《创新方案》2013-2014学年高中数学北师大版必修三章末复习方案与全优评估：第一章 统计（含高频考点例析）
文档属性
| 名称 | 《创新方案》2013-2014学年高中数学北师大版必修三章末复习方案与全优评估：第一章 统计（含高频考点例析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 421.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-10-20 21:04:39 | ||
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文档简介
1．抽样方法
(1)用随机数表法抽样时，对个体所编号码位数要相等，当问题所给位数不等时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数．
(2)用系统抽样法时，如果总体容量N能被样本容量n整除，抽样间隔为k＝；如果总体容量N不能被样本容量n整除，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为k＝.
(3)应用三种抽样方法时需要搞清楚它们的使用原则．
①当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法．
②当总体容量较大，样本容量较小时，可用随机数表法．
③当总体容量较大，样本容量也较大时，可用系统抽样法．
④当总体由差异明显的几部分组成时，常用分层抽样．
2．用样本估计总体
(1)用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处理，作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法步骤．
(2)茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有信息都可以从图中得到，二是便于记录和表示，但数据较多时不方便．
(3)平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程度．
3．变量间的相关关系
除了函数关系这种确定性的关系外，还大量存在因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系——相关关系，对于一元线性相关关系，通过建立线性回归方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解，主要是作出散点图、写出线性回归方程．
[例1] 某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试采用简单随机抽样和系统抽样进行具体实施．
[解] (1)简单随机抽样：①将每一个人编一个号由0001至1003.
②制作大小相同的号签，并写上号码．
③放入一个大容器内，均匀搅拌．
④依次抽取10个号签．
具有这十个编号的人组成一个样本．
(2)系统抽样：
①将每个人编一个号由0001至1003.
②利用随机数表抽取3个号，将这3个人剔除．
③重新编号0001至1000.
④分段＝100，所以0001至0100为第一段．
⑤在第一段内由简单随机抽样方法抽得一个号l.
⑥按编号将l,100＋l，…，900＋l，共10个号选出，这10个号所对应的人组成样本．
[借题发挥]
1．当总体容量N能被样本容量n整除时，分段间隔k＝，利用系统抽样的方法抽样．
2．当总体总量不能被样本容量整除时，可先从总体中随机剔除n个个体．
3．要注意三种抽样方法的使用条件．
1．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )
A．26,16,8 B．25,17,8
C．25,16,9 D．24,17,9
解析：由题意知间隔为＝12，故抽到的号码为12k＋3(k＝0,1，…，49)，列出不等式可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人．
答案：B
[例2] 有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：
[－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5,0)，40；[0,5)，49；[5,10)，41；[10,15)，20；[15,20]，17.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；
(3)求样本数据不足0的频率．
[解] (1)频率分布表如下：
分组 频数 频率
[－20，－15) 7 0.035
[－15，－10) 11 0.055
[－10，－5) 15 0.075
[－5,0) 40 0.2
[0,5) 49 0.245
[5,10) 41 0.205
[10,15) 20 0.1
[15,20] 17 0.085
合计 200 1.00
(2)如图是频率分布直方图和频率分布折线图：
(3)样本数据不足0的频率为：
0．035＋0.055＋0.075＋0.2＝0.365.
[借题发挥]
1．频率分布直方图的绘制方法与步骤
(1)先制作频率分布表，然后作直角坐标系，横轴表示总体，纵轴表示.
(2)把横轴分成若干段，每一段对应一个组．以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画成矩形．这样得到的直方图就是频率分布直方图．
2．频率分布折线图反映的是数据的变化趋势，可用来对数据进行估计和预测．
2．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
解析：∵0.005×10＋0.035×10＋a×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，∴a＝0.030.
设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生各有x，y，z人，
则＝0.030×10，解得x＝30.同理，y＝20，z＝10.
故从[140,150]中抽取的学生人数为×18＝3.
答案：0.030 3
3．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)．所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有________根棉花纤维的长度小于20 mm.
解析：(0.04×5＋0.01×5＋0.01×5)×100＝30.
答案：30
[例3] 甲：2,1,0,2,3,1,0,4,2,0；
乙：1,2,0,3,1,1,2,1,0,1.
