2023届新高考数学仿真模拟冲刺卷(三)（PDF版含解析）

2023 届新高考数学仿真模拟冲刺卷(三)
本试卷满分 150分，考试用时 120分钟．
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为实数集 R，集合 A＝{x|(x＋1)(2－x)≥0}，则 RA＝( )
A．{x|－1≤x≤2} B．{x|x<－1或 x>2}
C．{x|x≤－1或 x>2} D．{x|－12．已知复数 z满足 z(2＋i)＝|3＋4i|(其中 i为虚数单位)，则复数－z ＝( )
A．2－i B．－2＋i C．2＋i D．－2－i
3．为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育
锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某市抽调三所中学进行中学生体育达标测
试，现简称为 A校、B校、C校．现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前 200名
学生层次分布的饼状图、A校前 200名学生的分布条形图，则下列结论不一定正确的是( )
A．测试成绩前 200名学生中 B校人数超过 C校人数的 1.5倍
B．测试成绩前 100名学生中 A校人数超过一半以上
C．测试成绩在 51～100名学生中 A校人数多于 C校人数
D．测试成绩在 101～150名学生中 B校人数最多 29人
4 3x．函数 f(x)＝ 的图象大致为( )
x2＋cos x
5．已知函数 y＝f(x)，x∈[－2π，2π]的图象如图所示，则该函数的解析式可能为( )
A．f(x)＝cos x－|sin x| B．f(x)＝sin x－|cos x|
C．f(x)＝cos x＋|sin x| D．f(x)＝cos 2x－|cos x|
6．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派 7名党员去甲、乙、丙三个村进行调
研，其中有 4名男性党员，3名女性党员，现从中选 3人去甲村，若要求这 3人中既有男性，
又有女性，则不同的选法共有( )
A．35种 B．30种 C．28种 D．25种
2
7．已知F ，F 分别为椭圆E：y ＋x
2
1 2 ＝1(a>b>0)的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2 2 2，a b
且 sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则椭圆 E的离心率为( )
A. 10 B. 10 C. 5 D. 5
2 4 2 4
8．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是
数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三
1，2 0，1 2，1
段，去掉中间的区间段 3 3 ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 3 ， 3 分别
均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操
作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断
地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和
不小于26，则需要操作的次数 n的最小值为( )
27
参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分．
2 2
9 x y．已知曲线 C的方程为 ＋ ＝1(m∈R)，则( )
m＋1 3－m
A．当 m＝1时，曲线 C为圆
B．当 m＝5时，曲线 C为双曲线，其渐近线方程为 y＝± 3x
3
C．当 m>1时，曲线 C为焦点在 x轴上的椭圆
D．存在实数 m使得曲线 C为双曲线，其离心率为 2
10．下列说法正确的是( )
A．直线(3＋m)x＋4y＝5－3m与 2x＋(5＋m)y＝8平行，则 m＝－1
B．正项等比数列{an}满足 a1＝1，a2a4＝16，则 S4＝15
C．在△ABC中，B＝30°，b＝1，若三角形有两解，则边长 c的范围为 1D．函数 f(x) a 1＝ － 为奇函数的充要条件是 a＝1
2x＋1 2
11．已知函数 f(x)＝(2cos2ωx－1)sin 2ωx＋1cos 4ωx(ω>0)，则下列说法正确的是( )
2
A．若 f(x)的两个相邻的极值点之差的绝对值等于π，则ω＝2
4
1 －
π，π
B．当ω＝ 时，f(x)在区间 4 4 上的最小值为－1
2 2
－π，0
C．当ω＝1时，f(x)在区间 4 上单调递增
π
D．当ω＝1时，将 f(x)图象向右平移π 2
4x－
个单位长度得到 g(x)＝ sin 4 的图象
8 2
12．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 P在线段 BC1上运动，则下列判断中正确
的是( )
A．平面 PB1D⊥平面 ACD1
B．A1P∥平面 ACD1
0，π
C．异面直线 A1P与 AD1所成角的范围是 3
D．三棱锥 D1 APC的体积不变
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在题中的横线上．
13．函数 f(x)＝(x＋2)e－x的图象在点(0，f(0))处的切线方程为________．
14．已知随机变量 X～N(0，σ2)，且 P(X>a)＝m，a>0，则 P(－a15．将一个正方形绕着它的一边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为 27π，则该几
何体的全面积为________．
16．如图，在四边形 ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝6，且A→D＝λB→C，A→D·A→B＝－2，
则实数λ的值为________，若 M，N是线段 BC上的动点，且|M→N|＝1，则A→M·D→N的最小值为
________．
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10分)
已知数列{an}是等差数列，且 a1＝1，a10－a2＝8，求：
(1){an}的通项公式；
1
(2)设数列 anan＋2 的前 n项和为 S mn，若 Sn≤ (m∈N＋)对任意 n∈N＋恒成立，求 m的最12
小值．
18．(本小题满分 12分)
在△ABC中，∠BAC的角平分线 AD与边 BC相交于点 D，满足 BD＝2DC.
