盐亭县中2022-2023学年高二上学期9月入学考试
（理科）（数学）原卷版
地区: 四川 总分: 150分 年级: 高二 类型: 月考试卷
1. 设O是正方形ABCD的中心，则向量是（ ）
A 相等向量
B. 平行向量
C. 有相同起点的向量
D. 模相等的向量
2. 若，、，且，则下列不等式中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列满足，，则（ ）
A. 2 B. C. D.
4. 某圆柱的高为，底面周长为，其三视图如图.圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）
A. B. C. D.
5. 在 中，角所对的边分别为 ，若，则（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
6. 已知向量，满足，，，则，的夹角是（ ）.
A. B. C. D.
7. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，若直线与直线所成角为，则( )
A. B. 2 C. D.
8. 设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝x+y的最大值为（ ）
A. 0 B. 2 C. D. 3
9. 设是等比数列的前n项和，，，则首项（ ）
A B. 12 C. 1或 D. 3或12
10. 已知，是球球面上两点，，为该球面上动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知数列满足，为的前项和，则（ ）
A. B. C. D.
12. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
13. 满足不等式的x取值范围是________．
14. 如图，从气球上测得正前方河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度约等于______ m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：，，，，）
15. 中，，的平分线交边于，已知，且，则的长为___________.
16. 如图，已知圆 的直径长为 2 ，上半圆圆弧上有一点，点是劣弧上的动点，点是下半圆弧上的动点，现以为折线，将上、下半圆所在的平面折成直二面角，连接则三棱锥的最大体积为___________.
17. 已知 三个顶点的直角坐标分别为,,..
（1）若 ，求 的值;
（2）若 ，求 的值.
18. 已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19. 已知函数，其中为实常数．
（1）解关于不等式；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
20. 在△A.BC中，A.，b，c分别是内角A.，B，C的对边，．
（Ⅰ） 若，求的值；
（Ⅱ） 若是边中点，且，求边的长．
21. 如图，是⊙O的直径，垂直于所在的平面，C是圆周上不同于的一动点.
（1）证明：是直角三角形；
（2）若，且当直线与平面所成角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值.
22. 已知等差数列中，公差，，是与的等比中项，设数列的前项和为，满足.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.盐亭县中2022-2023学年高二上学期9月入学考试
（理科）（数学）解析版
地区: 四川 总分: 150分 年级: 高二 类型: 月考试卷
1. 设O是正方形ABCD的中心，则向量是（ ）
A. 相等向量
B. 平行向量
C. 有相同起点的向量
D. 模相等的向量
【答案】D
【解析】
【分析】根据图像，既不是相等向量，也不是平行向量，起点也不是相同，根据正方形的性质，模长是相等的，即可得解.
【详解】
如图，既不是相等向量，也不是平行向量，起点也不是相同，
显然A，B，C错误，
而，故D正确，
故选：D.
2. 若，、，且，则下列不等式中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用特殊值法可判断A、B、D选项的正误，利用作差法可判断C选项的正误.
【详解】对于A选项，取，，则，A选项错误；
对于B选项，取，，则，B选项错误；
对于C选项，，则，
由题意可知，与不可能同时为零，则，即，C选项正确；
对于D选项，取，则，D选项错误.
故选：C.
【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、比较法、特殊值法来进行判断，考查推理能力，属于基础题.
3. 已知数列满足，，则（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接由递推关系式计算即可.
【详解】根据题意，，，．
故选：C．
4. 某圆柱的高为，底面周长为，其三视图如图.圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图分析出所在的位置，然后结合圆柱的侧面展开图即可求出结果.
【详解】由三视图还原几何体，如图：
即点在距离点在底面投影的圆弧 处，
沿所在的母线得到如图所示的侧面展开图，
圆柱的底面周长即为侧面展开图的长，圆柱的高即为侧面展开图的宽，
而线段的距离即为所求到的路径中的最短路径，
因为底面周长为 ,所以，又因为高为，则，所以,
故选：B.
5. 在 中，角所对的边分别为 ，若，则（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦定理求得，求得或，进而求得的值.
【详解】因为在 中，，
由正弦定理得，可得，
又由，所以或，
当时，可得；
当时，可得，
故选：D.
6. 已知向量，满足，，，则，的夹角是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用向量垂直的性质得到，再计算的值，从而求得与的夹角的值．
【详解】非零向量满足，，
且，则，
即，
所以，
又，，
所以与的夹角为．
故选：A．
【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有垂直关系的向量表示，向量夹角大小的计算问题，属于基础题目．
7. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，若直线与直线所成角为，则( )
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以B为原点建立空间直角坐标系，利用向量方法求出和AB夹角余弦值即可求出竖坐标，从而得到答案．
【详解】如图，以B原点建立空间直角坐标系，
则，，，设，
则，，
，
解得，故．
故选：B．
8. 设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝x+y的最大值为（ ）
A. 0 B. 2 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】画出可行域求最值即可
【详解】作出约束条件对应的平面区域如图阴影部分所示；
由z＝x＋y得y＝－x＋z，平移直线y＝－x＋z，
由图象可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z的截距最大，此时z最大；
由，解得，即A（1，1），
代入目标函数z＝x＋y得z＝2，即目标函数z＝x＋y的最大值为2．
故选：B．
9. 设是等比数列的前n项和，，，则首项（ ）
A. B. 12 C. 1或 D. 3或12
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列的基本量计算即可.
【详解】是等比数列的前n项和，，，
∴当公比q＝1时，，此时满足题意，
当公比q≠1时，，
解得，
∴首项的值为3或12．
故选：D．
10. 已知，是球的球面上两点，，为该球面上动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，利用三棱锥体积的最大值为求出半径，即可求出球的表面积．
【详解】解：如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，
设球的半径为，
此时，
解得，则球的表面积为，
故选：B．
11. 已知数列满足，为的前项和，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得当为偶数时，当为奇数时，进而求得奇数项与偶数项的和即可求解.