分别计算这两个样本的平均数与方差，从计算结果看，应选哪一名工人参加技术表演？
[解] 甲＝＝1.5；
乙＝(1＋2＋0＋3＋1＋1＋2＋1＋0＋1)＝1.2；
s＝[(2－1.5)2＋(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2]
＝(0.52×5＋1.52×4＋2.52)＝1.65；
s＝[(1－1.2)2＋(2－1.2)2＋(0－1.2)2＋(3－1.2)2＋(1－1.2)2＋(1－1.2)2＋(2－1.2)2＋(1－1.2)2＋(0－1.2)2＋(1－1.2)2]＝0.76，
∵甲>乙，s＞s.
∴应选乙工人参加比赛．
[借题发挥] 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究数据偏离平均数的离散程度(即方差或标准差)．标准差越大，说明数据的离散性越大；标准差越小，说明数据的离散性越小或数据越集中、稳定．
4．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A．57.2,3.6 B．57.2,56.4
C．62.8,63.6 D．62.8,3.6
解析：当一组数据中的每个数同时加上一个数后，平均数相应的增加，但方差不变，可知新数据的平均数为62.8，方差为3.6.
答案：D
5．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5项预赛，成绩记录如下：
甲：78 76 74 90 82
乙：90 70 75 85 80
(1)用茎叶图表示这两组数据；
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．
解：(1)用茎叶图表示如下：
甲 乙
4 6 8 7 0 5
2 8 0 5
0 9 0
(2)甲＝80，乙＝80，
而s＝×[(78－80)2＋(76－80)2＋(74－80)2＋(90－80)2＋(82－80)2]＝32，
s＝×[(90－80)2＋(70－80)2＋(75－80)2＋(85－80)2＋(80－80)2]＝50.
∵甲＝乙，s∴从统计学的角度考虑，选甲参加更合适.
[例4] 某个体服装店经营某种服装在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间有如下一组数据：
x 3 4 5 6 7 8 9
y 66 69 73 81 89 90 91
已知：＝280，＝45 309，iyi＝3 487.
(1)求，；
(2)求纯利y与每天销售件数x之间的线性回归方程；
(3)估计每天销售10件这种服装时纯利润为多少元？
[解] (1)由已知得＝(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，
＝(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86.
(2)设线性回归方程为y＝bx＋a，则
b＝＝≈4.75，
a＝－b ＝79.86－4.75×6≈51.36.
∴所求线性回归方程为y＝4.75x＋51.36.
(3)当x＝10时，y＝98.86，估计每天销售这种服装10件可获纯利98.86元．
[借题发挥] 要对y与x进行线性相关检验，只要画出散点图，看各数据是否集中在某一条直线附近即可，采用数形结合思想，若线性相关，则根据公式求出回归方程．
6．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据如下表所示：
x(0.01%) 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121
y(min) 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125
(1)作出散点图，你能从中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？
(2)求回归方程；
(3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟．
解：(1)用x表示含碳量，y表示冶炼时间，可作散点图如下图所示．
从上图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性相关．
(2)列出下表，并用科学计算器进行计算：
i 1 2 3 4 5
xi 104 180 190 177 147
yi 100 200 210 185 155
xiyi 10 400 36 000 39 900 32 745 22 785
i 6 7 8 9 10
xi 134 150 191 204 121
yi 135 170 205 235 125
xiyi 18 090 25 500 39 155 47 940 15 125
＝159.8，＝172；x＝265 448，xiyi＝287 640
设所求回归方程为y＝bx＋a.
b＝≈1.267，
a＝－b≈－30.47.
即所求的回归方程为y＝1.267x－30.47.
(3)当x＝160时，
y＝1.267×160－30.47≈172(min)，
即大约冶炼172 min.
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．为了了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为( )
A．40 B．30
C．20 D．12
解析：系统抽样也叫间隔抽样，抽多少个就分成多少组，总数÷组数＝间隔数，即k＝＝30.
答案：B
2．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查．则这两种抽样的方法依次是( )
A．分层抽样，简单随机抽样
B．简单随机抽样，分层抽样
C．分层抽样，系统抽样
D．简单随机抽样，系统抽样
解析：由抽样方法的概念知选D.
答案：D
3．一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为( )
A．10组 B．9组
C．8组 D．7组
解析：根据列频率分布表的步骤，＝＝8.9，所以分9组．
答案：B
4．将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是( )
A．09,14,19,24 B．16,28,40,52
C．10,16,22,28 D．08,12,16,20
解析：分成5组，每组12名学生，按等间距12抽取．
答案：B
5．某大学数学系共有本科生5 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为( )
A．80 B．40
C．60 D．20
解析：应抽取三年级的学生人数为200×＝40.
