宁南中学2022-2023学年高二上学期9月开学考试
理科数学 解析版
一、选择题
1. 已知集合，或，则（ ）
A. 或 B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合的并集运算即可求解.
【详解】因为，或，
所以或，
故选：D
2. 平面向量与的夹角为60°，，则|等于（ ）
A. B. 2 C. 4 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】先由已知条件求出，再由可求得答案
【详解】因为，
所以，
因为向量与的夹角为60°，
所以，
所以，
故选：B
3. 设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A. 3a2 B. 6a2 C. 12a2 D. 24a2
【答案】B
【解析】
【详解】方体的长、宽、高分别为,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的
长就是外接球的直径，所以球直径为：，
所以球的半径为，所以球的表面积是，故选B
4. 如图所示的几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的为
A. ①② B. ②④
C. ①④ D. ①③
【答案】B
【解析】
【分析】利用三视图的作图法则，对选项判断，①的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，棱台都不相同，推出选项即可．
【详解】正方体的三视图分别为：正方形、正方形、正方形，圆锥的三视图分别为，三角形、三角形、圆和点．三棱台的三视图分别为：梯形和线段、梯形、大三角形内有小三角形，正四棱锥的三视图分别为：三角形、三角形、正方形和对角线，易知只有②④符合条件，故选B.
【点睛】本题主要考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，学生的空间想象能力，三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等，熟记常见几何体的三视图是解题的关键，属于基础题.
5. 若平面的法向量分别为，，则（ ）
A. B. 与相交但不垂直
C. D. 或与重合
【答案】D
【解析】
【分析】判断两个法向量共线，从而可判断出两个平面平行或重合.
【详解】由题意，，
，因为分别是平面的法向量，
或与重合.
故选：D
6. 已知直线l，m和平面、，下列命题正确的是（ ）
A. ，
B. ，，，
C. ，，
D. ，，，，
【答案】D
【解析】
【分析】A、B、C根据线线、线面的位置关系，结合平面的基本性质判断线面、面面的位置关系，根据面面平行的判定判断D.
【详解】A：，，则或，错误；
B：若时，或相交；若相交时，，错误；
C：，，，则平行、相交、重合都有可能，错误；
D：，且，，根据面面平行的判定知：，正确.
故选：D
7. 记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差
A. 2 B. 3 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【详解】,
8. 若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成角，则这个圆台的侧面积是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，作该圆台的轴截面，求得上下底面半径和母线长，根据侧面积计算公式，可得答案.
【详解】由题意，可作该圆台的轴截面，如下图所示：
则圆台的高，
上底面半径，下底面半径，即，
母线，即，
在中，，，
易知在正方形中，，则，即，
综上，，
圆台的侧面积.
故选：B.
9. 下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，设，利用函数图象求得，得出函数解析式，再利用诱导公式判断选项即可.
【详解】由题意，设，
由图象知：，
所以，
所以，
因为点在图象上，
所以，
则，
解得，
所以函数为，
即，
故选：D
10. 在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )
A. B. C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的线性表示逐步代换掉不需要的向量求解.
【详解】设 ，
所以 所以
故选B.
【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.
11.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式以及平方关系，二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】
故选C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，主要是利用诱导公式以及平方关系，二倍角的正弦公式来求解.
12. 《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈，头节高五寸①，头圈一尺三②，逐节多三分③，逐圈少分三④，一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远 ”(注释：①第节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)，问：此民谣提出的问题的答案是
A. 61.395尺 B. 61.905尺 C. 72.705尺 D. 73.995尺
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断竹节长成等差数列，竹节圈长成等差数列，然后利用等差数列求和公式求解即可.
【详解】每节竹节间的长相差尺，
设从地面往长,每节竹长为 ,
是以为首项，以为公差的等差数列,
由题意知竹节圈长,后一圏比前一圏细1分3厘,即尺，
设从地面往上,每节节圈长为，
可得是以为首项，为公差的等差数列,
一蚁往上爬,遇圈则绕圈.爬到竹子顶,行程是:
，
故选A.
【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及等差数列的求和公式的应用，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
二、填空题
13. 已知，若，且平面，则__________．
【答案】
【解析】
分析】根据，由求得，再根据平面，由，且求解即可.
【详解】因为，
所以，
即，
所以．
因为平面，
所以，且，
即
解得
所以．
故答案为：
【点睛】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题.
14. 若满足，则的最小值是____
【答案】7
【解析】
【分析】画出所表示的平面区域，将转化为与轴截距相关问题，再结合图像即可求得最小值.
