涪江高级中学校2022-2023学年高三上学期9月开学考试
数学试题（文） 原卷版
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知是虚数单位，若复数满足：，则复数（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3. 在集合和中各取一个数字组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知实数，，满足，，，则实数，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
6. 月形是一种特殊的平面图形，指有相同的底，且在底的同一侧的两个弓形所围成的图形.月形中的一种特殊的情形是镰刀形，即由半圆和弓形所围成的图形（如下图），若半圆的半径与弓形所在圆的半径之比为，现向半圆内随机取一点，则取到镰刀形中的一点的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数若函数有三个不同零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知为双曲线的右焦点，过原点的直线与双曲线交于，两点，若且的周长为，则该双曲线的离心率为（ ）
A B. C. D.
10. 抛物线的焦点为F，点P是C上一点，若，则点P到y轴的距离为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11. 已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）
A B. 1
C. D.
12. 椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 曲线在点处的切线方程为__________．
14. 已知圆：与直线：相交于、两点，且，则实数______.
15. 若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为______．
16. 已知x，，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论是______（写出所有成立结论的编号）．
三、解答题：本题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设命题：函数在区间上单调递减；命题：对恒成立．如果命题“且”为假命题，求的取值范围．
18. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，其中.
（1）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（2）设曲线和曲线交于两点，求.
19. 已知函数 ．
（1）若是的一个极值点，求值及的单调区间；
（2）当时，求在区间上的最值．
20. “生命重于泰山，疫情就是命令，防控就是责任”.面对疫情，为切实做好防控，落实“停课不停学”，某校高三年级启动线上公益学习活动，助“战”高考.为了解学生的学习效果，李华老师在任教的甲、乙两个班中各随机抽取20名学生进行一次检测，根据他们取得的成绩（单位：分，满分100分）绘制了如下茎叶图，记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
（1）分别估计甲、乙两个班“成绩优良”的概率；
（2）根据茎叶图判断哪个班的学习效果更好？并从两个角度来说明理由.
21. 已知函数．
（1）若函数在区间上递增，求实数的取值范围；
（2）求证：．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22. 已知平面直角坐标系xOy中，曲线参数方程为（其中为参数，），直线的参数方程为（为参数，为锐角）；以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，．
（1）求曲线的极坐标方程以及直线的普通方程；
（2）记直线与、轴的交点分别为，，点在曲线上，直线AP的倾斜角为，若，求的值．
23. 已知函数.
（1）若，解不等式；
（2）若，且的最小值为，求证：.涪江高级中学校2022-2023学年高三上学期9月开学考试
数学试题（文）解析版
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知是虚数单位，若复数满足：，则复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用计算得，即可得答案
【详解】解：由可得，
所以，
故选：A
2. 已知，，且，则最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用均值不等式结合指数幂的运算即可求得答案
【详解】解：因为，所以
因为
所以，
当且仅当即时，取等号，
故的最小值为6，
故选：C
3. 在集合和中各取一个数字组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
列举出所有可能的两位数，从中找出能被整除的数，根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】在和两个集合中各取一个数字组成一个两位数的所有事件为13，31，14，41，15，51，23，32，24，42，25，52共12个，其中能被4整除的两位数是24，32，52共3个，所求概率为.
故选：C.
【点睛】本小题主要考查古典概型的概率计算，属于基础题.
4. 已知实数，，满足，，，则实数，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数的性质解答.
【详解】解：，
，
综上可得
故选：
【点睛】本题考查对数的运算及对数函数的性质，属于基础题.
5. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义求解作答.
【详解】在中，，则，必有，
而，满足，此时是直角三角形，不是等腰三角形，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
6. 月形是一种特殊的平面图形，指有相同的底，且在底的同一侧的两个弓形所围成的图形.月形中的一种特殊的情形是镰刀形，即由半圆和弓形所围成的图形（如下图），若半圆的半径与弓形所在圆的半径之比为，现向半圆内随机取一点，则取到镰刀形中的一点的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先设半圆半径为，分别计算半圆的面积和弓形的面积，再代入几何概型公式计算即可.
【详解】如图所示：
设半圆半径为，半圆面积为，
弓形面积为，
概率为.
故选：B
【点睛】本题主要以数学文化为背景考查几何概型，同时考查学生的逻辑思维能力，属于中档题.
7. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值点，然后判断选项即可．
【详解】解：由题意可知：和时，，函数是增函数，
时，，函数是减函数；
是函数的极大值点，是函数的极小值点；
所以函数的图象只能是．
故选：C．
8. 已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】有三个零点，即的图象与直线有三个交点，作出图象可得结论．
【详解】由得，作函数的图象及直线，它们有三个交点，则，∴．
故选：A.
