天津市第四高级中学2022-2023学年高二上学期9月入学摸底考试
数学试卷 解析版
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式即可求解.
【详解】，
故选：D
2. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题首先可将转化为，即可得出，然后根据，即可得出结果.
【详解】因为，，
所以，
因，，
所以，
故选：B
3. 设D是所在平面内一点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的加减法的运算法则，结合向量的数乘，即可求得答案.
【详解】由题意可得 ,
故选:D
4. 复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，即可得到共轭复数.
【详解】因为，所以复数共轭复数是.
故选：A
5. 已知的内角A，B，C所对的边分别是，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，根据题意，可使用余弦定理直接求解出.
【详解】，即，
由余弦定理得：.
故选：B.
6. 若函数 在区间内没有最值，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得函数在区间内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间为单调区间的子集得到关于的不等式组，解不等式组可得所求．
【详解】解：函数的单调区间为，
由，
得．
函数 在区间内没有最值，
函数 在区间内单调，，
解得由，得．
当时，得，
当时，得，又，故，
综上得的取值范围是
故选A
7. 已知，则为（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简得，从而求得所在象限
【详解】因为，
所以，
即，
故，
即，
所以在第二象限角，
故选：B
8. 函数（A>0，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过函数的图象，求出，的值，利用周期公式求出的值，再根据五点法作图求出的值即可．
【详解】由函数的图象可知，，
，
由五点法作图可得，且，
，
函数的解析式为．
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 要得到函数到的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
B. 向右平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
C. 每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移单位长度
D. 每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移单位长度
【答案】AD
【解析】
【分析】根据图象的两种变换方式即可求解;先平移再伸缩可判断A,B,先伸缩再平移可判断C,D.
【详解】方式一：（先平移再伸缩）；将先向左平移单位长度得到，然后将图像上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变得到，故A对，
方式二：（先伸缩再平移）；将图像上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变得到，再将向左平移单位长度得到，故D对，
故选：AD
10. 下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 在区间上单调递增 B. 最小正周期是
C. 图象关于成中心对称 D. 图象关于成中心对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正切函数的性质逐一判断即可.
【详解】当时，，所以在区间上单调递增，故A正确；
函数的最小正周期是，故B错误；
当时，所以函数的图象关于成中心对称，故C正确；
当时，所以函数的图象关于成中心对称，故D正确；
故选：ACD
11. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递减 D. 的值域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】化简函数解析式，利用特殊值法可判断A选项；利用函数对称性的定义可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用对数函数的基本性质可判断D选项.
【详解】因为，
对于A选项，，
，则，A错；
对于B选项，由，可得，则，
对任意的，，
所以，函数的图象关于点对称，B对；
对于C选项，当时，，
则函数在上单调递增，函数为减函数，
故函数在上单调递减，C对；
对于D选项，对任意的，可取所有的正数，
故函数的值域为，D对.
故选：BCD.
12. 下列说法中错误的为（ ）
A. 已知，且与夹角为锐角，则λ的取值范围是
B. 已知，不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若与平行，则在方向上的投影数量为
D. 若非零，满足，则与的夹角是60°
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，只是与的夹角为锐角的必要而不充分条件，还需把使与同向的的值去掉；对于B，因为与共线，故与不能作为平面的一组基底；对于C，利用投影的定义判断；对于D，利用夹角公式判断
【详解】对于A,
因为与的夹角为锐角,
所以
若与同向，则（），
所以解得
所以当与的夹角为锐角时，的取值范围为, 故A错误.
对于B, 因为,所以向量, 即共线,
故不能作为平面内所有向量的一组基底,故B正确.
对于C, 与平行，则与的夹角为或，则在方向上的投影数量为或，即在方向上的投影数量为，故C错误
对于D, 因为, 两边平方得,
故
而向量的夹角范围为, 得与的夹角为, 故D错误.
故选: ACD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知复数，则=_____．
【答案】
【解析】
【详解】因为复数，所以，故答案为 .
14. 在中，，，，，，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由表示出，再由数量积的运算律及二次函数的性质求出最大值即可.
