[读教材·填要点]
1．概 率
在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记为P(A)．
2．频率与概率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值．
3．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但是随机性中含有规律性．认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．概率只是度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生．
4．任何事件的概率是区间[0,1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性大小．小概率(接近于0)事件不是不发生，而是很少发生，大概率(接近于1)事件不是一定发生，而是经常发生．
[小问题·大思维]
1．把一枚质地均匀的硬币连续掷1 000次，其中有498次正面朝上，502次反面朝上，则此次试验正面朝上的频率为0.498，掷一次硬币正面朝上的概率为0.5，对吗？
提示：正确．由题意，正面朝上的频率为＝0.498，通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率是0.5.即0.498是1 000次试验中正面朝上的频率；而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．
2．某种病治愈的概率是0.3，那么10个人中，前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3
提示：如果把治疗一个病人作为一次试验，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个人没有治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，有可能治愈，也可能没有治愈．
“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加，即治疗人数的增加，大约有30%的人能够治愈，如果患病的有1 000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提，就可以认为这1 000个人中大约有300人能治愈．
[研一题]
[例1] 下面的表中列出10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面向上的次数．计算每次试验中“正面向上”这一事件的频率，并考查它的概率．
实验序号 抛掷的次数n 正面向上的次数m “正面向上”出现的频率
1 500 251
2 500 249
3 500 256
4 500 253
5 500 251
6 500 246
7 500 244
8 500 258
9 500 262
10 500 247
[自主解答] 利用频率的定义，可分别得出这10次试验中“正面向上”这一事件出现的频率依次为：
0．502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488，0.516，0.524,0.494，这些数字在0.5附近左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面向上”的概率为0.5.
[悟一法]
频数、频率和概率三者之间的关系：
(1)频数是指在n次重复试验中事件A出现的次数，频率是频数与试验总次数的比值，而概率是随机事件发生的可能性的规律体现；
(2)随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同的结果，但它具有一定的稳定性；概率是频率的稳定值，不会随试验次数的变化而变化．
[通一类]
1．某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数n 8 10 12 9 10 16
进球次数m 6 8 9 7 7 12
进球频率
(1)计算表中进球的频率；
(2)这位运动员投篮一次进球的概率是多少？
解：(1)进球的频率依次是：
0．75,0.80,0.75,0.78,0.70,0.75.
(2)这位运动员投篮一次进球的概率P≈0.76.
[研一题]
[例2] 掷一颗均匀的正方体骰子得到6点的概率是，是否意味着把它掷6次能得到1次6点？
[自主解答] 把一颗均匀的骰子掷6次相当于做6次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做6次试验的结果也是随机的．这就是说，每掷一次总是随机地出现一个点数，可以是1点，2点，也可以是其他点数，不一定出现6点．所以掷一颗骰子得到6点的概率是，并不意味着把它掷6次能得到1次6点．
[悟一法]
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数没有关系．
[通一类]
2．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于，这种理解正确吗？
解：不正确．掷一次硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过做大量的试验，呈现一定的规律性，即“正面朝上”、“反面朝上”的可能性都为.连续5次正面向上这种结果是可能的，对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面和反面的可能性还是，不会大于.
[研一题]
[例3] 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区．经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只．查看其中有记号的天鹅，设有20只．试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
[自主解答] 设保护区中天鹅的数量为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，则P(A)＝.
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的定义可知P(A)≈.
所以，≈，解得n≈1 500，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500.
[悟一法]
利用频率近似等于概率的关系求未知量：
(1)抽出m个样本进行标记，设总体容量为n，则标记概率为；
(2)随机抽取n1个个体，出现其中m1个被标记，则标记频率为；
(3)用频率近似等于概率建立关系式≈；
(4)求出n≈，注意这个n值仅是真实值的近似．
[通一类]
3．为了估计水库中的鱼的条数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，如2 000条，给每条鱼作上记号且不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让它们和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，如500条，查看其中有记号的鱼，设有40条．试根据上述数据，估计水库中鱼的条数．
解：设水库中鱼的条数为n，从水库中任捕一条，捕到标记鱼的概率为.第二次从水库中捕出500条，带有记号的鱼有40条，则捕到带记号的鱼的频率(代替概率)为，由≈，得n≈25 000，所以水库中约有鱼25 000条．
一家保险公司连续多年对某城市出租车事故做了调查，发现出租车发生事故的频率总是在0.001左右．如果这个调查继续做下去，10年后发生事故的频率就会等于0.001(假定出租车发生事故都不会随着时间的改变而改变)．你觉得这种看法对吗？说出你的理由．
[错解] 这种看法是正确的，10年后发生事故的频率等于0.001.
[错因] 频率会在某个常数附近摆动，随着试验次数的增加，摆动会越来越小，但不一定等于该常数．
[正解] 这种看法是错误的．随着试验次数的增加，频率会稳定于一个常数附近，这个常数就是概率，但稳定于不一定是等于，况且0.001未必是出租车发生事故的概率．
1．下列事件：
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②经过有信号灯的路口，遇上红灯；
③从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中，任取3个，3个都是次品；
④下周六是晴天．
其中，是随机事件的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
解析：①为必然事件；对于③，次品总数为2，故取到的3个不可能都是次品，所以③是不可能事件；②④为随机事件．
答案：D
2．在某市的天气预报中有“降水概率预报”，例如预报“明天降水概率为90%”，这是指( )
A．明天该地区约有90%的地方会降水，其余地方不降水
B．明天该地区约有90%的时间会降水，其余时间不降水
C．在气象台的专家中，有90%认为明天会降水，其余专家认为不降水
D．明天该地区降水的可能性为90%
解析：明天降水的概率为90%指的是明天该地区降水的可能性为90%.
答案：D
3．在5张不同的彩票中有2张奖票，5个人依次从中各抽取1张，则每个人抽到奖票的概率( )
A．递减 B．递增
C．相等 D．不确定
解析：因为每个人获得奖票的概率均为，即抽到奖票的概率与抽取顺序无关．
答案：C
4．下列事件：①明天进行的某场足球赛的比分是3∶1；②下周一某地的最高气温与最低气温相差10°C；③同时掷两枚大小相同的骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；④射击一次，命中靶心；⑤当x为实数时，x2＋4x＋4＜0.其中必然事件有________，不可能事件有________，随机事件有________．(填序号)
答案：③ ⑤ ①②④
5．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1 000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率是________．
解析：由频率定义可知用电量超过指标的频率为＝0.4，频率约为概率．
答案：0.4
6．某质检员从一批种子中抽取若干组种子，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下(单位：粒)：
种子粒数 25 70 130 700 2 000 3 000
发芽粒数 24 60 116 639 1 806 2 713
发芽率
(1)计算各组种子的发芽率，填入上表；(精确到0.01)
(2)根据频率的稳定性估计种子的发芽率．
解：(1)种子发芽率从左到右依次为0.96,0.86,0.89，0.91,0.90,0.90.
