(共18张PPT)
第5章 相交线与平行线
5.2 平行线
5．2.1 平行线
知识点1：认识平行线
1．下列说法正确的是( )
A．不相交的两条线段是平行线
B．不相交的两条直线是平行线
C．不相交的两条射线是平行线
D．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线
D
2．在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是( )
A．平行或相交
B．垂直或相交
C．垂直或平行
D．平行、垂直或相交
A
3．在同一平面内，若两条直线相交，则公共点的个数是______；若两条直线平行，则公共点的个数是_______．
1个
0个
4．(练习1变式)如图，在长方体中，与棱AB平行的棱有____条，它们分别是_________________；与棱CG平行的棱有____条，它们分别是
________________；与棱AD平行的棱有____条，它们分别是
_______________．棱AB和棱CG既不______，也不_______．
3
CD，EF，GH
3
AE，BF，DH
3
BC，GF，HE
平行
相交
知识点2：平行线的基本事实
5．同一平面内有三条直线，如果只有两条平行，那么它们交点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．下列说法不正确的是( )
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
C
A
7．(教材P170试一试变式)如图，已知直线AB外一点P，过P点画直线CD，使CD∥AB，借助三角板有如下操作：
①固定直尺EF，并沿EF方向移动三角板，使斜边经过点P；
②用三角板的斜边靠上直线AB；
③沿三角板斜边画直线CD；
④用直尺EF紧靠三角板的一条直角边．其正确操作顺序是( )
A．①②③④ B．②④③①
C．②④①③ D．④③②①
C
8．在同一平面内，与已知直线a平行的直线有________条；而经过直线外一点P，与已知直线a平行的直线有且只有____条．
无数
1
9．(1)如图，PC∥AB，QC∥AB，则点P，C，Q在一条直线上．理由是：______________________________________________________；
过直线外的一点有且只有一条直线与已知直线平行
(2)因为a与b相交于点O，b∥c，所以a与c相交，
理由是：______________________________________________；
(3)如图，因为AB∥CD，EF∥CD，所以AB∥EF.理由是：
___________________________________________________________．
过O点有且只有一条直线与已知直线a平行
两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
10．下列语句正确的有( )
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过直线外的一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，则c∥b；
④若直线a∥b，a∥c，则b∥c.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：点拨：②④正确
C
11．如图所示，将一张长方形纸对折两次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是( )
A.平行 B．垂直
C．平行或垂直 D．无法确定
A
12．(1)如图，直线AB，CD表示一条公路的两边，且AB∥CD，点E为直线AB，CD外一点，现过点E作边CD的平行线，只需过点E作____的平行线即可，理由是_______________________________________________________．
(2)(变式)体育老师在操场上画100米跑道，如果画5条跑道，需要画____条线，这些线的位置关系是_____________．
AB
两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
6
互相平行
13．(习题2变式)如图，已知直线a，点B，点C.
(1)过点B画直线a的平行线，能画几条？
(2)过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？说明理由．
解：(1)一条
(2)平行．理由：两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
14．如图，直线a∥b，b∥c，d与a相交于点M.
(1)试判断直线a，c的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与d的位置关系，并说明理由．
解：(1)因为a∥b，b∥c，所以a∥c(两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)
(2)∵a与d相交于M，∴c与d必相交．理由是过M点有且只有一条直线与c平行，而这条平行线为a
15．判断下列语句：
①在同一平面内，过两条平行线AB，CD外一点P作一条直线MN，使MN∥AB且MN∥CD；
②在同一平面内，过两条直线AB，CD外一点P作一条直线MN，使MN∥AB，MN∥CD，则AB∥CD；
③在同一平面内，过两条平行线AB，CD外一点P作一条直线MN，使MN与AB相交于点Q，则MN与CD一定交于一点R.
其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
D
16．(习题1变式)如图所示，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，下图是书写的字母“M”：
(1)请从正面、上面、右侧三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来；
(2)EF与A′B′有何位置关系？
解：(1)从正面：AE∥MF∥GN∥DH；
从上面：AA′∥BB′∥CC′∥DD′；从右侧：HD∥RD′
(2)EF∥A′B′.因为从正面看：EF∥AB，从上面看：AB∥A′B′，∴EF∥A′B′.理由是两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行(共9张PPT)
第5章 相交线与平行线
专题课堂(六) 与对顶角、垂线有关的计算
一、对顶角、垂线的综合应用
【例1】如图，已知直线AB，CD，EF相交于O点，
∠COB＝90°，∠AOE∶∠AOD＝2∶5，求∠BOF，∠DOF的度数．
分析：因为∠AOD与∠COB是对顶角，则∠AOD＝∠COB＝90°，根据∠AOE∶∠AOD＝2∶5，可算出∠AOE的度数，由∠BOF和∠AOE是对顶角，∠DOF与∠BOF互余，可求出∠BOF和∠DOF.
