宁南中学2022-2023学年高二上学期9月开学考试
文科数学 解析版
一、选择题
1. 已知集合，或，则（ ）
A. 或 B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合的并集运算即可求解.
【详解】因为，或，
所以或，
故选：D
2. 平面向量与的夹角为60°，，则|等于（ ）
A. B. 2 C. 4 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】先由已知条件求出，再由可求得答案
【详解】因为，
所以，
因为向量与的夹角为60°，
所以，
所以，
故选：B
3. 设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A. 3a2 B. 6a2 C. 12a2 D. 24a2
【答案】B
【解析】
【详解】方体的长、宽、高分别为,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的
长就是外接球的直径，所以球直径为：，
所以球的半径为，所以球的表面积是，故选B
4. 如图所示的几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的为
A. ①② B. ②④
C. ①④ D. ①③
【答案】B
【解析】
【分析】利用三视图的作图法则，对选项判断，①的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，棱台都不相同，推出选项即可．
【详解】正方体的三视图分别为：正方形、正方形、正方形，圆锥的三视图分别为，三角形、三角形、圆和点．三棱台的三视图分别为：梯形和线段、梯形、大三角形内有小三角形，正四棱锥的三视图分别为：三角形、三角形、正方形和对角线，易知只有②④符合条件，故选B.
【点睛】本题主要考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，学生的空间想象能力，三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等，熟记常见几何体的三视图是解题的关键，属于基础题.
5. 设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的单调性可判断，根据函数的单调性可判断，即可得解.
【详解】由函数在上单调递增可得即；
由函数在上单调递减可得即，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查了函数单调性的应用，属于基础题.
6. 已知直线l，m和平面、，下列命题正确的是（ ）
A. ，
B. ，，，
C. ，，
D. ，，，，
【答案】D
【解析】
【分析】A、B、C根据线线、线面的位置关系，结合平面的基本性质判断线面、面面的位置关系，根据面面平行的判定判断D.
【详解】A：，，则或，错误；
B：若时，或相交；若相交时，，错误；
C：，，，则平行、相交、重合都有可能，错误；
D：，且，，根据面面平行的判定知：，正确.
故选：D
7. 记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差
A. 2 B. 3 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【详解】,
8. 若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成角，则这个圆台的侧面积是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，作该圆台的轴截面，求得上下底面半径和母线长，根据侧面积计算公式，可得答案.
【详解】由题意，可作该圆台的轴截面，如下图所示：
则圆台的高，
上底面半径，下底面半径，即，
母线，即，
中，，，
易知在正方形中，，则，即，
综上，，
圆台的侧面积.
故选：B.
9. 下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，设，利用函数图象求得，得出函数解析式，再利用诱导公式判断选项即可.
【详解】由题意，设，
由图象知：，
所以，
所以，
因为点在图象上，
所以，
则，
解得，
所以函数为，
即，
故选：D
10. 在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )
A. B. C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的线性表示逐步代换掉不需要的向量求解.
【详解】设 ，
所以 所以
故选B.
【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.
11.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式以及平方关系，二倍角正弦公式即可求解.
【详解】
故选C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，主要是利用诱导公式以及平方关系，二倍角的正弦公式来求解.
12. 《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈，头节高五寸①，头圈一尺三②，逐节多三分③，逐圈少分三④，一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远 ”(注释：①第节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)，问：此民谣提出的问题的答案是
A. 61.395尺 B. 61.905尺 C. 72.705尺 D. 73.995尺
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断竹节长成等差数列，竹节圈长成等差数列，然后利用等差数列求和公式求解即可
【详解】每节竹节间的长相差尺，
设从地面往长,每节竹长为 ,
是以为首项，以为公差的等差数列,
由题意知竹节圈长,后一圏比前一圏细1分3厘,即尺，
设从地面往上,每节节圈长为，
可得是以为首项，为公差的等差数列,
一蚁往上爬,遇圈则绕圈.爬到竹子顶,行程是:
，
故选A.
【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及等差数列的求和公式的应用，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
二、填空题
13. 直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程的两根，若，则 _______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据直线平行可得斜率相等，根据判别式为0可求参数的值.
【详解】当时，，
故关于k的一元二次方程有两个相等的实根，
所以，解得.
故答案：
14. 若满足，则的最小值是____
【答案】7
【解析】
【分析】画出所表示的平面区域，将转化为与轴截距相关问题，再结合图像即可求得最小值.
【详解】
画出所表示的平面区域，
由可得，其中表示直线在轴的截距，
作出，由图像可知，当其经过两直线的交点时，最小，
为
故答案为:
15. 在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高
为
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：根据题意，设塔高为x，则可知，a表示的为塔与山之间的距离，可以解得塔高为．
考点：解三角形的运用
点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用，属于中档题．
16. 数列中，对所有正整数都成立且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】将递推关系式两边取倒数，可得为等差数列，再根据等差数列的通项公式求出，即可得到的通项；
【详解】解：由于数列中，，
所以，
即（常数），
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以（首项符合通项），
故．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
三、解答题
17. 已知的三个顶点的坐标为，，．
（1）求边AB上过点C的高所在直线的方程；
（2）若直线l与AC平行，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l与两条坐标轴围成的三角形的周长．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据直线的斜率公式，结合互相垂直直线的斜率性质、直线的点斜式方程进行求解即可；
（2）根据直线的截距式方程，结合平行直线的斜率性质进行求解即可.
