2022-2023学年苏科版九年级数学上册1.4用一元二次方程解决问题 强化提优训练（含答案）

2022-2023学年苏科版九年级数学上《1.4用一元二次方程解决问题》强化提优训练（二）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1. 平面上不重合的两点确定一条直线，不同的三点最多可确定3条直线． 若平面上不同的n个点最多可确定21条直线，则n的值为（ ）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
2. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长． 设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A． （x+1）（x+2）=18 B． x2-3x+16=0 C． （x-1）（x-2）=18 D． x2+3x+16=0
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3. 如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（ ）
A. 0.5cm B. 1cm C. 1.5cm D. 2cm
4. 如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为x，原正方形铁皮的面积为x2+24x，则无盖箱子的外表面积为（ ）
A． 1 B． 4 C． 6 D． 9
5．如图，某中学有一块长30 m、宽20 m的长方形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学的设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x(m)，则可列方程为( )
A. (30－x)(20－x)＝×20×30 B. (30－2x)(20－x)＝×20×30
C. 30x＋2×20x＝×20×30 D. (30－2x)(20－x)＝×20×30
6．如图，在长为60 m、宽为40 m的长方形场地上修建1横2纵三条宽度相等的甬道，其余部分为绿地．若绿化面积为长方形面积的一半，则甬道的宽应为多少米？设甬道的宽为x(m)，则列出的方程错误的是( )
A. (60－2x)(40－x)＝×40×60 B. 40×60－40×2x－60x＋2x2＝×40×60
C. 40×2x＋60x－2x2＝×40×60 D. (60－x)(40－2x)＝×40×60
第6题图 第8题图 第9题图 第10题图
7．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( )
A. x2－6＝(10－x)2 B. x2－62＝(10－x)2 C. x2＋6＝(10－x)2 D. x2＋62＝(10－x)2
8．如图所示为两条互相垂直的街道，且A到B，C的距离都是7 km，现甲从B地走向A地，乙从A地走向C地，若两人同时出发且速度都是4 km/h，则两人之间的距离为5 km时是出发后( )
A. 1 h B. 0.75 h C. 1.2 h或0.75 h D. 1 h或0.75
9．如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为3的四个小正方形，制成一个无盖箱子．若箱子的底面边长为x，原正方形铁皮的面积为2x2＋17x，则无盖箱子的外表面积为( )
A. 48 B. 64 C. 72　 D. 96
10.如图所示,将一条长为64 cm的铁丝剪成两段,每段均折成正方形,若两个正方形的面积和为160 cm2,则这两个正方形的边长分别为(　　)
A.8 cm,8 cm B.10 cm,6 cm C.12 cm,4 cm D.14 cm,2 cm
二．填空题(30分)
11．绿苑小区在做规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900 m2的矩形绿地，并且长比宽多10 m．设绿地的宽为x m，则长为 m.根据题意，可列方程为________________．
12．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135 cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 cm2.
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
13．如图，把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为_______.
14.如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的长方形羊圈,则羊圈的边长AB为　　　　米.
15.如图，某公园准备围建一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，其他三边用长为54米的篱笆围成，已知墙EF长为28米，并且与墙平行的一面BC上要预留2米宽的入口(如图MN所示，不用围篱笆)．若花园的面积为320平方米，则AB＝ 米．
16.如图，某校A距离笔直的公路l为3km，与该公路上某车站D的距离为5km. 现要在公路旁建一个小商店C，使之与学校A及车站D的距离相等，则BC= .
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
17. 准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路（如图所示），四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为________米.
18．如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接而成的．如果AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为________．
19．如图，有一块矩形硬纸板，长30 cm、宽20 cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长为_______cm时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2..
