北师大版九年级数学上册 第2章一元二次方程 解答专项练习题（含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》解答专项练习题（附答案）
1．解关于x的方程：mx2+4＝3（1﹣x2）（m≠﹣3）．
2．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值．
3．已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3＝0是一元二次方程．
（1）求m的值；
（2）解该一元二次方程．
4．解方程：（3x﹣1）2＝（x+1）2．
5．解方程
（1）（x+2）2﹣25＝0（直接开平方法）
（2）4x2﹣3x﹣1＝0（用配方法）
（3）2x2﹣7x+3＝0（公式法）
（4）（x2﹣3）2﹣3（3﹣x2）+2＝0．
6．已知x1、x2是方程2x2﹣5x+1＝0的两个实数根，求下列各式的值：
（1）x1x22+x12x2；
（2）x12+x22．
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）判断这个一元二次方程的根的情况；
（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．
8．关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x1，x2且x1﹣x2＝﹣2，求m的值．
9．是否存在某个实数m，使得方程x2+mx+2＝0和x2+2x+m＝0有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．
10．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1+x2＝6﹣x1x2，求m的值．
11．我们在求代数式y2+4y+8的最小值时，可以考虑用如下法求得：
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0，∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．请用上面的方法解决下面的问题：
（1）代数式m2+2m+4的最小值为 　 　；
（2）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
12．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根．
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．
13．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
14．疫情肆虐，万众一心．由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天．现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
15．【例】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．
解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0．
解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；
当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5．
所以原方程的解为x1＝2，x2＝5．
上述解法称为“整体换元法”．
（1）请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0；
（2）已知x2﹣xy﹣y2＝0，求的值．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根均为正整数，求负整数m的值．
17．关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x12+x22＝8，求m的值．
18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
19．小明遇到下面的问题：
求代数式x2﹣2x﹣3的最小值并写出取到最小值时的x值．
经过观察式子结构特征，小明联想到可以用解一元二次方程中的配方法来解决问题，具体分析过程如下：
x2﹣2x﹣3
＝x2﹣2x+1﹣3﹣1
＝（x﹣1）2﹣4
所以，当x＝1时，代数式有最小值是﹣4．
（1）请你用上面小明思考问题的方法解决下面问题．
①x2﹣2x的最小值是　 　
②x2﹣4x+y2+2y+5的最小值是　 　．
（2）小明受到上面问题的启发，自己设计了一个问题，并给出解题过程及结论如下：
问题：当x为实数时，求x4+2x2+7的最小值．
解：∵x4+2x2+7＝x4+2x2+1+6＝（x2+1）2+6
∴原式有最小值是6
请你判断小明的结论是否正确，并简要说明理由．
20．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为19m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长34m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．
（1）若要围成养鸡场的面积为160m2，则养鸡场的长和宽各为多少m？
（2）围成养鸡场的面积能否达到180m2？请说明理由．
21．某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，若超市某月涨价销售该商品共获得利润4000元，求这个月该商品每件的销售价为多少元？
22．全球疫情暴发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天．
①现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
参考答案
1．解：mx2+4＝3（1﹣x2），
mx2+4＝3﹣3x2，
（m+3）x2＝﹣1，
x2＝，
当m＞﹣3时，方程没有实数解；
当m＜﹣3时，x＝±＝±，
∴m1＝，m2＝﹣．
2．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
∴m2﹣3m+2＝0且m﹣2≠0，
解得：m＝1．
3．解：（1）∵关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3＝0是一元二次方程，
∴，
解得m＝﹣1；
（2）方程为﹣2x2+2x﹣3＝0，
即2x2﹣2x+3＝0，
∵a＝2，b＝﹣2，c＝3，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×3＝4﹣24＝﹣20＜0，
故原方程无解．
4．解：方程两边直接开方得：
3x﹣1＝x+1，或3x﹣1＝﹣（x+1），
∴2x＝2，或4x＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
5．解：（1）（x+2）2﹣25＝0，
x+2＝±5，
x1＝3，x2＝﹣7．
（2）4x2﹣3x﹣1＝0，
＝0
x1＝﹣，x2＝1．
（3）2x2﹣7x+3＝0，
∵a＝2，b＝﹣7，c＝3，
∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×3＝25＞0，
∴，
∴．
（4）（x2﹣3）2﹣3（3﹣x2）+2＝0．
[（3﹣x2）﹣1][（3﹣x2）﹣2]＝0
3﹣x2＝1，3﹣x2＝2
．
6．解：根据根与系数的关系得x1+x2＝，x1x2＝．
（1）原式＝x1x2（x1+x2）＝×＝；
（2）原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×＝．
7．解：（1）∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，
∴该方程有两个实数根；
（2）①当3为底边长时，Δ＝（2k﹣3）2＝0，
∴k＝，
此时原方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2．
∵2、2、3能组成三角形，
∴三角形的周长为2+2+3＝7，三角形的面积为×3×＝；
②当3为腰长时，将x＝3代入原方程，得：9﹣3×（2k+1）+4（k﹣）＝0，
解得：k＝2，
此时原方程为x2﹣5x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
