2023届新高考数学解题技巧—— 构造法　等价法　换元法　待定系数法（含答案）

2023届新高考数学解题技巧—— 构造法　等价法　换元法　待定系数法
一、单项选择题
1．设x∈R，若“1≤x≤3”是“|x－a|<2”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，3) B．[1，3)
C．(1，3] D．[1，3]
2．[2021·新高考Ⅰ卷]已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A．13 B．12 C．9 D．6
3．函数y＝(x>－1)的最值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知m，n∈(2，e)，且－A．m>n
B．mC．m>2＋
D．m，n的大小关系不确定
5．已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程是(　　)
A．－＝1 B．－y2＝1
C．－＝1 D．－＝1
6．如图所示，正三棱柱ABC A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2，则三棱锥C1 AB1D的体积为(　　)
A. B． C． D．
7．已知函数f(x)＝x2＋ln (|x|＋1)，若对于x∈[1，2]，f(ax2)A．－C．a< D．a<3
8．设函数f(x)(x∈R)的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2，下面的不等式在R上恒成立的是(　　)
A．f(x)>0 B．f(x)<0
C．f(x)>x D．f(x)9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是CD的中点．将△ADE沿AE折起，使折起后平面ADE⊥平面ABCE，则异面直线AE和CD所成角的余弦值为(　　)
A. B． C． D．
10．[2021·新高考Ⅱ卷]已知函数f的定义域为R，f为偶函数，f为奇函数，则(　　)
A．f＝0 B．f＝0
C．f＝0 D．f＝0
二、多项选择题
11．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，以下命题中不正确的是(　　)
A．m α，n β，m⊥n α⊥β
B．m∥β，n∥β，m α，n α α∥β
C．m⊥β，n⊥α，m⊥n α⊥β
D．m α，m∥n n∥α
12．[2020·新高考Ⅰ卷]已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log2a＋log2b≥－2 D．＋ ≤
三、填空题
13．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式________________.
14．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________．
15．已知正数x，y满足4y－＝1，则x＋2y的最小值为________．
16．已知定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)答案
1．答案：A
解析：由|x－a|<2，解得a－2因为“1≤x≤3”是“|x－a|<2”的充分不必要条件，所以[1，3]?（a－2，a＋2），
所以解得12．答案：C
解析：由题，a2＝9，b2＝4，则＋＝2a＝6，
所以·≤2＝9（当且仅当＝＝3时，等号成立）.故选C.
3．答案：A
解析：设t＝x＋1，∵x>－1，∴t>0，∴x＝t－1，∴y＝＝＝t＋－1≥2－1＝1.当t＝，即t＝1时，等号成立．
4．答案：A
解析：由不等式可得－即＋ln n<＋ln m.
设f（x）＝＋ln x（x∈（2，e）），
则f′（x）＝－＋＝.
因为x∈（2，e），所以f′（x）>0，故函数f（x）在（2，e）上单调递增．
因为f（n）5．答案：D
解析：由题意可设双曲线的标准方程为－＝1（a>0，b>0），
因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
即x－y＝0，所以＝2，解得c＝4，由解得
所以双曲线的标准方程是－＝1，故选D.
6．答案：C
解析：依题意，得V三棱锥C1 AB1D＝V三棱锥A B1DC1＝S△B1DC1×AD＝××2×2×＝.
7．答案：A
解析：易知f（x）＝x2＋ln （|x|＋1）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上为增函数，故原问题等价于|ax2|<3对x∈[1，2]恒成立，即|a|<对x∈[1，2]恒成立，所以|a|<，解得－8．答案：A
解析：构造符合题意的特殊函数，不妨取f（x）＝（x2＋1），则2f（x）＋xf′（x）＝2x2＋1>x2≥0符合题意，显然排除B，C，D选项，故选A.
9．答案：A
解析：分别取AB，AE的中点F，G，连接FC，FD，FG，DG，CG.因为在矩形ABCD中，E是CD的中点，所以CF∥AE，则∠DCF为异面直线AE和CD所成的角．又因为G为AE的中点，DA＝DE，所以DG⊥AE.因为平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，所以DG⊥平面ABCE，所以DG⊥GF，DG⊥GC.结合已知，可计算得GF＝DG＝，DF＝1，CF＝，CG＝ ＝，CD＝＝，所以cos ∠DCF＝＝，故选A.
10．答案：B
解析：因为函数f为偶函数，则f＝f，可得f＝f，
因为函数f为奇函数，则f＝－f，所以f＝－f，
所以f＝－f＝f，即f＝f，
故函数f是以4为周期的周期函数，
因为函数F＝f为奇函数，则F＝f＝0，
故f＝－f＝0，其它三个选项未知．
11．答案：ABD
解析：
如图，几何体ABCD A1B1C1D1为长方体．
对于A，A1B1⊥BC，且A1B1 平面A1B1C1D1，BC 平面ABCD，而平面ABCD∥平面A1B1C1D1，故A不正确；
对于B，A1B1∥平面ABCD，分别取棱AA1，BB1的中点E，F，连接EF，显然EF∥平面ABCD，而A1B1 平面ABB1A1，EF 平面ABB1A1，而平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，故B不正确；
对于D，AB∥CD，AB 平面ABCD，但CD 平面ABCD，故D不正确；
对于C，因为m⊥β，m⊥n，所以n β或n∥β，
又n⊥α，所以α⊥β，故C正确．
故选ABD.
12．答案：ABD
解析：对于选项A，∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2＝1，∴a2＋b2≥，正确；对于选项B，易知02－1＝，正确；对于选项C，令a＝，b＝，则log2＋log2＝－2＋log2<－2，错误；对于选项D，∵＝，∴[]2－（＋）2＝a＋b－2＝（－）2≥0，∴＋≤，正确．故选ABD.
13．答案：f（x）＝x2＋2x＋1
解析：设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
则f′（x）＝2ax＋b＝2x＋2，
∴a＝1，b＝2，f（x）＝x2＋2x＋c.
又∵方程f（x）＝0有两个相等实根，
∴Δ＝4－4c＝0，解得c＝1.故f（x）＝x2＋2x＋1.
14．答案：1　121
解析：∵an＋1＝2Sn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，
∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，
∴数列是公比为3的等比数列，
∴＝3.
又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，
∴S5＋＝×34＝×34＝，∴S5＝121.
15．答案：2
解析：由4y－＝1，得x＋2y＝4xy，即＋＝1，所以x＋2y＝（x＋2y）＝1＋＋≥1＋2＝2，当且仅当＝，即x＝2y时等号成立．所以x＋2y的最小值为2.
16．答案：（0，＋∞）
解析：令h（x）＝，则h′（x）＝<0，∴h（x）在R上是减函数，又y＝f（x＋1）是偶函数，∴y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴f（2）＝f（0）＝1，由f（x）0，故原不等式的解集为（0，＋∞）.