(2)由(1)知，发芽率逐渐稳定在0.90，因此可以估计种子的发芽率为0.90.
一、选择题
1．“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为
答案：D
2．抛掷一枚骰子两次，用随机模拟方法估计上面的点数和为7的概率，共进行了两次试验，第一次产生了60组随机数，第二次产生了200组随机数，那么这两次估计的结果相比较( )
A．第一次准确 B．第二次准确
C．两次的准确率相同 D．无法比较
解析：用随机模拟方法估计概率时，产生的随机数越多，估计的结果越准确．
答案：B
3．下列结论正确的是( )
A．事件A发生的概率P(A)满足0＜P(A)＜1
B．事件A发生的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500 名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
解析：A不正确，因为0≤P(A)≤1；B不正确，若事件A是必然事件，则P(A)＝1；D不正确，某奖券的中奖率为50%,10张奖券可能会有5张中奖，但不一定会发生．
答案：C
4．给出下列三个命题，其中正确命题的个数为( )
①设有一批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面朝上，则硬币出现正面朝上的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①②③均不正确．
答案：A
5．在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%，下列解释正确的是( )
A．100个手术有99个手术成功，有1个手术失败
B．这个手术一定成功
C．99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术
D．这个手术成功的可能性是99%
解析：成功率大约是99%，说明手术成功的可能性是99%.
答案：D
二、填空题
6．一个口袋装有除颜色外其他均相同的白球、红球共100个，若摸出一个球为白球的概率为，则估计这100个球内，有白球________个．
解析：100×＝75.
答案：75
7．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10；
其中________是必然条件；________是不可能事件；________是随机事件．
解析：200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10.
答案：③④ ② ①
8．下列说法：
①一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是；
②甲乙两人做游戏：抛一枚骰子，向上的点数是奇数，甲胜，向上的点数是偶数，乙胜，这种游戏是公平的；
③乒乓球比赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的；
④昨天没有下雨，则说明昨天气象局的天气预报“降水概率为90%”是错误的．
其中正确的有________(填序号)．
解析：对于②，甲胜、乙胜的概率都是，是公平的；对于④，降水概率为90%只说明下雨的可能性很大，但也可能不下雨，故④错误．
答案：①②③
三、解答题
9．高一(2)班有50名同学，其中男、女各25人，今有这个班的一个学生在街上碰到一位同班同学，试问：碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大？有人说可能性一样大，这种说法对吗？
解：这种说法不正确．这个同学在街上碰到的同班同学是除了自己以外的49个人中的一个，其中碰到同性同学有24种可能，碰到异性同学有25种可能，每碰到一个同学相当于做了一次试验，因为每次试验的结果是随机的，所以碰到异性同学的可能性大，碰到同性同学的可能性小．
10．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组 [500，900) [900，1 100) [1 100，1 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
解：(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193，0.165，0.042.
(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是
48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中寿命不足1 500小时的频率是＝0.6，即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.2．3 互 斥 事 件
[读教材·填要点]
1．互斥事件
(1)定义：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．
(2)规定：事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．
(3)公式：
①在一次随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
②如果随机事件A1，A2，…，An中任意两个是互斥事件，那么有P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2．对立事件
(1)定义：在一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A与B称作对立事件，事件A的对立事件记为.
(2)性质：P(A)＋P()＝1，即P(A)＝1－P()．
[小问题·大思维]
1．P(A＋B)＝P(A)＋P(B)成立的条件是什么？
提示：事件A与B是互斥事件．
2．互斥事件与对立事件有什么区别和联系？
提示：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．
[研一题]
[例1] 判断下列给出的条件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由：从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”．
[自主解答] (1)是互斥事件，不是对立事件．
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生， 这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
[悟一法]
1．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生，若不同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．
2．“互斥事件”与“对立事件”都是对两个事件而言的．对立事件必是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
[通一类]
1．(2013·南昌高一检测)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．“至少有1个白球”和“都是红球”
B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”
C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”
D．“至多有1个白球”和“都是红球”
解析：该试验有三种结果：“恰有1个白球”、“恰有2个白球”、“没有白球”，故“恰有1个白球”和“恰有2个白球”是互斥事件而不是对立事件．
答案：C
[研一题]
[例2] 玻璃盒子中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1球．设事件A为“取出1只红球”，事件B为“取出1只黑球”，事件C为“取出1只白球”，事件D为“取出1只绿球”．已知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
求：(1)“取出1球为红或黑”的概率；
(2)“取出1球为红或黑或白”的概率．
[自主解答] 由于事件A，B，C，D彼此为互斥事件，所以
法一：(1)“取出1球为红或黑”的概率为
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)“取出1球为红或黑或白”的概率为
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
法二：(1)“取出1球为红或黑”的对立事件为“取出1球为白或绿”，即A＋B的对立事件为C＋D，所以
P(A＋B)＝1－P(C＋D)＝1－P(C)－P(D)＝1－－＝.
(2)A＋B＋C的对立事件为D，所以P(A＋B＋C)＝1－P(D)＝1－＝.
[悟一法]
1．可将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件，分别求出各事件的概率，然后用加法公式求出结果．
2．运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏．
[通一类]
2．向三个相邻的军火库投掷一颗炸弹，炸中第一个军火库的概率是0.025，炸中其他两个的概率都是0.1.已知只要炸中一个，另外两个都会爆炸．求这三个军火库都爆炸的概率和都没有爆炸的概率．
解：设以A，B，C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库的事件，则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.由题意，知A，B，C两两互斥，且“三个军火库都爆炸”意味着炸弹炸中其中任何一个．
设D表示事件“三个军火库都爆炸”，
则D＝A＋B＋C，其中A，B，C两两互斥．
所以，P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
所以，三个军火库都没有爆炸的概率为1－P(D)＝0.775.
[研一题]
[例3] 据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下表：
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
(1)求至多2人排队等候的概率；
(2)求至少2人排队等候的概率．
[自主解答] 记在窗口等候的人数为0,1,2分别为事件A，B，C，则A，B，C两两互斥．
(1)至多2人排队等候的概率是
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)至少2人排队等候的反面是“等候人数为0或1”，而等候人数为0或1的概率为
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.16＝0.26，
故至少2人排队等候的概率为1－0.26＝0.74.