解：因为∠COB＝90°，所以∠AOD＝∠COB＝90°，因为∠AOE∶∠AOD＝2∶5，所以∠AOE＝2×(90°÷5)＝36°，所以∠BOF＝∠AOE＝36°，易得∠BOD＝90°，所以∠DOF＝90°－36°＝54°
【对应训练】
1．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，请完成下列各题．
(1)找出∠AOC的邻补角；
(2)若FO⊥CD于点O，且∠BOC＝30°，求出∠BOF和∠DOE的度数．(请在图中画出FO)
解：(1)∠AOC的邻补角为∠AOD，∠COB
(2)有下列两种情况：①当OF在∠AOE内部时，如图①，因为OF⊥CD，所以∠COF＝90°，又∠BOC＝30°，∠BOF＝∠BOC＋∠COF＝30°＋90°＝120°，因为∠AOD与∠BOC为对顶角，所以∠AOD＝∠BOC＝30°，又OE⊥AB，所以∠AOE＝90°，所以∠DOE＝∠AOD＋∠AOE＝30°＋90°＝120°.②当OF在∠BOD内部时，如图②，因为OF⊥CD，所以∠COF＝90°，又∠BOC＝30°，所以∠BOF＝∠COF－∠BOC＝90°－30°＝60°.∠DOE与①中求法相同，∠DOE＝120°
二、对顶角、角平分线或垂线的综合应用
【例2】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2＝4∠1，求∠AOF的度数.
分析：从结论入手，考虑条件可得：∠AOF＝∠AOC＋∠COF.由于∠BOC＝∠AOD，∠AOC＝∠BOD，只需计算出∠AOD，即∠2和∠BOD，即2∠1即可．根据∠2＝4∠1＝2∠BOD，且∠2＋∠BOD＝180°，可求出∠2和∠BOD.
【对应训练】
2．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
(1)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC.问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；
(2)将图①中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为________；(直接写出结果)
(3)将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③，使ON在∠AOC的内部，求∠AOM－∠NOC的度数．
解：(1)直线ON平分∠AOC.理由：设ON的反向延长线为OD，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB.又∵OM⊥ON，∴∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝∠BON.又∵∠AOD＝∠BON(对顶角相等)，∴∠COD＝∠AOD，∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC
(2)∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝60°，∴∠BON＝∠COD＝30°，即旋转60°或240°时ON平分∠AOC，由题意得，6t＝60或240，∴t＝10或40 (3)∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°－∠AON，∠NOC＝60°－∠AON，∴∠AOM－∠NOC＝(90°－∠AON)－(60°－∠AON)＝30°(共9张PPT)
第5章 相交线与平行线
易错课堂(四) 相交线与平行线
一、对“对顶角”、“同位角”、“同旁内角”等概念理解不清而出错
【例1】如图，与∠2互为同旁内角的角共有( )
A.1个
B．2个
C．3个
D．4个
【易错分析】没有理解同旁内角的定义而导致出错，∠2的同旁内角有∠1，∠BAC和∠DAC.
C
【对应训练】
1．(贺州中考)下面各图中，∠1和∠2是对顶角的是( )
B
2．∠1与∠2是内错角，∠1＝40°，则( )
A．∠2＝40° B．∠2＝140°
C．∠2＝40°或140° D．∠2的大小不确定
D
二、考虑问题不周全漏解而导致出错
【例2】已知，AB⊥直线l，点A到直线l的距离为7 cm，
点B到直线l的距离为3 cm，求线段AB的长度.
【易错分析】AB⊥直线l，点A，B有可能在直线l的同侧，
也有可能分布在直线l的两侧，应该分类讨论.
解：如图①，当点A，B在直线l的同一侧时，线段AB的长度为：7－3＝4(cm)；如图②，当A，B在直线l的两侧时，线段AB的长度为：7＋3＝10(cm)
【对应训练】
3．平面上不重合的三条直线，可能产生交点的个数有多少？
解：如图，共有四种情况：如图①，当三条直线互相平行时，没有交点；如图②，当有两条直线互相平行时，有两个交点；如图③，图④，没有直线平行时，有一个交点或3个交点
综上所述，平面内不重合的三条直线能产生交点的个数为0个或1个或2个或3个
三、对平行线的性质和判定混淆或不证而用导致出错
【例3】如图，∠1＝∠2，∠D＝50°，求∠B的度数.