(1)求证：AB＝2AC；
(2)若 AD＝BD＝2，求∠BAC的大小．
19．(本小题满分 12分)
如图，在三棱锥 P ABC中，AB⊥BC，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为 AC中点．
(1)证明：直线 PO⊥平面 ABC；
(2)若点 M在棱 BC上，BM＝1MC，且 AB＝BC，求直线 PC与平面 PAM所成角的余弦
2
值．
20．(本小题满分 12分)
每年春天，婺源的油菜花海吸引数十万游客纷至沓来，油菜花成为“中国最美乡村”的
特色景观，三月，婺源篁岭油菜花海进入最佳观赏期．现统计了近七年每年(2015年用 x＝1
表示，2016年用 x＝2表示)来篁岭旅游的人次 y(单位：万人次)相关数据，如下表所示：
x 1 2 3 4 5 6 7
旅游人次 y(单位：万人次) 29 33 36 44 48 52 59
(1)若 y关于 x具有较强的线性相关关系，求 y关于 x的经验回归方程 y＝bx＋a，并预测
2022年篁岭的旅游的人次；
(2)为维持旅游秩序，今需 A、B、C、D四位公务员去各景区值班，已知 A、B、C去篁
岭值班的概率均为2，D去篁岭值班的概率为1，且每位公务员是否去篁岭值班不受影响，用
3 3
X表示此 4人中去篁岭值班人数，求 X的分布列与数学期望．
参考公式：b＝ － －错误!，a＝ y－b x .
参考数据： !＝301， !x－－错误 i 错误 i x )(yi－－y )＝140.
21．(本小题满分 12分)
已知抛物线 C的顶点在坐标原点，焦点在 y轴的正半轴上，直线 l：mx＋y－3＝0经过
2
抛物线 C的焦点．
(1)求抛物线 C的方程；
(2)若直线 l与抛物线 C相交于 A、B两点，过 A、B两点分别作抛物线 C的切线，两
条切线相交于点 P，求△ABP面积的最小值．
22．(本小题满分 12分)
已知函数 f(x)＝xln x－ax2.
(1)若 f(x)的图象恒在 x轴下方，求实数 a的取值范围；
(2)若函数 f(x)有两个零点 m、n，且 1n
1．答案：B
解析：由(x＋1)(2－x)≥0，解得－1≤x≤2，∴A＝{x|－1≤x≤2}，∴ RA＝{x|x<－1 或
x>2}．
2．答案：C
5 5 2－i －
解析：∵z(2＋i)＝|3＋4i|＝ 32＋42＝5，∴z＝ ＝ ＝2－i，则 z ＝2＋i.
2＋i 2＋i 2－i
3．答案：C
解析：对于 A，B校人数为 200×34%＝68，C校人数为 200×20%＝40，因为 68>40×1.5
＝60，所以 A 正确；对于 B，A校前 100 名的人数有 29＋25＝54>50，所以 B 正确；对于 C，
A校在 51～100 名的学生有 25 人，C 校在 1～200 名的学生有 40 人，也有可能在 51～100
名的学生有 25 人，所以 C 错误；对于 D，A校在 1～100 名和 151～200 名的学生共有 29＋
25＋17＝71 人，A校在 101～150 的有 21 人，C校在 1～200 名的有 40 人，但在 101～150
的不一定有 40 人，而三个学校中在 1～100 名和 151～200 名内的人数至少有 150 人，所以
B校至少有 150－71－40＝39 人在 1～100 名和 151～200 名内，则 B至多有 68－39＝29 人
在 101～150 内，所以 D 正确．
4．答案：A
3x
解析：因为 f(－x)＝－ ＝－f(x)，所以 f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排
x2＋cos x
除 B D 3π， ；因为 f(π)＝ >0，所以排除 C.