[悟一法]
1．求复杂事件的概率通常有两种方法：
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．
2．涉及到“至多”“至少”型问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解；当涉及到互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解．
[通一类]
3．现从A、B、C、D、E五人中选取三人参加一个重要会议．五人被选中的机会相等．求：
(1)A被选中的概率；
(2)A和B同时被选中的概率；
(3)A或B被选中的概率．
解：从A、B、C、D、E五人中任选三人参加会议共有以下10种基本事件：
(A、B、C)，(A、B、D)，(A、B、E)，(A、C、D)，(A、C、E)，(A、D、E)，(B、C、D)，(B、C、E)，(B、D、E)，(C、D、E)，且每种结果出现是等可能的．
(1)事件“A被选中”共有6种方式．故所求事件的概率
P＝＝＝0.6.
(2)A、B同时被选中共有3种方式，故所求事件的概率为P＝＝0.3.
(3)法一：“A或B被选中”的对立事件为“A和B均未被选中”，故所求事件的概率
P＝1－＝＝0.9.
法二：“A或B被选中”即A、B两人至少有一人被选中，共有9种方式．
故所求事件的概率P＝＝0.9.
抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，求P(A＋B)．
[错解] 显然P(A)＝P(B)＝，
故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝＋＝1.
[错因] 忽视了“互斥事件”概率加法公式的前提条件，由于“向上的点数是奇数”与“向上的点数不超过3”不是互斥事件，即出现1或3时，事件A、B同时发生．因此，不能用P(A＋B)＝P(A)＋P(B)求解．
[正解] A包含向上点数是1,3,5的情况，B包含向上的点数是1,2,3的情况，所以A＋B包含了向上点数是1,2,3,5的情况．故P(A＋B)＝＝.
1．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论哪个是正确的( )
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个相互斥 D．任何两个都不互斥
解析：由题意可知，事件A，B，C两两不可能同时发生，因此，两两互斥．
答案：C
2．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述事件中，是对立事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
解析：从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数．
答案：C
3．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200,300]克的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．0.8
解析：记“重量小于200克”为事件A，“重量在[200,300]克之间”为事件B，“重量超过300克”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.2－0.5＝0.3.
答案：B
4．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为________．
解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.
答案：
5．某部电话，当打进电话时，响第1声被接到的概率为0.2，响第2声被接到的概率为0.3，响第3声被接到的概率为0.3，响第4声被接到的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接到的概率是________．
解析：P＝P1＋P2＋P3＋P4＝0.2＋0.3＋0.3＋0.1＝0.9.
答案：0.9
6．(2013·新乡高一检测)某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率；
(3)射中环数不足8环的概率．
解：设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A、B、C、D、E，则
(1)因为事件A与事件B互斥，所以射中10环或9环的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52.
(2)同样，事件A、B、C、D彼此互斥，则P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.
(3)类似地，P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29.
一、选择题
1．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
解析：至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件．共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
答案：B
2．同时掷三枚硬币，那么互为对立事件的是( )
A．至少有1枚正面向上和最多有1枚正面向上
B．最多1枚正面向上和恰有2枚正面向上
C．不多于1枚正面向上和至少有2枚正面向上
D．至少有2枚正面向上和恰有1枚正面向上
答案：C
3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件，抽得正品的概率为( )
A．0.09 B．0.98
C．0.97 D．0.96
解析：设“抽得正品”为事件A，“抽得乙级品”为事件B，“抽得丙级品”为事件C，由题意，事件B与事件C是互斥事件，而事件A与并事件(B＋C)是对立事件；
所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－[P(B)＋P(C)]＝1－0.03－0.01＝0.96.
答案：D
4．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )
A．60% B．30%
C．10% D．50%
解析：甲不输，包含两个事件：甲获胜，甲、乙和棋．
∴甲、乙和棋概率P＝90%－40%＝50%.
答案：D
5．如果事件A与B是互斥事件，则( )
A．A∪B是必然事件
B.与一定是互斥事件
C.与一定不是互斥事件
D.∪是必然事件
解析：A、B可以都不发生，∴选项A错，、可以同时发生，即A、B可以都不发生，∴选项B错．当A与B是对立事件时与是互斥事件，∴选项C错，因为A、B互斥所以、中至少有一个发生，故选项D正确．
答案：D
二、填空题
6．某战士射击一次中靶的概率为0.95，中靶环数大于5的概率为0.75，则中靶环数大于0且小于6的概率为________．(只考虑整数环数)
解析：因为某战士射击一次“中靶的环数大于5”事件A与“中靶的环数大于0且小于6”事件B是互斥事件，故P(A＋B)＝0.95.
∴P(A)＋P(B)＝0.95，∴P(B)＝0.95－0.75＝0.2.
答案：0.2
7．(2013·长春高一检测)盒中有大小、形状相同的黑球、白球和黄球，从中摸出一个球，摸出黑球的概率为0.42，摸出黄球的概率为0.18，则摸出白球的概率为________，摸出的球不是黄球的概率为________，摸出的球是黄球或黑球的概率为________．
解析：P{摸出白球}＝1－0.42－0.18＝0.4.
P{摸出的球不是黄球}＝1－0.18＝0.82.
P{摸出的球是黄球或黑球}＝0.42＋0.18＝0.6.
答案：0.4 0.82 0.6
8．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P()＝________.
解析：由题意知P(A＋B)＝1－，即P(A)＋P(B)＝.又P(A)＝2P(B)，联立方程组解得P(A)＝，P(B)＝，故P()＝1－P(A)＝.
答案：
三、解答题
9．某医院一天内派出医生下乡医疗，派出医生的人数及其概率如下：
医生人数 0 1 2 3 4 5人及其以上
概 率 0.18 0.25 0.36 0.1 0.1 0.01
(1)求派出至多2名医生的概率；
(2)求派出至少3名医生的概率．
解：记派出医生的人数为0,1,2,3,4,5及其以上分别为事件A0，A1，A2，A3，A4，A5，显然它们彼此互斥．
(1)至多2名医生的概率为P(A0＋A1＋A2)＝P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.18＋0.25＋0.36＝0.79.
(2)法一：至少3名医生的概率为
P(C)＝P(A3＋A4＋A5)
＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)
＝0.1＋0.1＋0.01＝0.21.
