华东师大版八年级数学上册12.3乘法公式同步练习题（含解析）

2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《12.3乘法公式》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．计算（a﹣2b）2＝（　　）
A．a2﹣4ab+4b2 B．a2+4ab+4b2 C．a2﹣4ab﹣4b2 D．a2+4ab﹣4b2
2．在下列各项中，可以用平方差公式计算的是（　　）
A．（2a+3b）（3a﹣2b） B．（a+b）（﹣a﹣b）
C．（﹣m+n）（m﹣n） D．（a+b）（b﹣a）
3．下列运算中正确的是（　　）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣2 B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝4﹣9a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2
4．若（a+b）2＝10，a2+b2＝4，则ab的值为（　　）
A．14 B．7 C．6 D．3
5．图（1）是一个长为a，宽为b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（　　）
A．a2 B．b2 C．（a﹣b）2 D．（a﹣b）2
6．如果x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，那么k的值是（　　）
A．3 B．±6 C．6 D．±3
7．计算（15x2y﹣10xy2）÷5xy的结果为（　　）
A．3x﹣2xy B．3xy﹣2y C．3x﹣2y D．3x2﹣2y2
8．如图甲，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形如图乙，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　）
A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
二．填空题
9．计算：（x4﹣4x3）÷x2＝　 　．
10．已知（x+y）2＝18，xy＝5，则x2+y2的值为 　 　．
11．若多项式4x2﹣kx+25是一个完全平方式，则k的值是　 　．
12．若a﹣b＝8，ab＝2，则a2+b2的值为　 　．
13．已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，则ab＝　 　．
14．小明在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是4x2+12xy+■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是 　 　．
15．数学课上老师让同学们用若干个小矩形，拼成一个大矩形，如图所示，请你仔细观察图形，写出图中所表示的整式的乘法关系式为　 　．
16．已知a＞0，b＞0，（3a+3b+1）（3a+3b﹣1）＝899，则a+b＝　 　．
17．当一个正方形的边长增加5cm时，它的面积增加85cm2，则原来正方形的边长是 　 　cm．
18．小丽在计算3×（4+1）×（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）+＝　 　．
三．解答题
19．计算：（x﹣2y）（x+2y）﹣（x+2y）2．
20．计算：
（1）（3x+1）（x﹣2）；
（2）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）．
21．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2与xy的值．
22．先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m2+m﹣2＝0．
23．先化简，再求值：（a﹣b）2﹣2a（a+3b）+（a+2b）（a﹣2b），其中a＝1，b＝﹣3．
24．已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝　 　；
（2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为多少？
（3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由．
25．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 　 　；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 　 　；
（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
26．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是 　 　；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9x2﹣4y2＝24，3x+2y＝6，求3x﹣2y的值；
②计算：．
27．阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式　 　；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
28．阅读下列材料：
若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y是正整数），所以M也是“明礼崇德数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解．
（1）判断：9 　 　“明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；
（2）已知（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，求P；
（3）已知N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+1），要使N是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
29．将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1和S2．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．
（1）当a＝9，b＝3，AD＝30时，长方形ABCD的面积是 　 　，S1﹣S2的值为 　 　；
（2）当AD＝40时，请用含a、b的式子表示S1﹣S2的值；
（3）若AB长度保持不变，AD变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，当a、b满足什么关系时，S1﹣S2的值与AD的长度无关？
参考答案
一．选择题
1．解：原式＝a2﹣2a 2b+（2b）2
＝a2﹣4ab+4b2，
故选：A．
2．解：A、（2a+3b）（3a﹣2b），不符合平方差公式的结构特征，故错误；
B、（a+b）（﹣a﹣b），不符合平方差公式的结构特征，故错误；
C、（﹣m+n）（m﹣n），不符合平方差公式的结构特征，故错误；
D、，符合平方差公式的结构特征，故正确；
故选：D．
3．解：A、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，错误；
B、（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝4﹣9a2，正确；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，错误；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，错误；
