2022—2023学年人教版数学九年级上册 21.2.3因式分解法 同步课时练习 （含答案）

第二十一章：因式分解法-解一元二次方程
题型汇总（含中考真题）及答案解析
考点1：因式分解法的依据及基本步骤：
理论依据；若ab=0,则a=0或b=0
基本步骤：（1）化方程为一般形式；（2）将方程左边分式分解；
（3）令每个因式=0，得到两个一元一次方程；（4）写出方程的解。
题型I 常规因式分解法解方程（基础题）
【2011湖南湘潭】
1.一元二次方程（x-3）(x-5)=0的两个根分别为（ ）。
A．3，-5 B. -3，-5 C. -3, 5 D. 3, 5
2.若关于x的一元二次方程的根分别为-5,7，则该方程可以为（ ）
A．（x+5）(x-7)=0 B. （x-5）(x+7)=0
C. (x+5) (x+7)=0 D. (x-5) (x-7)=0
3. 方程x(x+1)(x-2)=0的根是（ ）。
A．-1,2 B. 1,-2 C. 0,-1,2 D. 0,1,2
4. 方程（y-5）(y+2)=1的根为（ ）。
y1=5, y2=-2; B. y=5 C. y=-2 D. 以上答案都不对
5. 一元二次方程x2=2x的根是（ ）。
x=2 B. x=0 C. x1=0,x2=2 D. x1=0,x2=-2
【2013宁夏】
6. 一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（ ）。
A．-1 B. 2 C. 1和2 D. -1和2
7. 方程5x(x+3)=3（x+3）的解为（ ）。
x1=, x2=3 B.x= C. x1=-, x2=3 D. x1=, x2=-3
【2020山东威海】
一元二次方程4x(x-2)=（x-2）的解为__________
若关于x的方程x2=5x+k的一个根是0，则另一个根是x=_______。
[2021山东聊城]
10．关于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（　　）
A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D.﹣2或2
11. 解下列方程： 4x2-49=0; 3x(x-1)=2(1-x); 2(x-3)=x2-9; (x+1)2-25=0;
题型I 常规因式分解法解方程（提高题）（注意：整体思想＋分类讨论+换元思想）
解方程：16（x-2）2=9(x+3)2; (2x-1)2=(3-x)2 ，（x-3）2+2x(x-3)=0
2．若（2x+3y）2+4(2x+3y)+4=0,则2x+3y的值为_______。
3.在实数范围内定义一种新运算“¤”，其规则为a¤b=a2-b2，根据这个规则，方程（x+2)¤3=0的解为（ ）
A. x=-5或x=-1 B. x=5或x=1 C x=5或x=-1 D x=-5或x=1
4.用8块相同的长方形地砖拼成面积为2400cm2的矩形ABCD(如图)，则矩形ABCD的周长为多少
５．若正数a是一元二次方程x2-5x+m=0的一个根，-a是一元二次方程x2+5x-m=0的一个根，则a的值是（　　）
分类讨论思想
６. 已知9a2-4b2=0,求代数式--的值。
绝对值方程+分类讨论思想
7.阅读下面的例题: 解方程:x2-|x|-2=0
解:(1)当x ≥ 0时，原方程化为x - x- 2 = 0，解得: x1 = 2, x2=-1(不合题意，舍去)。
(2)当x<0时，原方程化为x+x-2=0，解得:x1=1(不合题意，舍去)，x2=-2.
∴原方程的根是x1=2，x2=-2.
请参照例题解方程x2-|x-3|-3=0，则此方程的根是__.
换元思想
8．为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0，我们可以将x2-1视为一个整体，然后设x2-1=y，
则(x2-1) 2=y2，原方程化为y2-5y+4=0.①　解得y1=1，y2=4
当y=1时，x2-1=1，∴x =2，∴x=±当y=4时，x2-1=4，∴x =5，∴x=±
∴原方程的解为x1=，x2=-，x3= X4=-解答问题:
(1)填空:在由原方程得到方程①的过程中，利用（ ）法达到了降次的目的，体现了（ ）的数学思想.
(2)解方程:x4-x2-6=0.
