2023届新高考数学解题技巧—— 割补法 估算法 整体代换法 分离参数法（含解析）

2023届新高考数学解题技巧—— 割补法　估算法　整体代换法　分离参数法
一、单项选择题
1．设a＝2－，b＝log35，c＝log45，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a
2．等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
3．已知f(x)＝ax3＋b sin x＋1(ab≠0).若f(2 020)＝k，则f(－2 020)＝(　　)
A．k B．－k C．1－k D．2－k
4.
[2019·全国卷Ⅰ]古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是(　　)
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
5．已知函数f＝x3－ax在(－1，1)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
6.
如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则多面体的体积为(　　)
A． B． C． D．
7．若函数f(x)＝x ln x＋aex没有极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
8．[2021·新高考Ⅰ卷]下列区间中，函数f(x)＝7sin (x－)单调递增的区间是(　　)
A． B． C． D．
9．已知函数f＝＋ex＋2有两个极值点，则实数m的取值范围为(　　)
A. B．
C． D．
10．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)＋1(ω>1，|φ|≤)，其图象与直线y＝－1相邻两个交点的距离为π.若f(x)＞1对于任意的x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题
11．[2020·新高考Ⅰ卷]如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝(　　)
A．sin B．sin
C．cos D．cos
12．对于函数f＝，下列说法正确的是(　　)
A．f在x＝处取得极大值
B．f有两个不同的零点
C．fD．若f
三、填空题
13．已知函数y＝对于任意x≥1有y>0恒成立，则实数a的取值范围是________．
14．在正三棱锥S ABC中，侧棱SC⊥侧面SAB，侧棱SC＝4，则此正三棱锥的外接球的表面积为________．
15．已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R)，函数g(x)＝ln x，若在区间[1，2]上f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方(没有公共点)，则实数a的取值范围是________．
16．已知函数f＝ax2－x ln x，若f′＝3，则a＝________；若函数f在单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案
1．答案：B
解析：因为a＝2－＜1，b＝log35＞c＝log45＞1，所以a＜c＜b，故选B.
2．答案：C
解析：方法一　设等比数列{an}的公比为q，则a5＝a1q4，a7＝a3q4，
所以q4＝＝＝.
又a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝（a1＋a3）q8＝8×＝2，
a13＋a15＝a1q12＋a3q12＝（a1＋a3）q12＝8×＝1，
所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.
方法二　因为{an}为等比数列，所以a5＋a7是a1＋a3与a9＋a11的等比中项，
所以（a5＋a7）2＝（a1＋a3）（a9＋a11），故a9＋a11＝＝＝2.
同理，a9＋a11是a5＋a7与a13＋a15的等比中项，
所以（a9＋a11）2＝（a5＋a7）（a13＋a15），故a13＋a15＝＝＝1.
所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.故选C.
3．答案：D
解析：∵f（2 020）＝a·2 0203＋b sin 2 020＋1＝k
∴a·2 0203＋b·sin 2 020＝k－1
∴f（－2 020）＝a·（－2 020）3＋b·sin （－2 020）＋1
＝－a·2 0203－b sin 2 020＋1
＝－（a·2 0203＋b sin 2 020）＋1
＝－（k－1）＋1＝2－k.故选D.
4．答案：B
解析：设某人身高为m cm，脖子下端至肚脐的长度为n cm，
则由腿长为105 cm，可得>≈0.618，解得m>169.890.
由头顶至脖子下端的长度为26 cm，
可得>≈0.618，解得n<42.071.
由已知可得＝≈0.618，
解得m<178.218.
综上可知，此人身高m满足169.8905．答案：B
解析：∵f（x）＝x3－ax，∴f′（x）＝3x2－a.
又函数f在上单调递减，∴f′（x）＝3x2－a≤0在（－1，1）上恒成立，即a≥3x2在（－1，1）上恒成立．
∵当x∈（－1，1）时，0≤3x2<3，∴a≥3.
所以实数a的取值范围是[3，＋∞）.
6．答案：A
解析：
如图，在EF上取点M，N，使EM＝FN＝，连接MA，MD，NB，NC，则MN＝1，三棱柱ADM BCN是直三棱柱，DM＝AM＝＝.
设H为AD的中点，连接MH，则MH⊥AD，
且MH＝＝，
∴S△ADM＝AD·MH＝.
∴VABCDEF＝2VE ADM＋VADM BCN
＝2×××＋×1＝.故选A.
