深圳市部分中学2022-2023学年高一上学期9月入学考试
数学试题 解析版
一．选择题（本大题共10个小题，每题4分，共40分；在每个小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的）
1. 对于任何有理数a，下列各式中一定为负数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】ABC选项取特殊值判断，D由绝对值的意义判断.
【详解】解：当时，，故A错误；
当时，，故B错误；
当时，，故C错误；
易得，，则，故D正确
故选：D
2. 若实数m、n满足等式，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 8或10
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得，再分等腰△ABC的底边长为2和等腰△ABC的底边长为4两种情况讨论，即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以且，
所以，
当等腰△ABC的底边长为2时，
则三边长分别为，
所以△ABC的周长是，
当等腰△ABC的底边长为4时，
则三边长分别为，
因为，所以为三边长不能构成三角形，
综上所述△ABC的周长是.
故选：C.
3. 如图，一次函数的图象过点，则不等式的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由一次函数过点可得，再根据一元一次不等式的解法即可得解.
【详解】解：因为一次函数的图象过点，
所以，即，
则不等式，即为，
又，
所以，所以.
故选：C.
4. 如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据参数对于二次函数与一次函数图象的影响，逐个选项检验，可得答案.
【详解】对于A，由抛物线图象中开口向上可知，由解析式可知，对称轴，
直线的图象应该是斜向上，且与轴相交于负半轴，故A错误；
对于B，由抛物线图象中开口向上可知，由解析式可知，对称轴，
直线的图象应该是斜向上，且与轴相交于负半轴，故B正确；
对于C，由抛物线图象中开口向上可知，由解析式可知，对称轴，
故C错误；
对于D，由抛物线图象中开口向上可知，由解析式可知，对称轴，
故D错误；
故选：B.
5. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足 ，则b的值可以是（ ）
A. 2 B. ﹣1 C. ﹣2 D. ﹣3
【答案】B
【解析】
【分析】根据实数a在数轴上的对应点的位置可确定 的位置，结合选项，可得答案.
【详解】由实数a在数轴上的对应点的位置可知 ，即a位于1和2之间,
故位于和之间，故实数b满足,结合选项可得b的值可以是，
故选：B
6. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A. +1 B. ﹣1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用已知所给的类比方法，结合勾股定理、正切的定义进行求解即可.
【详解】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设，则由勾股定理可知：
，因此，
因此在直角三角形中，，
故选：B
7. 若，且，，则的值为（ ）
A. B. 1 C. 4 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，可得为方程的两个不相等的根，结合韦达定理和降幂代还，可得答案.
【详解】由，，可得为方程的两个不相等的根，
则，，，，
.
故选：B
8. 如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，取的中点，连接，则，分别求出，即可得解.
【详解】解：连接，取的中点，连接，
则，当三点共线时取等号，
因为，
所以为等腰直角三角形，
所以，
因为为的中点，所以，
因为BC＝1，点M为线段AC的中点，
所以，
所以，
所以OM的最大值为.
故选：B.
9. 如图，抛物线 的对称轴是直线 ，下列结论：
① ；② ；③ ；④ ，
正确的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴以及与x轴的交点情况求解.
【详解】解：因为抛物线开口向下，
所以，
因为抛物线对称轴在y轴右侧，
所以b与a异号，则，
因为抛物线与y轴正半轴相交，
所以，则，
因为抛物线与x轴有两个交点，
所以
因为对称轴为，则，
所以，
当时，，
因为时，，
所以，
当时，，
当时，，
两式相加得，
故选：B
10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点，若反比例函数的图象经过点B，则k的值为（ ）
A. B. 8 C. 10 D.
【答案】D
【解析】
【分析】设与轴交于点，作轴，垂足点，作轴，垂足点，利用勾股定理求出点的坐标，再根据，求得，再利用，求得，再根据，求得，即可得点的坐标，从而可得出答案.