【易错分析】在本题中需证AB∥CD，才能得到∠B＋∠D＝180°.
解：∵∠2与∠GHD是对顶角，∴∠2＝∠GHD.∵∠1＝∠2，∴∠GHD＝∠1，∴AB∥CD，∴∠B＋∠D＝180°.∵∠D＝50°，∴∠B＝180°－50°＝130°
【对应训练】
4．如图，FG∥AD，∠1＝∠2，试说明DE∥AB.根据图形填空：
解：因为FG∥AD，
所以∠1＝_________(____________________________).
因为∠1＝∠2，
所以∠2＝________(_____________)，
所以DE∥AB(__________________________).
∠BAD
两直线平行，同位角相等
∠BAD
等量代换
内错角相等，两直线平行(共20张PPT)
第5章 相交线与平行线
阶段自测(七)
检测内容：5.1－5.2
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠BOD＝88°，∠COE＝43°，则∠AOF的度数为( )
A.45° B．47°
C．49° D．88°
C
2．如图，已知点E在BC的延长线上，则下列条件不能判定AB∥CD的是( )
A．∠DAC＝∠ACB B．∠BAC＝∠ACD
C．∠B＝∠DCE D．∠D＋∠BAD＝180°
A
3．(柳州中考)如图，经过直线l外一点画l的垂线，能画出( )
A.1条 B．2条
C．3条 D．4条
A
4．(衢州中考)如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是( )
A.∠2
B．∠3
C．∠4
D．∠5
C
5．如图，已知AB⊥BF，CD⊥EF，∠1＝∠F＝45°，那么与∠FCD相等的角有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D
6．(德阳中考)已知直线AB∥CD，直线EF与AB相交于点O，且∠BOE＝140°.直线l平分∠BOE交CD于点G，那么∠CGO＝( )
A．110° B．105°
C．100° D．70°
A
7．(鞍山中考)如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM交AB于点M，若∠EGB＝50°，则∠GMH的度数为( )
A．50° B．55°
C．60° D．65°
D
8．(株洲中考)如图，直线l1，l2被直线l3所截，且l1∥l2，过l1上的点A作AB⊥l3交l3于点B，其中∠1＜30°，则下列一定正确的是( )
A．∠2＞120° B．∠3＜60°
C．∠4－∠3＞90° D．2∠3＞∠4
D
9．如图，直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＋∠BOD＝118°，则∠AOD＝________．
121°
10．如图，当∠1和∠2满足________时，能使OA⊥OB.
互余
11．(娄底中考)如图，AB∥CD，AC∥BD，∠1＝28°，
则∠2的度数为________．
28°
12．如图，CD平分∠BCA，∠1＝∠2＝30°，
则∠DEA＝________．
60°
13．(阜新中考)如图，已知AB∥CD，点E，F在直线AB，CD上，EG平分∠BEF交CD于点G，∠EGF＝64°，那么∠AEF的度数为________．
52°
14．(湘潭中考)如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为
________________________________________________________________．(任意添加一个符合题意的条件即可)
∠A＋∠ABC＝180°或∠C＋∠ADC＝180°或∠CBD＝∠ADB或∠C＝∠CDE
15．(10分)如图，直线CD，EF相交于点O，OA⊥OB，OB平分∠DOE，OC平分∠AOF，∠AOE＝2∠BOD.求∠BOC的大小．
16．(10分)如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置上，ED′的延长线与BC的交点为G，若∠EFG＝50°，求∠1，∠2的度数．
解：∠1＝80°，∠2＝100°
17．(12分)(1)指出∠1与∠B，∠2与∠3，∠3与∠4分别是什么关系角？
(2)写出∠4的所有内错角；
(3)写出∠A的所有同旁内角和同位角．
解：(1)∠1与∠B为同位角，∠2与∠3为内错角，∠3与∠4为同旁内角 (2)∠1，∠EDC
(3)∠A的同旁内角有：∠B，∠1，∠AED，∠C，∠2；同位角有：∠CED，∠CEF，∠3
18．(12分)(沈丘期末)如图，CD⊥AB，垂足为D，点F是BC上任意一点，EF⊥AB，垂足为E，且∠1＝∠2＝30°，∠3＝84°，求∠4的度数．
解：CD⊥AB，EF⊥AB，∵CD∥EF，∴∠2＝∠5，又∠1＝∠2＝30°，∴∠1＝∠5＝30°，∴DG∥BC，∴∠3＝∠ACB＝84°，∴∠4＝∠ACB－∠5＝54°(共21张PPT)
第5章 相交线与平行线
5．1 相交线
5．1.1 对顶角
知识点1：认识对顶角
1．下列说法中，正确的是( )
A．有公共顶点，且方向相反的两个角是对顶角
B．有公共点，且又相等的角是对顶角
C．两条直线相交所成的角是对顶角
D．角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角
D
2．下列各图中，∠1与∠2为对顶角的是( )
B
3．(贺州中考)如图，下列各组角中，互为对顶角的是( )
A．∠1和∠2 B．∠1和∠3
C．∠2和∠4 D．∠2和∠5
A
4．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则图中对顶角共有____对．
6
知识点2：对顶角的性质