答案：B
6．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[60,70)的汽车辆数为( )
A．8 B．80
C．65 D．70
解析：时速在[60,70)的汽车频率为0.04×10＝0.4，时速在[60,70)的汽车大约有200×0.4＝80(辆)．
答案：B
7．已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归方程为( )
A．y＝1.23x＋4
B．y＝1.23x＋5
C．y＝1.23x＋0.08
D．y＝0.08x＋1.23
解析：回归直线的斜率就是b，则回归方程为y＝1.23x＋a，将(4,5)代入方程得a＝0.08.
答案：C
8．(2013·福州高一检测)某班的数学考试成绩的平均分为70分，方差为s2.后来发现成绩记录有误，同学甲得80分却误记为50分，同学乙得70分却误记为100分，更正后计算得方差为s，则s2与s的大小关系是( )
A．s2>s B．s2＝s
C．s2解析：根据方差的计算公式，s2的算式中含有(50－70)2＋(100－70)2，s的算式中含有(80－70)2＋(70－70)2，而两算式的其他部分完全相同，故易知s2>s.
答案：A
甲 乙
8 7 2 7 8
62 89 2 81 5
9.(2013·沈阳模拟)甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如图的茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲，X乙，则下列结论正确的是( )
A．X甲B．X甲>X乙；甲比乙成绩稳定
C．X甲>X乙；乙比甲成绩稳定
D．X甲解析：∵甲同学的成绩为78,77,72,86,92，乙同学的成绩为78,82,88,91,95，
∴X甲＝＝81，
X乙＝＝86.8，
∴X甲从茎叶图中数据的分布情况看，乙同学的成绩更集中于平均数附近，这说明乙比甲成绩稳定．
答案：A
10．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )
A．甲地：总体平均值为3，中位数为4
B．乙地：总体平均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体平均值为2，总体方差为3
解析：根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．某社区对居民进行2013辽宁全运会知晓情况的分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1 600人、1 400人．若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是________．
解析：抽取的比例为k＝＝，故在中年人中应该抽取的人数为1 600×＝80.
答案：80
12．对具有线性相关关系的变量x和Y，测得一组数据如下：
x 2 4 5 6 8
Y 30 40 60 50 70
若已求得它们的回归方程的斜率为6.5，则这条直线的回归方程为________．
解析：设回归方程为y＝6.5x＋a.
由已知，＝×(2＋4＋5＋6＋8)＝5.
＝×(30＋40＋60＋50＋70)＝50.
∴a＝－6.5＝50－6.5×5＝17.5.
∴y＝6.5x＋17.5.
答案：y＝6.5x＋17.5
13．下图是某班50名学生身高的频率分布直方图(精确到1 cm)，从左边第一、二、三、四个小长方形的高的比是1∶3∶5∶1，那么身高150 cm以下(不含150 cm)的学生有______人，身高为160 cm及160 cm以上的学生占全班学生人数的________．
解析：由题意可知，第一个长方形的面积占所有面积的10%，所以150 cm以下的学生有50×10%＝5(人)．第三个和第四个长方形的面积占总面积的60%，所以160 cm及以上的学生占全班学生人数的60%.
答案：5 60%
甲 乙
9 8 6 3 8 9 9
2 1 0 7 1
14.甲、乙两位同学某学科连续五次考试成绩用茎叶图表示，如图所示，则平均数较高的是______，成绩较为稳定的是________．
解析：甲的平均分为＝＝70，
乙的平均分为＝＝68；甲的方差为：
s＝＝2，同理乙的方差为s＝7.2，故甲的平均分高于乙，甲的成绩比乙稳定．
答案：甲 甲
三、解答题(本大题共4小题，共50分)
15．(12分)某车间有189名职工，现要按1∶21的比例选质量检查员，采用系统抽样的方式进行，写出抽样过程．
解：以随机方式对189名职工编号(比如可直接采用工资表上号码编号)，设其分别为1,2,3…，189，
由已知样本容量是总体个数的，故样本容量为189×＝9(个)，将1,2,3，…，189编9段，每段21个号．如1～21为第一段，22～42为第二段，…，169～189为第九段，在第一段1～21个号码中随机抽样产生一个号码，如设为l，则l，l＋21，l＋42，…，l＋168就是所产生的9个样本号码，对应的就是质量检查员．
16．(12分)农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下：(单位：cm)
甲：9,10,11,12,10,20
乙：8,14,13,10,12,21.
