重庆市万州区2022-2023学年高二上学期9月开学考试
（数学） 解析版
一 单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先求出复数，进而得到其对应点所在象限.
【详解】
,
∴复数在复平面内对应的点（2，-1）在第四象限，
故选：D
2. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
3. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】B
【解析】
【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.
【详解】讲座前中位数为,所以错；
讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对；
讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；
讲座后问卷答题的正确率的极差为，
讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.
故选:B.
4. 一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，则，所以灯亮的概率为 ， 故选B.
【方法点睛】本题主要考查独立事件、对立事件的概率公式，属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性与对立性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.
5. 在△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）
A. 11π B. 12π C. 13π D. 14π
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．
解：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是：
两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，
∵BC=4，∠ABC=120°，
∴CO=2，
∴几何体的体积V==12π，
故选B
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
6. 甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（ ）
A. 65，280 B. 68，280 C. 65，296 D. 68，296
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意按比例设甲、乙队的人数，再求平均数；再根据甲、乙的各自方差求出甲乙两队全部队员的方差。总体根据平均数和方差的定义求解即可.
【详解】设甲队有a人，甲、乙两队的队员人数之比为1：4，则乙队有4a人，
因为甲队体重的平均数为60，乙队体重的平均数为70，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为
，
甲队体重方差
则
乙队体重的方差为
则
甲、乙两队全部队员体重的方差为
+
+
故选：B.
7. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
8. 在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，结合正余弦定理求得角，继而由结合正余弦定理求出，再表示出，，利用三角函数的性质求得的范围，即可求得答案.
【详解】由，由正弦定理得,
即有，而，则，
又，
由正弦定理 余弦定理得，，化简得：，
由正弦定理有：，即，，
是锐角三角形且，有，，
解得，
因此
，
由得：，，
所以.
故选：D
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.
9. 若复数，则下列正确的是（ ）
A. 当或时，z为实数
B. 若z为纯虚数，则或
C. 若复数z对应的点位于第二象限，则
D. 若复数z对应的点位于直线上，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复数的有关概念以及复数的几何意义即可判断各选项的真假．
【详解】对A，若z为实数，则，所以或，A正确；
对B，若z为纯虚数，则，解得，B错误；
对C，若复数z对应的点位于第二象限，则，解得，C正确；
对D，若复数z对应的点位于直线上，则，解得：或，即或，D错误．
故选：AC．
10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，且，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用余弦定理化简得选项C正确；利用三角形的面积公式化简得选项D错误；利用余弦定理得选项A错误；利用正弦定理得选项B正确.
【详解】解：由正弦定理得,
所以,
因为,所以选项C正确；
由题得，所以选项D错误；
由余弦定理得，所以选项A错误；
由正弦定理得.所以选项B正确.
故选：BC
11. 中，，，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若为的重心，则
B. 若为边上的一个动点，则为定值4
C. 若、为边上的两个动点，且则的最小值为
D. 已知Q是内部（含边界）一点，若，且，则的最大值是1
【答案】BC
【解析】
【分析】以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出的坐标即可判断A；将用基底表示，再利由数量积运算计算可判断B；不妨设靠近点，，则，用表示两点坐标，计算 求最值，可判断C；设，，可得，利用向量相等，坐标相等可得与的关系，将表示为关于的函数，即可求最值判断D，进而可得正确选项.
【详解】
如图：以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，，，
对于A：由重心坐标公式可得 所以，而，
所以，故选项A不正确；
对于B：设，则
，所以
，故选项B正确；
对于C：不妨设靠近点，，则，可得，
，
则，当时，
取得最小值为，故选项C正确；
对于D：设，由可得，
所以，设，所以，
，
由可得，所以，此时无最大值，故选项D不正确，
故选：BC.
12. 已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，，，，过作平面的垂线，且，，与都在平面的同侧，则（ ）
A. 三棱锥的体积为
B.
C.
D. 球的表面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】把三棱锥放在长方体中，长方体的高为1，底面是边长为2的正方形，可得三棱锥的体积可判断A；计算出验证是否等于可判断B；由已知得，假设，则，与与相交于矛盾可判断C；三棱锥的外接球即长方体的外接球，求出其半径为可判断D.
【详解】如图，长方体的高为1，底面是边长为2的正方形，
满足，，，
三棱锥的体积为，故A正确；
，
满足，可得，故B正确；
平面，平面，则，
假设，则，与与相交于矛盾，故C错误；
三棱锥的外接球即长方体的外接球，设其半径为，
则，即，可得球的表面积为，故D正确.
故选：ABD.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】代入后利用复数的乘法运算法则计算即可.
【详解】由于，所以.
故答案为：.
14. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用列举法把互质的2个数找出来，然后利用古典概型求概率的公式求概率即可.
【详解】从2至8的整数有2,3,4,5,6,7,8，
互质的两个数有2和3,2和5,2和7,3和4,3和5,3和7,3和8,4和5,4和7,5和6,5和7,5和8,6和7,7和8，共14对，
所以随机取2个数，互质的概率为.
故答案为：.
15. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
【答案】.
【解析】
【分析】根据题中所给的公式代值解出．
【详解】因为，所以．
故答案为：.