5．(邵阳中考)如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD＝160°，则∠BOC的大小为( )
A.20°
B．60°
C．70°
D．160°
D
6．如图所示，直线AB与CD相交于O点，∠1＝∠2.若∠AOE＝140°，则∠AOC 的度数为( )
A．40° B．60°
C．80° D．100°
C
7．如图，当剪子口∠AOB增大15°时，∠COD增大____°
15
8．(例题2变式)如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1＝20°，∠BOC＝80°.求∠2的度数．
解：因为∠1＝20°，∠BOC＝80°，所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝60°，所以∠2＝∠BOF＝60°
9．如图，直线AB和CD相交于点O，∠AOD＋∠BOC＝204°，那么∠1的度数为( )
A．88° B．100°
C．78° D．102°
C
10．(杞县期末)如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝75°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝1∶2，则∠AOE的度数为( )
A．165° B．155°
C．150° D．130°
B
11．如图，直线AB和CD相交于O点，∠1＝55°，∠1与∠AOC互余，则∠BOD＝____度；若OF平分∠DOB，则∠EOF的度数是_________度．
35
107.5
12．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠COE＝∠FOB＝90°，
∠AOC＝30°，则∠EOF＝________．
150°
13．如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝75°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE.
14．(练习3变式)如图，AB与CD交于点O，OM为射线．
(1)写出∠BOD的对顶角；
(2)写出∠BOD与∠COM的邻补角；
(3)已知∠AOC＝70°，∠BOM＝80°，求∠DOM和∠AOM的度数．
解：(1)∠BOD的对顶角为∠AOC
(2)∠BOD的邻补角为∠BOC和∠DOA；∠COM的邻补角为∠MOD (3)∵∠AOC＝70°，∠BOM＝80°，∴∠BOD＝∠AOC＝∠70°，∠COM＝180°－∠AOC－∠BOM＝180°－70°－80°＝30°，∴∠DOM＝∠DOB＋∠BOM＝70°＋80°＝150°，∠AOM＝∠AOC＋∠COM＝70°＋30°＝100°
15．观察下列图形，寻找对顶角(不含平角).
(1)如图①，图中共有____对对顶角；
(2)如图②，图中共有____对对顶角；
(3)如图③，图中共有____对对顶角；
(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角对数的关系，猜想：若有n条直线相交于一点，则共可形成__________对对顶角；
(5)若有180条直线相交于一点，则可形成___________对对顶角．
2
6
12
n(n－1)
32220
16．如图，直线a，b相交．
(1)已知∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4的度数；
(2)已知∠2＋∠4＝280°，求各角的度数；
(3)已知∠1∶∠2＝2∶7，求各角的度数．
解：(1)因为∠1与∠3为对顶角，故∠3＝∠1＝40°，因为∠1与∠2，∠1与∠4是邻补角，所以∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠4＝180°，所以∠2＝180°－∠1＝180°－40°＝140°，∠4＝∠2＝140°
(2)因为∠2与∠4为对顶角，故∠2＝∠4，又因为∠2＋∠4＝280°，所以∠2＝∠4＝140°，所以∠1＝∠3＝180°－140°＝40°
(3)设∠1＝2x，∠2＝7x，因为∠1＋∠2＝180°，即2x＋7x＝180°，x＝20°，所以∠1＝∠3＝2x＝40°，∠2＝∠4＝(共20张PPT)
第5章 相交线与平行线
章末复习(四) 相交线与平行线
考点一：相交线与对顶角
1．(铜仁中考)下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
C
2．(西宁中考)将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC＝( )
A.73°
B．56°
C．68°
D．146°
A
3．如图，三条直线AB，CD，EF相交于同一点O.若∠AOE＝2∠AOC，∠COF＝60°，求∠BOD的度数．
解：40°
考点二：垂线与垂线段
4．如图，已知AB⊥CD，垂足为O，直线EF经过点O，图中∠1与∠2的关系是( )
A.∠1＋∠2＝180°
B．∠1＋∠2＝90°
C．∠1＝∠2
D．无法确定
B
5．如图，在河岸的同侧有一个村庄A和自来水处理厂B，现在要在河岸上建一个抽水站D，将河中的水输送到自来水处理厂处理后再送往A村．为了节省资金，所铺设的水管应尽可能短．问抽水站应建在何处？沿怎样的路线铺设水管？在图中画出来．
解：如图所示，过点B作l的垂线BD，则垂足D即为抽水站的位置．连结AB，沿D→B→A的路线铺设水管，可使铺设的水管最短
考点三：同位角、内错角和同旁内角
6．如图，点E在线段AB的延长线上，指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么类型的角？
(1)∠A和∠D；
(2)∠A和∠CBA；
(3)∠C和∠CBE.
