2022-2023学年北师大版九年级数学上册 1.1 菱形的性质与判定 同步练习（含答案）

北师大版九上 1.1 菱形的性质与判定
一、选择题（共12小题）
1. 如图，在平行四边形 中，下列说法一定正确的是
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标系中，点 在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 下列命题中正确的是
A. 对角线相等的四边形是菱形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是菱形
D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4. 如图，在四边形 中，，， 是对角线，，，， 分别是 ，，， 的中点，连接 ，，，，则四边形 的形状是
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
5. 在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ 是等边三角形，其中一定成立的是 ．
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①③
6. 如图，四边形 是菱形，其中 ， 两点的坐标为 ，，则点 的坐标为
A. B. C. D.
7. 如图，已知平行四边形 ，下列选项作为条件能使它成为菱形的是
A. B. C. D.
8. 如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， 为 中点，，，则线段 的长为：
A. B. C. D.
9. 如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合．已知，的周长为，则的长为　　
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的顶点 的坐标为 ，顶点 ， 在第一象限，且点 的纵坐标为 ，则点 的坐标为
A. B. C. D.
11. 四边形 的两条对角线 ， 互相平分．添加下列条件，一定能判定四边形 为菱形的是
A. B.
C. D.
12. 如果菱形 的边长为 ， 垂直平分 于 ，那么 等于
A. B. C. D. 以上都不对
二、填空题（共6小题）
13. 在菱形 中，，，那么菱形 的面积为 ．
14. 如图，四边形 的对角线互相垂直，且 ，请你添加一个适当的条件 ，使四边形 成为菱形．（只需添加一个即可）
15. 如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 在线段 上，连接 ，若 ，，，则线段 的长为 ．
16. 如图，将 的三个内角分别沿 ，， 翻折，三个顶点均落在点 处，则 的度数为 ．
17. 如图所示，已知 ， 为线段 上的一个动点，分别以 ， 为边在 的同侧作菱形 和菱形 ，点 ，， 在一条直线上，．， 分别是对角线 ， 的中点，当点 在线段 上移动时，点 ， 之间的距离最短为 ．（结果保留根号）
18. 如图，两条笔直的公路 ， 相交于点 ，村庄 的村民要在公路的旁边建三个加工厂 ，，，已知 千米，村庄 到公路 的距离为 千米，则村庄 到公路 的距离是
三、解答题（共7小题）
19. 如图，在平行四边形 中，对角线交于 ， 的周长比 的周长大 ，平行四边形 的周长为 ，求平行四边形各边的长．
20. 如图，在菱形 中， 为对角线，点 为 上的点，求证：．
21. 如图，在四边形 中，，，对角线 ， 交于点 ， 平分 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，，求 的长．
22. 如图，已知 ，，若 ，求 的度数．
23. 如图，在平行四边形 中，， 分别是 ， 上的点，且 ，．求证：四边形 是菱形．
24. 如图，在平面直角坐标系中，过点 的直线 与直线 相交于点 ．
（1）求直线 的表达式．
（2）求 的面积．
（3）动点 在线段 和射线 上运动，是否存在点 ，使 的面积是 的面积的 若存在，求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
25. 如图，在 和 中，，，，求证：．
答案
1. C
2. A
【解析】，，
在第一象限．
3. D
4. C
【解析】，，， 分别是 ，，， 的中点，
在 中， 为 的中位线，
且 ；
同理 且 ，，
则 且 ，
四边形 为平行四边形，
又 ，
，
四边形 为菱形．
5. D
6. D
【解析】， 两点的坐标分别为 ，，
在 中，，，
，
四边形 为菱形，
，
，
又 点 位于 轴的负半轴，
点 的坐标为：．
7. D
8. B
9. C
【解析】【分析】首先根据折叠可得，再由的周长为可以得到的长，利用等量代换可得的长．
【解析】解：根据折叠可得：，
的周长为，，
，
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
10. D
【解析】延长 交 轴于 ，
点 的坐标为 ，
，
四边形 是菱形，
．
，
．
在 中，
点 的纵坐标为 ，
，
．
，
点 ．
故选择D．
11. C
【解析】如图所示，设四边形 的两条对角线 ， 交于点 ，
， 互相平分，
四边形 是平行四边形．
选项A，由平行四边形的性质可知 ，则 ，从而A不符合题意；
选项B，，则 ，再结合对角线 ， 互相平分，可知 ，从而平行四边形 是矩形，故B不符合题意；
选项C，由平行四边形的性质可知 ，从而 ，当 时，，故 ，由一组邻边相等的平行四边形的菱形可知，C符合题意；
选项D，，得不出可以判定四边形 为菱形的条件，故D不符合题意．
综上，只有选项C一定能判定四边形 为菱形．
故选：C．
12. B
13.
14. （答案不唯一）
15.
【解析】设 ，则 ，
四边形 为菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，解得 ，即 ，，
在 中，，
在 中，．
16.
【解析】 将 的三个内角分别沿 ，， 翻折，三个顶点均落在点 处，
，，，
，
，
．
17.
【解析】如图，连接 ，．
四边形 ，四边形 都是菱形，，
，，，
， 分别是对角线 ， 的中点，
，，，，
，
设 ，则 ，
，，
．
当 时， 有最小值，最小值为 ．
18. 千米
19. ，．
20. 四边形 为菱形，
，，
在 与 中，
，
．
21. （1） ，
．
平分 ．
．
．
．
又 ，
．
又 ，
四边形 是平行四边形．
又 ，
平行四边形 是菱形．
（2） 四边形 是菱形，对角线 ， 交于点 ，
，，．
．
在 中，．
．
，
．
在 中，， 为 中点．
．
22. 设 ，
因为 ，
所以 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，解得 ，
则 ．
23. 四边形 是平行四边形，
，．
， 分别为 ， 上的点，
．
，，，
．
四边形 为平行四边形，
，
平行四边形 为菱形．
24. （1） 设直线 的解析式是 ，
根据题意得：
解得：，
则直线 的解析式是：．
（2） ，，
，
．
（3） 设 的解析式是 ，则 ，解得：，
则直线的解析式是：，
当 的面积是 的面积的 时，
到 轴的距离是 ，
点 的横坐标为 或 ，
当 的横坐标是：，
在 ，当 时，，则 的坐标是 ，
在 中，，则 ，则 的坐标是 ．
25. ，
，
，
在 和 中，
，
．