(1)绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图；
(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况．
解：(1)茎叶图如图所示：
(2)甲＝＝12，
乙＝＝13，
s≈13.67，s≈16.67.因为甲<乙，所以乙种麦苗平均株高较高，又因为s17．(12分)为了了解中学生的身体发育情况，对某一中学同年龄的50名男生的身高进行了测量，结果如下：
[157,161)3人；[161,165)4人；[165,169)12人；
[169,173)13人；[173,177)12人；[177,181]6人．
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计总体在[165,177)间的比例．
解：(1)列出频率分布表：
分组 频数 频率
[157,161) 3 0.06 0.015
[161,165) 4 0.08 0.02
[165,169) 12 0.24 0.06
[169,173) 13 0.26 0.065
[173,177) 12 0.24 0.06
[177,181] 6 0.12 0.03
合计 50 1.00
(2)画出频率分布直方图如图：
(3)因0.24＋0.26＋0.24＝0.74，
所以总体在[165,177)间的比例为74%.
18．(14分)某学校高一(3)班甲、乙两名同学的最近5次数学测验成绩(单位：分)统计如下：
甲 65 98 94 98 95
乙 62 98 99 100 71
(1)分别写出甲、乙成绩的平均数和中位数；
(2)分别用平均数和中位数分析甲、乙两位同学中，哪位同学成绩较好；
(3)又知同班同学丙的最近5次数学测验成绩(单位：分)如下：
丙 80 90 86 99 95
分别从平均数、中位数和方差等方面分析甲与丙的成绩谁好谁坏，并说明理由．
解：(1)平均分：甲＝×(65＋98＋94＋98＋95)＝90，
乙＝×(62＋98＋99＋100＋71)＝86.
甲的中位数是95，乙的中位数是98.
(2)从平均分看，甲的平均分高，甲的成绩较好；从中位数看，乙的中位数大，乙的成绩较好．
(3)丙＝×(80＋90＋86＋99＋95)＝90，丙的中位数为90.
s＝×[(80－90)2＋(90－90)2＋(86－90)2＋(99－90)2＋(95－90)2]＝44.4；
s＝×[(65－90)2＋(98－90)2＋(94－90)2＋(98－90)2＋(95－90)2]＝158.8.
由于两人的平均分相同，所以从平均分看，甲、丙成绩同样好；从中位数看，甲的中位数高，甲的成绩好；从方差看，丙的方差小，丙的成绩较稳定，所以丙的成绩好．
(1)用随机数表法抽样时，对个体所编号码位数要相等，当问题所给位数不等时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数．
(2)用系统抽样法时，如果总体容量N能被样本容量n整除，抽样间隔为k＝；如果总体容量N不能被样本容量n整除，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为k＝.
(3)应用三种抽样方法时需要搞清楚它们的使用原则．
①当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法．
②当总体容量较大，样本容量较小时，可用随机数表法．
③当总体容量较大，样本容量也较大时，可用系统抽样法．
④当总体由差异明显的几部分组成时，常用分层抽样．
2．用样本估计总体
(1)用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处理，作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法步骤．
(2)茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有信息都可以从图中得到，二是便于记录和表示，但数据较多时不方便．
(3)平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程度．
3．变量间的相关关系
除了函数关系这种确定性的关系外，还大量存在因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系——相关关系，对于一元线性相关关系，通过建立线性回归方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解，主要是作出散点图、写出线性回归方程．
[例1] 某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试采用简单随机抽样和系统抽样进行具体实施．
[解] (1)简单随机抽样：①将每一个人编一个号由0001至1003.
②制作大小相同的号签，并写上号码．
③放入一个大容器内，均匀搅拌．
④依次抽取10个号签．
具有这十个编号的人组成一个样本．
(2)系统抽样：
①将每个人编一个号由0001至1003.
②利用随机数表抽取3个号，将这3个人剔除．
③重新编号0001至1000.
④分段＝100，所以0001至0100为第一段．
⑤在第一段内由简单随机抽样方法抽得一个号l.