【点睛】本题考查函数的零点，根据零点定义转化为方程的解，再转化函数图象与直线的交点，由函数图象易得结论．
9. 已知为双曲线的右焦点，过原点的直线与双曲线交于，两点，若且的周长为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设双曲线的另一个焦点为，则根据双曲线的对称性得为矩形，，由条件可得，由双曲线的定义，再由勾股定理可解得离心率.
【详解】设双曲线的另一个焦点为，由.
根据双曲线的对称性得为矩形，如图，.
又的周长为，则…………①.
由双曲线的定义………………②
由①，②得.
在直角三角形中, .
则，即，所以.
故选：D
【点睛】本题考查双曲线的对称性和定义，求双曲线的离心率，属于难题.
10. 抛物线的焦点为F，点P是C上一点，若，则点P到y轴的距离为（ ）
A 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】设出，由抛物线定义得到方程，求出，从而得到答案.
【详解】设，由抛物线定义知：，
所以，
即点P到y轴的距离为4
故选：C
11. 已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）
A. B. 1
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设函数 ，其中，作出函数图象结合导数的几何意义即可求得答案.
【详解】设函数 ，其中，
作出函数，的图象如图，
当函数，的图象始终在，的图象下方（切点除外）时符合题意，
对于，，则在x=0处的切线斜率为 ，
由图结合题意可知 ，即a得最大值为 ，
故选：C
12. 椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（ ）
A 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先根据椭圆的标准方程求出,,再根据光线路径分三种情况讨论即可得出结果.
【详解】解: 由题意可得,, ,
所以,.
①若光线从椭圆一个焦点沿轴方向出发到长轴端点(较近的)再反射,
则所经过的路程为,
②若光线从椭圆一个焦点沿轴方向出发到长轴端点(较远的)再反射,
则所经过的路程为.
③若光线从椭圆一个焦点沿非轴方向出发,
则所经过的路程为
故选:B
【点睛】本题考查椭圆的基本性质,考查椭圆的反光镜问题,考查长半轴与半焦距之间的基本关系,属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
【详解】 , , 切线方程为 ,即.
故答案为：
14. 已知圆：与直线：相交于、两点，且，则实数______.
【答案】-7或-1
【解析】
【分析】将圆的一般方程化为标准方程,结合垂径定理和勾股定理表示出圆心到弦的距离,再由点到直线的距离公式表示出圆心到弦的距离.解方程即可求得的值.
【详解】将圆的方程化为标准方程可得
圆心为,半径
圆C与直线相交于、两点,且
由垂径定理和勾股定理可求得圆心到直线的距离为
由点到直线距离公式可知
所以,化简可得
解得或
故答案为:或
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,直线与圆相交时的弦长问题,垂径定理及点到直线距离公式的应用,属于基础题.
15. 若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，当时，单调递增，当时，单调递增，
则等价于或，求解即可．
【详解】由题意，当时，单调递增，
当时，单调递增，
则等价于或
即或或
解得或．
故不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式求解，函数的奇偶性，函数的单调性与单调区间，考查运算化简的能力，属于中档题．
16. 已知x，，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论是______（写出所有成立结论的编号）．
【答案】①④
【解析】
【分析】根据基本不等式，结合特殊值法逐一判断即可.
【详解】①：因为，
所以有，故本结论一定成立；
②：当时，显然成立，但是不成立，故本结论不一定成立；
③：当时，显然成立，但是不成立，故本结论不一定成立；
④：因为，所以，由①可知：
，
所以，因此本结论一定成立，
故答案为：①④
三、解答题：本题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设命题：函数在区间上单调递减；命题：对恒成立．如果命题“且”为假命题，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出为真命题，为真命题时，的范围，再根据“且”为假命题，可得，至少有一假，即可求出答案
【详解】解：因为命题：函数在区间上单调递减，
所以当真，对称轴，
因为命题：对恒成立，
所以当为真，，解得，
因为命题“且”为假命题，所以，至少有一假，
若假假，则，解得或，
若真假，则，解得，
若假真，则，解得，
综上所述，故的取值范围为
18. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，其中.
（1）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（2）设曲线和曲线交于两点，求.
【答案】（1）是以为圆心，5为半径的圆；；（2）.
【解析】
【分析】（1）消去参数得到的普通方程，再利用极坐标公式得到答案.
（2）根据韦达定理得到，，根据计算得到答案.
