2023届新高考数学仿真模拟冲刺卷(二)（PDF版含解析）

2023 届新高考数学仿真模拟冲刺卷(二)
本试卷满分 150分，考试用时 120分钟．
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1A．{x|1≤x<2} B．{x|x≥1}
C．{x|x>－1} D．{x|x≥－1}
2．在复平面内，复数 z 3＋i＝ (其中 i为虚数单位)对应的点位于( )
1－i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．抛物线 x2＝1y上的一点 M到焦点的距离为 1，则点 M的纵坐标是( )
4
A.17 B.15 C．0 D.7
16 16 8
x＋π
4．函数 y＝tan 6 的一个对称中心是( )
π，0 4π，0
A．(0,0) B. 3 C. 9 D．以上选项都不对
5．已知圆锥的全面积是底面积的 3倍，那么这个圆锥的侧面积展开图——扇形的圆心
角为( )
A．60° B．90° C．120° D．180°
6．已知α是第二象限的角，tan(π＋α)＝－3，则 cos 2α＝( )
4
A. 7 B．－12 C．－ 7 D.12
25 25 25 25
7．声音大小(单位为分贝)取决于声波通过介质时，所产生的压力变化(简称声压，单位
x
为 N/m2)．已知声音大小 y与声压 x的关系式为 y＝10×lg 2×10－5 2，且根据我国《城市区
域环境噪音标准》规定，在居民区内，户外白昼噪声容许标准为 50分贝，夜间噪声容许标
准为 40分贝，则居民区内，户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压
的( )
A. 10倍 B．2 10倍 C．10倍 D．20倍
8．曲线 C1：y＝x2与曲线 C2：y＝ln x公切线的条数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分．
9．点 P在圆 C1：x2＋y2＝1上，点 Q在圆 C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则( )
A．|PQ|的最小值为 3
B．|PQ|的最大值为 7
C．两个圆心所在的直线斜率为－4
3
D．两个圆相交弦所在直线的方程为 6x－8y－25＝0
10．已知向量 a＝( 3，1)，b＝(cos θ，sin θ)，则下列说法正确的是( )
0，π
A．存在θ∈ 2 ，使得 a⊥b
0，π
B．存在θ∈ 2 ，使得 a∥b
0，π
C．对于任意θ∈ 2 ，a·b∈(1,2]
0，π
D．对于任意θ∈ 2 ，|a－b|∈[1， 3)
11．设数列{an}是等差数列，公差为 d，Sn是其前 n项和，a1>0且 S6＝S9，则( )
A．d>0 B．a8＝0
C．S7或 S8为 Sn的最大值 D．S5>S6
12．如图所示，若长方体 AC的底面是边长为 2的正方形，高为 4.E是 DD1的中点，则
( )
A．B1E⊥A1B
B．平面 B1CE∥平面 A1BD
C．三棱锥 C1 B1CE的体积为
8
3
D．三棱锥 C1 B1CD1的外接球的表面积为 24π
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在题中的横线上．
13．若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则 a＝________.
2 2
14．设 F1，F2分别是椭圆 x ＋y ＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点 M的坐
25 16
标为(－1,3)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
15．若不等式 9－x2≤k(x＋2)－ 2的解集为区间[a，b]，且 b－a＝2，则 k＝________.
1x＋1，x≤1
16．已知函数 f(x)＝ 3 ，则当函数 F(x)＝f(x)－ax恰有两个不同的零点时，
ln x，x>1
实数 a的取值范围是________．
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10分)
已知数列{an}满足 an＋1＝3an＋2n＋1，且 a1＝1.
(1)若 bn＝an＋n＋1，证明：数列{bn}是等比数列．
(2)求{an}的前 n项和 Sn.
18．(本小题满分 12分)
电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务．我们
在使用电子邮件时发现一个有趣的现象：中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人
邮箱名称里含有数字的比较少．为了研究邮箱名称里含有数字是否与国籍有关，随机调取了
40个邮箱名称，得到如下 2×2列联表：
中国人 外国人 总计
邮箱名称里有数字 15 5 20
邮箱名称里无数字 5 15 20
总计 20 20 40
(1)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析“邮箱名称里含有数字与国籍”是否有
关？
(2)用样本估计总体，将频率视为概率．在中国人邮箱名称里和外国人邮箱名称里各随
机抽取 6个邮箱名称，记“6个中国人邮箱名称里恰有 3个含有数字”的概率为 P1，“6个
外国人邮箱名称里恰有 3个含有数字”的概率为 P2，试比较 P1与 P2的大小．
n ad－bc 2
参考公式和数据：χ2＝ ，n＝a＋b＋c＋d
a＋b c＋d a＋c b＋d
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．(本小题满分 12分)
在△ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且满足 c2－a2＝bccos A－1ab.
