2023届新高考数学解题技巧——直接法　排除法　特值法　数形结合法（有答案）

2023届新高考数学解题技巧——直接法　排除法　特值法　数形结合法
一、单项选择题
1．[2021·新高考Ⅱ卷]复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．[2021·新高考Ⅰ卷]已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
3．已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a2<－ab B．|a|<|b|
C．> D．>
4．函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]上的图象大致为(　　)
5．[2020·新高考Ⅰ卷]已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则· 的取值范围是(　　)
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列等式中一定成立的是(　　)
A．Sn＋S2n＝S3n
B．S＝SnS3n
C．S＝Sn＋S2n－S3n
D．S＋S＝Sn(S2n＋S3n)
7．已知椭圆C：＋＝1(b>0)，直线l：y＝mx＋1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是(　　)
A．[1，4) B．[1，＋∞)
C．[1，4)∪(4，＋∞) D．(4，＋∞)
8．[2021·新高考Ⅰ卷]若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　　)
A．ebC．0二、多项选择题
9．[2020·新高考Ⅰ卷]已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　　)
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
10．设函数f(x)的定义域为D，若对任意x∈D，存在y∈D，使得f(x)＋f(y)＝4成立，则称函数f(x)在D上具有性质P，则下列函数具有性质P的有(　　)
A．f(x)＝x3＋1(x∈R)
B．f(x)＝2x(x∈R)
C．f(x)＝ln x(x∈(0，＋∞))
D．f(x)＝2sin x＋1(x∈R)
11．[2021·新高考Ⅰ卷]已知点P在圆(x－5)2＋ (y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
12．[2021·新高考Ⅱ卷]如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是(　　)
三、填空题
13．[2021·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．
14．[2021·新高考Ⅱ卷]已知向量a＋b＋c＝0，＝1，＝＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________．
15．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则＋＝________．
16．已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－3f(x)＋a＝0(a∈R)有8个不等的实数根，则a的取值范围是________．
答案
1．答案：A
解析：＝＝＝，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限．
2．答案：B
解析：设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则πl＝2π×，解得l＝2.
故选B.
3．答案：C
解析：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，<，∴A，B，D不一定成立．∵a>0>b，∴b－a<0，ab<0，∴－＝>0，∴>一定成立，故选C.
4．答案：D
解析：令f(x)＝2x2－e|x|(－2≤x≤2)，则f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0，1)，故排除A，B；当x>0时，令g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex，又g′(0)<0，g′(2)>0，所以g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，故f(x)＝2x2－e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C.
5．答案：A
解析：的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的定义式，
可知·等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以·的取值范围是(－2，6)，
故选A.
6．答案：D
解析：设等比数列{an}的前三项分别为a1＝1，a2＝2，a3＝4，则S1＝1，S2＝3，S3＝7，显然选项A，B，C均不成立，D成立，故选D.
7．答案：C
解析：注意到直线l恒过定点(0，1)，所以当b＝1时，直线l与椭圆C恒有公共点，排除D；若b＝4，则方程＋＝1不表示椭圆，排除B；若b>4，则显然点(0，1)恒在椭圆内部，满足题意，排除A.故选C.
8．答案：D
解析：
方法一　在曲线y＝ex上任取一点P，对函数y＝ex求导得y′＝ex，
所以，曲线y＝ex在点P处的切线方程为y－et＝et，即y＝etx＋et，
由题意可知，点在直线y＝etx＋et上，可得b＝aet＋et＝et，
令f＝et，则f′＝et.
当t0，此时函数f单调递增，
当t>a时，f′<0，此时函数f单调递减，
所以，fmax＝f＝ea，
由题意可知，直线y＝b与曲线y＝f的图象有两个交点，则b当t0，当t>a＋1时，f<0，作出函数f的图象如图所示：
由图可知，当0故选D.
方法二　画出函数曲线y＝ex的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线．由此可知0故选D.
9．答案：ACD
解析：对于选项A，∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可变形为＋＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为 的圆，错误；对于选项C，∵mn<0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0 y＝± x，正确；对于选项D，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1 y＝± ，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD.
10．答案：AC
解析：因为f（x）＋f（y）＝4，所以f（y）＝4－f（x），由题意知，对任意x∈D，上述关于y的方程均有解．
f（x）＝2x，令x＝2得f（y）＝0，显然无解，因此f（x）＝2x不具有性质P，B错误；f（x）＝2sin x＋1，不妨令x＝－，则f（y）＝4，即sin y＝，显然无解，因此f（x）＝2sin x＋1不具有性质P，D错误；对于选项A和C，两个函数的值域都为R，故具有性质P，故选AC.
11．答案：ACD
解析：圆2＋2＝16的圆心为M，半径为4，
直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，
圆心M到直线AB的距离为＝＝>4，
所以，点P到直线AB的距离的最小值为－4<2，最大值为＋4<10，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，
＝＝，＝4，由勾股定理可得＝ ＝3，C、D选项正确．
故选ACD.
12．答案：BC
解析：设正方体的棱长为2，
如图（1）所示，连接AC，则MN∥AC，
故∠POC（或其补角）为异面直线OP，MN所成的角，
在直角三角形OPC中，OC＝，CP＝1，故tan ∠POC＝＝，
故MN⊥OP不成立，故A错误．
　
　
如图（2）所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，
由正方体SBCM NADT可得SN⊥平面ANDT，而OQ 平面ANDT，
故SN⊥OQ，而SN∩MN＝N，故OQ⊥平面SNTM，
又MN 平面SNTM，OQ⊥MN，而OQ∩PQ＝Q，
所以MN⊥平面OPQ，而PO 平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确．
如图（3），连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，
故OP⊥MN，故C正确．
如图（4），取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，
则AC∥MN，
因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，
所以∠QPO或其补角为异面直线PO，MN所成的角，
因为正方体的棱长为2，故PQ＝AC＝，OQ＝＝＝，
PO＝＝＝，QO 2故PO，MN不垂直，故D错误．
故选：BC.
13．答案：1
解析：因为f＝x3，故f＝－x3，
因为f为偶函数，故f＝f，
即x3＝－x3，整理得到＝0，
故a＝1.
14．答案：－
解析：由已知可得2＝a2＋b2＋c2＋2＝9＋2＝0，
因此，a·b＋b·c＋c·a＝－.
15．答案：4a
解析：设直线斜率为0，因抛物线焦点坐标为，把直线方程y＝代入抛物线方程解得x＝±，∴|PF|＝|FQ|＝，从而＋＝4a.
16．答案：
解析：函数f（x）＝的图象如图，
关于x的方程f2（x）－3f（x）＋a＝0有8个不等的实数根，
f（x）必须有4个不相等的实数根，
由函数f（x）图象可知f（x）∈（1，2），
令t＝f（x），方程f2（x）－3f（x）＋a＝0化为
a＝－t2＋3t，t∈（1，2），
a＝－t2＋3t，开口向下，对称轴为t＝，
可知a的最大值为－＋3×＝，
经检验，当a＝时，f（x）有两个相等的实数根，不符合题意．
a的最小值为2（取不到），所以a∈.