法二：“至少3名医生”的反面是“至多2名医生”，故派出至少3名医生的概率为
1－P(A0＋A1＋A2)＝1－0.79＝0.21.
10．在数学考试中(满分100分)，小明的成绩在90分以上(包括90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09.
(1)求小明在数学考试中成绩在80分以上(包括80分)的概率；
(2)求小明考试不及格(低于60分)的概率．
解：分别记小明的考试成绩“在90分以上(包括90分)”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”为事件B，C，D，E.由题意知，这4个事件彼此互斥．
(1)小明的考试成绩在80分以上(包括80分)的概率为
P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)小明考试及格的概率，即成绩在60分以上(包括60分)的概率为P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
而小明考试不及格与小明考试及格为对立事件，所以小明考试不及格(低于60分)的概率为1－P(B＋C＋D＋E)＝1－0.93＝0.07.[读教材·填要点]
1．模拟方法
在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．
2．几何概型
(1)定义：向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1?G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即
P(点M落在G1)＝，则称这种模型为几何概型．
(2)说明：几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．
[小问题·大思维]
1．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？
提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．
2．在几何概型中，如果A为随机事件，若P(A)＝0，则A一定为不可能事件；若P(A)＝1，则A一定为必然事件，这种说法正确吗？
提示：这种说法不正确．如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．
[研一题]
[例1] 取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1 m的概率有多大？
[自主解答] 如图所示，记事件A＝{剪得两段绳子长都不小于1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．
全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3 m，
事件A包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度为3×＝1(m)，故事件A发生的概率P(A)＝.
[悟一法]
在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．
[通一类]
1．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
解析：由|x|≤1得，－1≤x≤1，
故易知所求概率为＝.
答案：
[研一题]
[例2] 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30～7∶30把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7∶00～8∶00，问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件A)的概率是多少？
[自主解答] 如图，送报人到达的时间是6∶30～7∶30的任一时刻，父亲离开家去工作的时间是7∶00～8∶00的任一时刻，如果在直角坐标系内以x轴表示报纸送到的时间，y轴表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果(x，y)是图中所示正方形中等可能的任意一点．事件A(父亲离开家前能拿到报纸)发生须x≤y，即正方形内阴影部分，事件A发生的概率只与阴影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件．
μA＝12－××＝，μΩ＝1，所以P(A)＝＝.
[悟一法]
在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，
以公式P(A)＝计算事件的概率即可．
[通一类]
2．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为________．
解析：如图所示，区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P＝＝.
答案：
[研一题]
[例3] 有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．
[自主解答] 把判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设所取的0.1升水中含有这个细菌为事件A，
则事件A构成的区域体积是0.1升，全部试验结果构成的区域体积是2升，所以P(A)＝＝0.05.
[悟一法]
如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总体积及事件A所分布的体积．其概率的计算P(A)＝.
[通一类]
3．在棱长为3的正方体内任意取一个点，求这个点到各面的距离均大于1的概率．
解：记事件A为“点到各面的距离均大于1”，则满足题意的点构成的区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体的内部．由几何概型的计算公式，可得满足题意的概率为P(A)＝＝.
[研一题]
[例4] 设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点与A连结，求弦长超过半径的倍的概率．
[自主解答] 如图所示，在⊙O上有一定点A，任取一点B与A连结，则弦长超过半径的倍，即为∠AOB的度数大于90°，而小于270°.
记“弦长超过半径的倍”为事件C，
则C表示的范围是∠AOB∈(，)．
则由几何概型概率的公式，得
P(C)＝＝.
[悟一法]
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率的计算公式为
P(A)＝.
[通一类]
4．在转盘游戏中，假设转盘有三种颜色：红、绿、蓝．当转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输．若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为，输的概率为，求每个绿色扇形的圆心角为多少度(假设转盘停止位置都是等可能的)．
解：由于转盘停止旋转时，指针指向每个位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周期问题．
因为赢的概率为，故红色所占角度为周角的，即P1＝＝72°.同理，蓝色占周角的，即P2＝＝120°，
所以绿色的角度P3＝360°－120°－72°＝168°.
再将P3分成四等份，得P3÷4＝168°÷4＝42°，
即每个绿色扇形的圆心角为42°.
如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM
[错解] 在AB上截取线段AC′，使AC′＝AC.
则P(AM[错因] 因为该题所涉及的基本事件是与角度有关的，而不是在线段AB上取点，即该题是与角度有关的几何概型，而不是与长度有关的几何概型．
[正解] 在AB上取AC′＝AC，
则∠ACC′＝＝67.5°.
∴P(AM1．在500 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为( )
A．0 B．0.002
C．0.004 D．1
解析：由几何概型公式得：P＝＝0.004.
答案：C
2．(2012·辽宁高考)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：设|AC|＝x cm,020，则x2－12x＋20<0,2答案：C
3．在长为10 cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：可以判断属于几何概型．记正方形面积介于25 cm2与49 cm2之间为事件A，那么正方形的边长在[5,7]内，则事件A构成的区域长度是7－5＝2 (cm)，全部试验结果构成的区域长度是10 cm，则事件A发生的概率P(A)＝＝.
答案：B
4．如图所示，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，射线OA落在∠xOT内的概率为________．
解析：记B＝{射线OA落在∠xOT内}，
∵∠xOT＝60°，
∴P(B)＝＝.
答案：
5．两根相距6 m的木杆系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率是________．
解析：由题意P＝＝.
答案：
6．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？
解：记A＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A的发生就是在0到 min时间段内按错键．P(A)＝＝.
一、选择题
1．在区间[0,3]上任取一点，则此点落在区间[2,3]上的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：区间[2,3]长度为1，总区间[0,3]的长度为3，∴P＝.
答案：A
2．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为( )
A. B.
C. D．无法计算
解析：由几何概型的公式知：＝，又：S正方形＝4，∴S阴影＝.
答案：B
3．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( )
解析：A游戏盘的中奖概率为，B游戏盘的中奖概率为，C游戏盘的中奖概率为＝，D游戏盘的中奖概率为＝，A游戏盘的中奖概率最大．
答案：A
4．A是圆上的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，则它的长度大于等于半径长度的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：如图，当取点落在B、C两点时，弦长等于半径；当取点落在劣弧上时，弦长小于半径；当取点落在优弧上时，弦长大于半径．所以弦长超过半径的概率P＝＝.
答案：B
5．在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：设在[0,1]内取出的数为a，b，若a2＋b2也在[0,1]内，则有0≤a2＋b2≤1.如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a2＋b2在[0,1]内的点在单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为＝.