π2－1
5．答案：A
解析：取 x＝0，对于 A：f(0)＝cos 0－|sin 0|＝1－0＝1；对于 B：f(0)＝sin 0－|cos 0|＝0
－1＝－1；对于 C：f(0)＝cos 0＋|sin 0|＝1＋0＝1；对于 D：f(0)＝cos 0－|cos 0|＝1－1＝0，
π
π π sin
π
结合图象中 f(0)＝1，故排除 BD；取 x＝ ，对于 A：f 2 ＝cos －| 2|＝0－1＝－1，对于
2 2
π sinπ
C：f 2 ＝cosπ＋| 2|＝0＋1＝1，结合图象，可排除 C.
2
6．答案：B
解析：从 7 名党员选 3 名去甲村共有 C 37种情况，3 名全是男性党员共有 C 34种情况，3
名全是女性党员共有 C 33种情况，3 名既有男性，又有女性共有 C37－C34－C33＝30 种情况．
7．答案：B
2 2
解析：F y x1，F2分别为椭圆 E： ＋ ＝2 2 1(a>b>0)的两个焦点，a b
P是椭圆 E上的点，PF1⊥PF2，且 sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理可得|PF1|＝
3|PF2|，
令|PF1|＝3|PF2|＝3n，则 3n＋n＝2a,9n2 n2 4c2
5
＋ ＝ ，可得 a2＝4c2，
2
5
e c 2 10所以椭圆的离心率为： ＝ ＝ ＝ .
a 4 4
8．答案：D
解析：记 an为第 n 1 1次去掉的长度，a1＝ ，剩下两条长度为 的线段，第二次去掉的线
3 3
1
段长为 a2＝2× 3 2
2
＝ ，
32
第 n 1－1 次操作后有 2n－1条线段，每条线段长度为 ，因此第 n次去掉的线段长度为
3n－1
n－1
an＝2n－1
1 1 2× × ＝ ，
3n－1 3 3n
2
1× 1－ 3 n 2 2
S 3 1 3 n≥ 26 3 n≤ 1所 以 n ＝ ＝ － ， ， n(lg 2 － lg 3)≤ － 3lg 3 ，
2 27 271－
3
n 3lg 3≥ ≈8.13，n的最小值为 9.
lg 3－lg 2
9．答案：AB
x2 y2
解析：对于 A，m＝1 时，方程为 ＋ ＝1，即 x2＋y2＝2，曲线 C是圆，A 正确；对于
2 2
2 2
B，m 5 x y＝ 时，方程为 － ＝1 3，曲线 C为双曲线，其渐近线方程为 y＝± x，B 正确；对
6 2 3
于 C，m>1 时，不妨令 m＝5，由选项 B 知，曲线 C 为双曲线，C 不正确；对于 D，要曲线
C为双曲线，必有(m＋1)(3－m)<0，即 m<－1 或 m>3，
2
m< 1 y x
2 x2 y2
－ 时，曲线 C： － ＝1，m>3 时，曲线 C： － ＝1，
3－m － m＋1 m＋1 m－3
因双曲线离心率为 2时，它实半轴长与虚半轴长相等，而－(m＋1)≠3－m，m＋1≠m
－3，D 不正确．
10．答案：BCD
解析：若直线(3＋m)x＋4y＝5－3m与 2x＋(5＋m)y＝8 平行，
3＋m 5＋m ＝4×2
则 ，解得：m＝－7，故选项 A 不正确；
3＋m × －8 ≠ 3m－5 ×2
数列{an}满足 a1＝1，a2a4＝16，所以 a32＝16，所以 a3＝a1q2＝q2＝4，可得 q＝2，
a1 1－q4 1－24
所以 S4＝ ＝ ＝15，故选项 B 正确；
1－q 1－2
在△ABC中，B＝30°，b c b＝1，由正弦定理可得 ＝ ，即 c＝2sin C，
sin C sin B
因为 A＋C＝180°－30°＝150°，因为 C有两个值，且两个值互补，
若 C≤30°，则其补角大于 150°，则 B＋C>180°不成立，
所以 30°所以 30°2
函数 f(x) 1＝a－ 为奇函数，则 f(0) 1 1 1＝a－ ＝0，可得 a＝ ，当 a＝ 时，
2x＋1 20＋1 2 2
f(x) 1 1＝ － ，
2 2x＋1
x 2x＋1－1
f( x) 1 1 1 2 1 1 1 1 1－ ＝ － ＝ － ＝ － ＝ －1＋ ＝－ ＋ ＝－f(x)，