【详解】（1）消去参数得到的普通方程为，
是以为圆心，5为半径的圆，
将，代人的普通方程中，
得到，
化简整理得到：.
（2）设两点所对应的极径分别为，，
将曲线的极坐标方程代人曲线的极坐标方程，得.
于是，，
.
由，得，两边平方整理得，
所以.
【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，求弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.
19. 已知函数 ．
（1）若是的一个极值点，求值及的单调区间；
（2）当时，求在区间上的最值．
【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）对函数求导，由极值点的导数值为求出值，进一步得出的单调区间；
（2）当代入，得函数并求导，得出其单调性，利用单调性可求出其最值．
【小问1详解】
由题设，且定义域，
由是的一个极值点得，解得，
此时．
所以，当时；当时，
即在单调递增；在单调递减．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
因为，所以，
则．
所以，当或时；当时．
所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为，
又，所以在递减，在递增，
所以的最小值，
又，及，
所以的最大值为.
20. “生命重于泰山，疫情就是命令，防控就是责任”.面对疫情，为切实做好防控，落实“停课不停学”，某校高三年级启动线上公益学习活动，助“战”高考.为了解学生的学习效果，李华老师在任教的甲、乙两个班中各随机抽取20名学生进行一次检测，根据他们取得的成绩（单位：分，满分100分）绘制了如下茎叶图，记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
（1）分别估计甲、乙两个班“成绩优良”的概率；
（2）根据茎叶图判断哪个班的学习效果更好？并从两个角度来说明理由.
【答案】（1）甲班“成绩优良”的概率为，乙班“成绩优良”的概率为
（2）乙班学习的效果更好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）通过茎叶图的数据分析可得甲班“成绩优良”的概率为，乙两个班“成绩优良”的概率为.
（2）乙班学习的效果更好，可以从三个不现角度回答.
【详解】（1）从茎叶图中，知甲班学生成绩不低于70分的人数共有10人，乙班学生成绩不低于70分的人数共有16人，且成绩不低于70分者为“成绩优良”.
因此可估计甲班“成绩优良”的概率为，
乙两个班“成绩优良”的概率为.
（2）乙班学习的效果更好.
理由l：乙班样本成绩大多在70分以上，甲班样本成绩70分以下的明显更多.
理由2：甲班样本成绩的平均分为70.2；乙班样本成绩的平均分为79.05.
理由3：甲班样本成绩的中位数为，
班样本成绩的中位数为.
【点睛】本题考查统计中的茎叶图及其数据特征分析，考查数据处理能力，属于基础题.
21. 已知函数．
（1）若函数在区间上递增，求实数的取值范围；
（2）求证：．
【答案】（1）.（2）证明见详解.
【解析】
【分析】（1）把问题转化为函数恒成立问题，再利用分离参数法、导数进行处理.
（2）利用（1）中结论、累加法、裂项相消法以及对数的运算性质证明不等式．
【详解】（1）函数的定义域为．
由题有：在区间上恒成立，
所以，，又在区间上递减，所以，
即实数a取值范围为．
（2）取，由(1)有在区间上递增，
所以，当时，即，
因为，所以，即，
所以，，，，…，，，
所以，，
即，得证．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22. 已知平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（其中为参数，），直线的参数方程为（为参数，为锐角）；以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，．
（1）求曲线的极坐标方程以及直线的普通方程；
（2）记直线与、轴的交点分别为，，点在曲线上，直线AP的倾斜角为，若，求的值．
【答案】（1），，，
（2）
【解析】
【分析】（1）将直线的参数方程整理为，用比值消去参数t化简可得普通方程；曲线的参数方程为（其中为参数，）化为普通方程后，再化为极坐标方程，注意取值范围.
（2）将点到直线MN的距离为与的长度都用表示出来，然后利用求解得出.
【小问1详解】
解：依题意，直线的普通方程为，．
而曲线，即，故．
而，，则，
故曲线的极坐标方程为，．
【小问2详解】
由题意可知，，，，，
点到直线MN的距离为
，
，
故，解得．
又，则．
23. 已知函数.
（1）若，解不等式；
（2）若，且的最小值为，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）对绝对值函数进行分段讨论，解不等式即可；
（2）求出的最小值，得到，再利用基本不等式证明即可．
【详解】解：（1）当时，函数
①当时，由得，所以无解
②当时，由得，所以；
③当时，由得，所以.
综上，不等式的解集为.
（2）因为，
当时，取到最小值，
所以，即.
所以，当且仅当时等号成立.
即成立.