【详解】解：设，因为，
所以，解得，即，
设与轴交于点，作轴，垂足点，作轴，垂足点，
则，，
因为，
所以，
所以为的中点，所以，，
在和中，
因，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
在和中
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以点的坐标为，
又因为反比例函数的图象经过点B，
所以，所以.
故选：D.
二．填空题（本大题共5个小题，每个小题4分，共20分）
11. 如果不等式组的解集是，那么的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元一次不等式组的解法进行求解即可.
【详解】由，所以由的解集为可知，
故答案为：
12. 如图，中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．如果AD＝2，那么tan∠BCD＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用线段的中垂线的性质、等腰三角形证明，再利用直角三角形求的值.
【详解】因为为的中垂线，故，而，
故，
所以，而，故，
所以，故，
所以，故，
则在中，.
故答案为：.
13. 已知x、y为正偶数，且，求______
【答案】40
【解析】
【分析】因式分解可得，由于x、y为正偶数，分，，三种情况讨论，从而可求得，即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，
因为x、y为正偶数，
所以，
当时，无解；
当时，无解；
当时，
则或，
当，解得或，
当，无解，
综上或，
所以.
故答案为：40.
14. 如图所示，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，△BCE的面积是6，则k＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】设，则，，根据△BCE的面积可求得，再根据，可得，从而可求得答案.
【详解】解：设，则，
因为矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，
所以，则，
因为△BCE的面积是6，
所以，即，
因为，
所以，即，
所以，即，
所以.
故答案为：.
15. 如图所示，ABCD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积为_____．
【答案】24
【解析】
【分析】根据正方形的性质，结合图形面积之间的关系进行求解即可.
【详解】由正方形性质可知：，
所以故答案为：24
【点睛】关键点睛：利用图形面积之间和差关系是解题的关键.
三．解答题（16题6分，17题6分，18~21题每题12分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据幂的定义、零次幂的性质、特殊角的正弦值、绝对值的性质进行求解即可；
（2）运用因式分解法和分式的运算法则进行求解即可.
【详解】（1）
（2）
17. 观察以下等式：
第1个等式：（）＝，
第2个等式：（）＝，
第3个等式：（）＝，
第4个等式：（）＝．
第5个等式：（）＝．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【答案】（1）（）＝；
（2）（正整数），证明过程见解析.
【解析】
【分析】（1）（2）根据等式中每个分数中分子和分母的特征进行求解即可.
【小问1详解】
根据等式中每个分数中分子和分母的特征可知：
第6个等式为：（）＝；
【小问2详解】
根据等式中每个分数中分子和分母的特征可知：
第n个等式：（为正整数），证明过程如下：
.
18. 接下列关于x的不等式：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解；
（2）因式分解，分，，，，五种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解.
【小问1详解】
解：当时，，
原不等式变形为，解得，
故不等式的解集为，
当时，，
原不等式变形为，解得，
故不等式的解集为，
综上所述，不等式的解集为；
【小问2详解】
解：当时，则，解得，
故不等式的解集为；
当时，不等式因式分解可得，
当时，则，解得，
故不等式的解集为；
当时，，解得，
故不等式的解集为；
当，即时，化为，
解得或，
故不等式的解集为；
当，即时，化，
解得解得或，
故不等式的解集为；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19. 如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝3AE，求tanC．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据圆的切线判定定理，结合等边对等角定理、直角三角形的性质进行证明即可；
（2）根据圆的直径性质、割线定理，正切的定义进行求解即可.
【小问1详解】
连接，
因为，所以，
又因为，所以，因此，
因为DF⊥AC，所以，即，
于是有，即，因此DF是⊙O的切线；
【小问2详解】
连接，
因为AB是⊙O的直径，所以，
又因为，所以，
设，由割线定理可知：，即，
于是有，因为，所以三角形是直角三角形，
由勾股定理可知：，
所以.