2 2－x＋1 2 2x＋1 2 2x＋1 2 2x＋1 2 2x＋1
1
所以当 a＝ 时，f(x) f(x) a 1 a 1是奇函数，函数 ＝ － 为奇函数的充要条件是 ＝ ，故选
2 2x＋1 2
项 D 正确．
11．答案：BD
f(x) (2cos2ωx 1)sin 2ωx 1解析： ＝ － ＋ cos 4ωx＝cos 2ωxsin 2ωx 1＋ cos 4ωx 1＝ sin 4ωx＋
2 2 2
1 2 4ωx
π
＋
cos 4ωx＝ sin 4 ，
2 2
A．f(x) π π π 2π π的两个相邻的极值点之差的绝对值等于 ，则 T＝2× ＝ ， ＝ ，ω＝1，A 错；
4 4 2 4ω 2
2x π π π π 3π1 2 ＋ － ，B ω f(x) π
－ ，
．当 ＝ 时， ＝ sin 4 ，x∈ 4 4 时，2x＋ ∈ 4 4 ，f(x)的最小值
2 2 4
2
2 － 1
为 × 2 ＝－ ，B 正确；
2 2
4x π π 0 3π π2 ＋ － ， － ，C．当ω＝1 时，f(x)＝ sin 4 x∈ 4 4x π， 时， ＋ ∈ 4 4 ，
2 4
因此在此区间上，函数不单调，C 错；
4x π＋
D 2 π．ω＝1 时，f(x)＝ sin 4 ，将 f(x)图象向右平移 个单位长度得到图象的解析式
2 8
x π－
4 π
g(x) 2sin 8
π
＋ 2 4x－
为 ＝ 4 ＝ sin 4 ，D 正确．2 2
12．答案：ABD
解析：根据正方体的性质，可得 DB1⊥平面 ACD1，又由 DB1 平面 PB1D，则平面 PB1D⊥
平面 ACD1，故 A 正确；
连接 A1B，A1C1，在正方体中，可得平面 BA1C1∥平面 ACD1，又由 A1P 平面 BA1C1，
所以 A1P∥平面 ACD1，故 B 正确；
当 P π与线段 BC1的两端点重合时，A1P与 AD1所成角取最小值 ，当 P与线段 BC1的中
3
π π
π ，
点重合时，A1P与 AD1所成角取最大值 ，故 A1P与 AD1所成角的范围是 3 2 ，故 C 错误；
2
VD1 APC＝VC AD1P，因为点 C到平面 AD1P 的距离不变，且△AD1P的面积不变，所
以三棱锥 C AD1P的体积不变，故 D 正确．
13．答案：x＋y－2＝0
解析：∵f(x)＝(x＋2)e－x，∴f′(x)＝e－x－(x＋2)e－x＝－(x＋1)e－x，则 f′(0)＝－1.因为 f(0)
＝2，所以所求切线方程为 y－2＝－x，即 x＋y－2＝0.
14．答案：1－2m
解析：由 X～N(0，σ2)，且 P(X>a)＝m，a>0，则 P(X<－a)＝m，所以 P(－a2m.
15．答案：36π
解析：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为 27π，设正
方体的边长为 a，则 V＝πa2·a＝27π，解得 a＝3，∴该圆柱的全面积为 S＝2π×3×3＋2×π×32
＝36π.
16． 1 11答案：
3 4
→ → → →
解析：因为AD＝λBC，所以AD∥BC，
因为∠B＝60°，所以∠BAD＝120°，
→
所以AD·A→B |A→＝ D|·|A→B|cos 120° 1λ|B→C|·|A→＝－ B| 1＝－ λ×6×2＝－2 λ 1＝ ；
2 2 3
建立如图所示的坐标系 xOy，因为∠B＝60°，AB＝2，BC＝6，可得 A(0， 3)，D(2， 3)，
设 M(m,0) → →，因为|MN|＝1，则 N(m＋1,0)，所以AM＝(m，－ 3) D→， N＝(m－1，－ 3)，
1
→ → 2 2 m－AM·DN＝m(m－1)＋( 3) 11 11＝m －m＋3＝ 2 2＋ ≥ ，
4 4
当 m 1 A→M·D→N 11＝ 时等号成立，所以 的最小值为 .
2 4
17．解析：(1)设数列{an}公差为 d，则 a10＝a1＋9d，a2＝a1＋d，则 a10－a2＝a1＋9d－(a1
＋d)＝8，解得 d＝1.
∴{an}的通项公式为：an＝1＋(n－1)·1＝n.
