7（15）；……
其中画横线的连续三项不能同时满足和前一项、后一项构成3个等腰三角形，故必为数列的首三项或尾三项，故其对应的三角形在6个三角形中至多出现两个，
要使最小，则使和最小，在画横线的连续三项中取和最小的2组，即2，2，1（5）；3，3，1（7）；在没画横线的连续三项中取和最小的4组，即2，2，2（6）；2，2，3（7）；3，3，2（8）；3，3，3（9），
同时令，，，那么再令，
则，
又∵，，∴，
构造数列：1，2，2，2，3，3，3，1，此时，∴的最小值为17．