答案：A
二、填空题
6．函数f(x)＝x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率是________．
解析：由f(x0)≤0得x0－2≤0，x0≤2，又x0∈[－5,5]，∴x0∈[－5,2]．
设使f(x0)≤0为事件A，则事件A构成的区域长度是2－(－5)＝7，全部结果构成的区域长度是5－(－5)＝10，则P(A)＝.
答案：
7．圆上的任意两点间的距离大于圆的内接正三角形边长的概率是________．
解析：如图所示，从点A出发的弦中，当弦的另一个端点落在劣弧B上的时候，满足已知条件，当弦的另一个端点在劣弧A或劣弧A上的时候不能满足已知条件．又因为△ABC是正三角形，所以弦长大于正三角形边长的概率是.
答案：
8．已知点P是边长为4的正方形内任一点，则P到四个顶点的距离均大于2的概率是________．
解析：如图所示，边长为4的正方形ABCD，分别以A、B、C、D为圆心，并以2为半径画圆截正方形ABCD后剩余部分是阴影部分．
则阴影部分的面积是
42－4××π×22＝16－4π，
所以所求概率是＝1－.
答案：1－
三、解答题
9．在△ABC内任取一点P，求△ABP与△ABC的面积之比大于的概率．
解：设P点、C点到AB的距离分别为dP、dC，
则S△ABP＝AB·dP，S△ABC＝AB·dC，
所以＝，要使>，
只需使P点落在某条与AB平行的直线的上方，
当然P点应在△ABC之内，而这条与AB平行的直线EF与AB的距离要大于dC的.
由几何概率公式，得P＝＝()2＝.
10．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待．求甲、乙两人能见面的概率．
解：用x轴、y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间．
若甲早到，当y－x≤30时，两人仍可见面；若乙早到，则两人不可能见面，因此，必须有x≤y.
如图，事件A“两人可以见面”的可能结果是阴影部分的区域．
故P(A)＝＝.3.1 条 件 语 句
[读教材·填要点]
1．条件语句
条件语句是表达选择结构最常用的语句．
2．两种条件语句
(1)If语句
①框图：
②语句格式：
If 条件 Then
语句1
Else
语句2
End If
(2)复合If语句
①框图：
②语句格式：
If 条件1 Then
语句1
Else
If 条件2 Then
语句2
Else
语句3
End If
End If
[小问题·大思维]
1．条件语句必须要有If，Then、End If吗？
提示：条件语句必须有If，Then、End If，根据需要Else及其后的语句体可以省略．
2．使用条件语句应注意什么问题？
提示：条件语句必须以If语句开始，以End If语句结束，有几个If语句，就必须有几个End If语句对应．
[研一题]
[例1] 已知函数y＝
输入x的值，得到相应函数值，画出算法框图．并用If语句描述该算法．
[自主解答] 框图如图所示：
用语句描述为：
输入x；
If x＜0 Then
y＝2]
[悟一法]
若问题的解决需要根据条件是否成立判断应去执行两个不同步骤中的哪一个步骤，则用简单If语句来编写算法．
[通一类]
1．求过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率，写出解决问题的算法语句，并画出算法框图．
解：算法语句描述为：
输入x1，y1，x2，y2；
If x1＝x2 Then
输出“斜率不存在”
Else
k＝
End If.
输出k.
算法框图如图所示．
[研一题]
[例2] 已知函数y＝输入x的值，输出相应的函数值．画出框图，并用语句描述．
[自主解答] 框图如下图所示：
用语句描述为：
输入x；
If x＜1 Then
y＝x
Else
If x＜10 Then
y＝2]
[悟一法]
在某些较为复杂的算法中，有时需要对按条件要求执行的某一语句(特别是Else后的语句体2)继续按照另一条件进行判断，这时可以再利用一条件语句完成这一要求，这就形成了条件语句的嵌套，其一般形式是：
外层条件语句
[通一类]
2．写出关于x的方程ax＋b＝0的解的算法框图，并用语句描述．
解：算法框图如下：
算法语句为：
输入a，b；
If a＜＞0 Then
x＝－b/a
输出x
Else
If b＝0 Then
输出“方程的根是任意实数”
Else
输出“方程无解”
End If
End If
已知分段函数y＝
编写程序，输入自变量x的值，输出其对应的函数值y.
[错解] 算法语句为：
输入x；
If x＜0 Then
y＝－x＋1
Else
If x＝0 Then
y＝0
Else
y＝x＋1
End If
[错因] (1)每个If都必须有一个End If与之相匹配；
(2)错解无输出语句．
[正解] 算法语句为：
输入x；
If x＜0 Then
y＝－x＋1
Else
If x＝0 Then
y＝0
Else
y＝x＋1
End If
End If
输出y.
1．下列关于条件语句的叙述正确的是( )
A．必须有Else
B．可以没有End If
C．可以没有Else，但必须有End If
D．可以没有End If，也可以没有Else
解析：条件语句必须以If开头，以End If结束，其中的Else可以没有．
答案：C
2．条件语句对应算法框图中的基本逻辑结构是( )
A．顺序结构 B．选择结构
C．模块结构 D．输出结构
答案：B
3．给出下列算法：
输入x；
If x＜0 Then
p＝3.5*x
Else
P=3.5+0.7*(x-10)
若x＝18时，则输出__________．
其运行结果是( )
A．－2.1 9.1 B．9.1 －2.1
C．2.1 －9.1 D．－9.1 2.1
解析：该算法为条件语句描述的算法，可根据输入的变量值计算出输出的结果分别为－2.1和9.1.
答案：A
4．下列程序语言的条件语句中，判断条件是________．
输入x；
If x＞0 Then
y＝2*x
Else
y=1-x
End If
输出y
解析：If后面就是条件语句的判断条件，即x＞0是判断条件．
答案：x＞0
5．写出下面语句运算的结果．
输入a；
If a＜0 Then
输出“不存在”
Else
t＝
输出t
End If
当a＝－3时，输出结果为________；当a＝9时，输出结果为________．
解析：本算法语句的作用是输入一个数，若该数大于等于0.求该数的算术平方根，当输入的数小于0时，该数的算术平方根不存在．
答案：不存在 3
6．某商店出售音乐CD，购买500片和500片以上，按每片4.5元计价，否则按每片5元计价．请画出算法框图按输入CD片数计算不同收费金额，并写出计算程序．
解：设M表示收费金额(元)，P表示出售片数(片)，则有
M＝.
该算法用条件语句描述如下：
输入P；
If P≥500 Then
M＝4.5P
Else
M＝5P
End If
输出M.