题型II：十字相乘法解方程（基础题）
【2021山东临沂】
1．方程x2﹣x＝56的根是（　　）
A．x1＝7，x2＝8 B．x1＝7，x2＝﹣8
C．x1＝﹣7，x2＝8 D．x1＝﹣7，x2＝﹣8
【2022山东临沂】
2．方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（　　）
A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4
C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣4
【2021山东济南】
3. 关于x的一元二次方程x2+x-a＝0的一个根是2，则另一个根是________。
【2021山东潍坊】菱形性质+勾股定理
4.若菱形两条对角线的长度是方程x 2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A. B. 4 C. 25 D. 5
菱形性质+三边关系
5. 若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2-10x+24=0的一个根，则该菱形ABCD的周长为( ) A.16 B.24 C.16或24 D.48
6. 已知三角形两边长分别为2,9，第三边的长为一元二次方程x2-14x+48=0的一个根，则这个三角形的周长为________。
7. 使分式的值等于零的x的是________。
题型II：十字相乘法解方程（提高题）(注意整体思想)
1.现定义运算“☆”，对于任意实数a,b,都有a☆b=a2-3a+b,如：3☆5=32-3×3+5，
若x☆2=6,则实数x的值为（ ）。
-4或-1 B. 4或-1 C. 4或-2 D. -4或2
2. 解方程 (1)（x+5）2=3x+15 (2) 5x2-10x-40=0（2）（x+3)2+3(x+3)-4=0
3. 如果（a2+b2）2-2(a2+b2)-3=0，那么a2+b2=( )
4. 已知（x2+y2）(x2-1+y2)-12=0,求x2+y2的值 ？
5.观察下列方程并回答问题: ①x2-1=0;②x +x-2=0;③x2+2x-3=0;④x2+3x-4=0;….
(1)请你根据这些方程的特点写出第n个方程;
(2)选择合适的方法解上面四个方程，并猜想第2020个方程的根.这n个方程根有什么特点
考点2：选择合适方法解方程
根据每个方程的形式和系数的特点，灵活选择合适的方法，减少计算量，提高正确性。
没有常数项的，可利用因式分解中提公因式法
（2）没有一次项的，可直接开平方法、或者因式分解中平方差公式
（3）三项都有，且二次项系数为1时，先考虑因式分解中十字相乘法、不能用则配方法
（4）三项都有，且二次项系数不为1时，先考虑十字相乘法，不能用则用公式法。
总结：优先选用直接开平方和因式分解法，其次考虑配方法、公式法。而在用直接开平方和因式分解法是经常用到整体思想。
选择合适方法解方程【基础题】
1: 解方程 ①x2-7=0, ②9x2-7x-1=0, ③(2-3x)+3(3x-2)2=0; ④12x2+12=25x,
选择较合适的方法为（ ）
依次为：开平方法、配方法、公式法、因式分解法
依次为：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法、
C． ①用直接开平方法，②④用公式法 ，③用因式分解法
D． ①用直接开平方法，②用公式法， ③④用因式分解法
2: 根据下列方程特点选择合适的方法
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0 ③ -3t2+t=0 ④ x2-4x=2 ⑤ 2x2-x=0；
⑥ 5(m+2)2=8； ⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0；⑨ (x-2)2=2(x-2).
适合运用直接开平方法
适合运用因式分解法
适合运用公式法
适合运用配方法 :
3：选择适当的方法解下列方程(只选择方法，不用解)
x2=3x ; （2）9（x-1）2-4=0; (3) x2-2x-2=0 ; (4)（x+1）2=4x；
(5) x2+x-1=0；（6）(3-x)2+x2=5 ；(7) x2+2x+3=0；(8) x2+x+1=0;
（9）（y-1）2=1-y；(10) 3x(x+1)=3x+3 ；(11)y2+y=5y+6 ;(12) (2x-1)2=(3-x)2;
(13) x2-6x-16=0;(14) x2+10x+9=0; (15) 2x2-8x+5=0;（16）3x2-6x=-3;