∵2、3、3能组成三角形，
∴三角形的周长为2+3+3＝8，三角形的面积为×2×＝2．
综上所述：等腰三角形的周长为7或8，面积为或2．
8．解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（2m﹣1）≥0，
解得m≤1；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1 x2＝2m﹣1，
∵x1﹣x2＝﹣2，
∴x1＝0，x2＝2，
∴2m﹣1＝0，
解得m＝．
9．解：假设存在符合条件的实数m，且设这两个方程的公共实数根为a，则
①﹣②，得
a（m﹣2）+（2﹣m）＝0
（m﹣2）（a﹣1）＝0
∴m＝2 或a＝1．
当m＝2时，已知两个方程是同一个方程，且没有实数根，故m＝2舍去；
当a＝1时，代入②得m＝﹣3，
把m＝﹣3代入已知方程，求出公共根为x＝1．
故实数m＝﹣3，两方程的公共根为x＝1．
10．解：（1）Δ＝（2m﹣3）2﹣4m2
＝4m2﹣12m+9﹣4m2
＝﹣12m+9，
∵△≥0
∴﹣12m+9≥0，
∴m≤；
（2）由题意可得
x1+x2＝﹣（2m﹣3）＝3﹣2m，x1x2＝m2，
又∵x1+x2＝6﹣x1x2，
∴3﹣2m＝6﹣m2，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
解得m1＝3，m2＝﹣1，
又∵m≤，
∴m＝﹣1．
11．解：（1）m2+2m+4
＝m2+2m+1+3
＝（m+1）2+3，
∵（m+1）2≥0，
∴（m+1）2+3≥3，
∴m2+2m+4的最小值是3，
故答案为：3；
（2）设花园的面积为S，
由题意得：
S＝x（20﹣2x）
＝﹣2x2+20x
＝﹣2（x2﹣10x）
＝﹣2（x2﹣10x+25﹣25）
＝﹣2（x﹣5）2+50，
∵﹣2（x﹣5）2≤0，
∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，
∴当x＝5时，S最大＝50，
答：当x＝5时，花园的面积最大，最大面积是50平方米．
12．（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意，得
12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，
解得，m＝2，
则方程的另一根为：m+2﹣1＝2+1＝3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，
该直角三角形的面积为＝；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的面积为＝；
综上，该直角三角形的面积为或．
13．解：（1）①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1 x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|＝＝＝6，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1 x2＝，
∴|x1﹣x2|＝＝＝1，
∴方程2x2﹣2x+1＝0是差根方程；
（2）x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣，x1 x2＝，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|＝＝1，即＝1，
∴b2＝a2+4a．
14．解：（1）设每天增长的百分率是x，
依题意得：300（1+x）2＝432，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率是20%．
（2）设应该增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为（900﹣30y）万个/天，
依题意得：（900﹣30y）（1+y）＝3900，
整理得：y2﹣29y+100＝0，
解得：y1＝4，y2＝25．
又∵要节省投入，
∴y＝4．
答：应该增加4条生产线．
15．解：（1）设y＝2x﹣5，则原方程变形为y2﹣y﹣2＝0，
解得y1＝2，y2＝﹣1，
当y＝2时，即2x﹣5＝2，解得x＝3.5；
当y＝﹣1时，2x﹣5＝﹣1，解得x＝2．
所以原方程的解为x1＝3.5，x2＝2；
（2）x2﹣xy﹣y2＝0，
方程两边同时除以y2，得，
设，方程可化为m2﹣m﹣1＝0，
解得m1＝，，
∴的值为或．
16．（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，
∴无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：x2﹣（m+3）x+m+2＝0，
（x﹣1）[x﹣（m+2）]＝0，
∴x＝1，x＝m+2，
∴m+2＞0，m＞﹣2，
∵m是负整数，
∴m＝﹣1．
17．解：（1）因为一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4﹣8m＞0，
解得：m＜．
故m的取值范围为m＜．
（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2，x1 x2＝2m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4﹣4m＝8，
所以m＝﹣1
验证当m＝﹣1时Δ＞0．
故m的值为m＝﹣1．
18．解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，
∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．
19．解：（1）①x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1，
∴当x＝1时，代数式x2﹣2x有最小值是﹣1；
②x2﹣4x+y2+2y+5＝x2﹣4x+4+y2+2y+1＝（x﹣2）2+（y+1）2，
∴当x＝2，y＝﹣1时，代数式x2﹣4x+y2+2y+5有最小值是0，
故答案为：①﹣1，②0；
（2）小明的结论错误，
理由：∵x2+1＝0时，x无解，
∴（x2+1）2+6最小值不是6，
∵x2≥0，
∴当x2＝0时，（x2+1）2+6最小值是7．
20．解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2x）米．
根据题意，得：（34+2﹣2x）x＝160，
整理得：x2﹣18x+80＝0，
解得：x1＝8，x2＝10，
当x1＝8时，34+2﹣2x＝36﹣2×8＝20＞19，不符合题意，舍去，
当x2＝10时，34+2﹣2x＝36﹣2×10＝16＜19，符合题意，
答：养鸡场的长为16米，宽为10米．
（2）围成养鸡场的面积不能达到180m2．
理由如下：
设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2x）米．
根据题意，得：（34+2﹣2x）x＝180，
整理得：x2﹣18x+90＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣18）2﹣4×1×90＜0．
∴方程无实数根．
答：围成养鸡场的面积不能达到180m2．
21．解：设该商品每件的销售价为x元，
根据题意可知，（x﹣50）[300﹣10（x﹣60）]＝4000，
整理得﹣10x2+1400x﹣45000＝4000，
解得：x＝70，
∴这个月该商品每件的销售价为70元．
22．解：（1）设每天增长的百分率为x，
依题意，得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率为20%；
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万个/天，
依题意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500，
解得：m1＝4，m2＝25，
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m＝4．
答：应该增加4条生产线；
②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50a）万个/天，
依题意，得：（1+a）（1500﹣50a）＝15000，
化简得：a2﹣29a+270＝0，
∵△＝（﹣29）2﹣4×1×270＝﹣239＜0，方程无解．
∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个．