算法框图如图．
一、选择题
1．当a＝3时，下面的程序段输出的结果是( )
输入a；
If a＜10 Then
y＝2＋a
Else
y＝3*a
输出y
A.9 B.3
C．10 D．5
解析：∵a＝3＜10，∴y＝2＋a＝5.
答案：D
2．执行下面语句：
输入A，B；
If A>B Then
C＝A/2
Else
C＝B/2
End If
输出C.
在两次执行中分别输入8,4和2,4，则两次执行该语句的输出结果分别是( )
A．8,2 B．8,4
C．4,2 D．4,4
解析：输入8,4时，满足A＞B，则C＝＝＝4；输入2,4时，满足A≤B，则C＝＝＝2.
答案：C
3．为了在运行下面的程序之后输出y＝9，键盘输入应该是( )
输入x；
If x＜0 Then
y＝(x＋1)*(x＋1)；
Else
y＝(x－1)*(x－1)
End If
输出y.
A．x＝－4 B．x＝－2
C．x＝4或－4 D．x＝2或－2
解析：当x＜0时，由(x＋1)2＝9得x＝－4；当x≥0 时，(x－1)2＝9得x＝4.
答案：C
4．以下程序运行的结果为( )
a＝2
b＝－2
m＝a
a＝b
b＝m
If a＞b Then
x＝a－b
Else
x＝a＋b
End If
输出x.
A．0 B．2
C．4 D．－4
解析：运行过程中m＝2，a＝－2，b＝2，因为a≤b，所以x＝a＋b＝0.
答案：A
5．给出以下四个问题：①输入一个数x，输出它的绝对值；
②求函数f(x)＝的函数值；③求面积为6的正方形的周长；④求三个数a，b，c中的最大数．
其中不需要用条件语句来描述其算法的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①要判断x≥0还是x＜0；②要分x≥0与x＜0两种情况；④要分a≥b与a＜b等情况判断；只有③不需要判断，因为正方形的面积一定时，其周长也一定．
答案：A
二、填空题
6．给出下列程序：
输入a，b，c；
If a＞b Then
a＝b
End If
If a＞c Then
a＝c
End If
输出a.
如果输入－10，－26,8，那么输出的是________．
解析：该程序的功能是输入a，b，c的值，求它们中的最小值．
答案：－26
7．阅读下列语句：
输入a；
If a<5 Then
b＝2*a
Else
b=a*a+1
End If .
解析：用算法语句可知，令2a＝5，则a＝＜5(舍)
令a2＋1＝5，则a＝±2，满足题意．
答案：±2
8．(2011·江苏高考改编)根据如下所示的程序，当输入的a，b的值分别为2,3时，最后输出的m的值为________．
输入a，b；
If a＞b Then
m＝a
Else
m＝b
End If
输出m
解析：a＝2，b＝3，则a＜b，所以m＝b＝3.
答案：3
三、解答题
9．用基本算法语句描述一个算法，要求输入两个实数，然后由小到大输出这两个数．
解：用算法语句描述为：
输入a，b
If a＞b Then
t＝a
a＝b
b＝t
输出a，b
Else
输出a，b
End If
10．某市通信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元；如果通话时间超过3分钟，则超过部分以0.1元/分钟收取通话费(不足1分钟按1分钟计)，问：如何设计一个计算通话费用的算法？请画出框图并用语句描述该算法．
解：令c(单位：元)表示通话费用，t(单位：分钟)表示通话时间，则有
c＝.
依上面分析知解决这一问题的算法步骤如下：
1．输入通话时间t；
2．如果03．输出费用c.
框图如图所示：
用语句描述为：
输入t；
If t<＝3 And t>0 Then
c＝0.2
Else
c＝0.2＋0.1]2.1 古典概型的特征和概率计算公式
[读教材·填要点]
1．古典概型
具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．
(1)有限性：即试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；
(2)等可能性：即每一个试验结果出现的可能性相同．
2．古典概型概率公式
对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成的，如果试验的所有可能结果(基本事件数)为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为
P(A)＝＝.
[小问题·大思维]
1．掷一枚骰子共有多少种不同的结果？
提示：6种．
2．下列试验中，是古典概型的有( )
A．种下一粒种子观察它是否发芽
B．从规格直径为(250±0.6)mm的一批合格产品中任意取一件，测量其直径
C．抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
提示：只有选项C具有：(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
[研一题]
[例1] 下列试验中是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向正方形ABCD内随机抛掷一点，该点落在正方形内任意一点都是等可能的
D．在区间[0,6]上任取一点，求此点小于2的概率
[自主解答]
选项 分析 结果
A 发芽与不发芽的概率不同 不是
B 摸到白球与黑球的概率都是 是
C 基本事件有无限个 不是
D 区间上有无穷多个点，不满足有限性 不是
[答案] B
[悟一法]
判断一个试验是否为古典概型，关键是看该试验是否具有有限性和等可能性两个特征．
[通一类]
1．下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；
②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人作演讲；
④一只使用中的灯泡寿命长短；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．
其中属于古典概型的有________．
解析：①不属于，原因：所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因：命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，原因：显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因：灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因：该品牌月饼评为“优”与评为“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．
答案：③
[研一题]
[例2] 先后抛掷两枚大小相同的骰子．求点数之和能被3整除的概率．
[自主解答] 先后抛掷两枚大小相同的骰子，结果如下：
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)
共有36种不同的结果．
记“点数之和能被3整除”为事件A，则事件A包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P(A)＝＝.
[悟一法]
[通一类]
2．袋中装有除颜色外其他均相同的6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中任取两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
解：设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5、6.从袋中的6个球中任取两球的取法有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种取法，且每种取法都是等可能发生的．
(1)从袋中的6个球中任取两球，所取的两球全是白球的取法总数，即为从4个白球中任取两球的方法总数，共有6种，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
所以P(A)＝＝；
(2)从袋中的6个球中任取两球，其中一个是白球，另一个是红球的取法有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．
所以P(B)＝.
有1号、2号、3号3个信箱和A、B、C、D 4封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A恰好投入1号或2号信箱的概率是多少？
[错解] 每封信投入1号信箱的机会均等，而且所有结果数为4，故A投入1号或2号信箱的概率为＝.
[错因] 应该考虑A投入各个信箱的概率，而不能考虑成四封信投入某一信箱的概率．
[正解] 由于每封信可以任意投入信箱，对于A投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果，投入1号信箱或2号信箱有2种结果，所以所求概率为.