7．答案：C
解析：由题意可得，f′（x）＝1＋ln x＋aex＝0没有零点，
或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），
即－a＝没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同．
令g（x）＝，x>0，
则g′（x）＝，
令h（x）＝－ln x－1则h在上单调递减且h＝0，
所以当00，g′（x）>0，g单调递增，
当x>1时，h（x）<0，g′（x）<0，g单调递减，
故当x＝1时，g取得最大值g（1）＝，
又x→0时，g（x）→－∞，x→＋∞时，g（x）→0，
结合图象可知，－a≥即a≤－.
故选：C.
8．答案：A
解析：因为函数y＝sin x的单调递增区间为，
对于函数f＝7sin ，由2kπ－解得2kπ－取k＝0，可得函数f的一个单调递增区间为，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取k＝1，可得函数f的一个单调递增区间为，
且 ， ，C、D选项均不满足条件．
故选A.
9．答案：B
解析：函数f的定义域为R，f′＝x＋ex，因为函数f有两个极值点，
所以f′＝x＋ex有两个不同的零点，
故关于x的方程－m－1＝有两个不同的解，
令g＝，则g′＝，当x∈（－∞，1）时，
g′>0，当x∈（1，＋∞）时，g′<0，
所以函数g在区间（－∞，1）上单调递增，在区间（1，＋∞）上单调递减，
又当x→－∞时，g→－∞；当x→＋∞时，g→0，
且x>0，g（x）>0，g＝，故0<－m－1<，
即－1－10．答案：A
解析：因为函数f（x）的最小值为－2＋1＝－1，由函数f（x）的图象与直线y＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T＝π，
所以＝π，解得ω＝2.
故f（x）＝2sin （2x＋φ）＋1.由f（x）＞1，
可得sin （2x＋φ）＞0.
又x∈，所以2x∈.
对于B，D，若取φ＝，则2x＋∈，在上，sin （2x＋φ）＜0，不符合题意；对于C，若取φ＝，则2x＋∈，在上，sin （2x＋φ）＜0，不符合题意．故选A.
11．答案：BC
解析：由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝sin （2x＋φ），将点代入得，sin ＝0，∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin .由于y＝sin ＝sin ＝sin ，故选项B正确；y＝sin ＝cos ＝cos ，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin ＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos ＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin （－2x＋φ），将代入，得sin ＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin ，但当x＝0时，y＝sin ＝－<0，与图象不符合，舍去．综上，选BC.
12．答案：ACD
解析：由已知，f′＝，令f′（x）>0得0，故f（x）在（0，）上单调递增，在（，＋∞）单调递减，所以f的极大值为f＝，A正确；
又令f＝0得ln x＝0，即x＝1，∴f只有1个零点，B不正确；
函数在上单调递减，因为2>>>，所以f若fg′（x）＝，令g′（x）>0得0e－，故g（x）在（0，e－）上单调递增，在（e－，＋∞）单调递减，所以g（x）max＝g（e－）＝，k>，故D正确．
13．答案：（－3，＋∞）
解析：x≥1时，y＝>0恒成立，
等价于x2＋2x＋a>0恒成立，
即a>－（x2＋2x）恒成立，
即a>[－（x2＋2x）]max.
当x≥1时，g（x）＝－（x2＋2x）＝－（x2＋2x＋1）＋1
＝－（x＋1）2＋1≤－3.
∴实数a的取值范围为（－3，＋∞）.
14．答案：144π
解析：
由正三棱锥中侧棱SC⊥侧面SAB，可得三条侧棱SA，SB，SC两两垂直．又三条侧棱相等，故可以三条侧棱为相邻三边作出一个正方体SBDC AEFG，如图所示，其棱长为4，其外接球的直径就是此正方体的体对角线，所以
2R＝ ＝12，
即球半径R＝6，所以球的表面积S＝4πR2＝144π.
15．答案：
解析：由题意知，3a记h（x）＝x2－，x∈[1，2]，
则h′（x）＝，又2x3－1≥0，ln x≥0，
∴h′（x）≥0，∴h（x）在[1，2]上单调递增，
∴h（x）min＝h（1）＝1，∴3a<1，即a<.
16．答案：2　
解析：f′＝2ax－
（1）依题意，f′＝2a－1＝3 a＝2.
（2）依题意f′＝2ax－≥0在区间上恒成立，
即2a≥在区间上恒成立，
构造函数g＝，
g′＝－，所以g在区间上g′>0，g递增；在区间上g′<0，g递减．所以g在区间上的极大值也即是最大值为g＝1.
所以2a≥1 a≥.
所以实数a的取值范围是.