【详解】解：，
①当为偶数时，
，
，
，
，
，
…
，
.
②当为奇数时，
，
，
，
，，…，，
，
故选：C
12. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解
【详解】在中，，
故题干条件可化为，由余弦定理得，
故，又由正弦定理化简得：
，
整理得，故或（舍去），得
为锐角三角形，故，解得，故
故选：C
13. 满足不等式的x取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】直接解不等式即可得到答案.
【详解】由不等式，可得x－2＞2或x－2＜－2，
∴x＞4或x＜0，
故不等式的解集为，
故答案：．
14. 如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度约等于______ m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：，，，，）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，，先求出的长，在中，利用正弦定理即可求的长.
【详解】
过点作垂直于的延长线于点，
在中，，，
所以，
在中，，，，
由正弦定理可得：
可得：，
所以河流的宽度约等于，
故答案为：.
15. 中，，的平分线交边于，已知，且，则的长为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三点共线的性质求出的取值．在上取一点，使，在上取一点使，证明是菱形．在中，根据正弦定理即可求AD长度．
【详解】
因三点共线，所以，即.
在上取一点，使，在上取一点使，
由，可知四边形为平行四边形，
又，所以平行四边形为菱形.
因为，，所以菱形的边长为2.
在中，根据正弦定理得，，
所以.
故答案为：.
16. 如图，已知圆 的直径长为 2 ，上半圆圆弧上有一点，点是劣弧上的动点，点是下半圆弧上的动点，现以为折线，将上、下半圆所在的平面折成直二面角，连接则三棱锥的最大体积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由于要使三棱锥的体积最大，即三棱锥的体积最大，
需要的面积最大且到平面的距离最大，结合条件计算即可.
【详解】
如图，要使三棱锥的体积最大，即三棱锥的体积最大，
需要的面积最大且到平面的距离最大.
当时，最大值为，
平面平面，平面平面，
要使到平面的距离最大，只需要到的距离最大，
则为半圆弧的中点，此时到平面距离的最大值为1 .
所以，三棱锥的最大体积为
故答案为:.
17. 已知 三个顶点的直角坐标分别为,,..
（1）若 ，求 的值;
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由数量积的坐标表示可求得；
（2）由数量积夹角的坐标表示求得，再求得．
【小问1详解】
由 ,,,
得到 ，则 ，解得；
【小问2详解】
当 时，．则，，同理，
，
，因此为锐角，
所以．
18. 已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用得出数列的递推式，得数列从第二项开始为等比数列，从而可得通项公式；
（2）求时，从第二项开始用裂项相消法求和．
【详解】解：（1），
，
两式相减得.
为从第二项开始的等比数列
，
（2）
①当时，
.
②当时，，满足，
综上所述：.
19. 已知函数，其中为实常数．
（1）解关于不等式；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）等价于，分、、讨论，可求解集；
（2）由题意可得对任意恒成立，分离转化最值问题即可求解.
【详解】（1）由可得：，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
（2）若不等式对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
因为，所以，所以对任意恒成立，
令，只需，
因为
当且仅当即时等号成立，所以，所以.
所以的取值范围为：.
20. 在△A.BC中，A.，b，c分别是内角A.，B，C的对边，．
（Ⅰ） 若，求的值；
（Ⅱ） 若是边中点，且，求边的长．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理求出的值，然后利用正弦定理可得的值；
（Ⅱ）以为邻边作如图所示的平行四边形,在△BCE中，由余弦定理可得的值，在中，由余弦定理可得的长.
【详解】解：（Ⅰ） ，，
由余弦定理：=52+22-2×5×2×=25，
．
由正弦定理：，
得．
（Ⅱ） 以为邻边作如图所示的平行四边形，如图，
则，BE=2BD=7，CE=A.B=5，
在△BCE中，由余弦定理：．
即，
解得：．
在△ABC中，，
即．
【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中档题.
21. 如图，是⊙O的直径，垂直于所在的平面，C是圆周上不同于的一动点.
（1）证明：是直角三角形；
（2）若，且当直线与平面所成角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）正弦值为
【解析】
【分析】（1）证明平面即可；（2）先算出三棱锥的边长数据，在根据线面角的定义和等体积法，求出到平面的距离，与平面所成角的正弦值为.
【小问1详解】
是的直径，则，又垂直于所在的平面，即
平面，又平面，则，又，于是平面，又平面，则，即，故是直角三角形；
【小问2详解】
由题可得平面，则与平面所成角为，即，，计算易得，则，由（1）知，是直角三角形，，设到平面的距离为，由线面角的定义，于是与平面所成角的正弦值为，三棱锥的体积：，又，根据，解得，于是与平面所成角的正弦值为
22. 已知等差数列中，公差，，是与的等比中项，设数列的前项和为，满足.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）对于等差数列直接列方程求解，数列根据求解；
（2）利用错位相减法可得，根据题意讨论得：当是奇数时，；当是偶数时，，再通过定义证明数列的单调性，进入确定相应情况的最值．
小问1详解】
∵
则，解得或（舍去）
∴.
又∵，
当时，，则，
当时，，则，即，
则数列是以首项，公比为的等比数列，
∴.
【小问2详解】
，
，
两式相减得：
∴
∵对任意的恒成立，即对任意的恒成立
①当是奇数时，任意的'恒成立
∴对任意的恒成立
②当是偶数时，对任意的恒成立
∴对任意的恒成立
令，对任意的恒成立
∴为递增数列
①当是奇数时，则，即
②当是偶数时，则
∴.