1．抛掷一枚均匀的正方体骰子，向上的点数是5或6的概率是( )
A. B.
C. D．1
解析：掷一枚骰子出现向上的点数为1,2,3,4,5,6，共6种情况．P＝＝＝.
答案：B
2．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取一张卡片，则取得的卡片是7的倍数的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：∵n＝100，m＝14，
∴P＝＝＝.
答案：B
3．一枚硬币连掷2次，恰好出现一次正面的概率是( )
A. B.
C. D．0
解析：列举出所有基本事件，找出“只有一次正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有一次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为＝.
答案：A
4．下列试验是古典概型的为________．
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小
②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率
③近三天中有一天降雨的概率
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．
③不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响．
答案：①②④
5．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．
解析：基本事件的总数为6×6＝36个，记事件A＝{(m，n)落在圆x2＋y2＝16内}，则A所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8个．
∴P(A)＝＝.
答案：
6．设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根意味着Δ＝(2a)2－4b2≥0，即a≥b.
基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个，其中第1个数表示a的取值，第2个数表示b的取值．而事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝＝.
一、选择题
1．下面是古典概型的是( )
A．任意抛掷两粒骰子，所得的点数之和作为基本事件
B．为求任取一个正整数，该正整数平方值的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件
C．从甲地到乙地共有n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止
解析：对于A，所得点数之和为基本事件，个数虽有限但不是等可能发生的；对于B，D，基本事件的个数都是无限的；只有C是古典概型．
答案：C
2．下列对古典概型的说法中正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个基本事件出现的可能性相等；
④基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝.
A．②④ B．①③④
C．①④ D．③④
解析：②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．
答案：B
3．在5张卡片上分别写上数字1,2,3,4,5，然后将它们混合后，再任意排成一行，则得到的五位数能被2或5整除的概率是( )
A．0.2 B．0.4
C．0.6 D．0.8
解析：一个五位数能否被5整除关键看其个位数字，而由1,2,3,4,5组成的五位数中，1,2,3,4,5出现在个位是等可能的．所以个位数字的基本事件有1,2,3,4,5，“能被2或5整除”这一事件中含有基本事件2,4,5，概率为＝0.6.
答案：C
4．(2013·抚顺高一检测)从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，其中大于30的有：31,32,34,41,42,43共6个，所以所得两位数大于30的概率为P＝＝.
答案：A
5．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：从4张卡片中随机抽取2张，对应的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，故基本事件总数n＝6.且每个基本事件发生的可能性相等．设事件A＝“取出的2张卡片上的数字之和为奇数”，则A中所含的基本事件为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，故m＝4，综上可知所求事件的概率P(A)＝＝.
答案：C
二、填空题
6．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
解析：三张卡片的排列方法有EEB，EBE，BEE，共3种．且等可能出现，则恰好排成英文单词BEE的概率为.
答案：
7．(2011·江苏高考)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．
解析：采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为.
答案：
8．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷三次，恰好出现一次正面向上的概率是________．
解析：所有的基本事件为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8组．设“恰好出现1次正面向上”为事件A，则A包含(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，共3个基本事件，所以P(A)＝.
答案：
三、解答题
9．设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
解：设事件A为“方程x2＋bx＋c＝0有实根”，则
A＝{(b，c)|b2－4c≥0，b，c＝1,2，…，6}．
而(b，c)共有
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)，
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)，
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)，
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)，
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)，
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)，
共36组．
其中，可使事件A成立的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共19组．
故事件A的概率为P(A)＝.
10．(2012·山东高考)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.2．2 建立概率模型
[读教材·填要点]
建立不同的古典概型
在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求：每次试验有一个并且只有一个基本事件出现．
只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．
[小问题·大思维]
甲、乙、丙三人站队，求甲站在最左边的概率．
问题1，若只考虑甲的站法，基本事件的总数是多少？甲站在最左边的概率是多少？
提示：3种；P＝.
问题2，若只考虑最左边位置的站法，基本事件总数是多少？甲站在最左边的概率是多少？
提示：3种；P＝.
问题3，若考虑所有人的站法，基本事件的总数是多少？甲站在最左边的概率是多少？
提示：6种；P＝.
[研一题]
[例1] 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
[自主解答] 每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．
用A表示“取出的两件中恰有一件次品”，这一事件，所以A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
因为事件A由4个基本事件组成，所以P(A)＝＝.
[悟一法]
“有放回”与“不放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．
[通一类]
1．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：
(1)小球是不放回的；
(2)小球是有放回的．
求两个小球上的数字为相邻整数的概率．
解：设事件A：两个小球上的数字为相邻整数．
则事件A包括的基本事件有：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共18个．
(1)不放回取球时，总的基本事件数为90，
故P(A)＝＝＝.
(2)有放回取球时，总的基本事件数为100，
故P(A)＝＝.
[研一题]
[例2] 某乒乓球队有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果；若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？
[自主解答] 由于男运动员从4人中任意选取，女运动员从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为A，B，C，D，女运动员为1,2,3，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：第一次随机选取从男运动员中选取的是男运动员A，从女运动员中选取的是女运动员1，可用列表法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件E.
女结果男 1 2 3
A (A,1) (A,2) (A,3)
B (B,1) (B,2) (B,3)
C (C,1) (C,2) (C,3)
D (D,1) (D,2) (D,3)
由上表可知，可能的结果总数是12个．设女运动员1为国家一级运动员，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P(E)＝＝.
[悟一法]
本题列出全部可能的结果用的是列表法．列表法的优点是准确、全面、不易漏掉，对于试验的结果不是太多的情况，都可以采用此法，当然也可以用列举法．
[通一类]
2．在一次数学研究性实践活动中，兴趣小组做了两个均匀的正方体玩具，组长同时抛掷2个均匀的正方体玩具(各个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6)后，让小组成员求：(1)两个正方体朝上一面数字相同的概率是多少？(2)两个正方体朝上一面数字之积为偶数的概率是多少？
解：两个玩具正面向上的情况如下表：
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
(1)事件“两个正方体朝上一面数字相同的情况”只有6种，故它的概率是＝.
(2)事件“两个正方体朝上一面数字之积为偶数的情况”有27种，如表中有下划线的情况，即两个正方体朝上一面数字之积为偶数的概率为＝.
[研一题]
[例3] 口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，甲、乙、丙、丁四个人按顺序依次从中摸出一球，试求乙摸到白球，且丙摸到黑球的概率．
[自主解答] 把两白球编上序号1、2，把两黑球也编上序号1、2，于是甲、乙、丙、丁四个人按顺序依次从袋内摸出一个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来如下：
从上面的树状图可以看出，试验的所有可能结果数为24，乙摸到白球，且丙摸到黑球的结果有8种，则P＝＝.