2
(1)求角 C；
(2)若 c＝ 3，求 a＋b的取值范围．
20．(本小题满分 12分)
如图，在直角梯形 ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为 AB的中
点，沿 DE将△ADE折起，使得点 A到点 P位置，且 PE⊥EB，M为 PB的中点，N是 BC
上的动点(与点 B，C不重合)．
(1)求证：平面 EMN⊥平面 PBC；
(2)是否存在点 N，使得二面角 B EN M的余弦值为 6？若存在，确定 N点位置；若不
6
存在，说明理由．
21．(本小题满分 12分)
x2 2已知双曲线 C： －y ＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，右顶点 D 到一条渐近线的距离为 3.
a2 b2 2
(1)求双曲线 C的方程；
(2)若直线 l与双曲线 C交于 A，B两点，且O→A·O→B＝0，O为坐标原点，点 O到直线 l
的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
22．(本小题满分 12分)
若 f(x)＝1x2＋bx＋aln x.
2
(1)当 a>0，b＝－a－1时，讨论函数 f(x)的单调性；
(2)若 b＝－1，且 f(x)有两个极值点 x1，x2，证明 f(x1)＋f(x )>－
ln 2－32 .
2 4
1．答案：C
解析：因为集合 A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1－1}．
2．答案：A
3＋i 3＋i 1＋i 2＋4i
解析：因为 z＝ ＝ ＝ ＝1＋2i，所以复数 z对应的点的坐标为(1,2)，
1－i 1－i 1＋i 2
位于第一象限．
3．答案：B
1 1
解析：抛物线 x2＝ y的准线方程为 y＝－ ，设点 M的纵坐标是 y，则
4 16
∵抛物线 y上一点 M到焦点的距离为 1
∴ 1 15根据抛物线的定义可知，点 M到准线的距离为 1，∴y＋ ＝1，∴y＝ ，∴点 M的
16 16
15
纵坐标是 .
16
4．答案：B
kπ
，0
解析：因为 y＝tan x π kπ的对称中心为 2 所以令 x＋ ＝ ，
6 2
π
π ，0 x
π
＋
当 k＝1 时，x＝ ，即 3 为函数 y＝tan 6 的一个对称中心．经检验，其他选项
3
不成立．
5．答案：D
解析：由题设，若圆锥底面半径为 r，母线长为 l，∴由圆锥的全面积是底面积的 3 倍，
则πrl＝2πr2，即 l＝2r，
设圆锥的侧面积展开图——扇形的圆心角为θ，则θl＝2πr，可得θ＝π.
6．答案：A
1 9cos2α－sin2α 1－tan2α －
解析：∵tan(π＋α) 3 7＝tan α＝－ ，∴cos 2α＝ ＝ ＝ 16＝ .
4 cos2α＋sin2α 1＋tan2α 9 251＋
16
7．答案：A
x
解析：声音大小 y与声压 x的关系式为 y＝10×lg 2×10－5 2，当 y＝50 时，
x x
lg 2×10
－5 2＝5，即 2×10
－5 2＝105，解得 x＝2×10 5－ ，
2
x x
当 y＝40 时，lg 2×10
－5 2＝4，即 2×10
－5 2＝104，解得 x＝2×10－3，
2×10 5－ 1
所以户外白昼噪声容许标准的声压与户外夜间噪声容许标准的声压比为 2＝10
2×10－3 2
＝ 10.