【小问1详解】
，边AB上的高所在直线的斜率为， 又直线过点，
所求直线的方程为：，即；
【小问2详解】
设直线l的方程为：，即，，，解得：，
直线l的方程为：，
直线l过点，三角形斜边长为，
直线l与坐标轴围成的直角三角形的周长为．
18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，求
（1）求A；
（2）若，的面积为，求b，c
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边化角公式化简，结合辅助角公式即可求得
（2）根据三角形的面积公式，结合余弦定理代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
由，及正弦定理可得
由于，即，所以
又，故
【小问2详解】
因为，故
而由余弦定理得，故
解得
19. 已知函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.
（1）求的解析式及的值；
（2）求的单调递增区间.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先由题意作出的简图，根据函数图像，得到，，进而可求出，再由，求出，即可得出函数解析式，从而可求出；
（2）根据正弦函数的单调性，得到，求解，即可得出结果.
【详解】（1）由题意作出的简图如图.
由图象知，由，得，
∴，即，
∴，
∴，即，又∵，∴，∴.
∵，
∴，
∴，
又是y轴右侧的第一个最高点，
∴.
（2）令，得，
∴的单调递增区间为.
【点睛】本题主要考查求三角函数的解析式，以及三角函数的单调区间，熟记正弦型三角函数的性质即可，属于常考题型.
20. 设数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析： （1）结合数列递推公式形式可知采用累和法求数列的通项公式，求解时需结合等比数列求和公式；（2）由得数列的通项公式为，求和时采用错位相减法，在的展开式中两边同乘以4后，两式相减可得到
试题解析：（1） 由已知，当时，
==，．
而，所以数列的通项公式为．
（2） 由知 …① ……7分
从而 ……②
① ②得，
即．
考点：1．累和法求数列通项公式；2．错位相减法求和
21. 在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A中点．求证：
（1）BFHD1；
（2）EG平面BB1D1D．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）取BB1的中点M，连接MH，MC1，得HD1∥MC1，再证得MC1∥BF，可得结论；
（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，先证明与平行且相等，可得GE∥D1O，从而可得线面平行．
【详解】证明：（1）如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，
所以HD1∥MC1．
又因为在平面BCC1B1中，BMFC1，BM=FC1
所以四边形BMC1F为平行四边形，
所以MC1∥BF，
所以BF∥HD1．
（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，
则OE∥DC且OE＝DC，
又D1G∥DC且D1G＝DC，
所以OED1G，OE=D1G
所以四边形OEGD1是平行四边形，
所以GE∥D1O．
又D1O 平面BB1D1D，GE平面BB1D1D，
所以EG∥平面BB1D1D．
【点睛】易错点睛：本题考查证明线线平行与线面平行，解题关键是掌握线面平行的判定定理，解题时需要列出定理的所有条件，缺一不可，否则易出现错误．
22. 等差数列中，，其前项和为. 等比数列的各项均为正数，，且，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）．
【解析】
【分析】（1）因为，分别是等差、等比数列，故可设其公差、公比依题可列方程组求得，从而求得其通项公式；
（2）由（1）易得的通项公式，裂项相消法求其前项和·
【详解】（1）设公差为，数列的公比为，
由已知得：， 又 故，
所以，.
（2）由（1）知：数列中，，，
∴ ，故，
∴ .宁南中学2022-2023学年高二上学期9月开学考试
文科数学 原卷版
一、选择题
1. 已知集合，或，则（ ）
A. 或 B.
C. D. 或
2. 平面向量与的夹角为60°，，则|等于（ ）
A. B. 2 C. 4 D. 12
3. 设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A. 3a2 B. 6a2 C. 12a2 D. 24a2
4. 如图所示的几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的为
A. ①② B. ②④
C ①④ D. ①③
5. 设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知直线l，m和平面、，下列命题正确是（ ）
A. ，
B. ，，，
C. ，，
D. ，，，，
7. 记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差
A. 2 B. 3 C. 6 D. 7
8. 若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成角，则这个圆台的侧面积是（ ）
A. B.
C. D.
9. 下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ）
A. B. C. D.
10. 在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )
A. B. C. 1 D. 3
11.
A. B. C. D.
12. 《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈，头节高五寸①，头圈一尺三②，逐节多三分③，逐圈少分三④，一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远 ”(注释：①第节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)，问：此民谣提出的问题的答案是
A. 61.395尺 B. 61.905尺 C. 72.705尺 D. 73.995尺
二、填空题
13. 直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程的两根，若，则 _______.
14. 若满足，则的最小值是____
15. 在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高
为
16. 数列中，对所有正整数都成立且，则______.
三、解答题
17. 已知三个顶点的坐标为，，．
（1）求边AB上过点C的高所在直线的方程；
（2）若直线l与AC平行，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l与两条坐标轴围成的三角形的周长．
18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，求
（1）求A；
（2）若，的面积为，求b，c
19. 已知函数图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.
（1）求解析式及的值；
（2）求的单调递增区间.
20. 设数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
21. 在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：
（1）BFHD1；
（2）EG平面BB1D1D．
22. 等差数列中，，其前项和为. 等比数列的各项均为正数，，且，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