[悟一法]
当基本事件较多、较为复杂时采用树状图，可以很直观的对事件进行分类、枚举，准确地找出所有的基本事件．
[通一类]
3．甲、乙两同学下棋，胜一盘得2分，和一盘各得1分，负一盘得0分．连下三盘，得分多者为胜，求甲获胜的概率．
解：甲同学的胜负情况画树状图如下：
每盘棋都有胜、和、负三种情况，三盘棋共有3×3×3＝27种情况．设“甲获胜”为事件A，甲获胜的情况有：三盘都胜，得6分有1种情况，两胜一和得5分有3种情况，两胜一负得4分有3种情况，一胜两和得4分有3种情况，共10种情况．故甲获胜的概率为P(A)＝.
任意抛掷两枚质地均匀的骰子，计算：
(1)出现点数相同的概率；
(2)出现点数之和为奇数的概率；
[错解] (1)点数相同，是指同为1点，2点，…，6点，其中之一的概率是.
(2)点数和为奇数，可取3,5,7,9,11，共5种；点数之和为偶数，可取2,4,6,8,10,12，共6种．
于是出现点数之和为奇数的概率为＝.
[错因] (1)原事件是要求在抛掷的所有结果中出现点数同为1,2,3,4,5,6的概率，而不是点数相同时，其中之一的概率；
(2)点数之和为奇数和偶数的11种情况不是等可能事件，如点数之和为2只出现一次，为(1,1)；点数之和为3出现2次，为(2,1)，(1,2)．
[正解] (1)任意抛掷两枚骰子，由于骰子质地均匀，故可以看成等可能事件，其结果可表示为数组(i，j)(i，j＝1,2，…，6)，其中两个数i，j分别表示两枚骰子出现的点数，共有36种结果．其中点数相同的数组为(i，j)(i＝j，i，j＝1,2，…，6)，共有6个结果，故出现点数相同的概率为＝.
(2)出现的点数之和为奇数，从而由数组(奇，偶)和(偶，奇)组成(如1,2)，(2,1)．又由于每枚骰子上有3个偶数，3个奇数，3×3＋3×3＝18，从而所求概率为＝.
1．若书架上放的数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：任意抽取一本得到任何一本书的可能性是相同的，故为古典概型，其中总基本事件数n＝10，事件A“抽得物理书”包含的基本事件数m＝3，所以依据古典概型概率的计算公式得P(A)＝＝.
答案：B
2．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：该试验共4个基本事件，所求事件包含2个基本事件，其概率为.
答案：A
3．(2013·日照高一检测)一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个，仅有2次出现正面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个．则所求概率为.
答案：A
4．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字都是奇数的概率是________．(结果用数值表示)
解析：在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字有10种可能的结果：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，其中两个数字都是奇数包含3个结果：{1,3}，{1,5}，{3,5}，故所求的概率为.
答案：
5．(2011·福建高考)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．
解析：红色球分别用A、B、C表示，黄色球分别用D、E表示，取出两球的所有可能结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10种．从中取两球颜色不同的结果有：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)共6种，取出两球颜色不同的概率P＝＝.
答案：
6．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n≥m＋2的概率．
解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个，从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．因此所求事件的概率P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.
一、选择题
1．从100台电脑中任取5台进行质量检测，每台电脑被抽到的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：把抽到每一台电脑看成一个基本事件，试验的所有基本事件数是100，任取5台这一事件含5个基本事件，所求概率为＝.
答案：D
2．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：从5张卡片中任取2张有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10种结果，而恰好按字母顺序相邻的有AB、BC、CD、DE 4种结果，故此事件的概率为＝.
答案：B
3．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：假设正六边形的6个顶点分别为A、B、C、D、E、F，则从6个顶点中任取4个顶点共有15种结果，以所取4个点作为顶点的四边形是矩形有3种结果，故所求概率为.
答案：D
4．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：随机取出2个小球有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种情况，和为3只有1种情况(1,2)，和为6有(1,5)，(2,4)两种情况．
∴P＝.
答案：A
5．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：设Ω＝{(a，b)|a∈{1,2,3,4,5}，b∈{1,2,3}}，包含的基本事件总数n＝15，事件“b>a”为{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，包含的基本事件数m＝3.其概率P＝＝.
答案：D
二、填空题
6．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．
解析：从5根竹竿中任取2根有：(2.5,2.6)、(2.5，2.7)、(2.5,2.8)、(2.5,2.9)、(2.6,2.7)、(2.6,2.8)、(2.6,2.9)、(2.7,2.8)、(2.7,2.9)、(2.8,2.9)共10种取法，其中长度恰好相差0.3 m的情况有：(2.5，2.8)、(2.6,2.9)，共2种．故所求概率为P＝＝.
答案：
7．第1,2,5,7路公共汽车都在一个车站停靠，有一位乘客等候着1路或5路公共汽车，假定各路公共汽车首先到站的可能性相等，那么首先到站的正好为这位乘客所要乘的车的概率是________．
解析：∵4种公共汽车先到站共有4个结果，且每种结果出现的可能性相等，所以“首先到站的车正好是所乘车”的结果有2个，∴P＝＝.
答案：
8．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，其中恰有三个面涂有颜色的概率是________．
解析：如图每层分成9个小正方体，共分成了三层，其中8个顶点处的小正方体三个面涂有颜色，概率为.
答案：
三、解答题
9．假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A、C、J、K、S，她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有3人被录用，如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：
(1)女孩K得到一个职位；
(2)女孩K和S各得到一个职位；
(3)女孩K或S得到一个职位．
解：5个人仅有3人被录用，结果共有10种，如图所示，由于5个人被录用的机会相等，所以这10种结果出现的可能性相同．
(1)女孩K被录用的结果有6种，所以她得到一个职位的概率为.
(2)女孩K和S各得到一个职位的结果有3种，所以K和S各自得到一个职位的概率为.
(3)女孩K或S得到一个职位的结果有9种，所以K或S得到一个职位的概率为.
10．编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
得分 15 35 21 28 25 36 18 34
运动员编号 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16
得分 17 26 25 33 22 12 31 38
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：
区间 [10,20) [20,30) [30,40]
人数
(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2人得分之和大于50的概率．
解：(1)4,6,6.
(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．
②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种．
所以P(B)＝＝.