20．在一块长80米、宽为60米的长方形空地上修建一个停车场，停车场的中间有三个大小相同的长方形停车区域，其余部分铺成硬化路面(如图所示)，要求这些硬化路面的宽都相等，并且三个停车区域面积的和是长方形空地面积的，求硬化路面的宽．
三。解答题（60分）
21.（6分）如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33 m的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米(围栏宽忽略不计)．
(1)每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长．
(2)每个生态园的面积 (填“能”或“不能”)达到108平方米．
22．（8分）如图，有一段19 m长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分(或全部)为一边，再用36 m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF.
(1)怎样围成一个面积为160 m2的长方形场地？
(2)长方形场地的面积能达到170 m2吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由．
23．（8分）某商店以20元/千克的价格购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y(kg)与销售单价x(元)之间为一次函数关系，如图所示．
(1)求一次函数的表达式．
(2)要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝4 cm，∠B＝60°，动点P，Q分别从点A，B同时出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，点P，Q的速度分别为2 cm/s和1 cm/s.当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t(s)，当t＝或时，△PBQ是直角三角形．
25．（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21.动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t(s)，当t为何值时，以B，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？
26.（10分）如图，在长方形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空：BQ＝ cm，PB＝______cm(用含 t的代数式表示)．
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm
(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
27．（12分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.
(1)点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．若点P，Q分别从点A，B同时出发，则经过几秒后，△PBQ的面积等于8 cm2
(2)点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．
(3)若点P从点A出发，沿射线AB方向以1 cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿射线CB方向以2 cm/s的速度移动，点P，Q同时出发．问：经过几秒后，△PBQ的面积为1 cm2
教师样卷
一．选择题(30分）
1. 平面上不重合的两点确定一条直线，不同的三点最多可确定3条直线． 若平面上不同的n个点最多可确定21条直线，则n的值为（ C ）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
2. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长． 设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ C ）
A． （x+1）（x+2）=18 B． x2-3x+16=0 C． （x-1）（x-2）=18 D． x2+3x+16=0
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3. 如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（ B ）
A. 0.5cm B. 1cm C. 1.5cm D. 2cm
4. 如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为x，原正方形铁皮的面积为x2+24x，则无盖箱子的外表面积为（ D ）
A． 1 B． 4 C． 6 D． 9
5．如图，某中学有一块长30 m、宽20 m的长方形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学的设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x(m)，则可列方程为(D)
A. (30－x)(20－x)＝×20×30 B. (30－2x)(20－x)＝×20×30
C. 30x＋2×20x＝×20×30 D. (30－2x)(20－x)＝×20×30
6．如图，在长为60 m、宽为40 m的长方形场地上修建1横2纵三条宽度相等的甬道，其余部分为绿地．若绿化面积为长方形面积的一半，则甬道的宽应为多少米？设甬道的宽为x(m)，则列出的方程错误的是(D)
A. (60－2x)(40－x)＝×40×60 B. 40×60－40×2x－60x＋2x2＝×40×60
C. 40×2x＋60x－2x2＝×40×60 D. (60－x)(40－2x)＝×40×60
第6题图 第8题图 第9题图 第10题图
7．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为(D)
A. x2－6＝(10－x)2 B. x2－62＝(10－x)2 C. x2＋6＝(10－x)2 D. x2＋62＝(10－x)2
8．如图所示为两条互相垂直的街道，且A到B，C的距离都是7 km，现甲从B地走向A地，乙从A地走向C地，若两人同时出发且速度都是4 km/h，则两人之间的距离为5 km时是出发后(D)
A. 1 h B. 0.75 h C. 1.2 h或0.75 h D. 1 h或0.75
9．如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为3的四个小正方形，制成一个无盖箱子．若箱子的底面边长为x，原正方形铁皮的面积为2x2＋17x，则无盖箱子的外表面积为(B)
A. 48 B. 64 C. 72　 D. 96
10.如图所示,将一条长为64 cm的铁丝剪成两段,每段均折成正方形,若两个正方形的面积和为160 cm2,则这两个正方形的边长分别为(　C　)
A.8 cm,8 cm B.10 cm,6 cm C.12 cm,4 cm D.14 cm,2 cm
二．填空题(30分)
11．绿苑小区在做规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900 m2的矩形绿地，并且长比宽多10 m．设绿地的宽为x m，则长为 m.根据题意，可列方程为________________．
【答案】(x＋10) x(x＋10)＝900
12．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135 cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 cm2.
