湘教版八年级数学上册第1章分式 单元综合测试题 （含解析）

2022-2023学年湘教版八年级数学上册《第1章分式》单元综合测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．下列式子是分式的是（　　）
A．x B． C． D．
2．使分式的值为整数的全体自然数x的和是（　　）
A．5 B．6 C．12 D．22
3．分式方程的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝﹣3，x2＝2 D．x1＝3，x2＝2
4．如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（　　）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
5．对于实数a、b，定义一种新运算“ ”为：a b＝，这里等式右边是通常的四则运算，若（﹣3） x＝2，则x的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．﹣
6．设x＝+1，则＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．8
7．若关于x的分式方程有增根，则k的值是（　　）
A． B．﹣1 C．1 D．
8．从﹣3，﹣2，﹣1，﹣，1，3这六个数中，随机抽取一个数，记为a．关于x的方程＝1的解是正数，那么这6个数中所有满足条件的a的值有（　　）个．
A．3 B．2 C．1 D．4
9．在阳明山国家森林公园举行中国 阳明山“和”文化旅游节暨杜鹃花会期间，几名同学包租一辆车前去游览，该车的租价为180元，出发时，又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊了3元车费．设参加游览的学生共有x人，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．已知a、b为实数且满足a≠﹣1，b≠﹣1，设，，则下列两个结论（　　）
①ab＝1时，M＝N，ab＞1时，M＞N；ab＜1时，M＜N．②若a+b＝0，则M N≤0．
A．①②都对 B．①对②错 C．①错②对 D．①②都错
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．若＝2，则＝　 　
12．已知：＝﹣2，，＝﹣，则的值为　 　．
13．若代数式的值为整数，则所有满足条件的整数x的和是　 　．
14．已知，则＝　 　．
15．关于x的分式方程会产生增根，则k＝　 　．
16．对于实数a，b定义一种新运算“ ”：a b＝，例如，1 3＝＝﹣．则方程x 2＝﹣1的解是　 　．
17．已知关于x的方程的解大于1，则实数m的取值范围是　 　．
18．若关于x的方程＝无解，则a的值是　 　．
三．解答题（共5小题，满分40分）
19．计算：
（1）； （2）﹣a﹣1．
20．先化简，再求值：（+x﹣2）÷，其中|x|＝2．
21．定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
（1）下列3组分式：
①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有 　 　（只填序号）；
（2）若正实数a，b互为倒数，求证，分式与属于“友好分式组”；
（3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．
22．已知关于x的方程．
（1）若m＝﹣3，解这个分式方程；
（2）若原分式方程无解，求m的值．
23．根据规划设计，某工程队准备修建一条长1000m的公路．由于采取新的施工方式，实际每天修建公路的长度比原计划增加20m，从而缩短了工期．假设原计划每天修建公路am，那么
（1）原计划修建这条公路需要多少天？实际修建这条公路用了多少天？
（2）实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：A．x是整式，故A不符合题意；
B.是整式，故B不符合题意；
C.是分式，故C符合题意；
D.是整式，故D不符合题意；
故选：C．
2．解：由于原式＝x﹣1+，为使为整数，
则自然数x可取0，1，2，3，5，11，其和为22．
故选：D．
3．解：方程两边都乘以最简公分母（x+2）（x﹣2）得，
（x+2）2﹣（3x+10）＝0，
x2+4x+4﹣3x﹣10＝0，
x2+x﹣6＝0，
（x+3）（x﹣2）＝0，
x+3＝0，x﹣2＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝2，
检验：当x＝﹣3时，（x+2）（x﹣2）＝（﹣3+2）（﹣3﹣2）＝5≠0，
当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝（﹣2+2）（﹣2﹣2）＝0，
所以x＝﹣3是分式方程的解，
故原分式方程的解是x＝﹣3．