(2) 1 1 1 1 1 1根据题意，Sn＝ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋
a1a3 a2a4 anan＋2 1×3 2×4 n n＋2
1 1 1 1 11 － ＋ － ＋…
1
＋ －
＝ × 3 2 4 n n＋2
2
1 1 1
1 1
1 1 1
＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋…＋
＝ × 2 3 n － 3 4 n＋2
2
1 1
1 ＋1 1＋ － n＋1 n＋2 3 2n＋3 3
＝ × 2 ＝ － < .2 4 2· n＋1 · n＋2 4
m m 3
若 Sn≤ (m∈N＋)对任意 n∈N＋恒成立，则 ≥ ，解得 m≥9.∴m的最小值为 9.12 12 4
18．解析：(1)证明：因为 AD为∠BAC的角平分线，故∠BAD＝∠DAC，
在△ABD BD AB中，由正弦定理可得： ＝ ①，
sin∠BAD sin∠ADB
ADC DC AC在△ 中，由正弦定理可得： ＝ ②，
sin∠DAC sin∠ADC
BD AB·sin∠ADC
由①和②可得 ＝ ，
DC AC·sin∠ADB
又∠ADC＋∠ADB＝180°，故 sin∠ADC＝sin∠ADB，
BD AB
可得： ＝ ＝2，即 AB＝2AC；
DC AC
(2)由题意可知 AD＝BD＝2，DC＝1，由(1)知 AB＝2AC，不妨设 AB＝2AC＝2x.
在△ABD中，由余弦定理可得：AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
即 4x2＝8－8cos∠ADB③，
在△ADC中，由余弦定理可得：AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC，
即 x2＝5－4cos∠ADC④，
由又∠ADC＋∠ADB＝180°，故 cos∠ADC＝－cos∠ADB，
由③和④可解得：x＝ 3，cos∠ADC 1＝ ，
2
从而可得 AB＝2 3，AC＝ 3，BC＝3，
AB2＋AC2－BC2
在△ABC中，由余弦定理得：cos∠BAC 1＝ ＝ ，
2AB·AC 2
又 0°<∠BAC<180°，故∠BAC＝60°.
19．解析：(1)∵PA＝PC，且 O为 AC中点，∴PO⊥AC，∵AB⊥BC，且 O为 AC中点，
∴OB 1＝ AC＝2，
2
∵PA＝PC＝AC＝4，且 O为 AC中点，∴PO＝2 3，∵PB＝4，OB＝2，PO＝2 3，
∴PB2＝PO2＋OB2，∴PO⊥OB，
∵OB，AC 平面 ABC，且 OB∩AC＝O，∴PO⊥平面 ABC.
(2)∵AB＝BC，且 O为 AC中点，∴AC⊥OB，从而 OB，OC，OP两两垂直，
如图，建立以 O为原点，且 OB，OC，OP分别为 x，y，z轴的空间直角坐标系，
则 A(0，－2,0)，P(0,0,2 3)，C(0,2,0)，B(2,0,0)，
设 M(x y z) BM 1MC B→M 1→ 1， ， ，由 ＝ ，即 ＝ MC，所以(x－2，y，z)＝ (－x,2－y，－z)，所
2 2 2
x 2 1－ ＝－ x
2
1 4 2y＝ 2－y ， ，0以 2 ，解得 M 3 3 ，
z 1＝－ z
2
4 2
∴P→C → →
， ，－2 3
＝(0,2，－2 3)，PA＝(0，－2，－2 3)，PM＝ 3 3 ，
不妨设平面 PAM的一个法向量为 n＝(x，y，z)，故 n⊥P→A，n⊥P→M，
－2y－2 3z＝0，
∴ 4x 2y 2 3z 0 令 z＝1，则 x＝2 3，y＝－ 3，∴n＝(2 3，－ 3，1)，＋ － ＝ ，
3 3
－2 3－2 3
设直线 PC与平面 PAM所成角为θ，∴sin θ＝|cos P→〈 C 3，n〉|＝| 16· 16 |＝ ，
4
0 π， 3 13
因为θ∈ 2 ，所以 cos θ＝ 1－sin2θ＝ 1－ 4 2＝ ，∴直线 PC 与平面 PAM
4
13
所成角的余弦值为 .