⑥按编号将l,100＋l，…，900＋l，共10个号选出，这10个号所对应的人组成样本．
[借题发挥]
1．当总体容量N能被样本容量n整除时，分段间隔k＝，利用系统抽样的方法抽样．
2．当总体总量不能被样本容量整除时，可先从总体中随机剔除n个个体．
3．要注意三种抽样方法的使用条件．
1．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )
A．26,16,8 B．25,17,8
C．25,16,9 D．24,17,9
解析：由题意知间隔为＝12，故抽到的号码为12k＋3(k＝0,1，…，49)，列出不等式可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人．
答案：B
[例2] 有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：
[－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5,0)，40；[0,5)，49；[5,10)，41；[10,15)，20；[15,20]，17.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；
(3)求样本数据不足0的频率．
[解] (1)频率分布表如下：
分组 频数 频率
[－20，－15) 7 0.035
[－15，－10) 11 0.055
[－10，－5) 15 0.075
[－5,0) 40 0.2
[0,5) 49 0.245
[5,10) 41 0.205
[10,15) 20 0.1
[15,20] 17 0.085
合计 200 1.00
(2)如图是频率分布直方图和频率分布折线图：
(3)样本数据不足0的频率为：
0．035＋0.055＋0.075＋0.2＝0.365.
[借题发挥]
1．频率分布直方图的绘制方法与步骤
(1)先制作频率分布表，然后作直角坐标系，横轴表示总体，纵轴表示.
(2)把横轴分成若干段，每一段对应一个组．以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画成矩形．这样得到的直方图就是频率分布直方图．
2．频率分布折线图反映的是数据的变化趋势，可用来对数据进行估计和预测．
2．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
解析：∵0.005×10＋0.035×10＋a×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，∴a＝0.030.
设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生各有x，y，z人，
则＝0.030×10，解得x＝30.同理，y＝20，z＝10.
故从[140,150]中抽取的学生人数为×18＝3.
答案：0.030 3
3．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)．所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有________根棉花纤维的长度小于20 mm.
解析：(0.04×5＋0.01×5＋0.01×5)×100＝30.
答案：30
[例3] 甲：2,1,0,2,3,1,0,4,2,0；
乙：1,2,0,3,1,1,2,1,0,1.
分别计算这两个样本的平均数与方差，从计算结果看，应选哪一名工人参加技术表演？
[解] 甲＝＝1.5；
乙＝(1＋2＋0＋3＋1＋1＋2＋1＋0＋1)＝1.2；
s＝[(2－1.5)2＋(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2]
＝(0.52×5＋1.52×4＋2.52)＝1.65；
s＝[(1－1.2)2＋(2－1.2)2＋(0－1.2)2＋(3－1.2)2＋(1－1.2)2＋(1－1.2)2＋(2－1.2)2＋(1－1.2)2＋(0－1.2)2＋(1－1.2)2]＝0.76，
∵甲>乙，s＞s.
∴应选乙工人参加比赛．
[借题发挥] 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究数据偏离平均数的离散程度(即方差或标准差)．标准差越大，说明数据的离散性越大；标准差越小，说明数据的离散性越小或数据越集中、稳定．
4．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A．57.2,3.6 B．57.2,56.4
C．62.8,63.6 D．62.8,3.6
解析：当一组数据中的每个数同时加上一个数后，平均数相应的增加，但方差不变，可知新数据的平均数为62.8，方差为3.6.
答案：D
5．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5项预赛，成绩记录如下：
甲：78 76 74 90 82
乙：90 70 75 85 80
(1)用茎叶图表示这两组数据；
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．
解：(1)用茎叶图表示如下：
甲 乙
4 6 8 7 0 5
2 8 0 5
0 9 0
(2)甲＝80，乙＝80，
而s＝×[(78－80)2＋(76－80)2＋(74－80)2＋(90－80)2＋(82－80)2]＝32，
s＝×[(90－80)2＋(70－80)2＋(75－80)2＋(85－80)2＋(80－80)2]＝50.
∵甲＝乙，s
[例4] 某个体服装店经营某种服装在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间有如下一组数据：
x 3 4 5 6 7 8 9
y 66 69 73 81 89 90 91
已知：＝280，＝45 309，iyi＝3 487.
(1)求，；
(2)求纯利y与每天销售件数x之间的线性回归方程；
(3)估计每天销售10件这种服装时纯利润为多少元？
[解] (1)由已知得＝(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，
＝(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86.