【答案】9
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
13．如图，把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为_______.
【答案】(5＋5)m
14.如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的长方形羊圈,则羊圈的边长AB为　　　　米.
【答案】20
15.如图，某公园准备围建一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，其他三边用长为54米的篱笆围成，已知墙EF长为28米，并且与墙平行的一面BC上要预留2米宽的入口(如图MN所示，不用围篱笆)．若花园的面积为320平方米，则AB＝ 米．
【答案】20
16.如图，某校A距离笔直的公路l为3km，与该公路上某车站D的距离为5km. 现要在公路旁建一个小商店C，使之与学校A及车站D的距离相等，则BC= .
【答案】km
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
17. 准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路（如图所示），四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为________米.
【答案】
18．如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接而成的．如果AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为________．
【答案】6
19．如图，有一块矩形硬纸板，长30 cm、宽20 cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长为_______cm时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2..
【答案】
20．在一块长80米、宽为60米的长方形空地上修建一个停车场，停车场的中间有三个大小相同的长方形停车区域，其余部分铺成硬化路面(如图所示)，要求这些硬化路面的宽都相等，并且三个停车区域面积的和是长方形空地面积的，求硬化路面的宽．
【答案】5 解：设硬化路面的宽为x米，依题意，得(80－4x)(60－2x)＝×80×60.解得x1＝5，x2＝45.当x＝5时，80－4x＝80－4×5＝60＞0，符合题意；当x＝45时，80－4x＝80－4×45＝－100＜0，不符合题意，舍去．
三。解答题（60分）
21.（6分）如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33 m的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米(围栏宽忽略不计)．
(1)每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长．
(2)每个生态园的面积 不能 (填“能”或“不能”)达到108平方米．
解：(1)设每个生态园垂直于墙的边长为x米，根据题意，得x(33＋1.5×2－3x)＝48×2.解得x1＝4，x2＝8>6(不合题意，舍去)．当x＝4时，33＋1.5×2－3x＝24，24÷2＝12.
答：每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米．
22．（8分）如图，有一段19 m长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分(或全部)为一边，再用36 m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF.
(1)怎样围成一个面积为160 m2的长方形场地？
(2)长方形场地的面积能达到170 m2吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由．
解：　(1)设CD＝x(m)，则DE＝(36－2x)m.由题意，得x(36－2x)＝160.整理，得x2－18x＋80＝0，解得x1＝10，x2＝8.当x1＝10时，36－2x＝16<19，符合题意；当x2＝8时，36－2x＝20＞19，不合题意，舍去．∴CD＝FE＝10 m，DE＝16 m.
(2)不能．理由如下：设CD＝y(m)，则DE＝(36－2y)m.由题意，得y(36－2y)＝170，整理，得y2－18y＋85＝0.∵Δ＝(－18)2－4×1×85＝－16＜0，∴方程没有实数根，
∴长方形场地的面积不能达到170 m2.
23．（8分）某商店以20元/千克的价格购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y(kg)与销售单价x(元)之间为一次函数关系，如图所示．
(1)求一次函数的表达式．
(2)要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？
解：　(1)设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b，把点(20，60)，(80，0)的坐标代入，得
解得∴y关于x的函数表达式为y＝－x＋80(20＜x≤80)．
(2)由题意，得(x－20)(－x＋80)＝800，解得x1＝40，x2＝60.答：销售单价应定为每千克40元或60元．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝4 cm，∠B＝60°，动点P，Q分别从点A，B同时出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，点P，Q的速度分别为2 cm/s和1 cm/s.当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t(s)，当t＝或时，△PBQ是直角三角形．
解：由题意，得∴0①当∠BQP＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝90°－60°＝30°，∴BQ＝BP，即t＝(6－2t)，解得t＝. ②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BQP＝90°－60°＝30°∴BP＝BQ，即6－2t＝t，解得t＝.综上所述，当t＝或时，△PBQ是直角三角形．
25．（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21.动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t(s)，当t为何值时，以B，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？
解：过点P作PM⊥BC于点M，则四边形PMCD为长方形，∴PM＝CD＝12，CM＝PD＝2t，CQ＝t，∴QM＝t，BQ＝16－t，BM＝16－2t.易得PD＝2t≤21，∴t≤10.5.