故选：B．
4．解：∵（a+b）2＝10，a2+b2＝4，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（10﹣4）＝3．
故选：D．
5．解：由题意得所剪得的每个小长方形的长为，宽为，
∴中间空余的部分的是一个边长为﹣的正方形，
∴中间空余的部分的面积是（）2．
故选：D．
6．解：∵x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，
∴k＝±6．
故选：B．
7．解：原式＝15x2y÷5xy﹣10xy2÷5xy
＝3x﹣2y，
故选：C．
8．解：图甲的面积＝大正方形的面积﹣空白处正方形的面积＝a2﹣b2；
图乙中矩形的长＝a+b，宽＝a﹣b，图乙的面积＝（a+b）（a﹣b）．
所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
二．填空题
9．解：原式＝x4÷x2﹣4x3÷x2
＝x2﹣4x，
故答案为：x2﹣4x．
10．解：∵（x+y）2＝18，xy＝5，
∴x2+y2+2xy＝x2+y2+10＝18．
∴x2+y2＝8．
故答案为：8．
11．解：∵4x2﹣kx+25是一个完全平方式，
∴4x2﹣kx+25＝（2x）2﹣kx+52＝（2x±5）2，
∵（2x±5）2＝4x2±20x+25，
∴﹣kx＝±20x，解得k＝±20．
故答案为：±20．
12．解：∵a﹣b＝8，ab＝2，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝64+4＝68．
故答案为：68．
13．解：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝7﹣3＝4，
所以可得：ab＝1，
故答案为：1
14．解：∵4x2+12xy+■是一个二项式的平方，
∴■＝（3y）2＝9y2．
故答案为：9y2．
15．解：由拼图可得，大长方形的长为a+2b，宽为a+b，
所以面积为（a+2b）（a+b），
根据各个部分面积和为a2+3ab+2b2，
因此有（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，
故答案为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
16．解：∵（3a+3b+1）（3a+3b﹣1）＝899，
∴（3a+3b）2﹣1＝899，
即（3a+3b）2＝900，
又∵（±30）2＝900，a＞0，b＞0，
∴3a+3b＝30，
即a+b＝10，
故答案为：10．
17．解：设原正方形边长为xcm，则增加后边长为（x+5）cm，
根据题意列方程得：（x+5）2﹣x2＝85，
整理得10x+25＝85，
解得x＝6，
∴原来正方形边长为6cm．
故答案为：6．
18．解：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）+
＝
＝×
＝
＝
＝
＝
＝2．
故答案为：2．
三．解答题
19．解：（x﹣2y）（x+2y）﹣（x+2y）2
＝（x2﹣4y2）﹣（x2+4y2+4xy）
＝x2﹣4y2﹣x2﹣4y2﹣4xy
＝﹣8y2﹣4xy．
20．解：（1）原式＝3x2﹣6x+x﹣2
＝3x2﹣5x﹣2；
（2）原式＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣25）
＝4x2+8x+4﹣4x2+25
＝8x+29．
21．解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1②，
∴①+②得：2（x2+y2）＝26，即x2+y2＝13；
①﹣②得：4xy＝24，即xy＝6．
22．解：原式＝4m2﹣1﹣（m2﹣2m+1）+8m3÷（﹣8m）
＝4m2﹣1﹣m2+2m﹣1﹣m2
＝2m2+2m﹣2
＝2（m2+m）﹣2，
∵m2+m﹣2＝0，
∴m2+m＝2，
当m2+m＝2时，原式＝2×2﹣2＝2．
23．解：原式＝a2﹣2ab+b2﹣2a2﹣6ab+a2﹣4b2＝﹣8ab﹣3b2．
当a＝1、b＝﹣3时，
原式＝﹣8×1×（﹣3）﹣3×（﹣3）2
＝24﹣27
＝﹣3．
24．解：（1）∵x2+2x+n2是一个完全平方式，
∴n2＝1，
∴n＝±1．
故答案为：1或﹣1；
（2）当x＝m时m2+2m+n2＝﹣1，
∴m2+2m+1+n2＝0，
∴（m+1）2+n2＝0，
∵（m+1）2≥0，n2≥0，
∴x＝m＝﹣1，n＝0，
∴x＝﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2＝3；
（3）B＞A．
理由如下：B﹣A＝2x2+4x+3n2+3﹣（x2+2x+n2）＝x2+2x+2n2+3＝（x+1）2+2n2+2，
∵（x+1）2≥0，2n2≥0，
∴（x+1）2+2n2+2＞0，
∴B＞A．
25．解：（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2，
故答案为：（m﹣n）2；
（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，
故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25，
则x﹣y＝±5；
（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）＝2m2+3mn+n2．
26．解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案是B；
（2）①∵9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y），
∴24＝6（x﹣2y）
得：3x﹣2y＝4；
②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+），
＝×××××…××××，
＝×，
＝．
27．解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（a+b+c）（a+b+c）＝（a+b+c）2，
各小矩形部分的面积之和＝a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2，
∴等式为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）a2+b2+c2 ＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝112﹣2×38＝45．
（3）如图所示
28．解：（1）∵9＝52﹣42，
∴9是“明礼崇德数”，
故答案为：是；
（2）∵（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，
∴P＝（x2+y）2﹣（x2）2
＝x4+2x2y+y2﹣x4
＝2x2y+y2；
（3）当k+5＝0时，N为“明礼崇德数”，理由如下：
∵N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k＝（x2+4x+4）﹣（y2+6y+9）+k+5＝（x+2）2﹣（y+3）2+k+5，
∴当k+5＝0时，N＝（x+2）2﹣（y+3）2为“明礼崇德数”，
此时k＝﹣5，
故当k＝﹣5时，N为“明礼崇德数”．
29．解：（1）长方形ABCD的面积为30×（4×3+9）＝630；
S1﹣S2＝（30﹣9）×4×3﹣（30﹣3×3）×9＝63；
故答案为：630，63；
（2）S1﹣S2＝4b（40﹣a）﹣a（40﹣3b）
＝160b﹣4ab﹣40a+3ab
＝160b﹣ab﹣40a；
（3）∵S1﹣S2＝4b（AD﹣a）﹣a（AD﹣3b），
整理，得：S1﹣S2＝（4b﹣a）AD﹣ab，
∵S1﹣S2的值与AD的值无关，
∴4b﹣a＝0，
解得：a＝4b．
即a，b满足的关系是a＝4b．