(2)设线性回归方程为y＝bx＋a，则
b＝＝≈4.75，
a＝－b ＝79.86－4.75×6≈51.36.
∴所求线性回归方程为y＝4.75x＋51.36.
(3)当x＝10时，y＝98.86，估计每天销售这种服装10件可获纯利98.86元．
[借题发挥] 要对y与x进行线性相关检验，只要画出散点图，看各数据是否集中在某一条直线附近即可，采用数形结合思想，若线性相关，则根据公式求出回归方程．
6．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据如下表所示：
x(0.01%) 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121
y(min) 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125
(1)作出散点图，你能从中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？
(2)求回归方程；
(3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟．
解：(1)用x表示含碳量，y表示冶炼时间，可作散点图如下图所示．
从上图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性相关．
(2)列出下表，并用科学计算器进行计算：
i 1 2 3 4 5
xi 104 180 190 177 147
yi 100 200 210 185 155
xiyi 10 400 36 000 39 900 32 745 22 785
i 6 7 8 9 10
xi 134 150 191 204 121
yi 135 170 205 235 125
xiyi 18 090 25 500 39 155 47 940 15 125
＝159.8，＝172；x＝265 448，xiyi＝287 640
设所求回归方程为y＝bx＋a.
b＝≈1.267，
a＝－b≈－30.47.
即所求的回归方程为y＝1.267x－30.47.
(3)当x＝160时，
y＝1.267×160－30.47≈172(min)，
即大约冶炼172 min.
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．为了了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为( )
A．40 B．30
C．20 D．12
解析：系统抽样也叫间隔抽样，抽多少个就分成多少组，总数÷组数＝间隔数，即k＝＝30.
答案：B
2．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查．则这两种抽样的方法依次是( )
A．分层抽样，简单随机抽样
B．简单随机抽样，分层抽样
C．分层抽样，系统抽样
D．简单随机抽样，系统抽样
解析：由抽样方法的概念知选D.
答案：D
3．一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为( )
A．10组 B．9组
C．8组 D．7组
解析：根据列频率分布表的步骤，＝＝8.9，所以分9组．
答案：B
4．将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是( )
A．09,14,19,24 B．16,28,40,52
C．10,16,22,28 D．08,12,16,20
解析：分成5组，每组12名学生，按等间距12抽取．
答案：B
5．某大学数学系共有本科生5 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为( )
A．80 B．40
C．60 D．20
解析：应抽取三年级的学生人数为200×＝40.
答案：B
6．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[60,70)的汽车辆数为( )
A．8 B．80
C．65 D．70
解析：时速在[60,70)的汽车频率为0.04×10＝0.4，时速在[60,70)的汽车大约有200×0.4＝80(辆)．
答案：B
7．已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归方程为( )
A．y＝1.23x＋4
B．y＝1.23x＋5
C．y＝1.23x＋0.08
D．y＝0.08x＋1.23
解析：回归直线的斜率就是b，则回归方程为y＝1.23x＋a，将(4,5)代入方程得a＝0.08.
答案：C
8．(2013·福州高一检测)某班的数学考试成绩的平均分为70分，方差为s2.后来发现成绩记录有误，同学甲得80分却误记为50分，同学乙得70分却误记为100分，更正后计算得方差为s，则s2与s的大小关系是( )
A．s2>s B．s2＝s
C．s2
答案：A
甲 乙
8 7 2 7 8
62 89 2 81 5
9.(2013·沈阳模拟)甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如图的茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲，X乙，则下列结论正确的是( )
A．X甲
C．X甲>X乙；乙比甲成绩稳定
D．X甲
∴X甲＝＝81，
X乙＝＝86.8，
∴X甲
答案：A
10．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )
A．甲地：总体平均值为3，中位数为4
B．乙地：总体平均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体平均值为2，总体方差为3
解析：根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．某社区对居民进行2013辽宁全运会知晓情况的分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1 600人、1 400人．若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是________．
解析：抽取的比例为k＝＝，故在中年人中应该抽取的人数为1 600×＝80.
答案：80
12．对具有线性相关关系的变量x和Y，测得一组数据如下：
x 2 4 5 6 8
Y 30 40 60 50 70
若已求得它们的回归方程的斜率为6.5，则这条直线的回归方程为________．
解析：设回归方程为y＝6.5x＋a.
由已知，＝×(2＋4＋5＋6＋8)＝5.