选择合适方法解方程【提高题】
(1) 2x2-6x+8=0 (2)2x（x+2）=(x+1)2; （3） 5（y2-y）=3(y2-1) 　
（４）（２７－１８ｘ）（２１－１４ｘ）＝５６７×　（５）４（ｘ－１）２＝９（２ｘ＋３）２
答案及详细解析
题型I 常规因式分解法解方程（基础题）
第1题：【答案】D ；第2题：【答案】A ；第3题：【答案】C；第4题：【答案】D
第5题：【答案】C；
第6题：【答案】D ；
【详解】解：∵x(x-2)=2-x；移项得：x(x-2)-（2-x）=0,
即x(x-2)+（x-2）=0提公因式得：（x-2）(x+1)=0,∴x1=2,x2=-1，选D。
第7题：【答案】D；
第8题：【答案】x1=, x2=2；
第9题：【答案】x1=, x2=5
第10题：【答案】B；
【详解】解：将x=-2代入方程得：4-8k+2k2=4，整理得：2k2-8k=0；解关于k的一元二次方程得：k=0或k=4,所以选B。
第11题：【答案】（1）x1=,x2=-；(2）x1=1,x2=-；
【详解】（2）∵3x(x-1)=2（1-x）；移项：3x(x-1)-2（1-x）=0，
即3x(x-1)+2（x-1）=0提公因式：（x-1）(3x+2)=0,∴x1=1,x2=-
(3）x1=-1,x2=3；
【详解】∵2(x-3)= x2-9；左边分解因式得：2(x-3)= (x+3) (x-3)，移项：
2(x-3)- (x+3) (x-3)=0,提公因式得：(x-3)[2-(x+3)]=0,即（x-3）(-x-1)=0,∴x1=-1,x2=3。
(4）x1=4,x2=-4
题型I 常规因式分解法解方程（提高题）
第1题：【答案】 （1）x1=-,x2=17
【详解】∵16（x-2）2=9(x+3)2，∴[4(x-2)]2=[3(x+3)]2；移项；[4(x-2)]2-[3(x+3)]2=0；平方差公式：[4(x-2)+ 3(x+3)] [4(x-2)-3(x+3)]=0，化简：
（7x+1）(x-17)=0，∴x1=-,x2=17 （2）x1=,x2=-2
（3）x1=,x2=1 ∵（x-3）2+2x(x-3)=0 即（x-3）(x-3+2x)=0,即3（x-3）(x-1)=0
第2题：【答案】 -2
【详解】∵（2x+3y）2+4(2x+3y)+4=0，∴（2x+3y）2+2×2·(2x+3y)+22=0
即（2x+3y+2）2=0，∴2x+3y+2=0，∴2x+3y=-2
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的形式以及整体思想的运用，把2x+3y看作一个整体，套用完全平方公式是关键。
第3题：【答案】 D 【详解】由题意知：（x+2）2-32=0，解方程得：x1=-,x2=1
第4题：【答案】 200cm
【详解】设每个小长方形地砖长为xcm,宽为ycm，根据题意得：;
有式得：x=3y ③,将③式代入方程化简得：y=10,y=-10(舍去)，∴x=30,
所以周长=2×（60+40）=200cm
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组及一元二次方程的解法，挖掘图形中隐含的对边相等，列出方程组是关键。
第５题：【答案】５
【详解】由根的定义：把ｘ＝ａ和ｘ＝－ａ分别代入得：ａ２－５ａ＋ｍ＝０①
ａ２－５ａ－ｍ＝０②，①＋②得：２（ａ２－５ａ）＝０，即ａ２－５ａ＝０
∴ａ１＝０（ａ为正数，舍去），ａ２＝５
第６题：【答案】 3或-3
【详解】∵9a2-4b2=0；左边分解因式：（3a+2b）(3a-2b)=0,∴2b=3a,或者2b=-3a.
∵--=-==.当2b=3a时，原式=-3，当2b=-3a时，原式=3
【点睛】本题属于化简求值题，主要考查了因式分解中平方差公式解方程，及分式的加减。其中蕴含了分类讨论思想。另外也可以解出b=,和b=，利用消元思想代入目标式子求解。
第7题：【答案】见详解
【详解】解：（1）当x≥3时，原方程化为：x2-（x-3）-3=0,即x2-x=0,解得：x1=0(不合题意，舍去)，x2=1(不合题意，舍去)
当x＜3时，原方程化为：x2+（x-3）-3=0，即x2+x-6=0,解得：x1=-3，x2=2
综上所述，原方程的根为x1=-3，x2=2。
第8题：【答案】见详解
【详解】：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想; 故答案为:换元;转化;
(2)设x =y，原方程可化为y2-y-6=0解得:y1=3，y2=-2，
∵x =y>0，∴y1=3，即x =3,则x=±.
