2022-2023学年北师大版九年级数学上册 1.2 矩形的性质与判定同步练习（含答案）

北师大版九上 1.2 矩形的性质与判定
一、选择题（共15小题）
1. 如图，公路 ， 互相垂直，公路 的中点 与点 被湖隔开．若测得 的长为 ，则 ， 两点间的距离为
A. B. C. D.
2. 下列给出的条件中不能判定一个四边形是矩形的是
A. 一组对边平行且相等，一个角是直角
B. 对角线互相平分且相等
C. 有三个角是直角
D. 一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等
3. 矩形具有而菱形不具有的性质是
A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角
4. 如图，在直角 的内部有一滑动杆 ，当端点 沿直线 向下滑动时，端点 会随之自动地沿直线 向左滑动，如果滑动杆从图中 处滑动到 处，那么滑动杆的中点 所经过的路径是
A. 直线的一部分 B. 圆的一部分
C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分
5. 如图，公路 ， 互相垂直，公路 的中点 与点 被湖隔开，若测得 的长为 ，则 ， 之间的距离是
A. B. C. D.
6. 如图，平行四边形 的对角线 ， 交于点 ，顺次连接平行四边形 各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：① ；② ；③ ；④ ，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 如图，在 中，，，垂足为 ， 是 的中点．若 ，则 的长为
A. B. C. D.
8. 如图，矩形纸片 中，，，折叠纸片使 边全部落在对角线 上，折痕为 ，那么 的长为
A. B. C. D.
9. 如图所示，点 是矩形 的对角线 的中点，点 为 的中点．若 ，，则 的周长为
A. B. C. D.
10. 如图，点 ，，， 分别为四边形 的四边 ，，， 的中点，若 ，则四边形 为
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
11. 平行四边形 中，， 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形 是矩形，那么这个条件是
A. B. C. D.
12. 如图，在矩形 中，，，过对角线交点 作 交 于点 ，交 于点 ，则 的长是
A. B. C. D.
13. 如图，菱形 的一边中点 到对角线交点 的距离为 ，则菱形 的周长为
A. B. C. D.
14. 如图，在平面直角坐标系 中，若菱形 的顶点 ， 的坐标分别为 ，，点 在 轴上，则点 的坐标是
A. B. C. D.
15. 如图所示，已知在三角形纸片 中，，，，在 上取一点 ，以 为折痕，折叠 ，使点 与 延长线上的点 重合，则 的长度为
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题）
16. 对角线 的平行四边形是矩形；对角线 且 的四边形是矩形．
17. 如图，在四边形 中，，，，， 分别是 ， 的中点，则线段 的长为 ．
18. 如图，在矩形 中，，，以 为斜边在矩形的外部作 ，点 是 的中点，则 的最大值是 ．
19. 如图，已知 ， 与 ， 分别交于 ， 两点，过 ， 两点作两组内错角的平分线，交于点 ，，则四边形 （填“是”或“不是”）矩形．
20. 如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形 的边长是 ，则正方形 ，，，，， 的面积之和是 ．
21. 以 的顶点 为端点引射线 ，使 ，若 ，则 的度数为 ．
三、解答题（共5小题）
22. 如图， 中，， 于点 ， 是 的外角平分线， 交 于点 ．求证：四边形 是矩形．
23. 如图，四边形 是矩形（），点 在 上，且 ，，垂足为 ．请探究 与 有何数量关系，写出你所得到的结论，并给予证明．
24. 如图，在 中，点 ，， 分别是边 ，， 的中点， 是边 上的高．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，，求 的度数．
25. 图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为 和 ，斜边长为 ；图②是以 为直角边长的等腰直角三角形．
（1）请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，并用这个图形验证勾股定理．
（2）假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗 请你画出拼后的示意图（无须证明）
26. 在矩形 和 中，，．
（1）如图1，当点 在对角线 上，点 在 边上时，连接 ，取 的中点 ，连接 、 ，则 与 的数量关系是 ， ；
（2）如图2，将图1 中的 绕点 旋转，使点 在 的延长线上，（1）中的其他条件不变．
①（1）中 与 的数量关系仍然成立吗 请证明你的结论；
② 求 的度数．
答案
1. C
【解析】在 中，， 是 的中点，
（）．
故选C．
2. D
【解析】等腰梯形可以满足一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等．
3. C
【解析】矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直且互相平分，并且每一条对角线平分一组对角．
4. B
5. B
【解析】由题意可知， 中，， 是 的中点，
（）
6. C
7. D
【解析】，
，
，
，
，
故选D．
8. C
9. C
【解析】 点 是矩形 的对角线 的中点，点 为 的中点，
，，
．
在 中，利用勾股定理求得 ．
在 中，利用勾股定理求得 ，
．
的周长为 ．
10. C
【解析】如图，连接 ，，
点 ，，， 分别为四边形 的四边 ，，， 的中点，
， 且 ，，，
，，
四边形 是平行四边形，
，
，
四边形 为矩形．
11. B
12. B
【解析】连接 ，如图所示，
因为四边形 是矩形，
所以 ，，，，
因为 ，
所以 ，
设 ，则 ，
在 中，
由勾股定理得，，
解得 ，
即 ．
故选B．
13. D
14. B
【解析】 菱形 的顶点 ， 的坐标分别为 ，，
，，
，
，
点 的坐标是 ．
15. C
【解析】，，，
，
由翻折的性质得，，，
，，
在 中，，
即 ，
解得 ．
16. 相等，相等，互相平分
17.
【解析】连接 ，．
， 是 的中点，
，，
，又 是 的中点，
，
．
18.
19. 是
20.
21. 或
【解析】如图 ，
当射线 在 的内部时，
设 ，则 ，
，
，
．
如图 ，
当射线 在 的外部时，
设 ，则 ，
，，
，解得 ，
．
故 的度数为 或 ．
22. ，
．
，，
，
．
，
四边形 是平行四边形，
，．
，，
．
．
又 ，
四边形 是平行四边形．
，
四边形 是矩形．
23. 结论：．
证明： 四边形 是矩形，
，，
．
，
．
，
，
．
24. （1） 点 ，， 分别是 ，， 的中点，
， 都是 的中位线，
，，
四边形 是平行四边形．
（2） 四边形 是平行四边形，
，
， 分别是 ， 的中点， 是边 上的高，
，，
，，
，，
，
．
，，
．
25. （1） 示意图如图 所示，它是一个直角梯形．
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
（2） 能．如图 和图 所示，将 个全等的直角三角形拼成个正方形．
26. （1） ；．
（2） 仍然成立．
分别延长 、 交于点 ，如图 ．
四边形 是矩形，
．
，
．
点 在 的延长线上，
．
．
是 的中点，
．
在 和 中，
．
．
在 中，．
即 ．
② 分别延长 、 交于点 ，如图 4．
，，
．
点 在直线 上，，
．
在 和 中，
．
．
，
．
．
，
．
．