故选：B．
4．解∵﹣＝﹣＝1﹣＝
又∵x为正整数，
∴≤＜1
故表示﹣的值的点落在②
故选：B．
5．解：∵a b＝，且（﹣3） x＝2，
∴＝2
∴2（9+3x）＝3
∴6x＝﹣15
∴x＝﹣
经检验，x＝﹣是原方程的解．
故选：B．
6．解：∵（﹣1）（+1）＝﹣13＝5﹣1＝4，x＝+1，
∴＝[+1]3，
＝（﹣1+1）3，
＝5．
故选：C．
7．解：∵分式方程有增根，
∴x﹣5＝0，
解得x＝5，
原方程化为：
+1＝，
x﹣6+x﹣5＝﹣2k，
2x﹣11＝﹣2k，
把x＝5代入2x﹣11＝﹣2k得，
10﹣11＝﹣2k，
解得k＝．
故选：D．
8．解：由＝1得：2x+a＝x﹣1
∴x＝﹣1﹣a
∵解是正数，且x﹣1为原方程的分母，
∴﹣1﹣a＞0，且﹣1﹣a≠1
∴a＜﹣1，且a≠﹣2
故在﹣3，﹣2，﹣1，﹣，1，3这六个数中，符合题意得数有：﹣3，﹣，
故选：B．
9．解：设实际参加游览的同学共x人，
根据题意得：．
故选：D．
10．解：∵，，
∴M﹣N＝﹣（），
＝，
＝，
＝，
①当ab＝1时，M﹣N＝0，
∴M＝N，
当ab＞1时，
∴2ab＞2，
∴2ab﹣2＞0，
当a＜0时，b＜0，（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，
∴M﹣N＞0或M﹣N＜0，
∴M＞N或M＜N；
当ab＜1时，ab可能同号，也可能异号，
∴（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，
∵2ab﹣a＜0，
∴M＞N或M＜N；
∴①不正确；
②M N＝（） （）
＝++，
∵a+b＝0
∴原式＝
＝
＝
∵a≠﹣1，b≠﹣1，∴（a+1）2（b+1）2＞0，
∵a+b＝0
∴ab≤0，M N≤0．
∴②对．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．解：由＝2，得x+y＝2xy
则＝＝＝．
故答案为．
12．解：∵＝﹣2，，＝﹣
∴+＝﹣，+＝，+＝﹣
∴++＝﹣
则＝＝﹣4．
故答案为：﹣4．
13．解：＝＝4+，
∵代数式的值为整数，x为整数，
∴x﹣1＝±1，
解得x＝2或x＝0，
则所有满足条件的整数x的和是2．
故答案为：2．
14．解：∵
∴＝＝＝
故答案为：．
15．解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得
2（x+1）+kx＝3（x﹣1），即（k﹣1）x＝﹣5，
∵最简公分母为（x+1）（x﹣1），
∴原方程增根为x＝±1，
∴把x＝1代入整式方程，得k＝﹣4．
把x＝﹣1代入整式方程，得k＝6．
综上可知k＝﹣4或6．
故答案为：﹣4或6
16．解：根据题中的新定义，化简得：＝﹣1，
去分母得：1＝2﹣x+4，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是分式方程的解，
故答案为：x＝5．
17．解：方程两边乘x﹣2得：x+m＝2﹣x，
移项得：2x＝2﹣m，
系数化为1得：x＝，
∵方程的解大于1，
∴＞1，且≠2，解得m＜0，且m≠﹣2．
故答案为：m＜0，且m≠﹣2．
18．解：分式方程去分母，可得
a（x+1）＝2x，
即（a﹣2）x＝﹣a，
当a＝2时，方程（a﹣2）x＝﹣a无解；
当a≠2时，若x＝1，则a﹣2＝﹣a，即a＝1；
若x＝﹣1，则2﹣a＝﹣a（无解）；
综上所述，a＝2或1，
故答案为：2或1．
三．解答题（共5小题，满分40分）
19．解：（1）
＝
＝
＝；
（2）﹣a﹣1
＝
＝
＝．
20．解：原式＝÷
＝
＝，
∵|x|＝2时，
∴x＝±2，
由分式有意义的条件可知：x＝2，
∴原式＝3．
21．解：（1）①﹣＝≠2，
②﹣＝＝2，
③|﹣|＝||＝2，
∴属于“友好分式组”的有②③，
故答案为：②③．
（2）∵a，b互为倒数，
∴ab＝1，b＝，
∴|﹣|
＝|﹣|
＝|﹣|
＝||
＝2，
∴分式与属于“友好分式组”；
（3）∵|﹣|
＝|﹣|
＝||
＝||，
∵与属于“友好分式组”，
∴||＝2，
∴2a2+2ab＝2（a2﹣4b2）或2a2+2ab＝﹣2（a2﹣4b2），
①a＝﹣4b，②ab＝4b2﹣2a2，
把①代入＝＝﹣，
把②代入＝＝﹣，
综上所述：的值为﹣或﹣．
22．解：①依题意把m＝﹣3代入原方程得．
方程两边都乘最简公分母（x﹣3）（x+3）得，
﹣3（x﹣3）+（x+3）＝1．
解得x＝5.5．
检验：把x＝5.5代入（x+3）（x﹣3）≠0．
∴x＝5.5是原方程的解．
②当（x+3）（x﹣3）＝0时．x＝±3．
方程两边都乘最简公分母（x﹣3）（x+3），得．
m（x﹣3）+（x+3）＝m+4．
整理得（m+1）x＝1+4m
∵原分式方程无解．
∴m+1＝0，m＝﹣1．
把x＝±3代入m（x﹣3）+（x+3）＝m+4．
m＝2，m＝﹣．
∴m＝﹣1，m＝2，m＝﹣
23．解：（1）原计划修建这条公路需要天，实际修建这条公路用了天；
（2）实际修建这条公路的工期比原计划缩短了（﹣）天．