8．答案：C
解析：设公切线与 y＝x2的切点为(x1，x21)，公切线与 y＝ln x的切点为(x2，ln x2)，y＝x2
的导数为 y′＝2x；y＝ln x 1的导数为 y′＝ ，
x
则在切点(x1，x21)处的切线方程为 y－x21＝2x1(x－x1)，即 y＝2x1x－x21，
1 1
则在切点(x2，ln x2)处的切线方程为 y－ln x2＝ (x－x2)，即 y＝ x＋ln x2－1，
x2 x2
2x 11＝
∴ x2 ，整理得到 x21－ln x1＝1＋ln 2，
x21＝1－ln x2
2x2－1
令 f(x)＝x2－ln x，x∈(0，＋∞)，则 f′(x)＝2x 1－ ＝ ，
x x
f′(x)>0 x> 2 f′(x)<0 02 2
0 2 2， ，＋∞
∴f(x)在区间 2 上单调递减，在区间 2 上单调递增，
2
f(x) 1 1min＝f 2 ＝ ＋ ln 2<1＋ln 2，
2 2
即函数 f(x)与 y＝1＋ln 2 的图象，如图所示，
由图可知，函数 f(x)与 y＝1＋ln 2 有两个交点，则方程 x21－ln x1＝1＋ln 2 有两个不等正
根，即曲线 C1：y＝x2与曲线 C2：y＝ln x公切线的条数有 2 条．
9．答案：ABC
解析：圆 C1：x2＋y2＝1 的圆心坐标 C1(0,0)，半径 r＝1，
圆 C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，即(x－3)2＋(y＋4)2＝1 的圆心坐标 C2(3，－4)，半径 R
＝1，
∴圆心距|C1C2|＝ －4－0 2＋ 3－0 2＝5，
又∵P在圆 C1上，Q在圆 C2上，
则|PQ|的最小值为|PQ|min＝|C1C2|－R－r＝3，最大值为|PQ|max＝|C1C2|＋R＋r＝7.故 A、B
正确；
－4－0
两圆圆心所在的直线斜率为 kC 41C2＝ ＝－ ，C 正确；
3－0 3
圆心距|C1C2|＝ －4－0 2＋ 3－0 2＝5 大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D 错误．
10．答案：BCD
θ π π π＋ θ＋ 0，
解析：a·b＝ 3cos θ＋sin θ＝2sin 3 ，若 a⊥b，则 2sin 3 ＝0，因为θ∈ 2 ，
此时θ无解，故 A 错误；
0 π，
若 a∥b，则 3sin θ－cos θ 0 θ∈ 2 θ π＝ ，因为 ，所以 ＝ ，故 B 正确；
6
θ π 0 π π 5＋ ， ， π θ π 1＋ ，1
a·b＝2sin 3 π，因为θ∈ 2 ，所以θ＋ ∈ 3 6 ，则 sin 3 ∈ 2 ，所以 a·b
3
θ π＋
＝2sin 3 ∈(1,2]，故 C 正确；
θ π π－ 0，
|a － b|＝ 3－cos θ 2＋ 1－sin θ 2 ＝ 5－4cos 6 ， 因 为 θ∈ 2 ， 则 θ－
π π π 1
π － ， θ－ ，1∈ 6 3 ，所以 cos 6 ∈ 2 ，则|a－b|∈[1， 3)，故 D 正确．
6
11．答案：BC
解析：由 S6＝S9得，S9－S6＝0，即 a7＋a8＋a9＝0，又 a7＋a9＝2a8，∴3a8＝0，∴a8＝0，
∴B 正确；
由 a8＝a1＋7d＝0 d
a
，得 ＝－ 1，又 a1>0，∴d<0，∴数列{an}是单调递减的等差数列，
7
an>0 n∈N*，n≤7
∴ ，∴S7或 S8为 Sn的最大值，∴A 错误，C 正确；
an<0 n∈N*，n≥9
∵S6－S5＝a6>0，∴S6>S5，所以 D 错误．
12．答案：CD
解析：长方体 ABCD A1B1C1D1的底面是边长为 2 的正方形，高为 4，E是 DD1的中点，
在 A 中，以 A为原点，AB为 x轴，AD为 y轴，AA1为 z轴，建立空间直角坐标系，
则 B1(2,0,4)，E(0,2,2)，A1(0,0,4)，B(2,0,0) B
→E ( 2,2 2) A→， 1 ＝ － ，－ ， 1B＝(2,0，－4)，
∵B→1E·A
→
1B＝－4＋0＋8＝4≠0，∴B1E与 A1B不垂直，故 A 错误；
在 B 中，B1(2,0,4)，C(2,2,0)，E(0,2,2)，A1(0,0,4)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，
C→B1＝(0，－2,4) →，CE＝(－2,0,2)，B→A1＝(－2,0,4)，B→D＝(－2,2,0)，
n·C→B1＝－2y＋4z＝0
设平面 B1CE的法向量 n＝(x，y，z)，则 → ，取 x＝1，得 n＝(1,2,1)，n·CE＝－2x＋2z＝0
设平面 A1BD的法向量 m＝(a，b，c)，
m·B→A1＝－2a＋4c＝0 1 1 1， ，
则 → ，取 a＝1，得 m＝ 2 ，∵m，n 不共线，∴平面 B1CEm·BD＝－2a＋2b＝0
与平面 A1BD相交，故 B 错误；
在 C 中，三棱锥 C1 B1CE的体积为：VC1 B1CE＝VB1 C1CE 1×1×4×2×2 8＝ ＝ ，故 C
3 2 3
正确；
在 D 中，三棱锥 C1 B1CD1的外接球就是长方体 ABCD A1B1C1D1的外接球，
22＋22＋42
∴三棱锥 C1 B1CD1的外接球半径 R＝ ＝ 6，
2
∴三棱锥 C1 B1CD1的外接球的表面积为 S＝4π×( 6)2＝24π，故 D 正确．
13．答案：1
解析：由函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数 函数 g(x)＝ln(x＋ a＋x2)为奇函数，g(0)
＝ln a＝0 a＝1.