16. 在中，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即
故答案为：
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 在中，角对应边分别是，已知，
（1）求的值；
（2）若，求外接圆的面积.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理可得，进而即得；
（2）利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得外接圆的半径，进而即得.
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理可得，即，
因为，
所以；
【小问2详解】
因，
所以由余弦定理可得，
所以外接圆的半径，
可得外接圆面积.
18. 为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从开始计数的.
（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第百分位数；
（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数和方差（以各组的区间中点值代表该组的取值）.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
【分析】（1）计算出组距，利用百分位数的定义可求得第百分位数；
（2）将频率直方图中每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加可得的值，利用方差公式可求得的值.
【详解】（1）设组距，则有，解得，
所以，横轴上的数据分别为、、、、、、，
前个矩形的面积之和为，
前个矩形的面积之和为，
所以，第百分位数在区间，
设第百分位数为，则，解得；
（2）由频率分布直方图可得，
.
19. 在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．
【答案】（1）．（2）
【解析】
【分析】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，求出，，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：，由此能求出结果．
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为，由此能求出结果.
【详解】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，
则P（A），P（B），
∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：
P（A）＝P（A）P（）+P（）P（B）（1）．
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：
P（）＝P（）P（）＝（1）（1）
【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
20. 如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、，由平面知识易得，再根据二面角的定义可知，，由此可知，，，从而可证得平面，即得；
（2）由（1）可知平面，过点做平行线，所以可以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出．
【小问1详解】
过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、．
∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，则，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．
【小问2详解】
因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设，则，
设平面的法向量为
由，得，取，
设直线与平面所成角为，
∴．
21. 在中，，，，D、E分别是AC、AB上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.
（1）求证：平面BCDE；
（2）求CM与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点N（N不与端点、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直 若存在，求出与BN的比值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在；2
【解析】
【分析】（1）结合线面垂直判定定理和折叠性质可证；
（2）通过建系法求出和平面的法向量，设线面角为，结合公式求解即可；
（3）在（2）的坐标系基础上，写出坐标，设，，表示出点N，分别求出平面CMN与平面DEN的法向量，令数量积为0，求出参数即可.
【小问1详解】
因为在中，，，所以，
因为折叠前后对应角相等，所以，所以平面，，
又，，所以平面BCDE；
【小问2详解】
因为DE经过的重心，故，由（1）知平面BCDE，以为轴，为轴，为z轴，建立空间直角坐标系，由几何关系可知，，
故，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，设CM与平面所成角的大小为，则有，故，即CM与平面所成角的大小为；
【小问3详解】
设，，即，
即，，，
，设平面CMN的法向量为，则有，
即，令则，，，
同理，设平面DEN的法向量为，，
则，即，令，则，故，
若平面CMN与平面DEN垂直，则满足，即，，故存在这样的点，，所以
22. 已知中，角的对应边分别为，且内切圆的半径.
（1）求的值；
（2）设，若，求的最大值.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】⑴利用正弦定理对进行边角互换，整理后求出，然后再根据得到，利用内切圆半径求出，最后再根据正弦定理求出，；
⑵利用平面向量的线性运算得到，再根据得到和的关系式，最后根据和的关系式求出的最大值.
【小问1详解】
过点作于点，连接，
，
.
，即
，,，.
，.
，为中点.
在中，.
，∴.
【小问2详解】
，，，
.
.
.
令，
.
.
当时，.重庆市万州区2022-2023学年高二上学期9月开学考试
（数学） 原卷版
一 单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
3. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
4. 一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )
A. B. C. D.
5. 在△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）
A. 11π B. 12π C. 13π D. 14π
6. 甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（ ）
A 65，280 B. 68，280 C. 65，296 D. 68，296
7. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A. B. C. D.
8. 在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.
9. 若复数，则下列正确的是（ ）
A. 当或时，z为实数
B. 若z为纯虚数，则或
C. 若复数z对应的点位于第二象限，则
D. 若复数z对应的点位于直线上，则
10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，且，则有（ ）
A. B. C. D.
11. 中，，，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若为重心，则
B. 若为边上的一个动点，则为定值4
C. 若、为边上的两个动点，且则的最小值为
D. 已知Q是内部（含边界）一点，若，且，则的最大值是1
12. 已知三棱锥每个顶点都在球的球面上，，，，过作平面的垂线，且，，与都在平面的同侧，则（ ）
A. 三棱锥的体积为
B.
C.
D. 球表面积为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若，则___________.
14. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为___________.
15. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
16. 在中，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是___________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 在中，角对应的边分别是，已知，
（1）求的值；
（2）若，求外接圆的面积.
18. 为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从开始计数的.
（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第百分位数；
（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数和方差（以各组的区间中点值代表该组的取值）.
19. 在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．
20. 如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21. 在中，，，，D、E分别是AC、AB上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.
（1）求证：平面BCDE；
（2）求CM与平面所成角大小；
（3）在线段上是否存在点N（N不与端点、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直 若存在，求出与BN的比值；若不存在，请说明理由.
22. 已知中，角的对应边分别为，且内切圆的半径.
（1）求的值；
（2）设，若，求的最大值.