解：(1)∠A和∠D是由直线AE，CD被直线AD所截形成的，它们是同旁内角 (2)∠A和∠CBA是由直线AD，BC被直线AE所截形成的，它们是同旁内角 (3)∠C和∠CBE是由直线CD，AE被直线BC所截形成的，它们是内错角
考点四：平行线
7．(济南中考)如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为( )
A．20° B．35°
C．55° D．70°
B
8．(随州中考)如图，直线ll∥l2，直角三角板的直角顶点C在直线l1上，一锐角顶点B在直线l2上，若∠1＝35°，则∠2的度数是( )
A．65° B．55°
C．45° D．35°
B
9．(济宁中考)如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数是( )
A．65° B．60°
C．55° D．75°
C
10．(黄冈中考)如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A，点C，AD平分∠BAC，已知∠ACD＝80°，则∠DAC的度数为________．
50°
11．如图，由∠1＝∠2能判断AB∥DF吗？若不能判断AB∥DF，你认为还需要再添加一个什么样的条件？并说明理由．
解：不能．添加的条件不唯一，如可添加条件：∠CBD＝∠EDB.理由：∵∠CBD＝∠EDB，∠1＝∠2，∴∠CBD＋∠1＝∠EDB＋∠2，即∠ABD＝∠FDB，∴AB∥DF
12．如图所示，已知CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2，猜想FG和BC的位置关系，并说明理由．
解：FG∥BC.理由如下：∵CF⊥AB，ED⊥AB，∴DE∥FC，∴∠1＝∠BCF.又∵∠2＝∠1，∴∠BCF＝∠2，∴FG∥BC
考点五：数学思想方法
13．(安顺中考)如图，三角板的直角顶点落在长方形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2的度数是( )
A．35° B．45°
C．55° D．65°
C
14．如图，AB∥EF，BC⊥CD于点C，∠ABC＝30°，∠DEF＝45°，则∠CDE等于( )
A．105° B．75°
C．135° D．115°
A
15．(苏州中考)如图，△ABC是一块直角三角板，∠BAC＝90°，∠B＝30°，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A落在直尺的一边上，AB与直尺的另一边交于点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F.若∠CAF＝20°，则∠BED的度数为____°.