14．答案：15
解析：由题意 F2(3,0)，|MF2|＝5，
由椭圆的定义可得，|PM|＋|PF1|＝2a＋|PM|－|PF2|＝10＋|PM|－|PF2|≤10＋|MF2|＝15，
当且仅当 P，F2，M三点共线时取等号．
15．答案： 2
解析：如图分别作出直线 y＝k(x＋2)－ 2与半圆 y＝ 9－x2，由题意，知直线过定点 A(－
2，－ 2)，
由 b－a＝2，得 b＝3，a＝1，即直线与半圆交点 N的横坐标为 1，代入得 y＝ 9－12＝
2 2，
2 2－ － 2
所以直线 y＝k(x＋2)－ 2过点 N(1,2 2)，所以 k k 3 2＝ AN＝ ＝ ＝ 2.
1－ －2 3
1，1
16．答案： 3 e
解析：由题可知方程 f(x)＝ax恰有两个不同的实数根，所以 y＝f(x)与 y＝ax有 2 个交点，
因为 a表示直线 y＝ax的斜率，当 x>1 f′(x) 1 1时， ＝ ，设切点坐标为(x0，y0)，k＝ ，
x x0
1
所以切线方程为 y－y0＝ (x－x0)，而切线过原点，所以 y0＝1，x
1
0＝e，k＝ ，
x0 e
所以直线 l 1 1 11的斜率为 ，直线 l2与 y＝ x＋1 平行，所以直线 l2的斜率为 ，
e 3 3
1 1
，
所以实数 a的取值范围是 3 e .
b a
17 (1) a 3a 2n 1 b a n 1 n＋1 n＋1
＋n＋1＋1
．解析： 证明：因为 n＋1＝ n＋ ＋ ，且 n＝ n＋ ＋ ，所以 ＝bn an＋n＋1
3an＋3n＋3
＝ ＝3.
an＋n＋1
又因为 b1＝a1＋1＋1＝3，所以数列{bn}是以 3 为首项，3 为公比的等比数列．
(2)由(1)可得，an＋n＋1＝3n，即 an＝3n－n－1，
3 1－3n 2＋n＋1 n 3n＋1－n2－3n－3
则 Sn＝31＋32＋…＋3n－(2＋3＋…＋n＋1)＝ － ＝ .
1－3 2 2
18．解析：(1)零假设 H0：“邮箱名称里含有数字与国籍”无关．
2 n ad－bc
2 40 15×15－5×5 2
χ ＝ ＝ ＝10<10.828，
a＋b c＋d a＋c b＋d 20×20×20×20
故没有充分的依据推断零假设 H0不成立，
因此可以认为 H0成立，即认为“邮箱名称里含有数字与国籍”无关．
(2)用样本估计总体，将频率视为概率，
根据 2×2 15 3列联表，中国人邮箱名称里含数字的概率为 ＝ ，
20 4
5 1
外国人邮箱名称里含数字的概率为 ＝ .
20 4
设“6 个中国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量ξ，“6 个外国人邮箱名称里含数
字”的人数为随机变量η，
6 3 6 1， ，
根据题意得：ξ～B 4 ，η～B 4 .
3 3 3 1 1 1
则 P1＝C63 4 3
1－
4 6－3＝C36 4 3 4 3
1－
，P2＝C36 4 3 4 6－3
1 3
＝C63 4 3 4 3.所以 P1＝P2.
