高中数学苏教版（2019）必修第一册3.2.2基本不等式的应用 教案

第3章 不等式
3.2 基本不等式
3.2.2 基本不等式的应用
教学设计
一、教学目标
1. 进一步理解基本不等式；
2. 会用基本不等式解决简单的最值问题.
二、教学重难点
1. 教学重点
用基本不等式解决简单的最值问题.
2. 教学难点
基本不等式在实际中的应用.
三、教学过程
（一）新课导入
1. 复习：基本不等式.
（，当且仅当时，等号成立）.
（，当且仅当时，等号成立）；
（，当且仅当时，等号成立）.
2. 基本不等式常用于证明一些不等式以及求某些函数的最大值或最小值.下面来看例题.
（二）探索新知
例1 用长为的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大？
解：设矩形长为，则宽为，矩形面积为，且，.
由基本不等式，得.
上式当且仅当，即时，等号成立.
由此可知，当时，取得最大值.
答：将铁丝围成正方形时面积最大，最大面积为.
例2 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？
解：设总造价为元，池底的一边长为，则另一边长为，即.由题中条件可得
.
由题意知，及（当且仅当时，等号成立），
答：当水池设计成底面边长为40 m的正方形时，总造价最低，为297600元.
对于正数在运用基本不等式时，应注意：
（1）和为定值时，积有最大值；积为定值时，和有最小值.
（2）取等号的条件（当且仅当时，）.
例3 如图，在中，，，且.当的面积最小时，求的值.
解：由题意知，由基本不等式，得.
因为，所以，故.
于是，，当且仅当，即时，等号成立.
因此，当的面积最小时，.
（三）课堂练习
1.已知，且，则的最小值为( )
A.8 B.4 C.2 D.1
答案：B
解析：，且，
，
当且仅当，即时等号成立.故选B.
2.已知，，且，则的最大值是( )
A. B.4 C. D.8
答案：C
解析：由题意得，，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最大值是.故选C.
3.某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为的铁架框（铁管的粗细忽略不计），在下面四种长度的铁管中，最合理（够用，又浪费最少）的是( )
A.4.6 m B.4.8 m C.5 m D.5.2 m
答案：C
解析：设直角三角形两直角边长分别为x m，y m，则，即.
周长，
当且仅当时等号成立.结合实际问题，可知选C.
4.欲在如图所示的锐角三角形空地中建一个内接矩形花园（阴影部分），则矩形花园面积的最大值为_________.
答案：400
解析：如图，设矩形花园的一边DE的长为，邻边长为，则矩形花园的面积为，
花园是矩形，与相似，
，又，
，，.
由基本不等式可得，则，
当且仅当时，等号成立，故矩形花园的面积的最大值为400.
5.某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层建筑面积为4 000平方米的楼房.经初步估计得知，若将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值是多少？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）
答案：设楼房每平方米的平均综合费用为y元.
依题意得.
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，y取得最小值5 000.
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元.
（四）小结作业
小结：用基本不等式解决简单的最值问题.
作业：
四、板书设计
3.2.2 基本不等式的应用
对于正数在运用基本不等式时，应注意：
（1）和为定值时，积有最大值；积为定值时，和有最小值.
（2）取等号的条件（当且仅当时，）.
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