【点睛】
20. 如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点M是第二象限内抛物线上一点，BM交y轴于N．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若BN＝MN，且S△MBC＝，求a的值；
（3）若∠BMC＝2∠ABM，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）令，得，通过解一元二次方程进行求解；
（2）先利用得到点的横坐标，再利用分割法求面积，得到关于的一元二次方程即可求解；
（3）过点作，利用等腰三角形、相似三角形得到，进而求出点的坐标，再利用点在抛物线上进行求解.
【小问1详解】
令，得，
即，解得或，
因为在的左侧，所以、；
【小问2详解】
若，则为的中点，
所以点的横坐标为，纵坐标为，
所以，，
又，且，，
所以，
即，
解得；
【小问3详解】
过点作（如图所示），
则，且，
又，所以，
所以为等腰三角形，且，，
设，，则，
所以，，
所以，，
则，，
即，
所以，
即，即，
即，解得，
即.
21. 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：
（1）（类比探究）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为 ；
（2）（推广验证）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
（3）（拓展应用）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝2，DE＝2，点P在AE上，∠ABP＝30°，PE＝，求五边形ABCDE的面积．
【答案】（1）；
（2）成立，证明过程见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用相似三角形的判定定理和性质进行求解即可；
（2）利用相似三角形的判定定理和性质进行求解即可；
（3）根据锐角三角函数定义，结合相似三角形的判定定理、相似三角形的性质、以及（2）的结论进行求解即可.
【小问1详解】
因为Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF是分别以AB，AC，BC为斜边的直角三角形，所以，而∠1＝∠2＝∠3，
所以，于是有，
因此有，，于是有：，
因为△ABC是以BC为斜边的直角三角形，所以，
因此；
【小问2详解】
（1）中所得关系式仍然成立．
证明：，，
所以，于是有，
因此有，，于是有：，
因为△ABC是以BC为斜边的直角三角形，所以，
因此；
所以（1）中所得关系式仍然成立；
【小问3详解】
过点作于点，连接，
，
，
，
，，
，，
，
又，
，
，，
，，
，
连接，则，
，
．
，，，
，
，
，
，
．
【点睛】关键点睛：利用相似三角形的判定定理和性质，结合锐角三角形的定义是解题的关键.深圳市部分中学2022-2023学年高一上学期9月入学考试
数学试题 原卷版
一．选择题（本大题共10个小题，每题4分，共40分；在每个小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的）
1. 对于任何有理数a，下列各式中一定为负数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若实数m、n满足等式，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 8或10
3. 如图，一次函数的图象过点，则不等式的解是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
5. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足 ，则b的值可以是（ ）
A 2 B. ﹣1 C. ﹣2 D. ﹣3
6. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A. +1 B. ﹣1 C. D.
7. 若，且，，则的值为（ ）
A. B. 1 C. 4 D. 3
8. 如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A B. C. D.
9. 如图，抛物线 的对称轴是直线 ，下列结论：
① ；② ；③ ；④ ，
正确的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点，若反比例函数的图象经过点B，则k的值为（ ）
A B. 8 C. 10 D.
二．填空题（本大题共5个小题，每个小题4分，共20分）
11. 如果不等式组的解集是，那么的取值范围是____．
12. 如图，中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．如果AD＝2，那么tan∠BCD＝_____．
13. 已知x、y为正偶数，且，求______
14. 如图所示，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，△BCE的面积是6，则k＝_____．
15. 如图所示，ABCD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积为_____．
三．解答题（16题6分，17题6分，18~21题每题12分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
17. 观察以下等式：
第1个等式：（）＝，
第2个等式：（）＝，
第3个等式：（）＝，
第4个等式：（）＝．
第5个等式：（）＝．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
18. 接下列关于x的不等式：
（1）；
（2）
19. 如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝3AE，求tanC．
20. 如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点M是第二象限内抛物线上一点，BM交y轴于N．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若BN＝MN，且S△MBC＝，求a的值；
（3）若∠BMC＝2∠ABM，求的值．
21. 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：
（1）（类比探究）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为 ；
（2）（推广验证）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
（3）（拓展应用）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝2，DE＝2，点P在AE上，∠ABP＝30°，PE＝，求五边形ABCDE的面积．