80
16．(菏泽中考)如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，
则∠2－∠1的度数是_______．
80°
17．如图是用两块完全一样的三角板(含30°角)拼成的图形．请问AC与BD平行吗？为什么？
解：AC与BD平行．理由：∵∠ACB＝∠DBC＝30°，∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)(共18张PPT)
第5章 相交线与平行线
5．1 相交线
5.1.2 垂 线
知识点1：垂线的定义及应用
1．如图，CD⊥EF，垂足为O，AB是过点O的直线，∠1＝50°，则∠2的度数为( )
A．50° B．40°
C．60° D．70°
B
2．(益阳中考)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD.下列说法错误的是( )
A．∠AOD＝∠BOC
B．∠AOE＋∠BOD＝90°
C．∠AOC＝∠AOE
D．∠AOD＋∠BOD＝180°
C
3．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＝90°，则AB____CD；若AB⊥CD，则∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠AOD＝________．
⊥
90°
4．(河南中考)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为________．
140°
知识点2：垂线的画法及基本性质
5．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角尺放法正确的是( )
C
6．在同一平面内，下列语句正确的是( )
A．过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．和一条直线垂直的直线有两条
C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两直线相交，则一定垂直
C
知识点3：垂线段、点到直线的距离
7．(常州中考)如图，在线段PA，PB，PC，PD中，长度最小的是( )
A．线段PA B．线段PB
C．线段PC D．线段PD
B
8．自来水公司为某小区A改造供水系统，如图，沿路线AO铺设管道和BO主管道衔接(AO⊥BO)，路线最短，工程造价最低，根据是
________________．
垂线段最短
9．如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重合，理由是( )
A．两点确定一条直线
B．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．过一点只能作一条直线
D．垂线段最短
B
10．(淄博中考)如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有( )
A．2条 B．3条
C．4条 D．5条
D
11．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数是( )
A．60° B．120°
C．60°或90° D．60°或120°
D
12．如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝5，BC＝3，若BD的长度是整数，则BD的长度是____．
4
13．(原创题)已知，AD⊥BD，AE⊥BE且AD＝3，BE＝4，CD＝2，BC＝5，则点B到AC的距离为____，点A到BC的距离为____，点B到AD的距离为____．
4
3
7
14．(练习2变式)画图题(不写作法，保留作图痕迹)：
(1)延长线段BC到G，使得BC＝CG；
(2)在三角形ABC中，过点A作BC边上的垂线交BC于点D.
解：略
解：(1)设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，所以x°＋3x°＝180°，则x°＝45°.又OC平分∠AOD，所以∠COD＝∠AOC＝45° (2)OD⊥AB，理由：由(1)知∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝45°＋45°＝90°，所以OD⊥AB
16．如图，直线AB与CD相交于点O，OE，OF分别是∠BOD，∠AOD的平分线．
(1)∠DOE的补角是________；
(2)若∠BOD＝62°，求∠AOE和∠DOF的度数；
(3)判断射线OE与OF之间有怎样的位置关系？并说明理由．(共20张PPT)
第5章 相交线与平行线
5.2 平行线
5.2.3 平行线的性质
知识点1：平行线的性质及其应用
1．(百色中考)如图，已知a∥b，∠1＝58°，则∠2的大小是( )
A．122° B．85°
C．58° D．32
C
2．(宜昌中考)如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α＝135°，则∠β等于( )
A．45° B．60°
C．75° D．85°
C
3．(陕西中考)如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为( )
A．52° B．54°
C．64° D．69°
C
4．(深圳中考)如图，已知l1∥AB，AC为角平分线，下列说法错误的是( )
A．∠1＝∠4 B．∠1＝∠5
C．∠2＝∠3 D．∠1＝∠3
B
5．(自贡中考)如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝120°，则∠2＝________．
60°
6．(张家界中考)已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置(∠BAC＝30°)，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝18°，则∠2的度数是________．
48°
7．探照灯、锅盖天线、汽车灯等都利用了抛物线的一个原理：由它的焦点处发出的光线被反射后将会被平行射出．如图，由焦点O处发出的光线OB，OC经反射后沿与POQ平行的方向射出，已知∠ABO＝42°，∠DCO＝53°，则∠BOC＝________．
95°
8．已知：如图所示，AB∥CD，BC∥DE.
求证：∠B＋∠D＝180°.
证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝________(_____________________________).
∵BC∥DE，
∴∠C＋∠D＝180°(_______________________________).
∴∠B＋∠D＝180°(_____________).
∠C
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
等量代换
知识点2：平行线的性质与判定
9．如图，已知∠1＝36°，∠2＝36°，∠3＝140°，则∠4的度数等于( )
A．40° B．36°
C．44° D．100°
A
10．(遵义中考)如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝104°，则∠4的度数是
( )
A．74° B．76°
C．84° D．86°
B
知识点3：图形的平移
11．(习题7变式)(广州中考)在6×6方格中，将图①中的图形N平移后位置如图②所示，则图形N的平移方法中，正确的是( )
A.向下移动1格 B．向上移动1格
C．向上移动2格 D．向下移动2格
D
12．(滨州中考)如图，AB∥CD，∠FGB＝154°，FG平分∠EFD，则∠AEF的度数等于( )
A．26° B．52°
C．54° D．77°
B
13．(绵阳中考)如图，AB∥CD，∠ABD的平分线与∠BDC的平分线交于点E，则∠1＋∠2＝________．
90°
14．(枣庄中考)如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是____°.
15
15．如图，将三角形ABC平行移动后得到三角形A′B′C′，其中点C平行移动到了点C′.画出△A′B′C′.