b2＋c2－a2
19． 1解析：(1)由余弦定理得 cos A＝ ，又∵c2－a2＝bccos A－ ab，
2bc 2
2 2
2 2 b ＋c －a
2
则 c －a ＝bc· 1－ ab，得 2c2－2a2＝b2＋c2－a2－ab，
2bc 2
1 π
即 a2＋b2－c2＝ab，所以 cos C＝ ，又因为 02 3
3
(2)由(1) π得 C＝ ，则 sin C 3 a b c＝ ，又 c＝ 3，由正弦定理得 ＝ ＝ ＝ ＝2
3 2 sin A sin B sin C 3
2
＝2R，
2π
－A A π＋
∴a＋b＝2sin A＋2sin B＝2sin A＋2sin 3 ＝3sin A＋ 3cos A＝2 3sin 6 ，
π
∵C π ∴0A＋
＝ ， ，则 ＋ ， 3 3 6 6 6 2
A π＋
∴ 3<2 3sin 6 ≤2 3
∴a＋b的取值范围是( 3，2 3]．
20．解析：(1)证明：由 PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED＝E，所以 PE⊥平面 EBCD，又
BC 平面 EBCD，
故 PE⊥BC，又 BC⊥BE，PE∩BE＝E，故 BC⊥平面 PEB，EM 平面 PEB，故 EM⊥BC，
又等腰三角形 PEB，EM⊥PB，BC∩PB＝B，故 EM⊥平面 PBC，
EM 平面 EMN，故平面 EMN⊥平面 PBC；
(2)以 E为原点，EB，ED，EP分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设 PE＝EB＝2，设 N(2，m,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,0,1)，
E→M＝(1,0,1)，E→B＝(2,0,0)，E→N＝(2，m,0)，设平面 EMN的法向量为 m＝(x，y，z)，
m·E→M＝x＋z＝0
由 → ，得 m＝(m，－2，－m)，平面 BEN的法向量为 n＝(0,0,1)，m·EN＝2x＋my＝0
－m
故|cos〈m，n〉|＝| 2m2＋4| 6＝ ，得 m＝1，故存在 N为 BC的中点．
6
21．解析：(1) b由题意，得双曲线 C的渐近线方程为 y＝± x，
a
右顶点为 D(a,0)．又 a2＋b2＝c2，
3 |b| |b| ab c
且 ＝
2 b2
＝ a2＋b2＝ ，e＝ ＝2，1＋ c a
a2 a2
a 1
所以 ＝ ，故 b＝ 3.
c 2
又 a2＋3＝4a2，解得 a2＝1，
y2
所以双曲线 C的方程为 x2－ ＝1.
3
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．
当直线 l和轴线平行时，|x1|＝|y1|，|x2|＝|y2|，解得|x1|＝|y1|＝|x2| 6＝|y2|＝ ，
2
所以点 O 6到直线 l的距离为 .
2
当直线 l和轴线不平行时，
设直线 l的方程为 x＝my＋t，
x2 y
2
－ ＝1，
由 3 得(3m2－1)y2＋6mty＋3t2－3＝0，
x＝my＋t
Δ＝(6mt)2－4(3m2－1)(3t2－3)＝12(3m2＋t2－1)>0，
－6mt 3t2－3
所以 y1＋y2＝ ，y1y2＝ .
3m2－1 3m2－1
又 x1＝my1＋t，x2＝my2＋t，
→
所以OA·O→B＝x1x2＋y1y2＝(my1＋t)(my2＋t)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0，
m2＋1 3t2－3 －6m2t2＋t2 3m2－1
得 ＝0，
3m2－1
解得 2t2＝3m2＋3.
|t|
又点 O到直线 l的距离为 d＝ ，
m2＋1
t2 3 6
则 d2＝ ＝ ，故 d＝ ，
m2＋1 2 2
所以点 O到直线 l 6的距离为定值 .
2
a x2－ a＋1 x＋a x－a x－1 22．解析：(1)当 a>0，b＝－a－1 时，f′(x)＝x－a－1＋ ＝ ＝ ，
x x x
(x>0)，令 f′(x)＝0，x＝a或 1，
当 a>1 时，函数 f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增；
x－1 2
当 a＝1 时，f′(x)＝ >0，故函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
x
当 a<1 时，函数 f(x)在(0，a)上单调递增，在(a,1)上单调递减，在(1，＋∞)单调递增；
a x2－x＋a(2)证明：当 b＝－1 时，f′(x)＝x－1＋ ＝ (x>0)．
x x
∵函数 f(x)有两个极值点 x1，x2，∴方程 x2－x＋a＝0 有两个根 x1，x2，
x1＋x2＝1
∴ 1，且Δ＝1－4a>0，解得 0x1·x2＝a 4
由题意得 f(x1)＋f(x2) 1＝ x12－x1＋aln x 1 11＋ x22－x2＋aln x2＝ (x12＋x22)－(x1＋x2)＋aln(x1·x2)
2 2 2
1
＝ (x1＋x2)2－x1·x2－(x1＋x2)＋aln(x1·x
1
2)＝ －a－1＋aln a＝aln a－a
1
－ ，
2 2 2
0令 h(a)＝aln a－a－ 4 ，
2
0 1 1，
则 h′(a)＝ln a<0 ∴y h(a) 4 ∴h(a)>h 4 ln 2 3， ＝ 在 上单调递减， ＝－ － ，
2 4
∴f(x1)＋f(x2)>
ln 2 3
－ － .
2 4