【详解】
画出所表示的平面区域，
由可得，其中表示直线在轴的截距，
作出，由图像可知，当其经过两直线的交点时，最小，
为
故答案为:
15. 在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高
为
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：根据题意，设塔高为x，则可知，a表示为塔与山之间的距离，可以解得塔高为．
考点：解三角形的运用
点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用，属于中档题．
16. 数列中，对所有正整数都成立且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】将递推关系式两边取倒数，可得为等差数列，再根据等差数列的通项公式求出，即可得到的通项；
【详解】解：由于数列中，，
所以，
即（常数），
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以（首项符合通项），
故．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
三、解答题
17. 已知不等式．
（1）若不等式的解集是或，求的值；
（2）若不等式的解集是，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可知，关于的二次方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值；
（2）分析可知在恒成立，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：由题意可知关于的二次方程的两根分别为、，
所以，，解得．
【小问2详解】
解：若不等式的解集为，即恒成立，则满足
解得．
18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，求
（1）求A；
（2）若，的面积为，求b，c
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边化角公式化简，结合辅助角公式即可求得
（2）根据三角形的面积公式，结合余弦定理代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
由，及正弦定理可得
由于，即，所以
又，故
【小问2详解】
因为，故
而由余弦定理得，故
解得
19. 已知函数，，的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．
（1）求的解析式及的值；
（2）求的增区间；
（3）若，求的值域．
【答案】（1），；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）利用函数图象确定函数的振幅，周期，利用求出，求出的解析式，轴右侧的第一个最高点即可求出的值；
（2）通过正弦函数的单调增区间，直接求函数的增区间；
（3）通过，，求出的范围，然后利用正弦函数的值域求的值域．
【详解】解：由题意作出的简图如图.
由图象以及题意可知，，，，
函数，因为，，所以．
．
由图象，所以 ，
因为在轴右侧的第一个最高点的坐标分别为，，
所以．
（2）由，，
得，，
所以函数的单调增区间为．
（3），，，．
．
所以函数的值域为：．
【点睛】本题考查函数解析式的求法，阿足协还是的单调增区间的求法，函数的值域的求法，考查计算能力，属于中档题．
20 设数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析： （1）结合数列递推公式形式可知采用累和法求数列的通项公式，求解时需结合等比数列求和公式；（2）由得数列的通项公式为，求和时采用错位相减法，在的展开式中两边同乘以4后，两式相减可得到
试题解析：（1） 由已知，当时，
==，．
而，所以数列通项公式为．
（2） 由知 …① ……7分
从而 ……②
① ②得，
即．
考点：1．累和法求数列通项公式；2．错位相减法求和
21. 如图所示，在正方体中，E，F，G，H分别是的中点．求证：
（1）；
（2）平面：
（3）平面平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为平行四边形可得；
（2）连接，交于，连接，，通过证明四边形平行四边形得出可证；
（3）通过得平面，通过得平面可证明.
【详解】（1）取中点，连接，
是中点，且，
，，
则四边形为平行四边形，，
是中点，，
则四边形为平行四边形，，；
（2）连接，交于，连接，，
为中点，，
为中点，，
，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面；
（3）由（1），平面，平面，平面，
又正方体中，，则四边形为平行四边形，
，平面，平面，平面，
，平面平面.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正确理解线面平行、面面平行的判定定理.
22. 等差数列中，，其前项和为. 等比数列的各项均为正数，，且，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）．
【解析】
【分析】（1）因为，分别是等差、等比数列，故可设其公差、公比依题可列方程组求得，从而求得其通项公式；
（2）由（1）易得的通项公式，裂项相消法求其前项和·
【详解】（1）设公差为，数列的公比为，
由已知得：， 又 故，
所以，.
（2）由（1）知：数列中，，，
∴ ，故，
∴ .宁南中学2022-2023学年高二上学期9月开学考试
理科数学 原卷版
一、选择题
1. 已知集合，或，则（ ）
A. 或 B.
C. D. 或
2. 平面向量与夹角为60°，，则|等于（ ）
A. B. 2 C. 4 D. 12
3. 设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A. 3a2 B. 6a2 C. 12a2 D. 24a2
4. 如图所示的几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的为
A. ①② B. ②④
C. ①④ D. ①③
5. 若平面的法向量分别为，，则（ ）
A. B. 与相交但不垂直
C. D. 或与重合
6. 已知直线l，m和平面、，下列命题正确的是（ ）
A. ，
B. ，，，
C. ，，
D. ，，，，
7. 记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差
A. 2 B. 3 C. 6 D. 7
8. 若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成角，则这个圆台的侧面积是（ ）
A. B.
C. D.
9. 下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ）
A. B. C. D.
10. 在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )
A B. C. 1 D. 3
11.
A. B. C. D.
12. 《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈，头节高五寸①，头圈一尺三②，逐节多三分③，逐圈少分三④，一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远 ”(注释：①第节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)，问：此民谣提出的问题的答案是
A. 61.395尺 B. 61.905尺 C. 72.705尺 D. 73.995尺
二、填空题
13 已知，若，且平面，则__________．
14. 若满足，则的最小值是____
15. 在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高
16. 数列中，对所有正整数都成立且，则______.
三、解答题
17. 已知不等式．
（1）若不等式的解集是或，求的值；
（2）若不等式的解集是，求的取值范围．
18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C对边，，求
（1）求A；
（2）若，的面积为，求b，c
19. 已知函数，，的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．
（1）求的解析式及的值；
（2）求的增区间；
（3）若，求的值域．
20. 设数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
21. 如图所示，在正方体中，E，F，G，H分别是的中点．求证：
（1）；
（2）平面：
（3）平面平面．
22. 等差数列中，，其前项和为. 等比数列的各项均为正数，，且，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