解：图中的三角形A′B′C′即为所求
16．如图，已知∠1＝∠C，∠2＝∠3，BE是否平分∠ABC？为什么？
解：BE平分∠ABC.理由如下：因为∠1＝∠C(已知)，所以DE∥BC(同位角相等，两直线平行)，所以∠2＝∠EBC(两直线平行，内错角相等)，又因为∠2＝∠3(已知)，所以∠EBC＝∠3，即BE平分∠ABC
17．(1)如图，AB∥ED，则∠A＋∠C＋∠D＝( )
A．180° B．270° C．360° D．540°
(2)(变式1)如图，AB∥DE，∠B＝30°，∠C＝110°，∠D的度数为________；
(3)(变式2)如图，在△ABC中，∠C＝90°，若BD∥AE，∠DBC＝20°，求∠CAE的度数．
解：(1)C
(2)100°
(3)过点C作CF∥AE.∵BD∥AE，∴BD∥CF，∴∠DBC＝∠BCF＝20°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB－∠BCF＝90°－20°＝70°.∵CF∥AE，∴∠CAE＝∠ACF＝70°.即∠CAE的度数为70°(共19张PPT)
第5章 相交线与平行线
5．1 相交线
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
知识点1：同位角
1．(金华中考)如图，∠B的同位角可以是( )
A.∠1
B．∠2
C．∠3
D．∠4
D
知识点2：内错角
2．(广州中考)如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( )
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6
C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
B
3．(1)如图，AB与BC被AD所截得的内错角是______________；
(2)DE与AC被直线AD所截得的内错角是____________；
(3)图中∠4的内错角是_______和________．
∠1与∠3
∠2与∠4
∠5
∠2
知识点3：同旁内角
4．(郸城月考)如图，∠1和∠2是同旁内角的是( )
D
5．(习题1变式)(1)如果把下图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么∠1与∠2是一对什么角？∠2与∠3呢？
(2)如果把下图看成是直线AB，CD被直线EF所截，那么∠4与∠5是一对什么角？∠5与∠2呢？
解：(1)如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么∠1与∠2是一对内错角，∠2与∠3是一对同旁内角 (2)如果把图看成是直线AB，CD被直线EF所截，那么∠4与∠5是一对同位角，∠5与∠2是一对同旁内角
6．如图，能和∠α构成内错角的角的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B
7．如图，有下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是( )
A．①② B．①②③
C．②③④ D．①②③④
B
8．如图，∠B的同位角是_________，内错角是_________，同旁内角是_________和________．
∠ACD
∠BCE
∠BAC
∠ACB
9．如图，在∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠B，∠D，∠ACE中，与∠D是同位角的是_____________；与∠2是内错角的是_____________．
∠5和∠ACE
∠4和∠ACE
10．如图，图中与∠E是同位角的有_______________，与∠D是内错角的有________________，与∠E是同旁内角的有_____________________，与∠D是同旁内角的有__________________．
∠BAC和∠DAB
∠DAC和∠DAB
∠D，∠DAE，∠CAE
∠E，∠DAE
11．如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．
解：内错角：∠1与∠4，∠3与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8；同旁内角：∠3与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5；同位角：∠3与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6
12．如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1＝40°，∠2＝105°，求∠1的同位角，∠4的内错角，∠3的同旁内角的度数．
解：∠1的同位角为∠4，而∠4＋∠2＝180°，因此∠4＝180°－∠2＝180°－105°＝75°；∠4的内错角∠5与∠1是对顶角，根据对顶角相等，∠4的内错角∠5＝∠1＝40°；∠3的同旁内角为∠4，因此∠3的同旁内角是75°
13．(习题2变式)如图，(1)∠B和∠FAC是什么位置关系的角？是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？
(2)∠C和∠DAC呢？∠C和∠FAC呢？
(3)∠B的同旁内角分别是哪几个角？
解：(1)观察∠B和∠FAC可知，直线FB是截线，直线BC和AC是被截直线，此时∠B和∠FAC在截线FB同一侧，被截线的同一方，故∠B和∠FAC是同位角
(2)∠C和∠DAC是同旁内角，是直线DE和BC被直线AC所截形成的．∠C和∠FAC是内错角，是直线FB和BC被直线AC所截形成的
(3)若直线BC截直线AB和AC，则∠B的同旁内角是∠C；若直线AB截直线AC和BC，则∠B的同旁内角是∠BAC；若直线AB截直线DE和BC，则∠B的同旁内角是∠EAB.所以∠B的同旁内角有∠C，∠BAC和∠EAB
14．如图，两直线AB，CD与直线EF，GH相交，图中的同旁内角共有( )
A.4对
B．8对
C．12对
D．16对
D
15．如图，直线AB，CD被EF所截，点G，H为它们的交点，∠1∶∠2＝5∶3，∠2与它的内错角相等，HP平分∠CHG.求：
(1)∠4的度数；
(2)∠CHP的度数．
解：(1)∵∠1与∠2互补，∴∠1＋∠2＝180°.又∵∠1∶∠2＝5∶3，∴∠1＝112.5°，∠2＝67.5°.又∵∠4是∠2的内错角，又∵∠2与它的内错内相等，∴∠4＝∠2＝67.5°(共18张PPT)
第5章 相交线与平行线
5.2 平行线
5.2.2 平行线的判定
知识点1：同位角相等，两直线平行
1．(河池中考)如图，∠1＝120°，要使a∥b，则∠2的大小是( )
A．60° B．80° C．100° D．120°
D
2．(练习1变式)如图，已知∠1＝68°，∠2＝68°，∠3＝112°.在下列解答中，填空：
(1)因为∠1＝68°，∠2＝68°(已知)，
所以____________(等量代换).