题型II：十字相乘法解方程（基础题）
第1题：【答案】C 【详解】左边十字相乘法分解因式；可化为（x+7）(x-8)=0
第2题：【答案】B 【详解】左边十字相乘法分解因式；可化为（x-6）(x+4)=0
第3题：【答案】-3
第4题：【答案】A 【详解】十字相乘法解出方程的两根分别为x1=2,x2=4,利用菱形性质，对角线互相垂直平分+勾股定理及可得答案。
第5题：【答案】B 【详解】十字相乘法解出方程的两根分别为x1=4,x2=6，当边长为4时，因为菱形四条边都相等，所以无论那条对角线为8，都不满足三边关系，舍去，所以边长只能是6，所以周长=4×6=24.
第6题：【答案】19 【详解】十字相乘法解出方程的两根分别为x1=6,x2=8，∵2+6＜9，∴x=8,∴周长=2+8+9=19
第7题：【答案】 5 【详解】由题意得：;解得：x=5.
题型II：十字相乘法解方程（提高题）
第1题：【答案】 B 【详解】由题意得：x2-3x+2=6,解得：x1=-1,x2=4
第2题：【答案】（1）x1=-5,x2=-2
【详解】 ∵（x+5）2=3x+15；∴（x+5）2=3（x+5）；∴（x+5）2-3（x+5）=0
∴（x+5）(x+5-3)=0,∴x1=-5,x2=-2
（2） x1=4,x2=-2 【详解】∵5x2-10x-40=0；等号两边同除5得：x2-2x-8=0；十字相乘法分解因式得：（x-4）(x+2)=0,∴x1=4,x2=-2。
（3） x1=-7,x2=-2 【详解】把x+3看作一个整体：左边用十字相乘法分解因式得：
（x+3+4）（x+3-1）=0，∴x1=-7,x2=-2。
第3题：【答案】3 【详解】把a2+b2看作一个整体：左边用十字相乘法分解因式得：
（a2+b2-3）（a2+b2+1）=0,∴a2+b2=3或a2+b2=-1，∵a2+b2≥0，∴a2+b2=3
第4题：【答案】 4 【详解】把x2+y2看作一个整体：∵（x2+y2）(x2-1+y2)-12=0
∴（x2+y2）(x2+y2-1)-12=0，∴（x2+y2）2-（x2+y2）-12=0，∴（x2+y2-4）（x2+y2+3）=0
∴x2+y2=4或x2+y2=-3，∵x2+y2≥0，∴x2+y2=4
第5题：【答案】（1）x2+(n-1)x-n=0 （2）第2020个方程的根为：x1=1,x2=-2020；
这n个方程都有一个相同的根是1.
选择合适方法解方程【基础题】
第1题：【答案】C
第2题：【答案】适合运用直接开平方法 ②⑥ 适合运用因式分解法 ③⑤⑨
适合运用公式法 ⑦⑧ 适合运用配方法 ①④
第3题：【答案】（1）提公因式法 （2）开平方或平方差公式 （3）配方法
（4）完全平方公式 (5) 配方法 （6）十字相乘法 （7）完全平方公式
（8）完全平方公式 （9）提公因式法 （10）提公因式法 （11）配方法
（12）开平方或平方差公式 （13）十字相乘法 （14）十字相乘法
（15）公式法 （16）完全平方公式
选择合适方法解方程【提高题】
第1题：【答案】 方程无实数根。
【详解】∵2x2-6x+8=0；∴x2-3x+4=0， 再用公式法，∵Δ＜0，所以方程无实数根。
第2题：【答案】 方程无实数根
【详解】∵2x（x+2）=(x+1)2，去括号整理得：x2+2x+3=0, 再用公式法，∵Δ＜0，所以方程无实数根。
第3题：【答案】y1=1,y2=
【详解】∵5（y2-y）=3(y2-1)，两边因式分解得；5y(y-1)=3(y+1) (y-1),移项得：
5y(y-1)-3(y+1) (y-1)=0，提公因式得：（y-1）[5y-3(y+1)]=0,∴（y-1）(2y-3)=0,
∴y1=1,y2=
第４题：【答案】ｘ1=,ｘ2=
【详解】∵（２７－１８ｘ）（２１－１４ｘ）＝５６７×，
∴９（３－２ｘ）×７（３－２ｘ）＝５６７×，（３－２ｘ）２＝
∴ｘ1=,ｘ2=
第５题：【答案】ｘ1=，ｘ２=
【详解】∵　４（ｘ－１）２＝９（２ｘ＋３）２，∴［２（ｘ－１）］２＝［３（２ｘ＋３）］２
２（ｘ－１）＝±３（２ｘ＋３），∴ｘ1=，ｘ２=