＝×(30＋40＋60＋50＋70)＝50.
∴a＝－6.5＝50－6.5×5＝17.5.
∴y＝6.5x＋17.5.
答案：y＝6.5x＋17.5
13．下图是某班50名学生身高的频率分布直方图(精确到1 cm)，从左边第一、二、三、四个小长方形的高的比是1∶3∶5∶1，那么身高150 cm以下(不含150 cm)的学生有______人，身高为160 cm及160 cm以上的学生占全班学生人数的________．
解析：由题意可知，第一个长方形的面积占所有面积的10%，所以150 cm以下的学生有50×10%＝5(人)．第三个和第四个长方形的面积占总面积的60%，所以160 cm及以上的学生占全班学生人数的60%.
答案：5 60%
甲 乙
9 8 6 3 8 9 9
2 1 0 7 1
14.甲、乙两位同学某学科连续五次考试成绩用茎叶图表示，如图所示，则平均数较高的是______，成绩较为稳定的是________．
解析：甲的平均分为＝＝70，
乙的平均分为＝＝68；甲的方差为：
s＝＝2，同理乙的方差为s＝7.2，故甲的平均分高于乙，甲的成绩比乙稳定．
答案：甲 甲
三、解答题(本大题共4小题，共50分)
15．(12分)某车间有189名职工，现要按1∶21的比例选质量检查员，采用系统抽样的方式进行，写出抽样过程．
解：以随机方式对189名职工编号(比如可直接采用工资表上号码编号)，设其分别为1,2,3…，189，
由已知样本容量是总体个数的，故样本容量为189×＝9(个)，将1,2,3，…，189编9段，每段21个号．如1～21为第一段，22～42为第二段，…，169～189为第九段，在第一段1～21个号码中随机抽样产生一个号码，如设为l，则l，l＋21，l＋42，…，l＋168就是所产生的9个样本号码，对应的就是质量检查员．
16．(12分)农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下：(单位：cm)
甲：9,10,11,12,10,20
乙：8,14,13,10,12,21.
(1)绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图；
(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况．
解：(1)茎叶图如图所示：
(2)甲＝＝12，
乙＝＝13，
s≈13.67，s≈16.67.因为甲<乙，所以乙种麦苗平均株高较高，又因为s
[157,161)3人；[161,165)4人；[165,169)12人；
[169,173)13人；[173,177)12人；[177,181]6人．
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计总体在[165,177)间的比例．
解：(1)列出频率分布表：
分组 频数 频率
[157,161) 3 0.06 0.015
[161,165) 4 0.08 0.02
[165,169) 12 0.24 0.06
[169,173) 13 0.26 0.065
[173,177) 12 0.24 0.06
[177,181] 6 0.12 0.03
合计 50 1.00
(2)画出频率分布直方图如图：
(3)因0.24＋0.26＋0.24＝0.74，
所以总体在[165,177)间的比例为74%.
18．(14分)某学校高一(3)班甲、乙两名同学的最近5次数学测验成绩(单位：分)统计如下：
甲 65 98 94 98 95
乙 62 98 99 100 71
(1)分别写出甲、乙成绩的平均数和中位数；
(2)分别用平均数和中位数分析甲、乙两位同学中，哪位同学成绩较好；
(3)又知同班同学丙的最近5次数学测验成绩(单位：分)如下：
丙 80 90 86 99 95
分别从平均数、中位数和方差等方面分析甲与丙的成绩谁好谁坏，并说明理由．
解：(1)平均分：甲＝×(65＋98＋94＋98＋95)＝90，
乙＝×(62＋98＋99＋100＋71)＝86.
甲的中位数是95，乙的中位数是98.
(2)从平均分看，甲的平均分高，甲的成绩较好；从中位数看，乙的中位数大，乙的成绩较好．
(3)丙＝×(80＋90＋86＋99＋95)＝90，丙的中位数为90.
s＝×[(80－90)2＋(90－90)2＋(86－90)2＋(99－90)2＋(95－90)2]＝44.4；
s＝×[(65－90)2＋(98－90)2＋(94－90)2＋(98－90)2＋(95－90)2]＝158.8.
由于两人的平均分相同，所以从平均分看，甲、丙成绩同样好；从中位数看，甲的中位数高，甲的成绩好；从方差看，丙的方差小，丙的成绩较稳定，所以丙的成绩好．