所以____∥____(______________________________).
(2)因为∠3＋∠4＝180°(邻补角的定义)，∠3＝112°，
所以__________________．
又因为∠2＝68°，
所以_____________(等量代换)，
所以____∥____(_______________________________).
∠1＝∠2
a
b
同位角相等，两直线平行
∠4＝68°
∠2＝∠4
b
c
同位角相等，两直线平行
3. 如图，能判定AD∥BC的条件是( )
A．∠1＝∠4 B．∠1＝∠B
C．∠2＝∠3 D．∠2＝∠4
C
4．如图，∵∠1＝∠2，∴____∥____，理由是
__________________________________．
AD
BC
内错角相等，两直线平行
知识点3：同旁内角互补，两直线平行
5．如图，下列能判定AB∥CD的条件有( )
①∠B＋∠BCD＝180°； ②∠1＝∠2；
③∠3＝∠4; ④∠B＝∠5.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
6．(南京中考)结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵_______________________，∴a∥b.
∠1＋∠3＝180°
知识点4：垂直于同一条直线的两直线平行
7．已知在同一平面内，有三条直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则直线a与直线c之间的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．平行或相交
B
8．(南阳九中月考)如图，∠A＝80°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹的∠AOD＝88°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向旋转( )
A．8° B．10°
C．12° D．18°
C
9．(郴州中考)如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是( )
A．∠2＝∠4 B．∠1＋∠4＝180°
C．∠5＝∠4 D．∠1＝∠3
D
10．如图，若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则一定有( )
A．l1∥l2 B．l3∥l4
C．l1∥l4 D．l2∥l4
B
11．如图，在下列条件中：①∠DAC＝∠ACB；②∠BAC＝∠ACD；③∠BAD＋∠ADC＝180°；④∠BAD＋∠ABC＝180°.其中能使直线AB∥CD成立的是_________．(填序号)
②③
12．如图，AB⊥AC，EF⊥AC，∠1＝∠2，那么AB与CD是否平行？填空注明推理的依据．
解：∵AB⊥AC，EF⊥AC(_______)，
∴AB∥EF(__________________________________________________).
∵∠1＝∠2(_________)，
∴EF∥CD(______________________________).
∴AB∥CD
(_______________________________________________________________).
已知
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
已知
内错角相等，两直线平行
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
13．如图，已知∠B＝∠1，∠ECD＋∠1＝180°，试证明：AB∥CD，BF∥CE.
证明：∵∠B＝∠1，∴AB∥CD.∵∠1＝∠2，且∠ECD＋∠1＝180°，∴∠ECD＋∠2＝180°，∴BF∥CE
14．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行，并说明理由．
15．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起(其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝∠45°)：
(1)①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为_______；②若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；
(2)由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
(3)当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE的度数所有可能的值(不必说明理由)；若不存在，请说明理由．
135°
解：(1)②∵∠ACB＝140°，∠ACD＝90°，∴∠DCB＝140°－90°＝50°.∴∠DCE＝90°－50°＝40°
(2)∠ACB＋∠DCE＝180°.理由：∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB，∴∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCB＋∠DCE＝90°＋90°＝180°
(3)存在．
当∠ACE＝30°时，AD∥BC；
当∠ACE＝45°时，AC∥BE；
当∠ACE＝120°时，AD∥CE；
当∠ACE＝135°时，BE∥CD；
当∠ACE＝165°时．BE∥AD