【详解】由题意得，，则
，故的最大值为1.
故答案为：1.
15. 已知的三个顶点是，则的面积为________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用两点间的距离公式求得的长度，然后根据，的坐标求得直线的方程，进而利用点到直线的求得到直线的距离，即三角形的高，最后利用面积公式求得答案．
【详解】
设所在直线方程为，把点，的坐标代入可求得
，求得，，
直线的方程为，即，
点到直线的距离
．
故答案：
16. 武威“天马之眼”摩天轮，于年月建成运营．夜间的“天马之眼”摩天轮美轮美奂，绚丽多彩，气势宏大，震撼人心，是武威一颗耀眼的明珠．该摩天轮的直径为米，摩天轮的最高点距地面米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要分钟，若小夏同学从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小夏登上摩天轮的时刻开始计时，则小夏与地面的距离（米）与时间（分钟）的函数关系式为____________．在摩天轮转动一圈的过程中，若小夏的高度在距地面不低于米的时间不少于分钟，则的最小值为____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由已知可设，根据题意求出解析式中的参数，可得出函数的解析式，然后解不等式，结合已知条件可得出关于的不等式，由此可得出的最小值.
【详解】由已知可设，其中，由题意可得，
当时，小夏同学在摩天轮的最低点处，可取，
且由，可得，
所以，，
由，可得，则，
所以，在摩天轮转动一圈的过程中，小夏的高度在距地面不低于米的时长满足，
可得，由题意可得，解得.
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程成演算步骤．
17. 已知向量.
（1）若，求；
（2）若，向量，求与夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得，求出的值，再求出的坐标，从而可求出其模，
（2）由，可得，求出的值，然后利用向量的夹角公式求解
【小问1详解】
因为，所以，
即，解得，
所以，
故.
【小问2详解】
因为，所以，解得，则.
因为，
所以，
即与夹角的余弦值为.
18. 已知．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用弦化切可得答案；
（2）求出，再利用两角和的正切展开式可得答案.
【小问1详解】
因为，所以
.
【小问2详解】
因为，，
解得，，
所以．
19. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，关于的方程恰有4个不同的实数根，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简得出，令即可求出单调递增区间；
（2）方程化为和共有4个不同的解，即与的图象在各有两个交点，数形结合即可求出.
【小问1详解】
，
令，解得，
所以的单调递增区间为；
【小问2详解】
由可解得或，
方程有4个不同的实数根，即和共有4个不同的解，
即和共有4个不同的解
当时，，
因为与的图象在有两个交点，所以与的图象在有两个交点，
所以且，解得且，
即的取值范围为.
20. 在中，角所对的边为，且
（1）求角的大小；
（2）设向量，试求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可得，进而可求角；（2）根据向量的坐标运算，利用坐标表示模长，利用二倍角公式以及和差角公式，辅助角公式进行化简，根据余弦最小即可求解.
【小问1详解】
由正弦定理得：,
,且,因此得:,由于为三角形的内角，故
【小问2详解】
由得,所以,因为,所以,故,当时，，此时有最小值，故此时取最小值，且最小值为.
21. 疫情无情，人间有情．为了有效解决疫情发生以来市民群众因管控带来的出门买菜难等生活不便问题，某市在全市范围内组织开展“送菜上门、便民利民”工作．如图，运送物资的车辆已装车完毕，运送人员小赵计划从处出发，前往，，，4个小区运送生活物资，已知，，，与的交点为，且，．
（1）分别求，的长度．
（2）假设，，，，，，，均为平坦的直线型马路，小赵开着货车在马路上以的速度匀速行驶，每到1个小区，需要10分钟的卸货时间，直到第4个小区卸完货，小赵完成运送生活物资的任务．若忽略货车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，货车的启动和停止……），求小赵完成运送生活物资任务的最短时间（单位：min）．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）分别在中，在中，由余弦定理可求得答案；
（2）如图，过作，垂足为点，过作，垂足为点．由平面几何可得，求得，．由的长度最长，，的长度最短，所以路线避免选择，选择，，最佳路线为，由此可求得答案.