①当PQ＝BQ时，在Rt△PMQ中，PQ2＝PM2＋QM2＝122＋t2，由PQ2＝BQ2，得122＋t2＝(16－t)2，解得t＝. ②当BP＝BQ时，在Rt△PMB中，BP2＝BM2＋PM2＝(16－2t)2＋122，
由BP2＝BQ2，得(16－2t)2＋122＝(16－t)2，即3t2－32t＋144＝0.∵b2－4ac＝－704＜0，
∴3t2－32t＋144＝0无实数根，∴BP≠BQ.③当BP＝PQ时，∵PM⊥BQ，∴BM＝QM，
∴16－2t＝t，解得t＝.综上所述，当t＝或 时，以B，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形．
26.（10分）如图，在长方形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空：BQ＝ 2t cm，PB＝(5-t)cm(用含 t的代数式表示)．
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm
解：由题意，得(5－t)2＋(2t)2＝52，解得t1＝0，t2＝2.故当t＝0或2时，PQ的长度等于5 cm.
(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
解：存在，当t＝1时，能够使得五边形APQCD的面积等于26 cm2.理由如下：
长方形ABCD的面积是5×6＝30(cm2)，则△PBQ的面积为30－26＝4(cm2)．
依题意，得(5－t)×2t×＝4，解得t1＝4，t2＝1.当t＝4时，2t＝8>6，故t＝4不符合题意，舍去．故当t＝1时，五边形APQCD的面积等于26 cm2.
27．（12分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.
(1)点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．若点P，Q分别从点A，B同时出发，则经过几秒后，△PBQ的面积等于8 cm2
(2)点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．
(3)若点P从点A出发，沿射线AB方向以1 cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿射线CB方向以2 cm/s的速度移动，点P，Q同时出发．问：经过几秒后，△PBQ的面积为1 cm2
【解】　(1)设经过x(s)后，△PBQ的面积等于8 cm2，由题意，得(6－x)·2x＝8，解得x1＝2，x2＝4.经检验，x1，x2均符合题意，故经过2 s或4 s后，△PBQ的面积等于8 cm2.(2)不能．理由如下：设经过y(s)，线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，由题意，得S△ABC＝×6×8＝24(cm2)，∴(6－y)·2y＝12，∴y2－6y＋12＝0.∵Δ＝b2－4ac＝36－4×12＝－12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分．
(3)由题意得，在6 s内，点P在线段AB上，超过6 s，点P在线段AB的延长线上；
在4 s内，点Q在线段CB上，超过4 s，点Q在线段CB的延长线上．
分三种情况讨论：①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上，即运动时间不超过4 s时，
设经过m(s)后，△PBQ的面积为1 cm2，由题意，得(6－m)(8－2m)＝1，解得m1＝5＋(不合题意，舍去)，m2＝5－.②当点P在线段AB上，点Q在射线CB上，即运动时间超过4 s，不超过6 s时，设经过n(s)后，△PBQ的面积为1 cm2，由题意，得(6－n)(2n－8)＝1，
解得n1＝n2＝5.③当点P在射线AB上，点Q在射线CB上，即运动时间超过6 s时，
设经过k(s)后，△PBQ的面积为1 cm2，由题意，得(k－6)(2k－8)＝1，解得k1＝5＋，k2＝5－(不合题意，舍去)．综上所述，经过(5－)s或5 s或(5＋)s后，△PBQ的面积为1 cm2.