4
20．解析：(1) － 1 － 1由表知： x ＝ (1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， y ＝ (29＋33＋36＋44＋48
7 7
＋52＋59)＝43，
140
则b＝错误!＝ ＝5，
9＋4＋1＋0＋1＋4＋9
a －y b－x 301＝ － ＝ －5×4＝23，
7
所以 y＝5x＋23，
因为 2015 年用 x＝1 表示，所以 2022 年是 x＝8 时，得 y＝5×8＋23＝63(万人次)；
(2)X 的可能取值是 0,1,2,3,4
1 2－
则 P(X＝0)＝C03× 3 3×2 2＝ ，
3 81
1 2－ 2 2 1
2 2
－ 1－
P(X＝1)＝C31× 3 2× × ＋C30× 3 3× 3 13＝ ，
3 3 81
2 2 2 2
P(X 2) C2
1－ 1－
× 3 × 3 2×2 C1× 3 2×2
1－ 30
＝ ＝ 3 ＋ 3 × 3 ＝ ，
3 3 81
2 1 2 2 23 3 2 2 － 2 1－P(X 28＝3)＝C3× 3 × ＋C3× 3 × 3 × 3 ＝ ，
3 81
2 1 2－
P(X 4) 8＝ ＝C33× 3 3× 3 ＝ ，
81
则 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
2 13 30 28 8
P
81 81 81 81 81
故数学期望为 E(X)＝0× 2 13＋1× ＋2×30 3×28 8 7＋ ＋4× ＝ .
81 81 81 81 81 3
21．解析：(1)设抛物线 C 的方程为 x2＝2py(p>0)．∵直线 l：mx＋y 3－ ＝0 经过抛物线
2
C 的焦点，
∴m×0 p 3＋ － ＝0，解得 p＝3.∴抛物线 C 的方程为 x2＝6y.
2 2
x2＝6y
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 2mx y 3 0 ，得 x ＋6mx－9＝0.＋ － ＝
2
∵Δ＝36m2＋36>0，x1＋x2＝－6m，x1x2＝－9，∴|AB|＝ 1＋m2· 36m2＋36＝6(1＋m2)．
2
x2 x x x由 ＝6y 得 y＝ .∴y′＝ .∴抛物线 C 经过点 A 的切线方程是 y－y 11＝ (x－x1)，
6 3 3
x2 2
将 y ＝ 11 代入上式整理得 y
x1x x＝ － 1.同理可得抛物线 C x经过点 B 的切线方程为 y＝ 2x
6 3 6 3
x2
－ 2.
6
x1 x12 x1＋xy x x 2＝ － ＝
3 6 2 x＝－3m
解方程组 x2 2 得 ，∴ 3 .y＝ x x－ 2 y x＝ 1x2 y＝－
3 6 6 2
3 m×
3 3
－3m － －
－3m，－ 3 |P 2 2|∴ 2 到直线 mx＋y－ ＝0 的距离 d＝ ＝3 m2＋1，
2 m2＋1
△ABP 1的面积 S＝ |AB|d 1＝ ×6×(1＋m2)×3 m2＋1＝9(m2＋1)3.
2 2 2
∵m2＋1≥1，∴S≥9.当 m＝0 时，S＝9.∴△ABP 面积的最小值为 9.
22．解析：(1)由题意可得，f(x)<0 在(0，＋∞)上恒成立，即 ax2>xln x ∴a>ln x， 恒成立．
x
h(x) ln x
1－ln x
令 ＝ ，则 h′(x)＝ ，由 h′(x)>0 得 0e；
x x2
所以 h(x)在(0，e) 1 1上递增，在(e，＋∞)上递减，因此 h(x)max＝h(e)＝ ，∴只需 a> ；
e e
(2)由 xln x－ax2＝0 知 ln x＝ax，由题意，可得：ln m＝am，ln n＝an，
ln m－ln n
所以 ln m－ln n＝a(m－n)，即 a＝ ，
m－n
m
ln m－ln n ＋1
又 ln m＋ln n＝a(m＋n)＝ (m＋n)＝n lnm
m－n m n－1
n
t＋1
令 t m＝ ，t∈(1,2]，则 ln mn＝ ln t，
n t－1
1
t＋1 ln t t－2ln t－
令 g(t)＝ ，t∈(1,2]，则 g′(t)＝ t，
t－1 t－1 2
t－1 2
令φ(t)＝t－2ln t 1－ ，则φ′(t) 2 1＝1－ ＋ ＝ ≥0 显然恒成立，∴φ(t)递增，
t t t2 t2
∴t∈(1,2]时，φ(t)>φ(1)＝0，∴g′(t)>0，即 g(t)在 t∈(1,2]上递增，
因此 g(t)max＝g(2)＝3ln 2，∴ln m＋ln n 最大值为 3ln 2，∴mn 最大值为 8.