【小问1详解】
解：在中，由余弦定理得，
解得．
因为，，所以．
在中，由余弦定理得，
解得．
【小问2详解】
解：如图，过作，垂足为点，过作，垂足为点．
因为，，所以，，
得四边形为矩形，所以，，
所以．
因为，所以，所以，．
因为的长度最长，，的长度最短，所以路线避免选择，选择，，
所以最佳路线为，此路线的长度为，
故小赵完成运送生活物资任务最短时间为．
22. 降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是，其中的振幅为2，且经过点.
（1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；
（2）先将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，函数恰有两个不同的零点 ，求实数的范围和的值.
【答案】（1） ,
（2）,
【解析】
【分析】（1）根据的图象与性质求出、的值，写出函数解析式，再根据对称性写出的解析式；
（2）根据函数图象变换求出解析式， 根据，确定，结合三角函数的性质求得答案.
【小问1详解】
由的振幅为2，且经过点，
所以，，代入有，
所以，，解得，，
因为，所以，所以，
又因为与关于轴对称，所以；
【小问2详解】
由题意可得，
当时，，
此时，，
而，在上递增，在上递减，
故 时，恰有两个不同的零点，
令 ,则，
故.天津市第四高级中学2022-2023学年高二上学期9月入学摸底考试
数学试卷 原卷版
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. 1 B. C. D.
2. 设，，，则，，大小关系为（ ）
A. B. C. D.
3. 设D是所在平面内一点，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知内角A，B，C所对的边分别是，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若函数 在区间内没有最值，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，则为（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
8. 函数（A>0，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 要得到函数到的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
B. 向右平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
C. 每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移单位长度
D. 每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移单位长度
10. 下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 在区间上单调递增 B. 最小正周期是
C. 图象关于成中心对称 D. 图象关于成中心对称
11. 已知函数，则（ ）
A. 最小正周期为 B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递减 D. 的值域为
12. 下列说法中错误的为（ ）
A. 已知，且与夹角为锐角，则λ的取值范围是
B. 已知，不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若与平行，则在方向上的投影数量为
D. 若非零，满足，则与的夹角是60°
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知复数，则=_____．
14. 在中，，，，，，则的最大值为__________．
15. 已知的三个顶点是，则的面积为________．
16. 武威“天马之眼”摩天轮，于年月建成运营．夜间的“天马之眼”摩天轮美轮美奂，绚丽多彩，气势宏大，震撼人心，是武威一颗耀眼的明珠．该摩天轮的直径为米，摩天轮的最高点距地面米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要分钟，若小夏同学从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小夏登上摩天轮的时刻开始计时，则小夏与地面的距离（米）与时间（分钟）的函数关系式为____________．在摩天轮转动一圈的过程中，若小夏的高度在距地面不低于米的时间不少于分钟，则的最小值为____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程成演算步骤．
17 已知向量.
（1）若，求；
（2）若，向量，求与夹角的余弦值.
18. 已知．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
19. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，关于的方程恰有4个不同的实数根，求的取值范围．
20. 在中，角所对的边为，且
（1）求角的大小；
（2）设向量，试求的最小值．
21. 疫情无情，人间有情．为了有效解决疫情发生以来市民群众因管控带来的出门买菜难等生活不便问题，某市在全市范围内组织开展“送菜上门、便民利民”工作．如图，运送物资的车辆已装车完毕，运送人员小赵计划从处出发，前往，，，4个小区运送生活物资，已知，，，与的交点为，且，．
（1）分别求，的长度．
（2）假设，，，，，，，均为平坦的直线型马路，小赵开着货车在马路上以的速度匀速行驶，每到1个小区，需要10分钟的卸货时间，直到第4个小区卸完货，小赵完成运送生活物资的任务．若忽略货车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，货车的启动和停止……），求小赵完成运送生活物资任务的最短时间（单位：min）．
22. 降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是，其中的振幅为2，且经过点.
（1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；
（2）先将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，函数恰有两个不同的零点 ，求实数的范围和的值.
